Factorial de un número Se define como la multiplicación sucesiva de los primeros números naturales.

Transcripción

1 Combinatoria Principio multiplicativo Un elemento se puede elegir de formas diferentes, un elemento se puede elegir de formas diferentes hasta un elemento enésimo que puede ser elegido de formas diferentes. Luego todos los elementos juntos pueden elegidos de formas diferentes. Ej.: Si en un restorán tengo 5 entradas distintas y 6 platos de fondo diferentes, entonces. Cuántos menús distintos de pueden formar? Como se tienen 5 entradas y 6 platos de fondo se pueden formar menús distintos. Factorial de un número Se define como la multiplicación sucesiva de los primeros números naturales. Ej.: Permutaciones Simples: Son los diferentes grupos que se pueden formar con elementos, considerando que si bien el grupo ( ) tiene los mismos elementos que el grupo ( ), al encontrarse los elementos en distinto orden, los grupos se consideran distintos. La permutación simple esta dada por: Con repetición: Son los diferentes grupos que se pueden formar con elementos, considerando que algunos elementos pueden ser repetidos. La permutación con repetición esta dada por: Donde es la cantidad de veces que se repite el primer elemento, la cantidad que se repite el segundo elemento y la cantidad de veces que se repite el enésimo elemento. Variaciones Avenida Baquedano Nº 860 Paine, Santiago. preupopularfc@gmail.com 1

2 Son todas las posibles ordenaciones de elementos sacados de un grupo más grande de elementos ( ), importando el orden de los conjuntos resultantes Sin repetición de elementos: Con repetición de elementos: Combinaciones Son parecidas a las variaciones, son todas las posibles ordenaciones de elementos sacados de un grupo más grande de elementos ( ), pero a diferencia de las variaciones, no importa el orden de los conjuntos resultantes. Simples o sin repetición: Con repetición: Probabilidad Se utiliza para medir la frecuencia con que ocurre un suceso de entre todos los posibles resultados de un experimento. Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Evento o suceso Es un subconjunto del espacio muestral. Probabilidad clásica Es el cuociente entre el total de casos posibles ( ) y el número de casos favorables ( evento ( ), es decir, la probabilidad de que este evento ocurra es: ) de un 2

3 La probabilidad máxima de que un suceso ocurra, considerando que es el espacio muestral, es: Por lo tanto, si la probabilidad de un suceso ocurra está definida por no ocurra esta dada por:, la probabilidad de que La probabilidad de que un evento no ocurra nunca, de que sea imposible, queda expresado por: Probabilidad total La probabilidad de que ocurra el suceso y el suceso al mismo tiempo, siendo estos dos eventos mutuamente excluyentes, es: La probabilidad de que ocurra el suceso y el suceso al mismo tiempo, siendo estos dos eventos no mutuamente excluyentes, es: Probabilidad condicionada La probabilidad de condicionada al evento, es la probabilidad de que ocurra considerando a como espacio muestral, esto es: Si el evento es independiente de la ocurrencia del evento, la probabilidad quedará expresada por la Ley Multiplicativa de las Probabilidades: 3

4 Ejercicios PSU 1. Cristian fue al hipódromo y le gustaron dos caballos, el primero tiene una probabilidad de perder de 5/8 y el segundo una probabilidad de ganar de 1/3. Qué probabilidad tiene Cristian de ganar si apuesta a los dos caballos? A) 17/24 B) 1/8 C) 31/24 D) 5/12 E) No se puede determinar. 2. En una muestra aleatoria de 120 pacientes, se encontró que 30 de ellos tienen diabetes. Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar no tenga diabetes? A) 25% B) 45% C) 60% D) 75% E) 85% 3. Cuál es la probabilidad de que al lanzarse dos dados se obtenga una suma que no supere a 10? A) 11/12 B) 7/15 C) 11/15 D) 9/17 E) 11/17 4. En una bolsa se colocan 10 fichas numeradas del 1 al 10. Si se extrae sin mirar al interior de la bolsa una ficha, Cuál es la probabilidad de que ella indique un número primo? A) 2/5 B) 1/2 C) 9/10 D) 4/5 E) 3/5 5. Se lanza una moneda 3 veces, cuántos elementos tiene el espacio muestral? A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) Un saco tiene dos bolitas rojas y tres verdes, cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja y luego, sin reponerla, sacar una verde? A) 100% B) 10% C) 24% D) 40% E) 30% 7. Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado 4 veces, no se obtenga ningún 6? A) 0 B) 1/1296 C) 10/3 D) 2/3 E) 625/ En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas. A) 1/2 B) 1/3 C)1/6 D) 1/18 E) 0 9. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. Avenida Baquedano Nº 860 Paine, Santiago. preupopularfc@gmail.com 4

5 A) 1/26 B) 1/352 C) 4/663 D) 1/221 E) 3/ Al lanzar dos dados, cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10? A) 1/72 B) 1/12 C) 1/4 D) 1/6 E) Ninguna de las anteriores 11. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. A) 3/4 B) 2/7 C) 6/49 D) 1/7 E) 9/ Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3. A) 1/2 B) 2/3 C) 1/3 D) 1/6 E) 5/6 13. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. A) 1/100 B) 1/5 C) 1/130 D) 23/130 E)1/ Se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? A) 1/3 B) 1/4 C) 5/18 D) 3/10 E) Ninguna de las anteriores 15. Si la probabilidad que llueva en Punta Arenas es de 0,6 cuál es la probabilidad de que No llueva en Punta Arenas? A) 2 B) 1 C) 0,6 D) 0,4 E) 0,3 16. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? A) 6/5 B) 8/25 C) 2/5 D) 3/5 E) 4/5 17. Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados? A)1/6 B)1/2 C) 7/12 D) 7/36 E) 7/2 18. Al lanzar dos monedas, qué probabilidad hay de obtener una cara y un sello? A)4 5

6 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 1/4 19. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, qué probabilidad hay de no sacar una bola negra? A)2/5 B) 3/5 C) 2/3 D) 3/2 E) Se lanza un dado y sale 4. Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9? A)1/9 B) 5/6 C) 7/36 D) 4/9 E) 2/3 21. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10 habla los dos idiomas, cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma? A)1/3 B) 1/4 C) 23/60 D) 29/60 E) 7/ Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio? A) Jugar un juego de azar B) Enfriar agua a 0º C. C) Lanzar una piedra y medir su alcance D) Preguntarle a un desconocido si fuma E) Apostar en una carrera de caballos 23. Qué probabilidad hay de que la lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? A) 10 B) 5/6 C) 1/6 D) 5/18 E) 5/ Cuál es la probabilidad de ganar el premio de una rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números? A)1/100 B) 1/10 C) 1/5 D) 1/4 E) Ninguna de las Anteriores 25. Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 3 monedas? A) 27 B) 9 C) 8 D) 6 E) Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, qué probabilidad hay de obtener primero un 3 y luego un número par? A) 1/3 B) 1/12 C) 1/9 D) 2/3 E) La probabilidad de obtener un número mayor que 4 en el lanzamiento de un dado es: A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 2/3 E) 3/4 6