Optimización de funciones

Transcripción

1 Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en el cul el conjunto D recibe el nombre de conjunto fctible y l función f el de función objetivo x 0 es un extremo bsoluto si: x D, f( x 0 ) f( x) (máximo) ó f( x 0 ) f( x) (mínimo). x 0 es un extremo reltivo si existe un entorno de x 0, U( x 0 ) tl que: x U( x 0 ) D, f( x 0 ) f( x) (máximo) ó f( x 0 ) f( x) (mínimo). x 0 es un extremo (bsoluto - reltivo) estricto si ls desigulddes son estricts pr x x 0. Definición Se f : D R n R, diferencible en x 0 D x 0 es un punto crítico o estcionrio de f si f( x 0 ) = 0. x 0 es un punto de sill de f si es un punto crítico y si existe U( x 0 ) D tl que x 1, x U( x 0 ) : f( x 1 ) > f( x 0 ) y f( x ) < f( x 0 ). 63

2 Curso 014/015 Mtemátics (Grdo en Químic) Proposición (Condición necesri de extremo reltivo). Se f : D R n R, diferencible en x 0 D. Si x 0 es un extremo reltivo de f, entonces x 0 es un punto crítico de f. Un extremo reltivo siempre es un punto crítico, pero no todo punto crítico es un extremo reltivo (tmbién puede ser punto de sill) Proposición (Condición suficiente de extremo reltivo). Se f : D R n R, dos veces diferencible en un punto crítico x 0 D y q(x 1,..., x n ) l form cudrátic socid l Hessino de f en x 0, es decir, q(x 1,, x n ) = (x 1,..., x n )Hf( x 0 ).. si q es definid positiv, x 0 es un mínimo reltivo estricto. si q es definid negtiv, x 0 es un máximo reltivo estricto. si q es indefinid, x 0 es un punto de sill. si q es semidefinid, no podemos segurr nd. x 1 x n 5.. Extremos bjo restricciones de iguldd (Multiplicdores de Lgrnge). Definición Sen f, g i : D R n R, x 0 D tl que g i ( x 0 ) = 0, (i = 1,, m < n) y el problem de optimizción: g 1 (x 1, x,, x n ) = 0 g (x 1, x,, x n ) = 0 mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D si. g m (x 1, x,, x n ) = 0 en el cul ls restricciones g i ( x) = 0, (i = 1,, m < n) reciben el nombre de ecuciones de ligdur, el conjunto D = { x D : g i ( x) = 0} recibe el de nombre de conjunto fctible y l función f el de función objetivo. 64

3 Grupos A y D Curso 014/015 x 0 es un extremo bsoluto condiciondo si: x D, f( x 0 ) f( x) (máximo) ó f( x 0 ) f( x) (mínimo). x 0 es un extremo reltivo condiciondo si existe U( x 0 ) tl que: x U( x 0 ) D, f( x 0 ) f( x) (máximo) ó f( x 0 ) f( x) (mínimo). x 0 es un extremo (bsoluto - reltivo) condiciondo estricto si ls desigulddes so estricts pr x x 0. Si de ls m restricciones es posible despejr m vribles en función de ls restntes, el problem de optimizción con restricciones se reduce uno de optimizr un función de n m vribles sin restricciones; sin embrgo, el dominio del nuevo problem no tiene porqué ser todo R n m. Por ejemplo, si el problem originl consiste en buscr los extremos de l función f(x, y) = x + y sobre l circunferenci x + y = 1, podemos despejr x = 1 y y trtr de buscr los extremos de l función de 1 vrible F (y) = 1 y + y; pero el dominio donde hbrí que buscr los extremos serí el conjunto [ 1, 1], pues en l circunferenci originl, l vrible y sólo puede tomr vlores entre 1 y 1. Proposición 5... (Condición necesri de extremo reltivo condiciondo). Sen f, g i : D R n R funciones de clse C 1 en D y x 0 D tl que los vectores g 1 ( x 0 ), g ( x 0 ),, g m ( x 0 ) son linelmente independientes. Si x 0 es un extremo reltivo condiciondo, entonces existen λ 1, λ,, λ m R que reciben el nombre de multiplicdores de Lgrnge, tles que: f( x 0 ) = λ 1 g 1 ( x 0 ) + λ g ( x 0 ) + + λ m g m ( x 0 ) o, equivlentemente, tles que x 0 es un punto crítico de l función lgrngin socid: L(x 1, x,, x n ) = f(x 1, x,, x n ) λ 1 g 1 (x 1, x,, x n )... λ m g m (x 1, x,, x n ). Proposición (Condición suficiente de extremo reltivo condiciondo). Sen f, g i : D R n R de clse C en D y x 0 D un punto crítico de l función lgrngin socid l problem y q l form cudrátic socid l Hessino de L(x 1, x,, x n ) en x 0. Consideremos el subespcio vectoril T ( x 0 ) = { x R n : g j ( x 0 ) x = 0, j = 1,, m}. 65

4 Curso 014/015 Mtemátics (Grdo en Químic) Si q T ( x0) es definid positiv, x 0 es un mínimo reltivo condiciondo. Si q T ( x0) es definid negtiv, x 0 es un máximo reltivo condiciondo Ejercicios resueltos 1.- Clculr los máximos y mínimos de ls siguientes funciones: ) f(x, y) = x 4 px y + 3 SOLUCIÓN: Clculemos ls derivds prciles e igulemos 0 pr hllr los puntos críticos: f x = 4x3 4px = 4x(x f p); y = y. Está clro que f = 0 y = 0, pero pr l Prcil respecto de x hy que y tener en cuent el signo de p. Si p > 0, f x = 4x(x p) = 0 x = 0, ± p, y los puntos críticos son P 1 = (0, 0), P = ( p, 0) y P 3 = ( p, 0). Si p = 0, f x = 4x3 = 0 x = 0, y el único punto crítico es P 1 = (0, 0). Si p < 0, f x = 4x(x p) = 0 x = 0, y el único punto crítico es P 1 = (0, 0). Clculemos hor el Hessino pr estudir si los puntos obtenidos son máximos, mínimos o puntos de sill. f x = x (4x3 4px) = 1x f 4p x y = y (4x3 4px) = 0 f y x = x ( y) = 0 f y = ( y) = y 1x Por tnto el Hessino es H(x, y) = 4p 0 0. Estudiemos los puntos críticos según los vlores del prámetro p. p > 0: En este cso hy 3 puntos críticos. 66

5 Grupos A y D Curso 014/015 4p 0 H(0, 0) = 0 = 8p > 0, y D 1 = 4p < 0. Por tnto, el punto P 1 = (0, 0) es un Máximo Reltivo. H(± 8p 0 p, 0) = 0 = 16p < 0. Por lo tnto, los puntos P = ( p, 0) y P 3 = ( p, 0) son Puntos de Sill. p < 0: En este cso sólo el origen es punto crítico: 4p 0 H(0, 0) = = 8p < 0, luego es un Punto de Sill. 0 p = 0: En este cso sólo el origen es punto crítico, pero l clculr el Hessino, se observ que H(0, 0) = 0 y no obtenemos informción. En este cso prticulr, l función qued de l siguiente form: f(x, y) = x 4 y + 3 Pero podemos comprobr que en ls cercnís del origen hy puntos por encim y por debjo de f(0, 0): f(x, 0) = 3 + x 4 > 3 = f(0, 0) f(0, y) = 3 y < 3 = f(0, 0). Por lo tnto, P 1 = (0, 0) es un Punto de Sill. b) f(x, y) = x(e x e y ) SOLUCIÓN: Clculemos ls derivds prciles e igulemos 0 pr hllr los puntos críticos: f x = (ex e y ) + xe x = (x + 1)e x e y y f y = xey. Está clro que f = 0 x = 0, y si sustituimos en l prcil respecto de y x, obtenemos que (0 + 1)e 0 e y = 0 1 e y = 0 y = 0. Por lo tnto el único punto crítico es el origen P = (0, 0). Clculemos hor el Hessino pr estudir si los puntos obtenidos son máximos, mínimos o puntos de sill. f x = x ((x + 1)ex e y ) = e x + (x + 1)e x = (x + )e x f x y = y ((x + 1)ex e y ) = e y f y x = x ( xey ) = e y f y = y ( xey ) = xe y 67

6 Curso 014/015 Mtemátics (Grdo en Químic) (x + )e Por tnto el Hessino es H(x, y) = x e y e y xe y. 1 En prticulr, H(0, 0) = 1 0 = 1 > 0 y como D 1 = > 0, el punto es un Mínimo Reltivo..- Clculr los máximos y mínimos de ls siguientes funciones: ) f(x, y) = x 4 + y 4 + 4xy + 8 4, ( R). SOLUCIÓN En primer lugr, hllemos los puntos críticos, clculndo ls prciles e igulndo 0. x = 4y3 + 4y = 0 y = x 3 (1) y = 4x3 + 4x = 0 x = y 3 (). Está clro que el cso = 0 hbrá que estudirlo prte: Si = 0, entonces, el único punto crítico es P 0 = (0, 0) y l función es f(x, y) = x 4 + y 4. Pero en este cso, f(x, y) 0 = f(0, 0), luego el punto P 0 es un mínimo. Si 0, entonces podemos despejr y en (1): y = x3. Ahor sustituimos en () y obtenemos: x = x9 3 4 x = x 9 x 9 4 x = 0 x(x 8 4 ) = 0 x = 0 ó x 8 = 4 x = 0 ó x = ±. Es decir, Si > 0, tenemos x = 0, luego y = 03 = 0; x =, luego y = 3 = = ; x =, luego y = 3 = =. Por lo tnto, obtenemos 3 puntos: P 0 = (0, 0), P 1 = (, ), P = (, ). 68

7 Grupos A y D Curso 014/015 Si < 0, tenemos x = 0, luego y = 03 = 0; x =, luego y = 3 = = ; x =, luego y = 3 = ( ) =. Obtenemos 3 puntos: P 0 = (0, 0), P 1 = (, ), P = (, ). Pr ver qué tipo de puntos son, vmos clculr el Hessino: x = 1x x y = 4 1x y x = 4 Por lo tnto, H(x, y) = 4 y = 1y 4 1y Vemos, en cd cso, qué puntos obtenemos Si > 0, entonces 0 4 H(0, 0) = 4 0 = 4 < 0 Punto de Sill, pues l form cudrátic es indefinid.. H(, 1 4 ) = 4 1 = 18 > 0. Pero como D 1 = 1 > 0, l form cudrátic es definid positiv luego tenemos un mínimo. H(, 1 4 ) = 4 1 = 18 > 0 Pero como D 1 = 1 > 0, tenemos un mínimo. Si < 0, entonces 0 4 H(0, 0) = 4 0 = 4 < 0 Punto de Sill. H(, 1 4 ) = 4 1 = 18 > 0. Pero como D 1 = 1 > 0, tenemos un mínimo. H(, 1 4 ) = 4 1 = 18 > 0 Pero como D 1 = 1 > 0, tenemos un mínimo. b) z = xye x y. SOLUCIÓN: Clculemos ls prciles e igulemos 0. 69

8 Curso 014/015 Mtemátics (Grdo en Químic) z x = y(1 x )e x y = 0 (1). z y = x(1 y )e x y = 0 (). Grcis (1), tenemos opciones: O bien y = 0 o bien 1 x = 0. Si y = 0, entonces () result: xe x = 0 x = 0 y obtenemos el punto P 0 = (0, 0). Si 1 x = 0, es decir, x = ± 1, entonces () result ± 1 (1+y )e 1/ y = 0 1 y = 0 y = ± 1. Por tnto obtenemos 4 puntos: ( ( P 1 = 1 1, ), P = 1, 1 ), P 3 = ) ) ( 1 1,, P 4 = ( 1, 1. Pr sber qué tipo de puntos son los obtenidos, debemos clculr el Hessino. z x = xy(3 x )e x z x y = (1 x )(1 y )e x y z y z x y = (1 x )(1 y )e x y = xy(3 y )e x Por tnto: 0 1 H(0, 0) = = 1 < 0 Punto de Sill l ser l form cudrátic indefinid. ( ) e 1 0 H 1 1, = e 1 = 4e > 0 y y Pero como D 1 = e 1 < 0, tenemos un máximo, l ser l form cudrátic definid negtiv. ) H ( 1, 1 = e e 1 = 4e > 0 Pero como D 1 = e 1 < 0, tenemos un máximo. ) H ( 1 e 1, = e 1 = 4e > 0 Pero como D 1 = e 1 > 0, tenemos un mínimo, pues l form cudrátic es definid positiv. ( ) H 1, 1 e = e 1 = 4e > 0 Pero como D 1 = e 1 > 0, tenemos un mínimo. 70

9 Grupos A y D Curso 014/ Obtener los extremos de l función f(x, y) = x + y que se encuentren en l circunferenci x + y = 4 SOLUCIÓN En primer lugr considermos l función lgrngin socid l problem que viene dd por F (x, y, λ) = x + y λ(x + y 4). Obtenemos los puntos críticos: 1 λx 0 1 λx = 0 λ = 1 F (x, y, λ) = 1 λy = x 0 1 λy = 0 = x = y x y x + y = 4 λ = 1 y Entonces, x + x = 4 x = ±, y = ± λ = ± 4. Por tnto, los puntos críticos de l lgrngin son: P 1 (,, 4 ), P (,, 4 ). Pr clsificr los puntos se obtiene l mtriz hessin de l función lgrngin con respecto ls vribles principles del problem: H (x,y) L(x, y, λ) = λ 0 0 λ y se sustituyen los puntos críticos obtenidos nteriormente: H (x,y) L(,, 4 ) = 0 represent un form cudrátic definid 0 negtiv en R, por tnto será definid negtiv en culquier subespcio, en prticulr el subespcio T ( x 0 ) que se indic en teorí. Por tnto P 1 (, ) es un máximo del problem con f(, ) =. Análogmente, H (x,y) L(,, 4 ) = 0 represent un form 0 cudrátic definid positiv en R, por tnto será definid positiv en culquier subespcio, en prticulr el subespcio T ( x 0 ) que se indic en teorí. Por tnto P (, ) es un mínimo del problem con f(, ) =. 71

10 Curso 014/015 Mtemátics (Grdo en Químic) 4.- Obtener los extremos de l función f(x, y) = x 3 + xy + y que se encuentren en l rect x + y = 0 SOLUCIÓN En primer lugr considermos l función lgrngin socid l problem: F (x, y, λ) = x 3 + xy + y λ(x + y). Obtenemos los puntos críticos: 3x + y λ 0 F (x, y, λ) = x + y λ = 0 x y 0 De l tercer ecución: y = x que sustituid en l segund: x x λ = 0 λ = 0 Sustituido este vlor en l primer ecución: 3x x = 0, x = 0, x = 3 Por lo que los puntos críticos de l lgrngin son. P 1 (0, 0, 0), P ( 3, 3, 0). Clsificmos los puntos construyendo l mtriz hessin:h (x,y) L(x, y, λ) = 6x y se sustituyen los puntos críticos obtenidos nteriormente: H (x,y) L( 3, 3, 0) = 4 Como D 1 = 4 > 0, D = 4 > 0 represent un form cudrátic definid positiv en R, por tnto será definid positiv en culquier subespcio, en prticulr el subespcio T ( x 0 ). Por tnto P 1 ( 3, ) es un mínimo 3 del problem con f( 3, 3 ) = 4 7. Considermos hor P (0, 0, 0), H (x,y) L(0, 0, 0) = 0 Como D 1 = 0 tenemos que recurrir los utovlores. Ddo que ls utovlores son λ 1 = > 0, λ = 1 5 < 0, represent un form cudrátic indefinid por lo que hy que restringir l form cudrátic l subespcio T (x, y) = g(0, 0)(x, y) = 0. Como g(x, y) = (1, 1), g(0, 0) = (1, 1). L ecución implícit del subespcio T es T (x, y) = {(x, y) R : x + y = 0}. 7

11 Grupos A y D Curso 014/015 Como l form cudrátic es q(x, y) = (x, y) 0 x = y + 4xy y restringid T, (y = x), qued: q(x) = x 4x = x < 0 que es definid negtiv, por tnto, (0, 0) es un máximo del problem con f(0, 0) = Ejercicios propuestos 1.- Obteng y clsifique los puntos críticos de ls siguientes funciones: ) f(x, y) = x (y ), b) f(x, y) = x y, c) f(x, y) = x 3 + y.- Clcul los extremos reltivos de ls funciones: ) f(x, y) = x 4 + x y + y, b) f(x, y) = xye x+y, c) f(x, y) = 4 x + 9 y + x + y Hllr, bjo l restricción que se indic, los máximos y mínimos de f : R R: f(x, y) = 8x xy + 1y restringid x + y = 4 (x, y 0) f(x, y) = x y restringid x + y = 1 (x, y 0) f(x, y) = x + (y 1) + 10 restringid x + (y 1) = 9 (x, y 0) f(x, y) = 6 4x 3y restringid x + y = 1 f(x, y) = e x + e y restringid x + y = 3.- Dd l función f(x, y) = x + xy + by + x + y + 1 con, b R tles que b 1, y 0, discútnse los extremos de f(x, y) según los vlores de y b. 4.- Pr qué vlores de b R el punto P (1, 1, 1) es un mínimo de l función f(x, y, z) = x + y + bxy + x + y + z restringid l esfer unidd (x + y + z = 1)?. 73

12 Curso 014/015 Mtemátics (Grdo en Químic) 5.- Determin tres números positivos x, y, z tles que: ) xyz es máximo sujeto x + y + z = 18. b) x + y + z es mínimo sujeto xyz = ) Hllr los extremos de l función f(x, y) = xy 3 + x 3 y sobre l circunferenci unidd. b) Clculr los extremos de l función f(x, y, z) = x y + z sobre l esfer de centro el origen y rdio 3, ( x + y + z = 9). c) Hll los vlores máximos y mínimo de f(x, y, z) = xy + yz + zx + x + y + z sobre l esfer x + y + z = L superficie exterior de un volcán viene modelizd por l función f(x, y) = 100 0, 00x 0, 005y. ) Clcul l ltur máxim del volcán. b) Un excursionist se encuentr en el punto del volcán de coordends (300, 100) cundo éste entr en erupción. (i) A qué ltur se encuentr el excursionist? (ii) En qué dirección debe correr pr comenzr bjr l myor ritmo posible? (iii) Cul será ese ritmo? 8.- L cntidd de clor que se desprende en un rección químic l interctur x moléculs de un compuesto e y moléculs de otro se modeliz por l función Q(x, y) = 5x 8y xy +4x+10y. Hll x e y pr que l cntidd de clor se máxim. 9.- Un plnt de fbricción de productos químicos puede producir z uniddes de un producto Z dds x uniddes del compuesto químico X e y uniddes del compuesto Y, donde z = 500x 0,6 y 0,3. El producto X cuest 10epor unidd, mientrs que el producto Y cuest 5epor unidd. L compñí dese mximizr l producción de Z con un restricción presupuestri de.000e. Estblece el problem de optimizción en términos de multiplicdores de Lgrnge y clcul cuál es l producción máxim de Z. cuánts uniddes de los productos X e Y son necesris pr lcnzr dicho máximo? 74