Funciones polinómicas

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Blanca Murillo Tebar
hace 7 años
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1 Funciones polinómicas Footer Text 4/23/2015 1

2 Funciones Polinómicas La ecuación general de una función polinómica de grado n con coeficientes reales está dada por f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0, a n 0. Los casos n = 0, 1, y 2 ya se han discustido:

3 Teorema del Valor Intermedio Las funciones polinómicas son contínuas. Si f es una función polinómica y si para a < b, f(a) f(b), entonces f(x) existe para cada valor en [a,b]. Las gráficas de las funciones polinómicas son curvas suaves, sin huecos ni filos.

4 Teorema del Valor Intermedio Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos un valor x= c entre a y b tal que f(c) = 0. los ceros reales de f(x) son interceptos en x; la función cambia de signo

5 Usando el teorema de valor intermedio Mostrar que f(x) tiene un cero en [1,3]: Si f tiene un cero en [1,3], entonces f(1) y f(3) tendrán signos diferentes. f(1) = = - 6 f(3) = = 20 Como f(1) y f(3) tienen signos opuestos, concluímos que f(x) = 0 para algún valor de x en [1,3].

6 Características de polinomios de grado 3; grado impar a > 0 a < 0 puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento; son A LO MAS n 1, donde n es el grado del polinomio. interceptos en x: son A LO MAS n, donde n es el grado del polinomio.

7 Gráficas de polinomios de grado > 2 Trace la gráfica del polinomio: f f f ( x) x 7x 10x ( x) x( x ( x) x( x 5)( x 2) Esta es la factorización final del polinomio. Los interceptos en x de la gráfica de f(x) son: (0,0) El intercepto en y es: f(0) = 0, el punto (0,0). 3 Factorizamos el polinomio para hallar los interceptos en x. 2 (5,0) 2 7x y 10) (2,0)

8 Ejemplo (cont.) Como a>0, f(x) es creciente en los extremos signo f(x) en (0,2) f(1)= 4 f(x) > 0 en (0,2) signo f(x) en (2,5) f(3)= -6 f(x) < 0 en (2, 5) f(4)= -8 f f ( x) x 7x 10x ( x) x( x 5)( x 2) 3 2

9 Características de polinomios de grado 2; grado par puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento; son A LO MAS n 1, donde n es el grado del polinomio. interceptos en x: son A LO MAS n, donde n es el grado del polinomio. comportamiento en los extremos: Si a>0, la gráfica es decreciente en el extremo izquierdo y creciente en otro. Si a <0, la gráfica es creciente en el extremo izquierdo y decreciente en otro.

10 Trace la gráfica del polinomio: g x = (x + 1)(x 1)(x + 3)(x 2) Qué sabemos? grado: número de interceptos en x: número de puntos de retorno: a = La ecuación está en su forma factorizada Los ceros son: Los interceptos en x son: El intercepto en y es:

11 Trace la gráfica del polinomio: g x = (x + 1)(x 1)(x + 3)(x 2) Evaluar para x en - 3<x<-1 evaluar para algún valor de x en -1<x<1 evaluar para algún valor de x en 1<x< 2 Usar toda la información para crear una curva suave que une los puntos.

12 Multiplicidad (cont) Si c es un cero real multiplicidad m, entonces o uno de los factores de f(x) es (x c) m y o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c. La gráfica de f tiene el siguiente comportamiento cerca de (c, 0) :

13 Multiplicidad (cont)

14 Hallar una posible ecuación para la gráfica si f tiene 3 ceros de multiplicidad 1 y un cero de multiplicidad 2 Qué sabemos? grado es signo del coeficiente principal es extremos Los interceptos en x son El intercepto en y es

División Sintética Dividir un polinomio entre x c se puede realizar mediante división larga o mediante un algoritmo conocido como división sintética.

15 División Sintética Dividir un polinomio entre x c se puede realizar mediante división larga o mediante un algoritmo conocido como división sintética. Para dividir a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0, entre x c utilizando división sintética, trabajamos únicamente con los coeficientes del polinomio como se muestra: Colocar «0» cuando falta alguna potencia de x

16 División Sintética: dividir entre x - c Ejemplo: Dividir f(x) = 2x 2 5x 1 entre x 3 Coeficientes de f(x) c 3 Se opera: se suma se multiplica por c r Hemos obtenido que: 2x 2 5x 1 = (2x + 1 ) (x 3) + 2

17 División Sintética: dividir entre x - c Ejemplo: Dividir P(x) = 2x 3 7x 2 4x + 14 entre x + 2 Coeficientes de P c 2 Se opera: se suma r se multiplica por c Hemos obtenido que: 2x 3 7x 2 4x + 14 = (2x 2 11x +18) (x + 2) + (-22)

18 División Sintética para factorizar Ejemplo: Factorizar f(x) = x 4 + 3x 3 x 2 3x

19 Teoremas Los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente teorema. Como consecuencia de este teorema tenemos:

20 Teorema del Factor Demostrar que x 2 es un factor de f(x)= x 3-4x 2 + 3x + 2

Ceros Racionales Las posibilidades para los ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros se limitan mediante el siguientes teorema: Sea f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0, con

21 Ceros Racionales Las posibilidades para los ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros se limitan mediante el siguientes teorema: Sea f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0, con coeficientes enteros. Si c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no tienen ningún factor primo común entonces o c es un factor del término constante a 0 o d es un factor del coeficiente principal a n

22 Ceros racionales El siguiente cociente nos ayuda a enumerar los posibles candidatos: Posibles ceros racionales = factores de a 0 factores de a n Ejemplo: Hallar los posibles ceros racionales de f(x) = x 3 4x 2 factores de a o : 2, 1 factores de a n : 1 posibles ceros: 2 1, 1 1 esto es, 2, 1

23 Ejemplo Ejemplo: Demostrar que f(x) = x 3 4x 2 NO tiene ceros racionales Determinamos en el ejemplo anterior que los posibles ceros son:, 2, 1. Si ninguno de los candidatos es un cero, el polinomio NO tiene ceros racionales. f(x) NO tiene ceros racionales.

24 Teorema del Factor Ejemplo: Hallar un polinomio, f(x), de grado 3 cuyos ceros son 2, -1 y 3 y que cumple la condición que f(1)=8. Por el teorema del factor, f(x), tiene factores x 2, x + 1, y x 3. Por lo tanto,f(x) = a(x 2)(x + 1)(x 3). Utilizando el hecho de que f(1)=8, sustituimos 8 = a(1 2)(1 + 1)(1 3) que simplificando para a nos da 8 = 4a o sea que a = 2 y f(x) = 2(x 2)(x + 1)(x 3).

25 Ejemplo Hallar los ceros racionales de la función f(x) = 3x x x 2 8x 8 utilizando división sintética. Primero hallamos los candidatos a ceros racionales: Posibles ceros racionales = factores de a 0 factores de a n

26 Example (cont d)

27 Tres aseveraciones equivalentes Las siguientes aseveraciones son equivalentes para una función polinómica f : o El punto (a, b) está en la gráfica de f. o El valor de f en x = a es b ; o sea, f(a) = b. o Si se divide f(x) entre x a, el residuo de la división es b.

28 Cuatro aseveraciones equivalentes Además, si b = 0, entonces las siguientes aseveraciones son equivalentes: o El número a es un cero de la función f. o El punto (a, 0) está en la gráfica de f ; esto es, a es un intercepto en x. o El número a es una solución de la ecuación f(x) = 0. o El binomio x a es un factor del polinomio f(x).

29 Ejemplos adicionales Footer Text 4/23/

30 Trace la gráfica de Qué sabemos? grado: impar; n = 5 factoriza: número de ceros en x: 3 (x = 0, x=-3, x=-2) número de puntos de retorno: retorno, a lo más 4 a= -1; gráfica sube en el extremo izquierdo y baja en el extremo derecho Los interceptos en x son: {(0,0), (-3,0), (-2,0)} El intercepto en y es: (0,0).

31 Trace la gráfica de grado 5; tiene 3 ceros o interceptos en x a = -1 < 0 extremo izquierdo: gráfica sube extremos derecho: gráfica baja signo f(x) para -3<x<-2 : evaluar f(-2.5) signo f(x) para -2<x<0: evaluar f(-1.5) o f(-0.5)

32 División Larga Si f(x) y g(x) son dos polinomios y g(x) es un factor de f(x), entonces f(x) es divisible entre g(x) o g(x) divide a f(x). Por ejemplo, x 4 16 es divisible entre o x 2 + 4, o x + 2, y o x 2 o por que x 4 16 = x x 2 4 = x (x + 2) x 2

33 División Larga Podemos usar división larga para hallar el cociente y el residuo como de dos polinomios. El proceso de división larga termina cuando el residuo o es igual a 0 o o tiene un grado menor que el grado del divisor Si durante el proceso de división larga llegamos a 0, el cociente y el divisor son factores del dividendo.

34 Dividir: (2x 2 5x 1) (x 3) El resultado anterior se puede escribir 2x 2 5x 1 x 3 = 2x + 1 x x 3 Multiplicando en ambos lados por x 3 nos da 2x 2 5x 1 = 2x + 1 x 3 + 2

35 Dividir: (x 4 16) (x 2 + 3x + 1)

36 División Larga

37 División Larga El resultado anterior se puede escribir 4 x x 3x 1 x 3x 1 x x x Multiplicando en ambos lados por x 2 + 3x + 1 nos da x x x x x x

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