TEMA 3. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES.

Transcripción

1 TEMA. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES... Repaso de ecuaciones de primer grado... Repaso de ecuaciones de segundo grado. - Ecuaciones incompletas. - Ecuaciones completas. - Número de soluciones. - Descomposición del polinomio de segundo grado... Ecuaciones bicuadradas... Ecuaciones polinómicas. - Factorización..5. Ecuaciones racionales..6. Ecuaciones irracionales..7. Sistemas de ecuaciones. - Métodos de resolución. - Clasificación. - Sistemas con tres incógnitas. - Sistemas no lineales con dos incógnitas..8. Intervalos semirrectas..9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita..0.sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita... Inecuaciones de grado superior a uno con una incógnita e inecuaciones racionales... Resolución de problemas mediante inecuaciones... Otros problemas.

2 .. Repaso de ecuaciones de primer grado.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) -5+-7=-+7-+ = b) 7-(5-)=++ = c) -(+7)=-(5-6) = d) 5-(-)=(-)+ =0 5 e) X - f) - g) h) i) j) k) l) 5 ( ) ( ) ( ) ( 7) ( ) ( 6) m) - 5 n) -5 6 o) -(+7)- p) - = =-5 = =8 =- =5 =5 =-6 =0 = =7 =- 5 7 q) (-)+ 8( ) r) = =-

3 .. Repaso de ecuaciones de segundo grado. Dada la ecuación de segundo grado incompleta incógnita despejamos de la siguiente forma:, para hallar el valor de la Si la ecuación es del tipo, sacamos factor común :. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) 50 0 f) 75 0 b) 50 0 g) 50 0 c) 6 0 h) 5 0 d) 75 0 i) 5 0 e) j) Si tenemos ahora la ecuación es:, la fórmula para hallar sus soluciones. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 0 f) 0 5 b) 5 0 g) 7 c) h) 5 5

4 i) d) e) j) 6 Si nos fijamos en la solución, observamos que una parte está dentro de una raíz cuadrada se sabe que ésta puede tener una, dos o ninguna solución, en función del signo del radicando. Por tanto lo mismo ocurre con las soluciones de la ecuación de segundo grado: - Si la ecuación tiene dos soluciones reales que son: - Si, la ecuación tiene una sola raíz real (o dos raíces iguales) que es: - Si la ecuación no tiene solución en los números reales. A se le llama discriminante de la ecuación.. Clasifica las siguientes ecuaciones según su número de soluciones: a) d) b) e) c) f) Dado el polinomio. Si resolvemos la ecuación obtenemos como soluciones, entonces podemos escribir la descomposición factorial del polinomio de la siguiente forma:. Escribe la descomposición factorial de los siguientes polinomios de grado dos: a) d) b) e) c) f)

5 .. Ecuaciones bicuadradas. Las ecuaciones bicuadradas son las del tipo donde. Veamos un ejemplo: Hacemos la sustitución, la ecuación se transforma en z 0z 9 0. Se resuelve: Como hicimos, deshaciendo el cambio, con lo que las soluciones de la ecuación bicuadrada son: En la práctica resolvemos como en las ecuaciones de segundo grado, pero despejamos en lugar de luego se hacen las raíces cuadradas de las soluciones.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) e) 6 0 b) f) c) g) d) 6 0 h) 5

6 .. Ecuaciones polinómicas. Estas ecuaciones se resuelven factorizando previamente. Veamos un ejemplo: 0 Mediante la regla de Ruffini: Se puede descomponer: 0, como tenemos un producto de tres factores igualado a cero tiene que ocurrir que alguno de ellos sea cero, con lo que se obtienen las soluciones de la ecuación:. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5 0 h) 00 0 b) 0 i) 0 c) j) 9 0 d) k) 5 0 e) 5 0 l) 6 0 f) m) g) n)

7 .5. Ecuaciones racionales. Son las llamadas ecuaciones con en el denominador. En ellas los denominadores algebraicos se suprimen haciendo su m.c.m. se llega a una ecuación de uno de los tipos anteriores. En el proceso de multiplicar por epresiones algebraicas pueden aparecer soluciones falsas, por tanto, siempre que lo hagamos se deben comprobar las soluciones obtenidas.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 g) 9 b) h) 0 c) i) 6 5 c) 8 j) d) k) 6 5 e) l) 0 f) m) 6 9

8 .6. Ecuaciones irracionales. Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita se encuentra bajo una raíz cuadrada. Para resolverla: - Se aísla la raíz en un miembro de la ecuación. - Se elevan al cuadrado ambos miembros. - Si todavía ha raíces se repite el proceso. - Se resuelve la ecuación obtenida. Al elevar al cuadrado pueden introducirse nuevas soluciones que ha que rechazar, por la que siempre ha que comprobar las soluciones. Veamos un ejemplo: - Aislamos una raíz: - Elevamos al cuadrado: - Desarrollamos los cuadrados: - Agrupamos: - Volvemos a elevar al cuadrado: - Agrupamos: - Resolvemos - Comprobamos las soluciones: sí es solución no es solución. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 0 h) 5 b) 5 i) 5 c) j) 0 d) 69 7 k) 6 e) l) 5 6 f) 5 5 m) 9 6 g) 5 n) 5 0

9 .7. Sistemas de ecuaciones.. Resuelve por los métodos de sustitución, igualación reducción cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: -= = 5+7=- = += =-5 7-=0 =- -=- =0 +=7 = X+=6 = -5=-6 =. Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones:. Resuelve los siguientes sistemas:

10 . Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

11 .8. Intervalos semirrectas. Ya vimos en el tema que dados dos números reales, se define el intervalo cerrado de etremos a b como el conjunto de todos los números reales que son maores o iguales que a menores o iguales que b. Con notación matemática: Gráficamente: Cambiando < se obtienen los intervalos abiertos ( a, b ). (a, b) = { : a < < b} Se diferencian en que el intervalo cerrado contienen a los etremos el abierto no. También ha intervalos semiabiertos (o semicerrados) [a, b) ={ : a < b} (a, b] ={ : a < b} Los intervalos infinitos se corresponden con una semirrecta. [a, ) ={ : a } (a, ) ={ : >a } (, b) ={ : < b} (, b] ={ : b} El intervalo = es toda la recta real.

12 .9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Una inecuación de primer grado con una incógnita está formada por dos epresiones algebraicas unidas por uno de los signos <, >, o. Así como en las ecuaciones la solución (si la ha) es un número real, en las inecuaciones es un intervalo o una semirrecta. Se resuelven siguiendo los mismos pasos que las ecuaciones, por ejemplo, vamos resolver la inecuación - Hacemos m.c.m. - Quitamos denominadores 5(-) < (-) - Quitamos paréntesis 5-5 < 6- - Agrupo 9 < - Despejo < Con lo que la solución es el intervalo (, ) La diferencia con las ecuaciones es que si al llegar a la penúltima desigualdad el coeficiente de es negativo, tenemos que cambiar de signo toda la inecuación antes de despejar. Poe ejemplo, si tenemos - >, entonces cambiamos de signo queda < -, ahora a despejamos < -6. Resuelve las siguientes inecuaciones: ( ) ( ) ( 7) ( ) ( 6)

13 .0.Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que lo forman. Ejemplo: La solución de la primera inecuación es < 7, la solución de la segunda es > -. Por tanto la solución del sistema está formada por todos los números maores que - menores que 7, es decir, está formada por todos los números del intervalo (-, 7). Si las dos soluciones son incompatibles el sistema no tiene solución. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita:

14 .. Inecuaciones de grado superior a uno con una incógnita e inecuaciones racionales. Veamos un ejemplo: - Factorizamos el polinomio - Hacemos una tabla (-)(-) Como en la inecuación aparece el signo <, la solución que queremos es, es decir, el intervalo (,). Resuelve las siguientes inecuaciones:. (+) (-5) > 0. ( -) ( ) <

15 .. Resolución de problemas mediante inecuaciones.. Cuáles son los números cuo triple no sobrepasa su doble en más de 0?. El triple de la edad de Ángel más tres años es maor que el doble de su edad más 8 años. Cuál es la edad mínima de Ángel?. Las dimensiones de una clase rectangular se han medido con un error menor que dm. Los valores para las longitudes a b son: 00 dm < a <0 dm 6 dm < b <65 dm. Entre qué dos números están comprendidos el área el perímetro de la clase?. Un ciclista se desplaza a una velocidad de entre 0 km/h 5 km/h. Entre qué valores oscila la distancia del ciclista al punto de partida al cabo de 5 horas? 5. Marta ha pensado un número: si primero lo multiplica por después le suma unidades, obtiene un resultado menor que. Pero si primero lo multiplica por después le suma unidades el resultado es maor que 5. Cuál es el número? 6. En un eamen de 0 preguntas te dan dos puntos por cada acierto te quitan medio punto por cada fallo. Para aprobar necesitas al menos 0 puntos. Cuántas ha que contestar correctamente? 7. Con un presupuesto de 5000 un coleccionista quiere comprar monedas a un precio por unidad de 000 sellos por un precio de 500 / unidad. En total quiere comprar 0 unidades. Qué opciones tiene? 8. Qué rectángulos tienen la altura el triple de la base el perímetro inferior a metros? 9. Qué podemos decir de un número al que sumándole 7 se obtiene otro número superior al triple del primero? 0. Un cuadrado tiene un perímetro inferior a 65 cm un área superior a 5 cm. Qué dimensiones puede tener? Si sabemos que sus dimensiones son números enteros, cuáles pueden ser éstas?. En un aeropuerto solo me dejan pasar kilos. Si llevo una maleta de 0 kg dos bolsas del mismo peso, cuándo deberá pesar cada una de ellas para poder pasarlas?. El peso máimo de un camión es de es de 5 T su tara es de 0 T. Cuántas vigas de 00 kg cada una puede transportar?. Una editorial desea publicar un libro. El coste por hacer toda la edición es de 6000 euros fijo más 5 euros por cada ejemplar publicado. Cada libro saldrá a la venta con un precio de 7 euros. Cuántos ejemplares se han de editar como mínimo (suponiendo que se vendan todos) para obtener beneficios?. Una industria paga a sus viajantes 0 euros por artículo vendido más una cantidad fija de 50 euros. La competencia paga 5 euros por artículo vendido más un fijo de 0 euros. Cuántos artículos debe vender un viajante de la competencia para ganar más que un viajante de la primera industria?

16 .. Otros problemas.. En la Antología griega aparece el siguiente problema referido a la edad del matemático Diofanto: "Dios le concedió ser un muchacho durante la seta parte de su vida, añadiendo a esto una doceava parte pobló de vello sus mejillas. Le iluminó con la luz del matrimonio después de una séptima parte, cinco años más tarde le concedió un hijo. Pero éste murió después de alcanzar la mitad de la vida de su padre. Después de consolar sus penas con la ciencia durante cuatro años más, finalizó su vida." Cuántos años vivió Diofanto?. Problema del bambú. (Teto indio del siglo IX) Un bambú que mide 0 codos que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento. Su etremidad toca el suelo a 6 codos de su pie. A qué altura se ha roto?. Problema de las fuentes. (Leonardo de Pisa) Dos torres, una de 0 pasos otra de 0 pasos de altas, están separada 50 pasos. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que se dirigen dos pájaros que están en la almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. A qué distancia de las torres se encuentra la fuente?. Problema del junco. (De un teto indio del siglo IX) Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla su cabeza se eleva 0 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado de modo que su cabeza toca la orilla a ras del agua. Cuál es la profundidad del estanque la altura del junco? 5. Preguntado Pitágoras cuál era el número de sus alumnos respondió: "La mitad estudia Matemáticas, la cuarta parte los misterios de la Naturaleza, la séptima parte medita, además ha tres que estudian arte". Cuántos alumnos eran? 6. Una mula un asno cargados de trigo se dirigían al mercado. La mula le dijo al asno: "Si tú me das un saco, o llevaré el doble de carga que tú; pero si o te paso una, entonces nuestras cargas serán iguales." Cuántos sacos llevaba cada uno? 7. Por el campo van dos naturalistas ven una bandada de pájaros. Uno le dice al otro: " Cuántos pájaros van ahí?", el otro le responde: "Esos otros tantos como esos la mitad de esos la cuarta parte de esos el gavilán hacen 00." Cuántos pájaros formaban la bandada?