TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMAS DE MATEMÁTICAS Oposcoes de Secudr TEMA 7 DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS. TEOREMA DE TAYLOR APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES.. Iroduccó.. Polomo de Tylor de grdo... Polomos de Tylor de lgus ucoes elemeles... Propeddes del polomo de Tylor... Teorem de Tylor.. Desrrollo de u ucó e sere de Poecs.. Aplccoes l esudo Locl de ucoes... Eremos relvos. Curvur... Cálculo de límes... Apromcoes umércs. 5. Bblogrí Básc. /6

2 TEMA 7 DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS. TEOREMA DE TAYLOR APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES.. INTRODUCCIÓN. Los memácos cosder como ucoes elemeles, ere ors, los polomos, e, log, se y cos, ls cules hemos descro e ems erores. Pero de ods ells, solo los polomos puede clculrse de orm secll pr culquer vlor de l vrble depedee. Eso es debdo que s p es u polomo, eoces p Recordemos que l ucó e se clcul como vers de log. Y es úlm vee ded por log d Tmbé eemos que l ucó cos se dee como u úmero y l que Y cos A y [,π] Y como l ucó Ay es A y y y d y edremos que y y y d OBS Ommos como eede l ucó cos de [,π]. Y recordemos que l decó de l ucó se es se cos E ese em vmos rr de promr ess ucoes elemeles, y e geerl ods quells que cumpl us deermds codcoes, por ucoes polómcs e ls promddes de u puo. /6

3 . POLINOMIO DE TAYLOR DE GRADO N. Se u ucó dervble e hs el orde clusve. Vmos ecorr u polomo de grdo o superor, P, cuyo vlor cocd co el vlor de e y los vlores de sus dervds mbé cocd, e, co ls dervds de hs el orde -ésmo. Eoces eemos que P P P. P Escrbmos el polomo e orm de poecs de : P o.. Los coecees de P los clculmos eedo e cue ls codcoes. Prmero vemos el vlor de P y sus dervds e P o P P P... P Y plcdo ls codcoes obeemos,,,, L, o El polomo P qued como P L DEF P Llmmos Polomo de Tylor de grdo pr e l polomo OBS Sedo rguroso, edrímos que hber deodo l polomo como P,,, uque os coormremos co P,. /6

4 .. Polomos de Tylor de lgus ucoes elemeles. E geerl, ls ucoes elemeles ee polomos de Tylor bse secllos, uque los coecees prezc depeder de l ucó de orm complcd. Se, e prmer lugr, se. se cos - se - cos - A prr de IV ls dervds se repe co u cclo de. Los coecees om vlores,,,,,,,,,, Y el polomo de Tylor de grdo pr se e es P, Pr o reerros, repedo los cálculos de mer álog pr cos e, obeemos que el polomo de Tylor de grdo de cos es es P, El polomo de Tylor de l ucó log o puede clculrse e y que es u puo que o pereece l domo. Tomremos. log /6

5 Y e geerl, como eemos que Sedo el polomo de Tylor P,... es S ommos l ucó log s se puede clculr su polomo e y P..., L vers de l ucó logrmo, e, ee u epresó pr el polomo de Tylor e muy secll, debdo que y eoces e e P,... Pero o ods ls ucoes elemeles ee polomos de Tylor secllos. Nos podemos ecorr co ors ucoes cuys dervds se complcds o se vy complcdo coorme umemos el orde. Por ejemplo, l ucó rcg, que ee por dervds rcg rcg rcg rcg rcg rcg Y coorme umemos el orde, ms complcd es l dervd... Propeddes del polomo de Tylor. De momeo eemos dedo el polomo de Tylor de e de grdo como quel que ee ls prmer dervds cocdees e co, demás de P. Es relcó ere el polomo y, veremos que es mucho ms proud de lo que prece. 5/6

6 Pr empezr, se P, el polomo de Tylor de e de grdo. Eoces P, A prr de es epresó, cmbádol de sgo y sumdo y después dvdedo por llegmos P, Y como sbemos que l decó de dervd e u puo es lm obeemos como coclusó que lm P, De es epresó deducmos que l dsc ere y P, o solo se hce pequeñ cudo so que cluso es más pequeñ comprádol co l dsc ere y. Geerlcemos ese resuldo que hemos obedo pr culquer vlor del grdo del polomo. TEOREMA Se u ucó veces dervble e y se P, el polomo dedo como P, co Eoces lm P, Dem. S desrrollmos el cocee eemos P, Demos ls ucoes 6/6

7 Q y g Co ess ucoes, eemos que demosrr lm Q g S os jmos e l decó de Q, vemos que Y l ucó g verc Q g Por o, eemos que se verc lm Q Q k lm Q Q M lm y mbé lm g Q Q lm g... lm g Eoces, el líme clculr es u deermcó de l orm resolveremos plcdo l regl de L Hôpl, hs u ol de veces., que lm Q g lm Q g... lm Q g Sbemos que Q - - y que g -. Susuyedo lm lm c.q.d. 7/6

8 L ess del eorem eror os perme dr l sguee decó: DEF Dos ucoes y g se dce que so gules hs el orde e s lm g Segú es decó, el eorem dce que el polomo de Tylor de de grdo e, P,, y so gules hs el orde e. Podrímos dr u decó lerv pr el polomo de Tylor, como quel polomo de grdo que cumpl ls propedd eror, que sbemos que es úco. L proposcó sguee os demuesr l ucdd. PROP Se P y Q dos polomos e, de grdo, y supogmos que P y Q so gules hs el orde e. Eoces P Q. Dem. Demos el polomo R P Q. R es u polomo de grdo : R S demosrmos que R verc r lm R eoces R. L hpóess pr R os grz que se verc lm R Pr l codcó es lm R y como lm R lm r r o 8/6

9 eoces r o y r r Pr lm R y el cocee R sedo r r r... r lm R r Por o r Reerdo el proceso obedremos y por o R. r o r r r COROLARIO Se u ucó dervble veces e y se P u polomo e de grdo, que y P so gules hs el orde e. Eoces P P,. Dem. Imed. S ee dervds e, el corolro eror os muesr u méodo pr hllr el polomo de Tylor. Ulcémoslo hor pr hllr el polomo de Tylor de l ucó rcg que dejmos pedee. Sbemos que l ucó rcg se puede epresr por medo de l ecucó rcg d S relzmos l dvsó que dc el cocee: 9/6

10 / y eoces d d rcg d Aplcdo el corolro eror, el polomo que cbmos de obeer es el polomo de Tylor de grdo e pr rcg sempre que se verque. d lm Y l epresó eror es cer s eemos e cue que: d d.. Teorem de Tylor. Volvedo l epresó obed pr l ucó rcg d rcg y recorddo l cocó obed pr el úlmo sumdo dr podemos rmr que s eoces el úlmo sumdo ee u vlor mámo de, pudédose hcer pequeño como se quer sólo umedo. Es decr, podemos usr el polomo de Tylor pr clculr el vlor de l ucó rcg co co promcó como quermos. Los eorems de Tylor perme eeder el resuldo obedo ors ucoes.

11 Los resuldos obedos e el puo eror h emdo el compormeo del polomo de Tylor P, pr jo, cudo ede hc. A prr de hor dejremos jo y vrremos el vlor de. DEF Llmremos reso del polomo de Tylor P, de l ucó l ucó R, que verc P R,, E el cso de l ucó rcg hemos vso que R, d Serí deseble obeer u epresó pr R, que os permer esmr áclmee su mgud. Vmos ver que dch epresó ese y que ecerr u egrl, como e el cso de l rcg. Vmos obeer dch epresó de dos orms derees. L segud de ells recbrá el ombre de Teorem de Tylor, y l prmer que vmos ver es l cosrucv. Pr eemos que R, y por el eorem udmel del cálculo esml podemos decr o d co lo que, R d Pr obeer R, prremos de l órmul eror plcdo egrcó por pres: R, d u u d dv d v Escrbmos v y que - es u cose l ser jo. [ ] d d /6

12 Susuyedo R d, por lo o R d, S repemos el proceso pr R, omdo u v d u d v obeemos R sedo, R, d Reerdo el proceso veces llegmos que s es cou [, ] eoces d R, El eorem de Tylor es l segud orm de obeer u epresó pr el reso que vmos ver. Tee como vej que o ege como hpóess que se cou. d TEOREMA Teorem de Tylor. Se u ucó co dervds hs el orde e [, ] y R, dedo como... R, Eoces R, pr lgú, /6

13 /6, R pr lgú, S es egrble sobre [, ] eoces d R, Dem. Se u º jo. Eoces [ ], [ ] S,... Dervemos l epresó eror como ucó de. El prmer membro: d d y cd sumdo ee por dervd d d Susuyedo edremos... S Teedo e cue que se ccel cs odos los sumdo, os qued S Aplcdo el eorem de Vlor Medo de l ucó S sobre [, ] ese u, l que

14 /6 S S S por lo que S S S recordmos que, R S eemos que,, R S R S Por o, susuyedo R, y despejdo, R que llmremos orm de Cuchy del reso. Aplcdo el eorem del vlor medo de Cuchy S y g ese lgú, l que S g g g S S Susuyedo g g g - obeemos, R que es l orm de Lgrge del Reso. S es egrble sobre [, ] plcdo el eorem udmel del cálculo egrl

15 S S S y susuyedo S por su vlor S S d que os d R, d Como plccó del eorem eror, vmos escrbr de uevo el polomo de Tylor co el reso egrl pr ls sguees ucoes: se se d cos... cos d e... e d Ls egrles que hemos obedo so demsdo complcds como pr resolverls. Y más cudo sbemos que su vlor será el de l ucó meos el del polomo. Lo que sí es ácl de hcer, y lo dejmos como ejercco, es corls superormee.. DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS. DEF Llmremos sere de poec u sere de ucoes de l orm dode {,...,,...} o, so úmeros coses llmdos coecees de l sere. El domo de covergec de u sere de poecs es u cero ervlo que e lguos csos podrí reducrse u puo. TEOREMA. Teorem de Abel. S u sere de poecs coverge pr u cero vlor o o ulo, eoces coverge bsolumee, <. o 5/6

16 S l sere dverge pr cero vlor de o, eoces dverge > o. Dem. Por hpóess, l sere umérc coverge, su érmo geerl, cudo pero eso sgc que ese u úmero M posvo l que odos los érmos de l sere so meores e vlor bsoluo que M. Se l sere y cosderemos l sere de vlores bsoluos de sus érmos Los érmos de es sere so meores que los érmos correspodees l sere M M M M Cudo <, l sere es u progresó geomérc de rzó <, sedo por o covergee. Eoces l sere mbé es covergee, por ser meor que. Y de quí se deduce que l sere mbé es covergee bsolumee. Supogmos que l sere dverge e u cero puo. Eoces es sere mbé será dvergee pr culquer que verque > ', y que s l sere uese covergee pr ese vlor de, plcdo el prdo mbé serí covergee e, lo cul serí u cordccó. c.q.d. 6/6

17 El Teorem de Abel os perme deermr los puos o de covergec de l sere, como de dvergec. S l sere coverge e o, eoces odos los puos, so puos de covergec bsolu. Y álogmee, s o es u puo de dvergec, mbé lo o,. será odos Por o, eemos, o COROLARIO El domo de covergec de u sere de poecs es u ervlo co cero el orge de coordeds. DEF Llmremos rdo de covergec de u sere de poecs R, que verc que E, R l sere es covergee y [-R, R] l sere es dvergee. El cso de que R ó - R se resuelve de orm prculr pr cd ucó. Se u ucó dervble hs el orde e u eoro de. Eoces podemos escrbr que... S l ucó es de clse C e u eoro de ee s dervds, podemos omr rbrrmee grde e l órmul de Tylor. DEF Dd u ucó de clse C e u eoro del puo, llmremos desrrollo de e sere de Tylor l epresó o d S e l órmul de Tylor dejmos jo y ommos límes cudo ede o, l sere covergerá solo e el cso de que se verque que lm R., PROP S Dem. lm R, l sere de Tylor de es covergee pr ese. Se P R,, Dode P, es el polomo de Tylor de e de grdo y R, es el reso. Tomdo límes e mbos membros cudo ede o eemos lm P, 7/6

18 y que por hpóess lm R, Pero P, es l -ésm sum prcl de l sere de Tylor, por o su líme es gul l sum de l sere y se verc que OBS lm R Deducmos que l sere de Tylor represe l ucó solo cudo. S el líme o uese ulo, l sere o es l ucó dd,, depedeemee de que coverj o o. Como R, d e culquer ervlo e oro l puo e el que es cou, l codcó sucee de l proposcó eror podrí ser epresd como: PROP C E, r. Se A u cose que A E, r Eoces l sere de Tylor de e coverge hc E, r Dem. Como R, relzmos el cmbo de vrble u d du d queddo R, u u du y hor R, A A B u du sedo B A 8/6

19 L epresó B sbemos que verc B lm por lo que lm R E,, r Por el eorem eror, ls ucoes se y cos so desrrollbles e culquer puo e sere de poecs l sere sempre es covergee y que ods sus dervds esá cods por. Por lo que se cos E el cso de e, su dervd es ell msm y es u ucó o cod, pero e el ervlo [-R, R] esá cod por e R R, por lo que mbé podemos decr que e APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES... Eremos relvos. Curvur. Recordemos lgus plccoes de ls dervds, vss e el em eror. S es u puo del domo de l que eoces eí u mímo relvo e s > o u mámo relvo s <. E cso de que o podrímos deducr d. Se puede pler s e ese cso, el sgo de os por lgú do. O s uese cero, s el do lo por el sgo de IV. Vemos u eorem que os resuelve ese problem. TEOREMA Se u ucó que verc, pr u cero Dom.. - Se verc: S es pr y > eoces ee u mímo relvo e. S es pr y < eoces ee u mámo relvo e. 9/6

20 S es mpr, eoces o ee eremo relvo e. Dem. Mede Tylor podemos epresr como: ' " θ... pero por ls hpóess cles se ee que θ S es pr, se ee que ls epresoes - > y > que lo es smplemee por ser produco de úmeros urles. Como demás > y es cou δ > l que s: < δ > Así, s ä, ä > y θ> θ > s ä, ä por lo o, e hy u mímo relvo esrco. S es pr, se ee que - > y >. Como demás < y es cou δ > l que s: < δ < Así, s ä, ä < y θ< θ < s ä, ä por lo o, e hy u mámo relvo esrco. S es mpr, se ee que - > s > y - < s <. θ Como ee u sgo s < pero el corro s >, por lo o o hy gú eremo relvo e. Podemos decr que e ese cso eemos u puo de leó. /6

21 Vemos hor u eorem smlr, pero e lugr de hblr de eremos relvos, lo hremos co cocvdd. TEOREMA Se u ucó que verc, pr u cero Dom. - Se verc: S es mpr eoces ee u puo de leó e. S es pr y > es cove. S es pr y < es cócv. Dem. Aálog l eror... Cálculo de límes. U de ls plccoes más mpores del polomo de Tylor es su ulzcó l hor del cálculo de límes mede equvlecs ésmos equvlees. Nocó de Ldu R S lm eoces se epres dcedo que: R ; P, R ; y lm pero mbé lo podemos epresr como: dode o P, o es l llmd o pequeñ de l ocó de Ldu y represe los érmos del polomo que esá por derás del úlmo que hemos pueso, dcdo que ee e comú grdo y que s ede eoces odos rí sedo sí u ésmo represee del reso. Ejemplo de Equvlec. Ddo el desrrollo de McLur de l ucó se, eemos que: /6

22 5 7 se o se o 5 7 se 6 o Hcedo el líme cudo, eemos que: se 6 lm lm 6 o 5 7 se por lo o: lm co lo que, cudo l ucó se y l ucó g so equvlees y lo epresmos como: se ~ o Eso quere decr que s u líme, cudo prece l ucó se podemos susurl por. Pero eemos u slvedd pr eso y es cudo prezc se-, e cuyo cso, l equvlec se ~ o o es sucee y que o es lo sucee, es decr, se es equvlee e cero, pero o es gul, por eso cudo eemos se- debemos ñdrle u érmo más l equvlec de mer que és se más, es decr: se o se o 5 7 se o 8 se o 8 Hcedo el líme cudo : se lm lm o 8 por lo o so equvlees cudo, es decr: 7 7 /6

23 se ~ o o lo que es lo msmo se ~ o se Ejemplo de Límes: A lm Tomdo se ' " ' '' IV V 5 5 o 5 5 se o 5 5 se o se se o o se lm lm o por lo o, se ~ o y se ee que: se lm lm 6 cos B lm Tomdo cos ' " ' '' IV V VI 6 o 6 6 cos o 6 6 /6

24 6 cos o 6 6 cos o 6 6 cos o 6 cos o cos o cos lm lm o Por lo o: cos ~ o y se ee que: cos lm lm.. Apromcoes umércs. Or plccó mpore del polomo de Tylor es l de poder clculr vlores promdos de ucoes co u error meor que u vlor predeermdo. Por ejemplo: Clculr el vlor de log ' co u error meor de -. Tomremos pr ello l ucó log que l evluremos e y ulzremos como puo de reerec. log I /6

25 II III IV... Acoremos el reso de Lgrge pr loclzr el meor vlor de, pr el cul, el error comedo e l promcó será meor que -. R c c ' c ' < <c< <c< < ' E < - S E. -8 < - S E < - S E. -6 < - Eoces hremos l promcó cosruyedo el polomo de Tylor hs. ' " - - R log R log ' ' ' R log ' '98 5/6

26 r NOTA S os pde u error meor que es porque el error lo comeemos e l r-ésm cr decml, pero veces ese error ec l cr r-ésm, por eso cudo os pde que clculemos u vlor co r crs decmles ecs, debemos clculrlo co u error meor que r pr que el error esé e l cr decml r-ésm, y como mucho ece l cr decml r-ésm, queddo sí ls r crs prmers ecs. Bblogrí Recomedd. Aálss Memáco I. Au. J.A. Ferádez Vñ. Ed. Tecos Leccoes de Cálculo Iesml I. Au. R. Mol Legz, M. Frco. Ed. Uversdd de Murc. Prcpos de Aálss Memáco. Au. W. Rud. Ed. McGrw-Hll Curso de Aálss Memáco I. Au. E.L. Lu. Ed. Edus, 99. Clculus. Au. M. Spvk. Ed. Reveré. Aálss Memáco. Au. M. de Guzmá, B. Rubo. Ed. Prámde. Clculus. Au. Aposol. Ed. Reveré 6/6