Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

Transcripción

1 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Ecuación de Segundo Grado Es una ecuación que se puede escribir de la forma: a x 2 + b x + c = 0 () donde a, b, c R, y a = 0. A la ecuación de segundo grado también se le conoce como ecuación cuadrática, debido a que el término principal es el término cuadrático. Definición En la ecuación cuadrática encontramos tres términos: a x 2 + b x + c = 0 Cuadrático Lineal Independiente Es importante que aprendas a reconocer cada uno de los términos así como sus coeficientes. En caso de que tengas una ecuación que no tiene la forma, pero que puedes reducirla a esa forma, entonces esa ecuación también es cuadrática. Las siguientes ecuaciones son ecuaciones cuadráticas. Ejemplo 2 x 2 = 0 x 2 = 80 x2 5 + x = 00 5 x x 7 2 = 0 (x 2)(3 x + 5) = 0 x + 3 x 5 = x x = También es importante identificar ecuaciones que no son cuadráticas. Las ecuaciones que se enlistan enseguida no son cuadráticas. Ejemplo 2 x 3 + x 2 + x + = 0, esta es una ecuación de tercer grado, porque el mayor exponente presente en la misma es 3. x 4 = 0, esta es una ecuación de cuarto grado, aunque a través de una transformación, podemos escribirla como si se tratara de una ecuación cuadrática. 5 x + = 0, es una ecuación lineal, o de primer grado. Sea z = x 2, entonces: x 4 = 0 se transforma en: z 2 = 0 /5

2 x 3. Esta ni siquiera es una ecuación, pues no tiene el signo de igualdad. Se trata de un binomio. 7 x 5 x 2 + = 0, es una ecuación de quinto grado. Como podrás haber entendido, las ecuaciones se clasifican de acuerdo al exponente más grande que aparece entre sus términos. La solución de una ecuación cuadrática es el conjunto de todos los valores que podemos sustituir en la literal para que la igualdad se reduzca a una igualdad. Ejemplo 3 Encuentra la solución de la ecuación: 2 x 2 = 0 Para encontrar la solución de esta ecuación cuadrática vamos a traducir a palabras lo que nos está diciendo: En palabras nos dice: «Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo. Al resultado lo multipliqué por dos y finalmente obtuve cero. Qué número pensé?» Como el resultado de la multiplicación es cero, antes de multiplicar, debía tener cero. Esto nos indica que pensó el número cero, porque cero es el único número que al multiplicarlo por sí mismo nos da cero. Es decir, esta ecuación cuadrática tiene una única solución y es: x = 0. Verificación: 2 x 2 = 0 2 (0) 2 = 0 Ejemplo 4 Encuentra la solución de la ecuación: x 2 = 80 Esta ecuación nos dice en palabras: «Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo. Al resultado le resté y finalmente obtuve 80. Qué número pensé?» Antes de restar uno, no tenía 80, sino 8. Y ese es el resultado que obtuvo cuando multiplicó por sí mismo el número que pensó. Entonces, debió pensar el número 9, porque: (9)(9) = 8. Pero también pudo haber pensado el número 9, porque: ( 9)( 9) = 8. Es decir, esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones distintas: x = 9, y x = /5

3 Ahora hacemos la comprobación: x 2 = 80 (9) 2 = 80 x 2 = 80 ( 9) 2 = 80 Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Algunos métodos requieren que puedas identificar los coeficientes de la ecuación. Llena la siguiente tabla con los coeficientes de cada ecuación donde corresponde. Ejemplo 5 El coeficiente a se llama cuadrático porque es el número que está multiplicando a la literal elevada al cuadrado. El coeficiente b se llama lineal porque es el número que está multiplicando a la literal sin elevar al cuadrado. Y el coeficiente c se llama idependiente pues no contiene variables. Lo siguientes ejemplos servirán para mostrarlo mejor: Ecuación Coeficiente a x 2 + b x + c = 0 a b c 2 x 2 = x x 7 2 = /2 x 2 + x = 00 / (x 2)(3 x + 5) = Observa que en el ejemplo de la ecuación: (x 2)(3 x + 5) = 0, primero multiplicamos los binomios para expresar la ecuación en la forma (). De otra forma, no concemos los coeficientes de la ecuación. También es importante mencionar que cuando no aparece un término, el coeficiente es cero. Esto es así porque 0 x = 0. Pero recuerda que a = 0, porque si no aparece un término cuadrático en la ecuación, entonces, no se trata de una ecuación cuadrática. Ecuación cuadrática incompleta Una ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0 es incompleta cuando b = 0, o c = 0, o tal vez ambos son iguales a cero. Si todos los coeficientes de la ecuación cuadrática son distintos de cero, entonces decimos que la ecuación es cuadrática completa. Definición 2 3/5

4 Como viste en los anteriores ejemplos, resolver ecuaciones incompletas es muy sencillo. El siguiente ejemplo encontramos la solución de una ecuación completa. Encuentra la(s) solución(es) de la siguiente ecuación cuadrática: (x 2)(3 x + 5) = 0 Ejemplo 6 Para empezar, no es una buena idea multiplicar los binomios. Es mejor observar que los dos binomios se están multiplicando y el resultado de esa multiplicación es igual a cero. Para que eso ocurra, al menos uno de los binomios debe ser cero. Entonces, tenemos dos casos: bien x 2 = 0, o bien 3 x + 5 = 0. Ahora encontramos los valores que debe tener x para que se cumplan las anteriores condiciones: x 2 = 0 x = 2 3 x + 5 = 0 x = 5 3 Esas son las soluciones de la ecuación cuadrática. Para verificar que la ecuación cuadrática es completa, necesitamos multiplicar los binomios: (x 2)(3 x + 5) = 3 x 2 x 0 = 0 Para resolver las ecuaciones cuadráticas, completas o incompletas se han inventado métodos muy sencillos. En las siguiente secciones estudiaremos algunos de ellos. Albert Einstein Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. 4/5

5 Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 200 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 22 de agosto de 200. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx 5/5