2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución:

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1 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) PROBLEMAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Pguntas d tipo tst. (J). La función f ( ) ln: a) Tin puntos stacionarios (o críticos, s dcir, puntos cuya primra drivada s nula) qu no son d inflión. b) Tin puntos d inflión qu no son stacionarios c) Ninguna d las antriors f () =, f () = y f () =. D f () = 0 0; 0 (no tin puntos stacionarios) D f () = 0 0; 0; f ( ) 0 (tin dos puntos d inflión) La rspusta s b). En l punto = 0, f ( ) sn( ) tin: a) Un mínimo local. b) Un máimo local. c) Ninguna d las antriors. f ( ).cos( ) ; f ( 0) 0 ; f ( ).cos( ) ()()( sn( )).cos( ) sn( ) ; f ( 0) 0 ; La rspusta s a) p. (J) En l punto = 0, f ( ) tin un mínimo local: a) Si p =. b) Si p =. c) Ninguna d las antriors. p f ( ) p ; f ( 0) 0 ; p ( ) ( p p) ; f La rspusta s a) f ( 0) p (> 0, si p = ) mínimo ( ). (J0) La función f ( ) vrifica: a) Es simpr dcrcint. b) Tin un máimo y un mínimo. c) Ninguna d las antriors. La drivada s: ( ) ( ) ( ) f ( ) La drivada s anula n = ±. Si <, f () < 0 f () dcrc. Si < <, f () > 0 f () crc. Por tanto n = hay un mínimo rlativo. José María Martínz Mdiano

2 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) Si >, f () < 0 f () dcrc. Por tanto, n = hay un máimo rlativo. La rspusta s b) 5. (J0) La función f ( ) vrifica: a) Tin un máimo y una asíntota oblicua. b) Nunca s dcrcint. c) Ninguna d las antriors. ( ) f ( ) f () 0 para todo. Por tanto nunca s dcrcint. ( ) La rspusta s b) ( ). (J) La función f ( ) vrifica: a) Tin un máimo n =. b) Es crcint n todo su dominio. c) Es dcrcint n todo su dominio. Su drivada s: ( ) ( ) ( ) f ( ) La drivada s anula n = ±. Si <, f () < 0 f () dcrc. Si < <, f () > 0 f () crc. Por tanto n = hay un mínimo rlativo. Si >, f () < 0 f () dcrc. Por tanto, n = hay un máimo rlativo. La rspusta s a) 7. (M) La cuación d la rcta tangnt a f ( ) 5 n l punto (, f()) s: a) y b) y 5 0 c) Ninguna d las antriors, su cuación s: y f ( ) f ()( ) f ( ) 5 f ( ) 5 S tin: f() =, f (0) = /. y La rspusta s c) La rcta tangnt srá: 5 y 8. (M) La drivada d f ( ) ( ) n l punto val: a) 8 9 b) c) José María Martínz Mdiano

3 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) La rspusta s c) ( ) (simplificando) 0 8 f ( ). ln( ) 9. (P) El valor d lim s: a). b) 0. c) Ninguna d las antriors, su valor s: Aplicando la rgla d L Hôpital. ln( ) ln( ) lim ( L H ) lim ( L H ) La rspusta s b) / lim (P) La función f ( ) vrifica: a) Tin una asíntota horizontal. b) Tin un punto d inflión. c) Tin un mínimo n = 8. ( ) ( 8) f ( ) f ( ) Como f ( 8) 0 y f ( 8) 0, n = 8 s tndrá un mínimo. La rspusta s c). (P) Los dominios d dfinición d las funcions son, rspctivamnt: a) Dom(f) = (, + ); Dom(g) = R {} b) Dom(f) = R {, 0}; Dom(g) = (, ) (, + ) c) Dom(f) = R {,, 0}; Dom(g) = (, + ) Sol. f ( ) no stá dfinida cuando 0 Dom(f) = R {, 0}. ( ) ln g 9 stá dfinida cuando 9 0 Dom(g) = (, ) (, + ). La rspusta s b). (P) La función f ( ) s: a) Crcint para todo >. b) Crcint para todo <. c) Ninguna d las antriors. f ( ) y g ( ) ln 9 = o = 0 < o > > 5 José María Martínz Mdiano

4 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) f ( ) f ( ). La drivada s ngativa para todo ±. En conscuncia, la función s simpr dcrcint n todo su dominio. La rspusta s c). (P) La drivada d la función f ( ) (5 ), n l punto = 0, val: a) f ( 0) 8. b) f ( 0). c) Ninguna d las antriors. f ( ) (5 ) f ( ) La rspusta s a). (P) El polinomio d Taylor d grado d la función ( ) ln f, n l punto =, s: a) P ( ) b) P( ) c) Ninguna d las antriors. f ( ) ln f() = 0 f ( ) f () = f ( ) f () = Por tanto: P ( ) P ( ). La rspusta s c) José María Martínz Mdiano

5 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) 5 Problmas. (J) ( punto) Hallar l polinomio d Taylor d grado, n l orign, d la función f ( ) cos. Utilizar dicho polinomio para calcular cos 0,. Pud asgurars qu l rror comtido s mnor qu 0? f() = cos ; f () = sn ; f () = cos ; f () = sn ; f ( () = cos ; f (5 () = sn (5 5 P ( ) R( ) f ( c)! 5! 0, 0, 5 (5 P (0,) 0, ; R ( ) 0 f ( c) 0! 5!. Hallar l polinomio d Taylor d grado d la función f ( ), n l punto =. Utilizar dicho polinomio para calcular aproimadamnt f(,). ( punto) f ( ) f() = f ( ) ( ) f () = f ( ) ( ) ( ) f () = f ( ) ( ) ( ) f () = P ( ) f (,) P(,) 0, 0, 0,,75 Por tanto: Otros problmas d Taylor (Propustos n los ámns d Licnciatura). (S0) Hallar l polinomio d Taylor d grado, n l orign, d la función f ( ). Utilizar dicho polinomio para calcular aproimadamnt f(0,). f ( ) f(0) = 0 f ( ) ( ) f (0) = f ( ) ( ) ( ) f (0) = f ( ) ( ) ( ) f (0) = Por tanto: P( ) 0, f (0,) P(0,) 0, 0, 0, 0,0 0,0005 0,05 José María Martínz Mdiano

6 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II). (S05) El polinomio d Taylor d grado d la función a) P( ) b) P( ) c) Ninguna d las antriors. f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( f ( ) ( ) f ( ) ( 8 ) En = 0, toman los valors 0, 0,, y, rspctivamnt. Lugo: P( ) 0 0 P( )!!! f ( ), n = 0, s:. (S0) El polinomio d Taylor d grado d la función f ( ) sin( ) n l punto =, s: a) P ( ) b) P( ) c) Ninguna d las antriors. f ( ) sin( ) f ( ) 0; f ( ) cos( ) f () = ; f ( ) sin( ) f () = 0; f ( ) cos( ) f () =. Lugo: P ( ) ( ) ( ) P ( ). (S07) Dada la función f ( ) ln( ) : a) Halla su polinomio d Taylor d trcr grado n = 0. (0,7 puntos) b) Podría asguras qu l rror máimo qu s comt cuando s calcula f(0,5) utilizando l polinomio antrior s infrior a /? Justifica la rspusta. (0, puntos) a) f ( ) ln( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f(0) = 0, f (0) =, f (0) =, f (0) = P( ) P( )! ( b) f ( ) Cota d rror < ( ) Para = 0,5,! ( h) ( h)! ( h), con 0 < h <. ( Nota: Si ist la drivada f n ( ) n un ntorno dl punto = a, l valor d R n () vin dado por la prsión ( n f ( c) n R n ( ) ( a), dond c stá ntr a y. ( n )! José María Martínz Mdiano

7 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) 7 5. (F09). El polinomio d Taylor d grado d la función f ( ) sin cos, n = 0, s: a) P( ) b) P( ) c) P( ) f ( ) sin cos f ( 0) f ( ) cos sin f ( 0) f ( ) sin cos f ( 0) f ( ) cos 8sin f ( 0) Por tanto, P( )!!. (J08) El polinomio d Taylor d º grado d la función f ( ) ln( ) n l punto = 0 s: ( ) ( ) ( ) a) P ( ) ( )!!! b) P( ) c) P( ) f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) f ( ) ( ) ( f ( ) f ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( Lugo: f ( 0) 0 ; f ( 0) 0; f ( 0) ; f ( 0) ; f ( ) 8 Por tanto, P( ) 7. (S0) El polinomio d Taylor d grado d la función f ( ) sin( ) n l punto =, s: a) P ( ) b) P( ) c) Ninguna d las antriors. f ( ) sin( ) f ( ) 0; f ( ) cos( ) f () = ; f ( ) sin( ) f () = 0; f ( ) cos( ) f () =. Lugo: P ( ) ( ) ( ) P ( ) 8. (E) ( punto) Halla l polinomio d Taylor d grado d la función f ( ) ln( ), n l punto = 0. ( punto) f ( ) ln( ) f ( 0) 0 f ( ) ln( ) f ( 0) 0 José María Martínz Mdiano

8 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) 8 f ( ) f ( 0) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( 0) ) f ( ) f ) (0) 8 ( ) ( ) 8 P( )!!!. 9. (S) ( punto) Dada la función f ( ), obtnr l polinomio d Taylor d grado n 0, l punto = 0. Dmostrar qu si calculamos mdiant s polinomio, l rror d stimación srá como máimo.! 5 ( f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Lugo, P( ) (hasta aquí, 0,5 puntos)!! o Por tanto:, dond o s l rsto (l rror), con!!!! (0, ) 0 Para 0,, l rsto s o!, con 0 (0, 0,) = (0, /5) o! 0! 5! 5 José María Martínz Mdiano

9 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) 9 Otras sugrncias d rpaso Dl Tma 8 (Solucions) n Tangnt a una curva 7. Halla la cuación d la rcta tangnt a cada una d las curvas siguints n los puntos qu s indica: a) f ( ) n l punto =. b) y n l punto d abscisa =. c) f ( ) n l punto d abscisa =. d) f ( ) n l punto =. ) f ( ) n l punto =. f) f ( ) ln n l punto d abscisa =. La cuación d la rcta tangnt a la curva asociada a la función y f () n l punto d abscisa = a vin dada por la prsión: y f ( a) f ( a)( a) a) La rcta tangnt a la función f ( ) n l punto d abscisa =, srá: y f () f ()( ). Como f ( ) y f ( ), s obtin: y ( ) y 9. b) y y y() = /; y () = /8. ( ) 5 y y La cuación d la tangnt s: c) f ( ) f ( ) ; f ( ) f ( ). Por tanto, la rcta tangnt s: y ( ) y. d) ( ) f ( ) f ( ) (f() = /5; f () = 8/5) ( ) y y La tangnt s: ) f ( ) () 0 0 f ; f ( ) f (). La tangnt s: y ( ) y. f) f ( ) ln f ( ) ln 0 ; f ( ) f ( ). La tangnt s: y 0 ( ) y. 8. Halla la cuación d la rcta tangnt a f ( ) n l punto (0, f(0)) s: José María Martínz Mdiano

10 Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) 0 La cuación d la rcta pdida s: y f ( 0) f (0)( 0) f ( ) f ( ) f ( 0) 0 ; f (0) =. y 0 0 y. La rcta tangnt srá: Práctica d drivadas: vr los problmas dl al dl Tma 8 (Solucions) n Rprsntación gráfica d una función: vr los problmas dl al y dl 8 al dl Tma 9 (Solucions) n la misma página: José María Martínz Mdiano

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