TALLER. FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES ( NIVEL INTERMEDIO Grados 7mo 9no )

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1 TALLER FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES ( NIVEL INTERMEDIO Grados 7mo 9no ) Universidad de Puerto Rico en Bayamón Departamento de Matemáticas Preparado por: Pro. Eileen Vázquez

2 TABLA DE CONTENIDO PRE PRUEBA 4 OBJETIVOS 7 JUSTIFICACIÓN 8 INTRODUCCIÓN 9 DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN 9 GRÁFICAS NOTACIÓN FUNCIONAL EVALUACIÓN DE FUNCIONES COCIENTE DIFERENCIAL 4 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 5 EJERCICIOS DE PRÁCTICA I 8 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 0 INTERCEPTOS EN EL EJE DE X 0 CEROS REALES DE UNA FUNCIÓN 0 INTERCEPTO EN EL EJE DE Y 0 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES SIMETRIAS 6 SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE DE Y 6 SIMETRIA CON RESPECTO AL ORIGEN 7 FUNCIONES UNO A UNO 9

3 EJERCICIOS DE PRÁCTICA II OPERACIONES CON FUNCIONES ÁLGEBRA DE FUNCIONES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 4 EJERCICIOS DE PRÁCTICA III 8 EJERCICIOS ADICIONALES 8 POS PRUEBA 4 RESPUESTAS 45 RESPUESTAS DE LA PRE PRUEBA 45 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA I 46 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA II 46 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA III 46 RESPUESTA DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES 47 RESPUESTAS DE LA POS PRUEBA 48

4 4 PRE PRUEBA ) Cuáles de las siuientes relaciones representan unciones? a) {(,4),(,6),(4,8),(5,0)} b) {(,),(,),(,4 )} c) F {(, y) : y 4} d) G {(, y) / ( y ) 0} ) Cuáles de las siuientes ráicas representan unciones? ) Cuáles de las siuientes correspondencias representan unciones? a) b)

5 5 4) Sea ( ). Halla: a) el dominio de b) ( ) c) 4 d) ( a b) ( ) ( ) e), 0 5) Halla el dominio de las siuientes unciones: a) ( ) 4 b) ( ) 5 t c) ( t) t 5 5 d) F ( a) 6 a 4 a 6) Usando la ráica de la unción que aparece a continución,alla: a) dominio i) intervalos donde es: b) campo de valores ) creciente c) (0) ) decreciente d) ( ) ) constante e) interceptos en el eje de j) valores de donde: ) intercepto en el eje de y ) ( ) ) ceros de ) ( ) < 0 ) simetría de la ráica (si la tiene) ) ( ) 0

6 7) Cuáles de las ráicas que representan unciones en el ejercicio, son unciones uno-a-uno? 6 8) Cuáles de las ráicas del ejercicio tienen simetría con respecto: a) al eje de y b) al orien 9) Usando la prueba alebraica, determina cuáles de las siuientes unciones son pares, impares o ninuna de las dos: a) ( ) 6 b) ( ) c) k( t) t d) n ( ) 8 4 t 0) Halla los interceptos en y el intercepto en y para las siuientes unciones: a) ( ) 7 b) ( ) 4 c) ( ) 9 d) F() 7 4 e) G ( ) ) Si () y ( ), alla: a) ( )() b) ( )() c) ( )( ) d) () e) () ) dominio de la unción ) dominio de la unción ) dominio de la unción ) Si ( ) y ( ), alla: a) ( )() b) ( )( ) c) ( )( ) d) ( )( ) e) dominio de la unción

7 7 OBJETIVOS Al inalizar este taller los participantes podrán: ) identiicar si una relación es una unción, cuando la relación está dada como: a) una correspondencia b) un conjunto de pares ordenados c) una ráica d) una rela ) dada una unción deinida por una rela, allar: a) valores uncionales b) el cociente dierencial c) el dominio ) dada la ráica de una unción, allar: a) el dominio b) el campo de valores c) los interceptos en el eje de d) el intercepto en el eje de y e) los ceros de la unción ) valores uncionales ) los intervalos donde la unción es: ) creciente ) decreciente ) constante ) los valores de en los cuales la unción tiene determinados valores 4) dada la ráica de una unción, determinar: a) si la unción es uno-a-uno b) el tipo de simetría que tiene la ráica 5) determinar alebraicamente si una unción deinida por una rela es par, impar o ninuna de las dos 6) allar los interceptos en el eje de y el intercepto en el eje de y para una unción polinomial de rado y de rado 7) dadas las unciones y, allar: a) ) b) ) c) ) el dominio de las unciones obtenidas desde a) ) d) e)

8 8 JUSTIFICACIÓN El concepto de unción es de undamental relevancia en el estudio de las matemáticas, de otras ciencias y de otras diciplinas. Especíicamente, las unciones son de vital importancia en el estudio del Cálculo. Tan es así, que antes de estudiar el primer curso de Cálculo se requiere aber tomado un curso de Precálculo, en el cual el tema más estudiado son las unciones. Constantemente nos encontramos con situaciones en las cuales una cantidad depende o está dada en unción de otra cantidad. O sea, el valor de una de estas cantidades determina el valor de la otra. Por ejemplo, el área de un círculo, al iual que el volumen de una esera, dependen de su radio. En ísica el desplazamiento (o la distancia recorrida), la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento son unciones que dependen del tiempo. En el área de administración de empresas el costo, la anancia, la demanda, la oerta y el inreso dependen de la cantidad de artículos que se produzcan y se vendan. A través de una unción se puede establecer una relación entre cantidades que dependen unas de otras. En términos enerales, podemos decir que una unción es una rela que describe cómo una cantidad depende o cambia en unción de otra.

9 9 FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES INTRODUCCIÓN Podemos imainarnos que una unción actúa como una máquina, la cual recibe unos valores y les aplica un proceso. Este proceso es la rela que deine la unción, como veremos más adelante. Imainemos que esta máquina va a tomar los valores de un primer conjunto, le eectua un proceso y los coloca en un seundo conjunto. Al conjunto de donde la máquina toma inicialmente los valores le llamaremos el dominio de la unción. Al conjunto donde la máquina deposita los valores procesados le llamaremos el campo de valores de la unción. En matemáticas estos conjuntos suelen ser conjuntos de números, como veremos en la mayoría de los ejemplos de este módulo. Otra orma de estudiar una unción es a base de una correspondencia. Estas ocurren muy recuentemente en nuestra vida diaria. Alunos ejemplos de correspondencias son: a cada estudiante en un salón de clases le corresponde un pupitre para sentarse, a cada estudiante de la UPR le corresponde un número de estudiante y a cada artículo de una tienda le corresponde un precio de venta. Estas correspondencias ocurren entre conjuntos o rupos. Mucas de ellas representan unciones, ya que una unción es un tipo de correspondencia. Volviendo a la idea de que una unción trabaja como una máquina, podemos pensar entonces que la máquina ace las veces de la correspondencia. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una unción es una rela de correspondencia que asina a cada elemento de un conjunto, D llamado dominio, un solo elemento y en otro conjunto E. El elemento y de E es el valor de la unción para. A este elemento y se le llama la imaen de bajo la unción. Al conjunto de las imáenes se le llama el campo de valores de la unción. El campo de valores es un subconjunto del conjunto E. Otros nombres para el campo de valores son: alcance, codominio o recorrido. Utilizamos variables para representar las unciones. Estas variables pueden ser mayúsculas o minúsculas. Una de las variables más usadas es la. EJEMPLOS DE CORRESPONDENCIAS QUE SON FUNCIONES : ) )

10 ) 0 Usaremos la siuiente notación: D dominio de la unción CV campo de valores de la unción En los ejemplos anteriores: ) D {,,,4} CV {4,,6,8} ) D {#, $, % } CV {@} ) D {,b,a,n,c} CV {F,B,A,N,C} DEFINICIÓN ( DEFINICIÓN ALTERNA) : Una unción es un conjunto de pares ordenados en los cuales no se repite el primer elemento del par en los pares ordenados que son distintos. Otra orma de representar las correspondencias anteriores es: ) {(,), (,4), (,6), (4,8)} ) ) {(,F), (b,b), (a,a), (n,n), (c,c)} OBSERVACIONES: ) En una unción se puede repetir el seundo elemento de los pares ordenados. ) El dominio de una unción es el conjunto ormado por los primeros elementos de los pares ordenados. ) El campo de valores de una unción es el conjunto ormado por los seundos elementos de los pares ordenados.

11 DEFINICIÓN : Una relación es un conjunto cualquiera de pares ordenados. Toda unción es una relación. No toda relación es una unción. NOTA: El símbolo siniica por lo tanto. También se usan variables mayúsculas o minúsculas para representar una relación. EJEMPLOS DE RELACIONES QUE NO SON FUNCIONES : W {(,5), (,0), (4,0), (6,)} W es una relación que no es una unción porque se repite el primer elemento del par en dos pares ordenados distintos. Otra eplicación es que se contradice la primera deinición, la cual dice que a cada elemento del dominio se le asinará sólo un elemento del seundo conjunto. Al número se le están asinando dos valores que son el 5 y el 0. ) { (, y) : y } Los siuientes pares ordenados, entre otros, pertenecen a esta relación: (,), (, ), (4,), (4, ). Vemos entonces que esta relación no es una unción porque se repite el primer elemento de un par ordenado en al menos dos pares ordenados distintos. GRÁFICAS DEFINICIÓN: La ráica de una relación es el conjunto de todos los pares ordenados que pertenecen a la relación. Dada la ráica de una relación, podemos determinar si ésta representa una unción,usando la prueba de la recta vertical. Veamos en qué consiste esta prueba. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Esta prueba es una orma eométrica que consiste en trazar rectas verticales que intersequen la ráica. La ráica representa una unción si todas las rectas verticales que intersequen la ráica, la intersecan en un solo punto. Si al menos una recta vertical interseca la ráica en más de un punto, entonces estos puntos de intersección repiten el primer elemento del par ordenado en pares ordenados distintos. Por lo tanto las ráicas donde esto ocurre no representan unciones.

12 EJEMPLO: Indica cuáles de las siuientes ráicas representan unciones: ) ) ) 4) RESPUESTA: Las ráicas que representan unciones son la y la porque en estas ráicas todas las rectas verticales que intersecan las ráicas, las intersecan en un solo punto. NOTACIÓN FUNCIONAL Sea una unción del conjunto D (su dominio) al conjunto E. Representamos esto así: D E ó : D E. Sea un elemento en D y sea y la imaen de bajo. La notación que representa esta correspondencia es: ( ) y. Se lee: de es iual a y. Esta notación nos dice que la unción le asina el elemento y al elemento. Nos indica además que la variable y está dada en unción de la variable. Vemos que la variable y depende de la variable. Por lo tanto, a la le llamamos la variable independiente y a la y le llamamos la variable dependiente. Esto es: y ó : y ó (, y)

13 EJEMPLO: Sea ( ). ( Esto es: : ó ) a) () 4 4 (,4) b) ( ) ( ) 9 9 (,9) c) , 4 6 d) ( ) ( ), ( ) e) (.) (.) (.,4.4) ) ) ( a) a 4 ( n ) (n ) 9n a a ( a, a ) n n ( n, 9n ) EVALUACIÓN DE FUNCIONES: Evaluar una unción consiste en sustituir la variable en la cual está escrita la unción ( o sea, la variable independiente), por el valor o la epresión que aparece dentro de los paréntesis. EJEMPLO: Sea ( ). Halla: a) ( 5) (5) 5 6 b) 0 c) ( 4.6) (4.6) d) ( 5 7 ) ( 5 7 ) 5 7 e) ( π ) ( π ) π ) ( 4a) (4a) a ) ( ) ( ) OBSERVACIÓN: Para allar ( ) se sustituye ( ) por y se simpliica.

14 4 COCIENTE DIFERENCIAL Le llamamos el cociente dierencial a la siuiente epresión: 0, ) ( ) ( para. A este nivel veremos al cociente dierencial como una epresión, pero éste se vuelve a estudiar desde otro punto de vista en el curso de Cálculo. EJEMPLOS: ) Halla el cociente dierencial para las siuientes unciones: a) ) ( [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ( ) 0 ) ( ) ( b) ) ( [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ( 0) ) ( ) ( ) (

15 5 c) k( ) k( ) k( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Si ( ) 5, alla: ( ) () [ 5( ) ] [ 5() ], si 0. ( ) () ( 5 5 ) (8) DOMINIO DE UNA FUNCIÓN De aora en adelante, trabajaremos con unciones cuyo dominio y campo de valores son los números reales (R ) o un subconjunto de éstos. Deinimos el dominio de la unción como el conjunto de números reales donde toma sus valores, tal que () sea un número real. Esto es, son aquellos números reales donde toma sus valores tal que al evaluar la unción en esos valores también se obtiene un número real. TIPOS DE FUNCIONES Y SUS DOMINIOS : I. Funciones Polinomiales ó Polinómicas Son unciones deinidas por un polinomio. Su dominio es R. Otra orma de escribir R es (, ). EJEMPLOS: ) ( ) 5 ( ejemplo de una unción de rado ó unción lineal) ) ( ) 4 ( ejemplo de una unción de rado ó unción cuadrática) ) ( t) t 4 ( ejemplo de una unción de rado ó unción cúbica)

16 II. Funciones con raíces de índice impar El dominio de estas unciones es R. 6 EJEMPLOS: ) ( ) 5 5 ) p ( ) 6 7 III. Funciones con raíces de índice par El dominio de estas unciones es un subconjunto de R. Para allar el dominio ormamos una desiualdad tomando el radicando mayor o iual a cero y la resolvemos. EJEMPLOS: ) ( ) D { : 5} ó D [ 5, ) OBSERVACIÓN: El dominio se puede epresar como un conjunto o como un intervalo. 4 ) k ( n) n n 0 n n D, ) t ( ) 4 0 ( Se invirtió el símbolo de la desiualdad porque se dividió por un número neativo.) D,

17 IV. Funciones con variables en el denominador El dominio de estas unciones es el subconjunto de R tal que el denominador no sea cero y los valores de la unción sean números reales. 7 EJEMPLOS: ) F ( ) 0 D { : } ó D (,) (, ) ) t ( t) t 4 t 4 0 t 4 t ± 4 t ± ( Esto es: t, t.) D { t : t ± } ) H ( ) 5 5 > 0 ( Tomamos 5 estrictamente mayor que cero, porque esta epresión está en el denominador y en el dominio no se incluyen los valores que acen cero el denominador.) 5 > 5 D, 4) m K ( m) m m 0 y m 0 m OBSERVACIÓN: En este ejemplo el dominio tiene dos condiciones y ambas se tienen que cumplir. D [ 0,) (, )

18 8 EJERCICIOS DE PRÁCTICA I: ) Cuáles de las siuientes relaciones representan unciones? a) {(,4),(5,6)(7,9),(,0)} b) {(, ),(, ),(, ),(4, 4),(5, 5)} c) {(, y) : y } d) k {(, y) : y } e) p {(, y) : y 4} ) Cuáles de las siuientes correspondencias representan unciones? Para aquellas que representen unciones, alla su dominio y su campo de valores. a) b) ) Cuáles de las siuientes ráicas representan unciones?

19 9 CONTINUACIÓN DEL EJERCICIO ): 4) Sea ( ) 4 y ( ). Halla: a) ( ) ) (4) b) ) 8 c) ( 5n) i) ( a) d) ( ) j) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e), 0 k), 0 ) D l) D 5) Halla el dominio de las siuientes unciones: 5 a) ( ) 5 7 d) T ( a) a a 4 b) ( ) 4 e) 6t c) K( t) ) 4 t F( ) 5 n H ( n) n 9

20 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 0 La ráica es el retrato de una unción. Por lo tanto, observando la ráica podemos determinar las propiedades de una unción. Podemos allar su dominio y su campo de valores, así como valores uncionales e intervalos donde la unción es creciente, decreciente y constante. Además, se pueden estudiar las distintas simetrías que tiene la ráica de una unción y clasiicar la unción de acuerdo a éstas. Observando la ráica de una unción también se pueden allar los ceros de la unción y los interceptos en el eje de y en el eje de y. I. INTERCEPTOS EN EL EJE DE X DEFINICIÓN: Los interceptos en el eje de de la unción son los puntos donde la ráica de interseca o cruza el eje de. La coordenada en y de estos puntos es cero, ya que son puntos sobre el eje de. II. CEROS REALES DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN: Los ceros reales de la unción son los valores de en el dominio de para los cuales ( ) 0. Esto es, son los valores de de los interceptos en el eje de. OBSERVACIÓN: Hay unciones que no tienen ceros en el conjunto de los números reales. O sea, la ráica de estas unciones no tiene interceptos en el eje de. III. INTERCEPTO EN EL EJE DE Y DEFINICIÓN: El intercepto en el eje de y de la unión es el punto donde la ráica de interseca o cruza el eje de y. Esto es, es el valor de la unción en 0. O sea, es (0). EJEMPLO: Halla los interceptos en los ejes y los ceros para: ) ( ) 5 a) ( ) 0 b) ( 0) (0) , 0 es el intercepto en el eje de ( 0, 5) es el intercepto en el eje de y 5 es cero de

21 ) ( ) 5 4 a) ( ) 0 b) (0) (0) 5(0) ( 4)( ) ó 0 (0,4) es el intercepto en el eje de y 4 ó (4,0) y (,0) son los interceptos en el eje de 4 y son los ceros de ) F ( ) 8 a) F ( ) 0 b) F (0) (0) (0,8) es el intercepto en el eje de y ± 4 R F no tiene interceptos en el eje de y no tiene ceros reales. 4) H ( ) a) H ( ) 0 b) H (0) (0) (0) 0 Usando la órmula cuadrática tenemos: (0, ) es el intercepto en el eje de y b ± b 4ac a ± 4()( ) ± 8 ± ± ± () ( ±,0) son los interceptos en el eje de O sea, ay dos interceptos en el eje de que son: (,0) y (,0). ± son los ceros de H O sea, H tiene dos ceros que son: y. ( )

22 IV. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Considera las siuientes ráicas. Fiura Fiura La unción es creciente en (a,b). La unción es decreciente en (a,b). A medida que crece, ( ) A medida que crece, ( ) decrece. también crece. Observa que para Observa que para todo y en todo y en (a,b) con (a,b) con < entonces < entonces ( ) < ( ). ( ) > ( ). Fiura Gráica de la unción La unción es constante en (a,b). Para todo y en (a,b) entonces ( ) ( ) c. Veamos aora la deinición ormal para unciones crecientes y decrecientes. DEFINICIÓN: Sea (a,b) un intervalo en el domonio de la unción. Suponer que y son dos números reales cualesquieras en (a,b). Entonces: i) la unción es creciente en (a,b) si ( ) < ( ) para todo <. ii) la unción es decreciente en (a,b) si ( ) > ( ) para todo <. iii) la unción es constante en (a,b) si ( ) ( ) para todo y. Los intervalos donde la unción es creciente, decreciente y constante son intervalos en el eje de. Para eectos de este módulo, escribiremos estos intervalos como intervalos abiertos, como se establece en la deinición anterior. Hay tetos que escriben estos intervalos como intervalos cerrados. Todo depende de cómo se establezcan en la deinición.

23 GUIAS VISUALES PARA ESTUDIAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN : ) El dominio se reiere al conjunto de números reales en el eje de, donde está dibujada la ráica. ) El campo de valores se reiere al conjunto de números reales en el eje de y, donde está dibujada la ráica. ) Para allar (a) localizamos el punto en la ráica que corresponde a a. La respuesta es el valor de y, para este punto. 4) La unción es creciente para los valores en el eje de, donde al observar la ráica de izquierda a dereca, la vemos subir. 5) La unción es decreciente para los valores en el eje de, donde al observar la ráica de izquierda a dereca, la vemos bajar. 6) La unción es constante para los valores en el eje de, donde la ráica ni sube ni baja. 7) Los valores de donde () > 0 son los valores en el eje de para los cuales la ráica está por encima de este eje, ya que son los valores donde y > 0. 8) Los valores de donde () 0 son los valores en el eje de para los cuales la ráica interseca este eje y además está por encima de él, ya que son los valores donde y 0. 9) Los valores de donde ( ) < 0 son los valores en el eje de para los cuales la ráica está por debajo de este eje, ya que son los valores donde y < 0. 0) Los valores de donde ( ) 0 son los valores en el eje de para los cuales la ráica interseca este eje y además está por debajo de él, ya que son los valores donde y 0. ILUSTRACIONES DE LAS GUIAS :,,: y () 4-0: y () Interceptos en el eje de : ( a,0), (d,0), (m,0) D [ a, c] Intercepto en el eje de y : (0,n) CV [ b, d] es creciente en (a,b); (e, ) es decreciente en (c,e) es constante en (b,c) ( ) < 0 en (d,m) ( ) 0 en [d,m] ( ) > 0 en (a, d) (m, ) ( ) 0 en [ a, d] [m, )

24 EJEMPLOS : 4 ) La ráica de la unción aparece a continuación. Halla: a) Dominio b) Campo de Valores c) Intervalos donde es: ) Creciente ) Decreciente ) Constante d) ( ) e) () ) () ) (0) RESPUESTAS: a) [, ) b) [,] c) ) ( 0,) ) (,0) ) (, ) d) 0 e) 0 ) )

25 ) La ráica de la unción aparece a continuación. 5 Halla: a) Dominio k) Valores de donde ( ) < 0 b) Campo de Valores l) Valores de donde ( ) 0 c) Interceptos en el eje de m) Intervalos donde es: d) Intercepto en el eje de y ) Creciente e) (7) ) Decreciente ) ( ) ) Constante ) Valores de donde ( ) ) Valores de donde ( ) i) Valores de donde ( ) > 0 j) Valores de donde ( ) 0 RESPUESTAS: b) [,] c) ( 4,0) ; ( 0,0) ; (,0) ; ( 6,0) d) ( 0,0) a) ( 5,7] e) ) ), 4 ), 7 i) ( 4,0) (,6) j) [ 4,0] [,6] k) ( 5, 4) (0,) (6,7) l) ( 5, 4] [0,] [6,7] m) ) ( 5, ) ; (,4) ) (,) ; ( 4, 7 ) ) ninuno

26 6 V. SIMETRIAS A. SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE DE Y DEFINICIÓN: Una ráica es simétrica con respecto al eje de y si para todo punto (, y) que está en la ráica, el punto (, y) también lo está. Una unción cuya ráica es simétrica con respecto al eje de y, se llama una unción par. La siuiente es la deinición alebraica de una unción par. DEFINICIÓN: Una unción es par si ( ) ( ), para todo en el dominio de. EJEMPLOS: ) Determina si la siuiente ráica es simétrica con respecto al eje de y. RESPUESTA: Esta ráica es simétrica con respecto al eje de y. Observa que para cada punto (, y) que está en esta ráica, también está el punto (, y). Como esta ráica es simétrica con respecto al eje de y, entonces la unción representada por esta ráica es una unción par. ) Determina cuáles de las siuientes unciones son pares: a) ( ) b) ( ) c) ( ) 4 SOLUCIÓN: Se sustituye por en la unción dada y se simpliica. Si la epresión obtenida es iual a la unción dada, entonces la unción es par. Si la epresión obtenida no es iual a la unción dada entonces la unción no es par. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) 4 4 () () () es unción par no es unción par es unción par

27 7 B. SIMETRIA CON RESPECTO AL ORIGEN DEFINICIÓN: Una ráica es simétrica con respecto al orien si para todo punto (, y) que está en la ráica, el punto (, y) también lo está. Una unción cuya ráica es simétrica con respecto al orien, se llama una unción impar. La siuiente es la deinición alebraica de una unción impar. DEFINICIÓN: Una unción es impar si ( ) ( ), para todo en el dominio de. COMENTARIO: La unción puede ser par, impar o ninuna de las dos. Puede ser par o impar, pero no puede ser ambas al mismo tiempo. Al no ser par, no necesariamente es impar. EJEMPLO: Determina si la siuiente ráica es simétrica con respecto al orien. RESPUESTA: Esta ráica es simétrica con respecto al orien. Observa que para cada punto (, y) que está en esta ráica, también está el punto (, y). Como esta ráica es simétrica con respecto al orien, entonces la unción representada por esta ráica es una unción impar. OBSERVACIÓN: Una unción puede ser par, impar o ninuna de las dos. Veamos el siuiente ejemplo. EJEMPLO: Determina cuáles de las siuientes unciones son impares, pares o ninuna de las dos: a) ( ) b) ( ) 4 c) ( ) 4 d) k( t) t 5t e) F( )

28 8 SOLUCIÓN: Se sustituye por en la unción dada y se simpliica. Si la unción obtenida es iual al opuesto de la unción dada, entonces la unción es impar. Si la unción obtenida no es iual al opuesto de la unción dada, entonces la unción no es impar. a) ( ) ( ) ( ) () es unción impar b) ( ) 4 ( ) 4( ) ( ) 4 4 () ( ( ) 4 ) () no es unción par ni impar c) ( ) ( ) () es unción impar d) k k 4 ( t) t 5t 4 ( t) ( t) 5( t 4 t 5t k (t) ) k es unción par e) F( ) F( ) ( ) ( ) F ( ) F() ( F ( ) ) F() F no es unción par ni impar

29 9 OBSERVACIÓN: Si es una unción deinida por una rela, podemos obtener uno de los siuientes tres resultados al sustituir por en la unción : ) ( ) ( ) es unción par ) ( ) ( ) es unción impar ) ( ) ( ) y ( ) ( ) no es unción par ni impar VI. FUNCIONES UNO A UNO Una unción es uno-a-uno (-), cuando a valores distintos en el dominio de la unción le corresponden valores distintos en el campo de valores de la unción. DEFINICIÓN: Una unción, cuyo dominio es D y su campo de valores es R, es una unción uno-a-uno si se cumple una de las siuientes condiciones equivalentes. Para todo a y b en D : i) si ( a) ( b) entonces a b. ii) si a b entonces ( a) ( b). Cuando la unción es -, no se repite el seundo elemento de los pares ordenados, en pares ordenados distintos. EJEMPLOS: ) Determina si la unción que aparece a continuación es -. RESPUESTA:,,,, 4,, 5, 4 5 Esta unción es -, porque no se repite el seundo elemento de los pares ordenados, en pares ordenados distintos.

30 0 ) Cuáles de las siuientes unciones son -? a) ( ) b) ( ) c) ( ) 4 SOLUCIÓN: a) Los siuientes pares ordenados, entre otros, pertenecen a la unción : (,) y (, ). no es una unción - b) La unción es la única que es -, porque no se repite el seundo elemento de los pares ordenados, en pares ordenados distintos. Para demostrar que esta unción es -, usaremos la deinición que aparece en la páina anterior. Suponer que ( a) ( b), donde a y b están en el dominio de. Tenemos entonces que, ( a) ( b) a b a b a b es una unción - c) Los siuientes pares ordenados, entre otros, pertenecen a la unción : (,4) y (,4). no es una unción - PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL Esta prueba se utiliza para determinar si la unción representada por una ráica, es una unción -. Esta es una prueba eométrica que consiste en trazar rectas orizontales que intersequen la ráica de la unción. La unción es - cuando cada una de estas rectas orizontales interseca la ráica de la unción una sola vez. EJEMPLO: Determina cuáles de las siuientes ráicas representan unciones -: ) )

31 CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO ANTERIOR: ) 4) RESPUESTA: La ráica y la ráica 4 representan unciones -. EJERCICIOS DE PRÁCTICA II: ) La ráica de la unción aparece a continuación. a) Halla: ) Dominio 9) Intervalos donde es: ) Campo de Valores a) creciente ) (0) b) decreciente 4) () c) constante 5) ( ) 0) Valores de donde: 6) Interceptos en el eje de a) ( ) > 0 d) ( ) 0 7) Ceros de b) ( ) 0 e) ( ) 8) Intercepto en el eje de y c) ( ) < 0 b) Determina: ) el tipo de simetría que tiene esta ráica ) si es unción par, impar o ninuna de las dos ) si es una unción uno-a-uno

32 CONTINUACIÓN DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA II: ) Usando la prueba alebraica determina si las siuientes unciones son pares, impares o ninuna de las dos: a) ( ) 6 d) H ( ) 9 b) ( ) e) c) F( t) t t r ( a) a ) Halla el intercepto en y el intercepto en y de las siuientes unciones: a) ( ) 4 0 d) ( ) 9 b) () 5 e) n ( ) 5 6 c) ( ) 4 OPERACIONES CON FUNCIONES I. ÁLGEBRA DE FUNCIONES DEFINICIÓN: Sea D la intersección del dominio de y el dominio de. Sea un elemento de D. Entonces: a) ( )( ) ( ) ( ) b) ( )( ) ( ) ( ) c) ( )( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ), ( ) 0 ( ) NOTACIÓN: D : dominio de la unción D : dominio de la unción D : dominio de la unción D : dominio de la unción DOMINIO El dominio de las unciones, y es la intersección del dominio de y el dominio de. Recuerda que la intersección entre dos conjuntos es el conjunto ormado por los elementos en común de ambos conjuntos. El dominio de la unción es la intersección del dominio de y el dominio de, tal que ( ) 0.

33 EJEMPLO: ) Sea ( ) y ( ). Halla: a) ( )( ) ) ( )( ) b) ( )( ) ) ( )( ) c) ( )() ) ( ) d) () i) ( ) e) ( )() j) el dominio de,, y SOLUCIÓN: ( ), ( ) a) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) b) ( )( ) ( ) ( ) 4 c) () () 7, ( ) () 9 ( )() ( )() ( ) () 7(9)5 d) () ( ) () 7 9 e) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) ( ) ( )

34 4 i) ( ) ( ) ( ) j) dominio de,, y D R D R D D R D D D D D R Para allar el dominio de, ay que allar los valores de donde ( ) 0. ( ) 0 0 D { : D D y ( ) 0} : II. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Suponer que tenemos estas unciones: ( ) y ( ). Entonces: ( ) ( ()) ó 8 9. El proceso anterior se puede eneralizar de la siuiente manera: ( ) ( ( )), donde D y ( ) D. Seún se observa, se aplica primero la unción y obtenemos (). A () le aplicamos la unción y obtenemos ( ( )). Lo antes descrito se conoce como la composición de las unciones y. DEFINICIÓN: Sean y dos unciones tal que D y ( ) D. La composición de las unciones y, denotada por, se deine como: ( )( ) ( ( )). Veamos cómo se deinen las siuientes composiciones de unciones: a) ( )( ) ( ( )), donde D y ( ) D b) ( )( ) ( ( )), donde D y ( ) D c) ( )( ) ( ( )), donde D y ( ) D

35 EJEMPLO: 5 ) Sea ( ) y ( ). Halla: a) ( )(9) b) ( )(9) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ( )( ) ) ( )() SOLUCIÓN: a) ( )(9) ( (9)) ( 9) 9 () () 0 b) ( )(9) ( (9)) (9) (9) 8 (8) 8 OBSERVACIÓN: ( )(9) ( )(9) El resultado anterior nos indica que la composición de unciones no es conmutativa. ( )( ) ( )( ), donde se cumple con los dominios establecidos en la deinición c) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) () () 5 d) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) e) ( )( ) ( ( )) ( ) ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) 4 ( ) 4

36 6 DOMINIO DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES NOTACIÓN: D : dominio de la unción D : dominio de la unción El dominio de está compuesto por todos los valores de en el dominio de, tal que () está en el dominio de. Otra orma de eplicar el dominio de es diciendo que son todos los valores de en el dominio de, para los cuales está deinida. EJEMPLOS: ) Para las unciones del ejemplo anterior, alla: a) el dominio de b) el dominio de SOLUCIÓN: ( ), ( ) a) ) Hallar el dominio de. ( Esto es, allar el dominio de la primera unción que se aplica en la composición que estamos trabajando.) ( ) 0 D [ 0, ) ) Hallar. Habíamos obtenido: ( )( ). ) Determinar si está deinida en el dominio de. Observamos que sí lo está. En este ejemplo, D D [ 0, ). b) D R Habíamos obtenido: ( )( ). Observa que R. está deinida para todo número real, ya que 0 para todo En este ejemplo, D D R.

37 7 ) Sea ( ) y a) ( )( ) b) ( )( ) ( ). Halla: c) D d) D SOLUCIÓN: a) ( )( ) ( ( )) b) ( )( ) ( ( )) c) Hallamos primero el D. 0 D { : } Observa que está deinida para toda D. En este ejemplo, D D { : }. d) Hallamos primero el D. 0 D { : 0} Observa que no está deinida para : 0 ó Al dominio de le añadimos esta restricción. D { : 0, } OBSERVACIÓN: El dominio de una composición de unciones no siempre es el dominio de la primera unción que se aplica. Esto se observa en la parte d) del ejemplo anterior.

38 EJERCICIOS DE PRÁCTICA III: 8 ) Sea ( ) 4 y ( ). Halla: a) ( )() ) ( )( ) b) ( )( ) ) ( )( ) ) ( ) c) ( )() d) e) ( )( ) i) el dominio de,, y ) Sea ( ) y ( ). Halla: a) ( )( ) e) ( )( ) b) ( )(4) ) el dominio de c) ( )() ) el dominio de d) ( )( ) EJERCICIOS ADICIONALES: ) Cuáles de las siuientes relaciones representan unciones? a) {(7,8),(8,9),(4,5),(7,)} b) {(,0),(4,0),(5,0),(, )} 4 c) {(, y) : y } d) k {(, y) : y } ) Cuáles de las siuientes correspondencias representan unciones? a) b)

39 CONTINUACIÓN DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES: 9 ) Cuáles de las siuientes ráicas representan unciones? a) b) 4) Si ( ), alla: a) el dominio de b) ( ) c) ( 5a) d) ( ) ( ) ( ) e), 0 5) Halla el dominio de las siuientes unciones: 5 4 a) ( ) b) ( ) t c) ( t) t d) k( ) 5

40 40 CONTINUACIÓN DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES: 6) La ráica de la unción aparece a continuación. Halla: a) dominio i) intervalos donde es: b) campo de valores ) creciente c) (0) ) decreciente d) ( ) ) constante e) interceptos en el eje de j) valores de donde: ) intercepto en el eje de y ) ( ) ) ceros de ) ( ) < 0 ) simetría de la ráica ) ( ) 0 7) Determina si la unción representada por la ráica del problema anterior es: a) una unción uno-a-uno. b) una unción par, impar o ninuna de las dos. 8) Usando la prueba alebraica, determina cuáles de las siuientes unciones son pares, impares o ninuna de las dos: 4 a) ( ) 5 b) ( ) c) ( a) a a d) n ( ) 4 e) ( )

41 4 CONTINUACIÓN DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES: 9) Halla los interceptos en y el intercepto en y para las siuientes unciones: a) ( ) b) ( ) 4 c) F ( ) 6 d) m ( ) 5 4 e) k ( ) 5 0) Si ( ) y ( ), alla: a) ( )(6) ) el dominio de b) ( )() ) el dominio de i) ( )() d) ( )( ) j) ( )( ) c) ( ) k) ( )( ) ) el dominio de l) el dominio de e) ( )

42 POS PRUEBA 4 ) Cuáles de las siuientes relaciones representan unciones? a) {(,4),(,6),(4,8),(5,0)} b) {(,),(,),(,4 )} c) F {(, y) : y 4} d) G {(, y) / ( y ) 0} ) Cuáles de las siuientes ráicas representan unciones? ) Cuáles de las siuientes correspondencias representan unciones? a) b)

43 4 CONTINUACIÓN DE LA POS PRUEBA: 4) Sea ( ). Halla: a) el dominio de b) ( ) c) 4 d) ( a b) ( ) ( ) e), 0 5) Halla el dominio de las siuientes unciones: a) ( ) 4 b) ( ) 5 t c) ( t) t 5 5 d) F ( a) 6 a 4 a 6) Usando la ráica de la unción que aparece a continución,alla: a) dominio i) intervalos donde es: b) campo de valores ) creciente c) (0) ) decreciente d) ( ) ) constante e) interceptos en el eje de j) valores de donde: ) intercepto en el eje de y ) ( ) ) ceros de ) ( ) < 0 ) simetría de la ráica (si la tiene) ) ( ) 0

44 CONTINUACIÓN DE LA POS PRUEBA: 44 7) Cuáles de las ráicas que representan unciones en el ejercicio, son unciones uno-a-uno? 8) Cuáles de las ráicas del ejercicio tienen simetría con respecto: a) al eje de y b) al orien 9) Usando la prueba alebraica, determina cuáles de las siuientes unciones son pares, impares o ninuna de las dos: a) ( ) 6 b) ( ) c) k( t) t d) n ( ) 8 4 t 0) Halla los interceptos en y el intercepto en y para las siuientes unciones: a) ( ) 7 b) ( ) 4 c) ( ) 9 d) F() 7 4 e) G ( ) ) Si () y ( ), alla: a) ( )() b) ( )() c) ( )( ) d) () e) () ) el dominio de la unción ) el dominio de la unción ) el dominio de la unción ) Si ( ) y ( ), alla: a) ( )() d) ( )( ) b) ( )( ) e) el dominio de la unción c) ( )( )

45 RESPUESTAS 45 RESPUESTAS DE LA PRE PRUEBA : ) a, c ) a, b, c ) a 4) a) R b) c) 8 7 d) a b 4ab a b e) 4 5) a)r b),5 ( 5, ) c) { : t ± 5} t d) [0, ) 6) a) [ 4,4] b) [,] c) 0 d) e) (± 4,0); (0,0) ) (0,0) ) ± 4, 0 ) orien i) ) (,) ) ( 4, ); (,4) ) (, ); (, ) j) ) [,] ) ( 4,0) ) [0,4] 7) b 8) a) a,c,d b) d 9) a) par b) impar c) ninuna d) ninuna 0) I - intercepto en I y - intercepto en y a) I,0 I y (0,) 7 b) I - no tiene I y (0,4) c) I (±,0) I y ( 0, 9) d) I :,0, (4,0) I y ( 0, 4) e) I - no tiene I (0,) y ) a) 5 b) 7 c) 5 d) 5 e) 5 ) { : } ) { : } ) :, ) a) b) 6 c) d) e) [0, )

46 46 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA I: ) b,c ) a D { A, B, C, F} CV {,,4,0} ) a, d 7 4) a) 5 b) ) 47 ) 4 c) 0 n d) 4 4 e) 4 )R i) 7 a j) 6 k) 6 l) R 7 5) a), 5 b) [0, ) c) (,4) d)r e) [,0) (0, ) ) R {±} RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA II: ) a) )R ) [0, ) ) 4 4) 5) 0 6) ( ±,0) 7) ± 8) (0,4) 9) a) (,0) ; (, ) b) (, ) ; (0,) c) { } 0) a) (, ) (,) (, ) b)r c) { } d) ± e) ± b) ) simetría con respecto al eje de y ) unción par ) no es unción - ) a) par b) impar c) ninuna d) par e) ninuna ) I intercepto en el eje de a) I ( 5,0) ; I y (0, 0) d) I no tiene ; y (0,9) I y intercepto en el eje de y I I y (0,0 c) I ( ±,0) ; I y (0, 4) I :(,0, (,0) ; I y (0,6) b) ) I e) ) RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA III: ) a) 4 b) c) 48 d) ) ) ) a) b) 5 4 c) d) ) { : } ) { : 0} 6 e) ) 5 i) D D D R ; D { : 0, ± } e)

47 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES: 47 ) b, d ) a ) a 4) a)r b) c) 5a 0a d) e) 5) a)r b) (, ) c) t : t d) { : 0} 6) a)r b) (,] c) d) 0 e) ( ±,0) ) (0,) ) ± ) eje de y i) ) (,0) ) ( 0, ) ) ninuno j) ) 0 ) (, ) (, ) ) [,] 7) a) no es una unción uno-a-uno b) par 8) a) par b) impar c) par d) ninuna e) par 9) a) I, 0 I y ( 0, ) b) I (±,0) I y ( 0, 4) c) I - no tiene I (0,6) d) I : (,0),( 4,0) I (0,4) y y e) I 5 ±,0 6 I y (0,) 0) a) 5 9 b) 0 c) 5 d) e) ) [, ) ) [, ) ) (, ) i) j) k) l) [, )

48 RESPUESTAS DE LA POS PRUEBA: 48 ) a, c ) a, b, c ) a 4) a) R b) c) 8 7 d) a b 4ab a b e) 4 5) a)r b),5 ( 5, ) c) { : t ± 5} t d) [0, ) 6) a) [ 4,4] b) [,] c) 0 d) e) (± 4,0); (0,0) ) (0,0) ) ± 4, 0 ) orien i) ) (,) ) ( 4, ); (,4) ) (, ); (, ) j) ) [,] ) ( 4,0) ) [0,4] 7) b 8) a) a,c,d b) d 9) a) par b) impar c) ninuna d) ninuna 0) I - intercepto en a) I,0 7 b) c) (±,0) I y - intercepto en y I y (0,) I - no tiene I y (0,4) I I y ( 0, 9) d) I :,0, (4,0) I y ( 0, 4) e) I - no tiene I y (0,) 7 5 ) a) 5 b) c) d) 5 e) ) { : } ) { : } ) :, 5 ) a) b) 6 c) d) e) [0, )