Tema 0: Repaso de Conceptos

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1 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0: Repso de Coceptos 1.- Números Reles Cojutos Numéricos 1..- Itervlos y semirrects. 1..-Vlor Asoluto Propieddes de ls potecis..- Idetiddes Notles..- Rdicles..1.- Propieddes de los rdicles...- Simplificció de Rdicles...- Reducció ídice comú..4.- Rciolizció..5.- Etrcció de fctores de u rdicl..6.- Itroducció de fctores e u rdicl. 4.- Logritmos Propieddes de los logritmos Opercioes co logritmos Logritmos e l clculdor Cmio de Bse. 5.- Epresioes lgerics Opercioes co poliomios Descomposició fctoril Frccioes Algerics. 6.- Ecucioes, iecucioes y sistems Ecucioes de segudo grdo Ecucioes de grdo myor que Ecucioes Rcioles Ecucioes Irrcioles Ecucioes epoeciles Ecucioes Logrítmics Sistems de ecucioes. Método de Guss Iecucioes de 1º grdo co u icógit Iecucioes de º Grdo co u icógit Iecucioes Frccioris Sistems de ecucioes co u icógit Sistems de iecucioes co dos icógits. 7.- Ejercicios Resueltos Rúl Gozález Medi 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-1

2 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 1. TEMA 0:NÚMEROS REALES 1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.. REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA L represetció de u úmero rel sore l rect se hrá de u modo u otro segú el tipo de úmero que se: Etero o deciml ecto: ;,47 Deciml periódico: Puede epresrse e form de frcció y, de este modo, se represet dividiedo cd uidd etre ls prtes que teg el deomidor y tomdo tts de ess prtes como idique el umerdor: 5/6, -8/5 Rciol cudrático: Costruyedo triágulos rectágulos y teiedo el cuet el (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-

3 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 Teorem de Pitágors: 6; INTERVALOS Y SEMIRECTAS INTERVALO ABIERTO DE EXTREMOS A Y B. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y, si coger éstos. Se suele represetr de ls siguietes forms: (,) { R / < < } 1... INTERVALO CERRADO DE EXTREMOS A Y B. Es el cojuto de úmeros reles compredidos etre y icluyedo éstos. Se suele represetr de ls siguietes forms: [,] { R / } 1... INTERVALO SEMIABIERTO O SEMICERRADO. So itervlos dode uo de sus etremos es ierto y el otro cerrdo. Se os puede presetr los siguietes csos: (,], itervlo ierto e y cerrdo e. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y si coger l y tomdo l. Sus otrs forms de represetció so { R / < } [,), itervlo cerrdo e y ierto e. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y, cogiedo l y o l. Sus otrs forms de represetció so { R / < } SEMIRECTAS. So itervlos dode uo de sus etremos es u úmero rel y el otro es Teemos los siguietes csos: ± [, ) { R / } (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-

4 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 (, ) { R / < } (,] { R / } (,) { R / < } B 1.4. ENTORNOS Se llm etoro de cetro y rdio r, y se deot por Er() o E(,r), l itervlo ierto (-r, +r). Er() (-r, +r) Los etoros se epres co yud del vlor soluto. Er(0) (-r, r) se epres tmié <0, o ie, -r < < r. Er() (-r, +r) se epres tmié - <0, o ie, -r < < +r ENTORNO REDUCIDO Se emple cudo se quiere ser qué ps e ls proimiddes del puto, si que iterese lo que ocurre e dicho puto. E r*() { (-r, +r), } 1.5. VALOR ABSOLUTO. Cosideremos los úmeros 5 y 5, estos dos úmeros tiee el mismo vlor si el sigo, o lo que es lo mismo, tiee el mismo vlor soluto. El vlor soluto de u úmero se desig por y coicide co el úmero si este es positivo o co el opuesto si este es egtivo... si si... < 0 Tomemos por ejemplos - -(-) (-6) 6 Oservd que pr elimir ls rrs del vlor soluto, os teemos que fijr e el sigo de lo que vy detro de ls rrs del vlor soluto. Si es positivo, qued igul y si es egtivo, cmimos el sigo de lo que vy detro. El prolem se os preset cudo o coozcmos el sigo. Por ejemplo, resolver l siguiete ecució co vlor soluto Pr resolverl, lo primero es quitr el vlor soluto. Deemos coocer el sigo de lo de detro (). Como o coocemos el vlor de, o coocemos su sigo, o podemos quitr el vlor soluto. (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-4

5 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 E estos csos se supoe que lo de detro del vlor soluto puede presetr los dos sigos, luego el prolem tiee dole solució. Supoemos e primer lugr que > 0 ê Supoemos e segudo lugr que < Ejemplo: Hllr l solució (es) de l siguiete ecució: Supoemos - 1< Supoemos hor -1> PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS ( ) m.m 5.- m m ( ) m 6.- m. m+ 7.- m : m- 8.- (..c) d d. d.c d 9.- c c Todo úmero etero que ce e ceros, se puede epresr como producto del úmero si los ceros, por u poteci de se 10 y epoete igul l úmero de ceros: (otció cietífic) Todo úmero deciml se puede epresr como producto del úmero si l com por u poteci de se 10 y epoete egtivo igul l úmero de cifrs decimles.. IGUALDADES NOTABLES (+) (-) +.- (+) + ª (-) ª (+).(-) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-5

6 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 Ejemplos: ( + 5) ( 5) () ( + 1) ( ( )+1) ( ) +1 +(( ))1 ( ) +(-) - (-)+( ) ( ) ( + ) () 9 4. DEFINICIÓN DE RADICAL. Dd l ecució, llmmos ríz -ésim de, u de ls solucioes de dich ecució, y que se simoliz por, dode es el ídice de l ríz y el rdicdo..1. Propieddes de los rdicles m. m m 4.- ( ) m.. Simplificció de rdicles Ddo m, si y m tiee divisores e comú, podemos simplificr el rdicl, por ejemplo:.. Reducció ídice comú Oteer el ídice comú de vrios rdicles cosiste e hllr el m.c.m. de los ídices, dividir este mcm etre cd ídice y el resultdo multiplicrlo por el epoete del rdicdo. Por ejemplo, reducir ídice comú los siguietes rdicles:,, 6 7 El mcm(,,6) 6 ê 6, 6, Rciolizr. Rciolizr u frcció cosiste e elimir ls ríces del deomidor de u frcció multiplicdo el umerdor y el deomidor por u epresió decud. Dich epresió v e fució de l epresió del deomidor. Podemos distiguir dos csos: (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-6

7 Mtemátics 1º Bchillerto Tem m. m. m m. m. m ( + c ) +.- c ( c )(. + c ) c c Ejemplos:Rciolizr ls siguietes epresioes: ( + ) ( )(. + ) Etrcció de fctores de u rdicl. Pr etrer fctores de u rdicl p, p dee ser myor o igul que. Se divide p etre, el cociete os dice cuátos fctores sle y el resto os idic cuátos se qued: Itroducció de fctores e u rdicl. 4 Pr itroducir fctores detro de u rdicl, se elev el fctor l ídice: Ej : SUMA DE RADICALES. 5. Pr sumr o restr rdicles, éstos dee ser semejtes, es decir, h de teer el mismo ídice y el mismo rdicdo: ( )..6.. PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES Pr multiplicr y dividir rdicles lo primero es reducir ídice comú y, plicdo propieddes de rdicles, reducir u solo rdicl (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-7

8 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 4. CONCEPTO DE LOGARITMO. Se u úmero rel positivo, o ulo y distito de 1, y A otro úmero positivo o ulo. Se llm logritmo e se del úmero A, l epoete que dee elevrse l se pr oteer el úmero A. Se represet por log A A Ejemplos 1.- Hllr los siguietes logritmos: ) log log ) log 1/ Clculr: log 18, log 4, log 5 5 De l ifiidd de ses que podemos elegir pr u logritmo, hy dos que so, e l práctic, los más utilizdos, los de se 10 y se e. Bse 10: Los logritmos de se 10, se llm Logritmos decimles, y se suele represetr de l siguiete form 4.1. Log A e l clculdor Estos logritmos decimles se puede oteer directmete co l clculdor, usdo l tecl log. Por ejemplo, si desemos clculr el vlor de log 45, procederímos de l siguiete form 45 log e l ptll prece log Bse e: Se llm logritmos eperios y se represet por 4.. L A e l clculdor Estos logritmos tmié se otiee directmete usdo l clculdor y co l tecl l, por ejemplo, si desemos oteer el vlor de l 45, teclerímos 45 l e l ptll prece l Propieddes de los logritmos. Ls siguietes propieddes de los logritmos so fudmetles pr poder operr co los mismos. Ls propieddes de los logritmos so ls propieddes de ls potecis. 1.- log log (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-8

9 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0.- log log 4.- log log 5.- Logritmo de u producto log (A.B) log A + log B A 6.- Logritmo de u cociete log log A log B B 7.- Logritmo de u poteci log A.log A Logritmo de u riz log A log A Domir ests propieddes, equivle poder resover u gr ctidd de prolems. Ejemplos: 1.- Hllr el vlor de los siguietes logritmos decimles si usr l clculdor: ) log 10 log10.1 ) log 40 + log 5 log(40.5) log 1000 log c) log 80 log 8 log log Descompoer los siguietes logritmos e logritmos simples: ) log (.y.z) log + log y + log z. y ) log log (.y) log z log + log y log z z.log + log y log z.- Reducir u solo logritmo ls siguietes epresioes ) log A + 5log B log Z log A + log B 5 log Z log ( A.B 5 ) log Z 5 A. B log Z 1 1 ) log A + log B + log Z log A + log B + log Z log ( ). B. Z 1 A lo ( A. B. Z ) 4.- Siedo que log 0 010, hllr el vlor de los siguietes logritmos ) log 8 log.log ) log 5 log(10/) log 10 log (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-9

10 Mtemátics 1º Bchillerto Tem Cmio de se. 15 c) log 0 15 log log 15 log 1000 log log1000 log1000 log 8 log 1000-log 8 -.log Coocido el logritmo de u úmero e u se, se puede hllr e culquier otr se. Supogmos que coocemos el logritmo de cierto úmero A e dos ses distits y, es decir, coocemos log A y log A Nos pltemos coocer l relció que hy etre mos. Est relció viee dd por l fórmul log A log A log Como cosecueci de est últim propiedd, se deduce que solmete ecesitmos coocer los logritmos e u sol se, los demás se otiee plicdo el proceso terior. Pr hllr u logritmo e culquier se, hremos u cmio se 10, que semos hllr. Hllr los siguietes logritmos: log 40 1'601 ) log 40 ' 580 log 0'4771 log1'567 1' 15 ) log ' 765 log 0'010 (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-10

11 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 5. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS.ECUACIONES Y SISTEMAS 5.1. Opercioes co poliomios SUMA: Pr oteer l sum de dos poliomios P() y Q() se sum coeficietes coeficietes de l mism poteci. Por ejemplo, cosideremos los poliomios: P() y Q() P()+Q() PRODUCTO: Ddos dos poliomios P() y Q(), pr multiplicr P().Q(), se multiplic cd moomio de P() co cd uo de los moomios de Q() y después sumr los de igul grdo. Por ejmplo, cosideremos los poliomios : P() y Q() + -1 P().Q() DIVISIÓN: Ddos dos poliomios P() y Q(), pr poder dividir P() etre Q(), el grdo de P() h de ser myor o igul que el de Q(). P() R() Q() C() P() Q().C()+R() Cosideremos los poliomios: P() y Q() -6 Relicemos l divisió P():Q() (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-11

12 Mtemátics 1º Bchillerto Tem C() 4 y el resto es R() -9-5 Divisió por u moomio de l form (-): Pr relizr est divisió plicmos l Regl de Ruffii Por ejemplo, relicemos l divisió ( - +-5):(+) C() y R() Descomposició Fctoril. Por ejemplo, fctorizr el poliomio P() Aplicmos Ruffii co los divisores de +6 que so : ± 1, ±, ±, ± 6, y os quedmos co los que de de resto P() (-1).(+1).(-). siedo ls ríces de P() 1, -1, 5.. FRACCIONES ALGEBRAICAS. DEF: Deomimos Frcció Algeric l cociete de poliomios: P() Q() co Q() 0 Por ejemplo: ; SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS: (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-1

13 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 Pr simplificr u frcció lgeric, hy que descompoer fctorilmete los poliomios del umerdor y del deomidor, y después, elimir los fctores comues de mos. Por ejemplo, simplificr l frcció: (.( ) + + ).( + ).( + ).( + ).( + 1) OPERACIONES: Pr sumr o restr frccioes lgerics, procedemos como e l sum de frccioes uméric, reducimos comú deomidor. Por ejemplo, relizr l siguiete difereci : Oteemos l descomposició fctoril de cd deomidor: ++1 (+1).(+1) (+1) -- (+1).(-) el míimo comú múltiplo es (+1).(-) ( ).( 1) ( + 1).(4 1) ( + 1).( ) ( + 1).( ) 6. ECUACIONES E l resolució de u ecució coviee seguir los siguietes psos: 1.- Quitr deomidores..- Quitr prétesis..- Psr ls icógits u miemro y los úmeros l otro. 4.- Despejr l icógit. Ejemplos: (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-1

14 Mtemátics 1º Bchillerto Tem Resolver l ecució ( 5) >.(+) 1.(4 4) 0.( 5) > > ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ls ecucioes de º grdo se reduce, utilizdo ls trsformcioes e ls ecucioes, l form + + c 0 co 0 que es u ecució complet de º grdo e. L ecució icomplet de º grdo e tiee l form 1) 0 ) + 0 ) + c 0 Pr resolver ests ecucioes de º grdo, plicmos l fórmul ± 4c Auque ls ecucioes icomplets se puede resolver directmete despejdo. 0 ) 0 > 0 > 0 ) + 0 > ( +) c c) + c 0 > -c ± c Ejemplos: Resolver ls siguietes ecucioes + ) -480 ) +0 c) d) + + (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-14

15 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 El úmero de solucioes de u ecució de segudo grdo + + c 0, puede ser dos, u o igu. Pr ser cuáts solucioes tiee u ecució de segudo grdo si teer que resolverl, st oservr el vlor de l epresió - 4c, que se llm discrimite de l ecució. 1.- Si - 4c > 0 L ecució tedrá dos solucioes distits..- Si 4c 0 L ecució u solució..- Si 4c < 0 L ecució o tiee solució. 6.. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS ECUACIONES BICUADRADAS. Ests ecucioes tiee l form c 0 Pr resolver ests ecucioes hcemos u cmio de vrile, llmremos z. L ecució qued de l form z + z + c 0 que es de º grdo y y semos como hllr el vlor z. U vez hlld l z, se clcul el vlor de si más que despejrl e l ecució Ejemplo. z > ± z 1.- Resolver l ecució Llmmos z z + 0z z 0 ± ± 5 z z 16 6 Hllemos hor el vlor de 1.- z 16 > 16 > ± 4.- z -6 > -6 > ± 6 R o hy solució..- Resolver ls siguietes ecucioes: (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-15

16 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 ) ) El áre de u rectágulo mide 48 cm y l digol mide 10 cm. Cuáto mide los ldos del rectágulo? APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE POLINOMIOS A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS. Supogmos que teemos el poliomio P() Si igulmos dicho poliomio cero, oteemos u ecució poliómic Podemos plicr todo lo estudido co el cálculo de ríces de u poliomio, pr clculr ls solucioes de ests ecucioes. Pr resolver l ecució terior podemos plicr l fctorizció de poliomios, plicmos l regl de Ruffii. Los divisores de 6 so ± 1, ±, ±, ± (+1).( 5 +6) ± Ejemplos: 1.- Resolver l ecució - +0 Solució: Scmos fctor comú 0 0 ( -+)0 ± Resolver ls siguietes ecucioes: ) ) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-16

17 Mtemátics 1º Bchillerto Tem ECUACIONES RACIONALES. Hy veces que e u ecució puede precer l vrile e el deomidor. E estos csos se procede de form similr cudo trjmos co frccioes lgerics. Ejemplos: Se elimi los deomidores. Se resuelve l ecució. Ls solucioes oteids se comprue e l ecució origil. Ls que l verific o ls solucioes uscds. Resolver l siguiete ecució: Solució: ( + 1).( 1) + ( 1).( + 1) ( 1).( + 1).( 1).( + 1) ( 1).( + 1) ECUACIONES IRRACIONALES. So quells ecucioes dode l icógit prece, e lguo de sus térmios, jo el sigo rdicl. Lo primero que deemos hcer es islr l ríz e u miemro y elevr l cudrdo mos miemros de l ecució. Si qued lgú rdicl, repetimos el proceso. De est form, llegremos u ecució del tipo de ls teriores, que y semos cómo resolverls. 1.- Resolver l ecució > ( 5) ( 5 ) > > > > 4.- Resolver ls siguietes ecucioes: ) ) ECUACIONES EXPONENCIALES. (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-17

18 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 epoete. U ecució epoecil es quell dode l icógit prece e el So ecucioes epoeciles Pr resolver ests ecucioes distiguiremos dos prtdos: ECUACIONES DONDE LA INCÓGNITA APARECE EN UN SOLO EXPONENTE. Resolver ls siguietes ecucioes: ) +1 8 ) ) ) / Puede ocurrir que o podmos descompoer todos los miemros e potecis de l mism se, por ejemplo e: 17 E estos csos, pr despejr, tomremos previmete log Log log 17 log17 ' 108. Log log 17 0' 6 lo 0' ECUACIONES DONDE LA INCÓGNITA APARECE EN MÁS DE UNA POTENCIA. So ecucioes de este tipo , E este tipo de ecucioes, tods ls potecis que teg e el epoete l icógit, se descompoe e potecis de l mism se. A cotiució, y hciedo uso de ls propieddes de ls potecis, deemos coseguir que e el epoete prezc t sólo. Posteriormete, hcemos u cmio de vriles, llmmos z l poteci que tiee e el epoete, queddo u ecució lgeric simple de resolver. Ejemplo: Resolver ls siguietes ecucioes: ) ) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-18

19 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 ) ( ) 0 0 llmmos z 8.z + 4. z 0 0 z + z 80 0 z ± z z U vez hlld z, hllmos 1) 8 ) -10 o tiee solució. ) llmmos z z + z + z 7 z + z + 4z 14 7z 14 z ECUACIONES LOGARÍTMICAS. Resolver ls siguietes ecucioes: ) log + log (+).log(+1) ).log. Log(+1) 0 ) log + log ( +). Log( +1) log ( +) log (+1) ).log..log(+1) 0 log log (+1) 0 log log / 6.7. SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS. (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-19

20 Mtemátics 1º Bchillerto Tem ESTUDIAR EL CARÁCTER DE UN SISTEMA. Todo sistem de ecucioes puede presetr o o solucioes, y e cso de teer solucioes, puede teer u o muchs. Los sistems que teg solucioes se dice que so Sistems Comptiles. Si l solució es úic, se llm Sistems Comptiles Determidos. Si hy más de u solució se llm Sistems Comptiles Idetermidos. Los sistems que o tiee solució se llm Sistems Icomptiles. Estudir el crácter de u sistem es estudir su comptiilidd o icomptiilidd. Ejemplos. El sistem y 1 es u SCD, pues tiee u úic solució (,1) 5 + y 1 El sistem y y > > 0 0 > es u SCI, tiee 4 6y...4 6y ifiits solucioes El sistem y y > 4 6y...4 6y 0 1 Cotrdicció es u S.I., sistem icomptile, o tiee solució MÉTODO DE GAUSS El método de Guss es el más propido cudo teemos que resolver sistems lieles co más de dos ecucioes. E eseci, este método cosiste e trsformr el sistem iicil e otro equivlete de form que este último se más secillo de resolver. 1.- Resolver medite el método de Guss el siguiete sistem de ecucioes: (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-0

21 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 Solució: 5y 4z + y z + y + z 6 0 5y 4z + y z + y + z y z 5y 4z + y + z 6 0 E 1 E -E 1 +E -1E 1 +E + y z.. 11y z... y + z y z + y z + y z.. 11y z 4... y + z 4... y + z 4... y + z y z z 48 E E -11E +E z y0 4 Solució (4,0,).- Resolver los siguietes sistems: 4y + z 0 y + z 0 y + z 0 4y + 7z 1 9 y + z y z SISTEMAS NO LINEALES. E geerl, el prolem de l resolució de sistems lieles csi uc preset demsidos prolems, pero co los sistems o lieles, l cos cmi. Resolver u sistem de ecucioes o lieles es stte complicdo y lorioso. E este curso, vmos limitros l estudio de lguos csos prticulres. Sistems o lieles de dos ecucioes e ls cules u ecució es liel y l otr es de segudo grdo. + y 5 y Pr resolver este tipo de sistem, el método de sustitució es el más propido; se despej u vrile de l ecució liel y se sustituye e l ecució o liel, resultdo u ecució de segudo grdo. U vez resuelt est ecució, volvemos l primer ecució y oteemos los vlores de l otr vrile. (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-1

22 Mtemátics 1º Bchillerto Tem 0 + y 5 y5- (5-) ( ) y ± si y-1 Solució (,-1) si y Solució, INECUACIONES DE 1ER GRADO CON UNA INCÓGNITA. Resolver l iecució ( + 1) ( ) < < + 6 < < - > 1 > 1 1 L solució de l iecució es (1, ) 6.9. INECUACIONES DE º GRADO CON UNA INCÓGNITA. Resolver l iecució + 0 Hllmos ls ríces de l ecució + 0 ± 9 8 ± Los tres itervlos e los que qued descompuest l rect so (, 1], [1,], [, ). Tommos u vlor de cd itervlo y lo sustituimos e l iecució: o verific l iecució si verific l iecució o verific l iecució l solució es el itervlo [1,] [1,] (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-

23 Tem 0 El poer corchete o prétesis e los itervlos depede de si e l desiguldd prece el sigo igul o o INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS. Resolver - -6 < 0 Solució: Teemos que - -6.(+).(-) < L solució es (,0) ( 0,) INECUACIONES FRACCIONARIAS. Mtemátics 1º Bchillerto Tod iecució frcciori de primer grdo co u icógit se reduce u epresió del tipo + c + d <, >,, 0 Vemos co u ejemplo cómo se resuelve ests iecucioes: Resolver l iecució > > 1 > 1 > 0 > + 1 > 1 > 0 > > 0 Hllmos los vlores que os ule el umerdor (4) y el deomidor (-1), y costruimos l siguiete tl (,-1) (-1,4) (4, ) X X (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-

24 Mtemátics 1º Bchillerto Tem E los itervlos, si l desiguldd o llev el igul, se podrá e todos prétesis. Pero si l desiguldd es ó, los úmeros procedete del umerdor llevrá corchetes y los del deomidor prétesis. De cd itervlo tommos u vlor y lo sustituimos e ls epresioes del umerdor y deomidor, putdo el sigo resultte. Al fil plicmos l regl de los sigos. Si l desiguldd es < 0 ó 0 tomremos como solució los itervlos dode hy queddo el sigo (-). Si l desiguldd es > 0 ó 0, tomremos como solució los itervlos dode hy queddo el sigo (+). E uestro cso, l solució está e los itervlos (,-1)U(4, ) SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA. Todo sistem formdo por dos o más iecucioes, recie el omre de sistem de iecucioes. Pr resolverlo, resolvemos cd iecució por seprdo, represetmos gráficmete cd solució y tommos como solució del sistem l zo comú etre ells. Ejemplo. Resolver los siguietes sistems: ) > > Si motmos u diujo e 0 el otro, l zo comú es 0 (,0] solució. ) > > Si motmos u regió sore 1 l otr, oservmos que o hy 4 zo comú > el sistem o 4 tiee solució. (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-4

25 Mtemátics 1º Bchillerto Repso úmero rel. Itervlos: 1. Seprr los siguietes úmeros e rcioles o irrcioles, idicdo, de l form más secill posile, el porqué: 1 π 5 5, ,1 6,4 8 (Soluc: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I) 54 1, ) Represetr sore l mism rect rel los siguietes rcioles: ,6,5, ) Costruir,, 5, 6, 7, 8 y 10 sore l rect rel (o ecesrimete sore l mism), medite regl y compás, y l plicció del teorem de Pitágors.. Completr: REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 1 [-1,] [-,1) 5 { IR/ 1< 5} { IR/ <} 8 (0, ) 9-10 (-1,5) 11 { R/ 0} 1 [/, ) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-5

26 Mtemátics 1º Bchillerto REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 1 { IR/ -< } 14 { IR/ <} 15 { IR/ } [-1,1] 18 { IR/ <-1} (-,-)U(, ) 1 (-,)U(, ) { IR/ 5} [-,] 4 - Repso frccioes, potecis y ríces: 4. Operr, simplificdo e todo mometo: 5 6 : : : : Completr: m m m ( ) ( ) 0 1 ( 1) pr ( 1) impr ( ) pr seegtiv ( ) impr seegtiv (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-6

27 Mtemátics 1º Bchillerto Añdir ests fórmuls l formulrio mtemático de este curso. Utilizdo ls propieddes teriores, simplificr l siguiete epresió: 0 1 ( ) ( 1 ) + 1 (Sol: 1) 6. Completr: Defiició de ríz -ésim Csos prticulres de simplificció Equivleci co u poteci de epoete frcciorio Simplificció de rdicles/ídice comú Producto de ríces del mismo ídice Cociete de ríces del mismo ídice ( ) m p m p Poteci de u ríz ( ) m Ríz de u ríz m Itroducir/Etrer fctores Añdir ests fórmuls l formulrio mtemático de este curso. Utilizdo ls propieddes teriores, simplificr l siguiete epresió: ( ) (Sol: 1 ) Repso poliomios y frccioes lgerics: 7. Ddos P() y Q() 4-4 +, se pide: ) Etrer el máimo fctor comú de Q() ) P()- Q() c) Q() Q() d) P() : Q() 8. Simplificr: Operr y simplificr: Sol : (Sol: +4) + + (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-7

28 Mtemátics 1º Bchillerto Repso ecucioes, sistems e iecucioes: 10. Resolver: ) ) y y 4 6 (Sol: 1, y-) c) ( + )( ) ( ) 41 4 (Sol: ±1) 6 d) (Sol: 114) e) f) y 1 + y 1 (Sol: -) (Sol: 14, y 1-; 1, y 0) g) ( - ) ( + )( ) + < + 6 [Sol: (0,7)] 6 h) i) 5 ( + ) ( + 4) + 4 ( +1) ( 1) +1 < [Sol: [-,)] [Sol: [-1,7)] Misceláe (I): 11. Idicr cuál es el meor cojuto umérico l que perteece los siguietes úmeros (N, Z, Q o I); e cso de ser Q o I, rzor el porqué: π (Soluc: I; I; N; Q; Z; Q; Q; I) 4 0, ,, Represetr e l rect rel los siguietes itervlos y defiirlos empledo desigulddes: ) [,4] ) (1,6) c) [1,5) d) (-1, ) e) (-,) f) (0, ) g) (-,] h) [-,] i) (5/, ) j) (-,-] Ejercicios liro: pág. 9: y 4; pág. 47: 6, 7 y 8 1. Operr, simplificdo e todo mometo: ) : 4 5 : 5 (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-8

29 Mtemátics 1º Bchillerto ) ( ) + ( ) ( ) (Sol: -4/179) c) 4 8 ( ) (Sol: 4 5 ) 14. Ddos P() , Q() -+7 y R()7 -+1, hllr: ) El vlor umérico de P() pr - ) L fctorizció de R() c) P()+Q()+R() (Sol: ) d) P()-Q()-R() (Sol: - +-5) e) P()+Q()-R() (Sol: ) f) P() : (+) por Ruffii 15. Operr y simplificr: Sol : Resolver: ) ) c) y + z 6 + y z 9 + y + z (Sol: 0) (Sol: 1, y-; z) (Sol: 0; ±) d) e) (Sol: 5; 1/9) (Sol: ± ) f) g) h) y 1 + y 0 ( + 1)( 1) ( + )( ) > > + ( + ) ( + 6) [Sol: (-,-5]U[1, )] [Sol: (6,10)] i) 1 [Sol: [-1,0)U[1, )] (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-9

30 Mtemátics 1º Bchillerto 17. Señlr cuáles de los siguietes úmeros so rcioles o irrcioles, idicdo el porqué: ), ) 0, c) 5, d) 0, e) 7, f) 4, (Soluc: Q; I; Q; I; Q; I) 18. Represetr e l rect rel los siguietes cojutos uméricos y omrrlos empledo itervlos: ) { IR/ -< } d) { IR/ <0} g) { IR/ >-} j) { IR/ } ) { IR/ 1 4} e) { IR/ } h) { IR/ 5} k) { IR/ } c) { IR/ } f) { IR/ >4} i) { IR/ <5} 19. Operr, simplificdo e todo mometo: ) : : (Sol: 6/1697) ) ( 4) (Sol: -1/64) ( 15) c) (Sol: ) 0. Ddos P() y Q()-, se pide: ) Fctorizr P(), por Ruffii ) Q 5 (), por Trtgli c) P() Q()- Q () d) P() : Q() 1. Operr y simplificr: Sol : Resolver: ) ) + y z 0 y + z 1 + y + 4z (Sol:, y-1; z) (Sol: 1; -4) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-0

31 c) y y (Soluc :, y 4 ) d) > 5 15 (Sol: <) e) +15+1<0 (Sol: soluc.) f) +15+1>0 (Sol: R) g) ( + )( ) ( - )( + ) < 4 4 [Sol: (-,-)U(, )] h) ( -4)( +4)<0. Seprr los siguietes úmeros e rcioles e irrcioles, idicdo el porqué: 1,6 π ,7 0, ,75-1 6,4 5 1, Ejercicios liro: pág. 8: 1 y 4. Hllr l U e de los siguietes itervlos: ) A[-,5) B(1,7) ) C(0,] D(, ) c) E(-,0] F(-, ) d) G[-5,-1) H(,7/] e) I(-,0) J[0, ) f) K(,5) L(5,9] g) M[-,-1) N(,7] h) O(-,7) P(,4] 5. Clculr, plicdo, siempre que se posile, ls propieddes de ls potecis, y simplificdo e todo mometo. Cudo o se y posile plicr ls propieddes de ls potecis, deido l eisteci de u sum o rest, psr l poteci úmero y operr: (Sol: -608/81) Ejercicios liro: pág. 45: 7, 8, 1 y ) Etrer fctores y simplificr: Sol : ) Sumr, reduciedo previmete rdicles semejtes: 17 Sol : c)rciolizr y simplificr: Sol : 5 Mtemátics 1º Bchillerto (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-1

32 6 Mtemátics 1º Bchillerto Sol : (Sol: ) 7. Ddos P() y Q() -9, se pide: ) Fctorizr P(), por Ruffii ) Q 4 (), por Trtgli c) P()-Q () Q () d) P() : Q() 8. Operr y simplificr: (Sol : + ) 9. Resolver: ) - -0 (Sol: 10, -1) ) 1 ( Sol : /, 1 - ) c) ( +1) 4 65 (Sol: ±) d) ( -1) 4 0 (Sol: ±1) e) , 10 ) 1 g) (Sol: 1-1, -) h) (Sol: 0, ±) i) + 5 (Sol: ) j) (Sol: 10, ; - ) k) -7-7 (Sol: 1) l) <9 [Sol: (-,)] f) 0 (Sol: soluc.) 0. Verddero o flso? Rzor l respuest: ) Todo úmero rel es rciol. ) Todo úmero turl es etero. c) Todo úmero etero es rciol. d) Siempre que multiplicmos dos úmeros rcioles oteemos otro rciol. e) Siempre que multiplicmos dos úmeros irrcioles oteemos otro irrciol. f) Etre dos úmeros reles eiste siempre u rciol. g) " " " " " " " " Ejercicios liro: pág. 49: 6 1. Represetr los siguietes itervlos e idicr su uió e itersecció: ) [-,5) y [, ) ) (0,) y [9/, ) c) (-5,-1] y [-1,4] d) (-1,) y [, ) Ejercicios liro: pág. 47: 9, 40 y 45 (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-

33 Mtemátics 1º Bchillerto Ecucioes e iecucioes co vlor soluto:. Idicr pr qué vlores de se cumple ls siguietes relcioes; e el cso de ls desigulddes, idicr l solució medite itervlos: ) 5 ) 5 c) >5 c) -4 (Sol: 1, 6) d) -4 (Sol: [,6]) e) -4 > (Sol: (-,)U(6, )) f) +4 >5 (Sol: (-,-9)U(1, )) Ejercicios liro: pág. 47: 41 y 4 g) - h) 0 i) < j) k) +1 (Sol: 1-4, ) l) - (Sol: [-1,5]) m) 7 ) 6 o) > p) - <5 (Sol: (-,7)) q) + 7 (Sol: (-,-10]U[4, )) r) <8 (Sol: (-4,4)) Resolució gráfic de iecucioes y sistems:. Resolver gráficmete los siguietes sistems de ecucioes de 1 er grdo; resolverlos cotiució líticmete (por el método desedo), y compror que se otiee idético resultdo: ) + y 1 y (Soluc: 7, y5) d) + y 0 y 5 (Sol:, y-1) ) + y 6 y (Soluc: 0, y) e) + y 5 + y 7 (Sol:, y1) c) + y 4 y 1 (Soluc: 1, y1) f) + y 1 y (Sol: 1, y0) 4. Resolver gráficmete ls siguietes iecucioes de º grdo; resolverls cotiució líticmete y compror que se otiee idético resultdo: ) [Sol: (-,]U[4, )] ) --<0 [Sol: (-1,)] c) -5+6>0 [Sol: (-,)U(, )] d) [Sol: [-,5]] e) [Sol: (-,1]U[7/, )] f) -16+4<0 [Sol: (,6)] g) [Sol: IR] h) ->0 [Sol: (-,0)U(, )] i) -4 0 [Sol: (-,-]U[, )] j) -4+4>0 [Sol: IR-{}] k) [Sol: IR] l) +6+9>0 [Sol: IR-{-}] m) -+1<0 [Sol: soluc.] ) [Sol: ] o) 6-5-6<0 [Sol: (-/,/)] p) -4+7<0 [Sol: soluc.] r) -8+6<0 [Sol: (-, -1)] s) [Sol: [-, -]] t) [Sol: [1,4]] (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-

34 Sol : + Mtemátics 1º Bchillerto Notció cietífic: 5. Psr otció cietífic los siguietes úmeros: ) ) 456 c) 0,5 d) 0, e) f) 0, g) ,4 h) 0, i) j) 14 illoes k) 150 milloes $ l) 7, m) 7 ) 0, o) 10 p) 1 q) 0, r) s) -45,45 6. Relizr ls siguietes opercioes de dos forms distits (y compror que se otiee el mismo resultdo): - Si clculdor, plicdo sólo ls propieddes de ls potecis. - Utilizdo l clculdor cietífic. ), , ) 4, , c) 1, , d), , e), , f) 4, , g) 7, , h) ( 10 9 ) (, ) 9 i) 8, , j) ( )( ) k) ( 10 5 ) 5 Ejercicios liro: pág. 9: y ; pág. 47: L estrell más cerc uestro sistem solr es α-ceturi, que está u distci de t sólo 4, ños luz. Epresr, e km, est distci e otció cietífic. (Dto: velocidd de l luz: km/s) Cuáto trdrí e llegr u sod espcil vijdo 10 km/s? (Sol: 4, km) Misceláe (II): 8. Si el ldo de u cudrdo umet cm, su áre umet 8 cm Cuáles so ls dimesioes del cudrdo origirio? (Sol: Se trt de u cudrdo de ldo 6 cm) 9. ) Qué otro omre recie el itervlo [0, )? Y (-,0]? ) A qué equivle IR + U IR -? Y IR + IR -? 40. ) Simplificr, reduciedo previmete rdicles semejtes: Rciolizr y simplificr: ) (Sol: 11/7) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-4

35 6 Sol : 5 10 Mtemátics 1º Bchillerto Sol : c) Operr y simplificr: ( 7 + ) ( 5 1) d) Simplificr y operr: cuets y oserv que si fuer dos estudites más, cd uo tedrí que pgr 4 meos. Cuátos estudites h lquildo el piso? Cuáto pg cd uo? (Sol: 5 estudites 84 cd uo) 41. U grupo de estudites lquil u piso por el que tiee que pgr 40 l mes. Uo de ellos hce 4. Clculr el volume proimdo (e m ) de l Tierr, tomdo como vlor medio de su rdio 678 km, 4 ddo el resultdo e otció cietífic co dos cifrs decimles. ( Volume de l esfer : π r ) (Sol: 1, m ) 4. Co dos tipos de riz, de,50 /kg y de 1,50 /kg, queremos oteer u riz de, /kg. Cuátos kilogrmos teemos que poer de cd clse pr oteer 50 kg de l mezcl? (Ayud: plter u sistem de ecucioes de primer grdo) (Sol: 18 kg del riz de,50 y kg del de 1,50) 44. Rciolizr deomidores y simplificr: ) Sol : ) Sol : 4 c) d) (Sol: 7) Sol : Ejercicios liro: pág. 45 y ss.: 9, 10, 11, 1 y 15 (potecis de epoete frcciorio) pág. 1: 1,, y 4; pág. : 5 y 6; pág. 46: 16, 17, 1,, y 7 (opercioes co rdicles) pág. : 8; pág. 46: 5 y 6 (rdicles semejtes) pág. : 7; pág. : 9 y 10; pág. 46: 4, 8 y 9 (rciolizció) 45. Dos ároles de 15 m y 0 m de ltur está u distci de 5 m. E l cop de cd uo hy u lechuz l cecho. De repete, prece etre ellos u rtocillo, y ms lechuzs se lz su cptur l mism velocidd, llegdo simultáemete l lugr de l pres. A qué distci de cd árol preció el rtó? (Ayud: Si se lz l mism velocidd, recorre el mismo espcio, pues lleg l vez; plicr el teorem de Pitágors, y plter u SS.EE. de º grdo) (Sol: 15 m del árol más lto) 46. E u lz de precisió pesmos cie gros de rroz, oteiedo u vlor de 0, kg. Cuátos gros hy e 1000 toelds de rroz? Utilícese otció cietífic. (Sol:, gr) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-5

36 Mtemátics 1º Bchillerto 47. U lmceist de frut compr u determido úmero de cjs de frut por u totl de 100. Si huier comprdo 10 cjs más y cd cj le huier slido por 1 meos, etoces hrí pgdo 10. Cuáts cjs compró y cuáto costó cd cj? (Sol: 0 cjs 5 ) 48. L luz del sol trd 8 miutos y 0 segudos e llegr l Tierr. Clculr l distci Tierr-Sol, empledo otció cietífic. (Sol: 1, km) 49. Hllr dos úmeros positivos siedo que su cociete es / y su producto 16 (Sol: 1 y 18) 50. TEORÍA: ) Qué es el discrimite de u ecució de º grdo? Qué idic? Si llegr resolverl, cómo podemos ser de temo que l ecució ++1 crece de solucioes? ) Ivetr u ecució de º grdo co ríces 1 / y, y cuyo coeficiete cudrático se c) Si resolver y si sustituir, cómo podemos segurr que ls solucioes de so 1 15 y -0? d) Clculr el vlor del coeficiete e l ecució ++60 siedo que u de ls solucioes es 1. Si ecesidd de resolver, cuál es l otr solució? 51. U rectágulo tiee 00 cm de áre y su digol mide 5 cm. Cuáto mide sus ldos? (Sol: 0 15 cm) 5. Resolver: ) ) (Sol: 1, -) (Sol: ±) c) 1 + y (Sol: 11; y 1; /5; y 1) y d) (Sol: 5) 5. U frutero h comprdo mzs por vlor de 6. Si el kilo de mzs costr 0,80 meos, podrí comprr 48 kg más. Clculr el precio de ls mzs y l ctidd que compró. (Sol: 10 kg,80 /kg) 54. Resolver l ecució 1, siedo que u de sus ríces es 1/ (Sol: ±1/, /) 55. U perso compr u prcel de terreo por Si el m huier costdo meos, por el mismo diero hrí podido comprr u prcel 00 m myor. Cuál es l superficie de l prcel que h comprdo? Cuáto cuest el m? (Sol: 600 m ; 8 ) 56. Resolver l ecució (Sol: ) 57. El áre de u triágulo rectágulo es 0 m y l hipoteus mide 1 m. Cuáles so ls logitudes de los ctetos? (Sol: 1 m y 5 m) 58. Resolver l ecució 1 (Ayud: plicr Trtgli y Ruffii) (Sol: 1) 59. Clculr dos úmeros turles impres cosecutivos cuyo producto se 195 (Sol: 1 y 15) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-6

37 Sol : 67. U cmpo rectgulr de 4 h de superficie tiee u perímetro de 10 hm. Clculr, e metros, su logitud Mtemátics 1º Bchillerto 60. Resolver: ) y y 1 (Sol: 1, y) ) 1 y y (Sol: 1; y1) 61. Si multiplicmos l tercer prte de cierto úmero por sus tres quits prtes, oteemos 405. Cuál es ese úmero? (Sol: 45) 6. ) Ivetr u ecució poliómic de grdo que teg úicmete por solucioes -, 1 y ) Ivetr u ecució poliómic de grdo 4 que teg úicmete como ríces 1 y c) U poliomio de grdo, cuáts ríces puede teer como míimo? Rzor l respuest. (Sol: 1 ríz) 6. Vrios migos lquil u locl por 800. Si huier sido tres más, hrí pgdo cd uo 60 meos. Cuátos migos so? (Sol: 5 migos) 64. Determir el poliomio de grdo que verific: P(-1)P()P(-)0 y P(-) Uo de los ldos de u rectágulo es dole que el otro y el áre mide 50 m. Clculr ls dimesioes del rectágulo. (Sol: 5 10 m) 66. Simplificr ls siguietes frccioes lgerics: y ) 1 y y y ) y y y : d) y + y y Sol : y c) (Sol: y) Sol : + y 1 y su chur. (Recordr: 1 h100 ; m ) (Sol: 100 m 400 m) 68. Demostrr que: ) c c d d + ) ( ) ( ) Ls digoles de u romo está e l relció de. El áre es de 108 cm. Clculr l logitud de ls digoles y el ldo del romo. (Sol: d1 cm; D18 cm; l 10,81 cm) 70. Operr y simplificr: Sol : Ejercicios liro: pág. 71: 1, y ; pág. 9: 1 y (descomposició fctoril; Ruffii); pág. 9: 4 (simplificció de F.A.) pág. 7: ; pág. 74: y 4; pág. 9: 5 y 6 (opercioes co F.A.) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-7

38 Mtemátics 1º Bchillerto 71. El diámetro de l se de u cilidro es igul su ltur. El áre totl es 169,56 m. Clculr sus dimesioes. (Sol: dh6 m) 7. Trsformr e potecis de epoete frcciorio l siguiete epresió, operr y simplificr: 7. Despejr y simplificr: ( Sol : ± 5 ) 74. Demostrr que so cierts ls siguietes igulddes: ) ( 1) ) + ( +1) 75. Clculr l velocidd y el tiempo que h ivertido u ciclist e recorrer u etp de 10 km siedo que, si huier ido 10 km/h más depris, hrí trddo u hor meos. (Sol: v0 km/h; t4 h) 76. Resolver: ) 4 ) + 4 (Sol: 1-1, 4) (Sol: 1-1/; 7) Ejercicios liro: pág. 96: 44 y E u terreo rectgulr de ldos 64 m y 80 m se quiere pltr 57 ároles formdo u cudrícul regulr. Cuál será el ldo de es cudrícul? (Ayud: E el ldo meor, por ejemplo, hy 64/ cudrículs, y u árol más que el úmero de cudrículs) (Sol: 4 m) 78. Operr, rciolizdo previmete ( ) Sol : Al umetr e 1 cm l rist de u cuo su volume umet e 71 cm. Cuáto mide l rist? (Ayud: plter u ecució de er grdo) (Sol: 9 cm) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-8

39 Mtemátics 1º Bchillerto 80. Dos tijs tiee l mism ctidd de vio. Si se ps 7 litros de u otr, ést cotiee hor el triple que l primer Cuátos litros de vio hí e cd tij l pricipio? (Sol: 74 l) 81. U pdre, preocupdo por motivr su hijo e Mtemátics, se compromete drle 1 por prolem ie hecho, mietrs que, si está ml, el hijo le devolverá 0,5. Después de relizr 60 prolems, el hijo gó 0. Cuátos prolems resolvió correctmete? (Ayud: Plter u SS.EE. de 1 er grdo) (Sol: 40 prolems) 8. Tres hermos se reprte u premio de 50. Si el myor recie l mitd de lo que recie el medio; y el medio l mitd de lo que recie el pequeño, cuáto diero tedrá cd hermo l fil? (Sol: 50 el myor, 100 el medio y 00 el pequeño) 8. U gdero decide reprtir u md de 456 cllos etre sus hijos e hijs. Ates del reprto se efd co los dos úicos vroes, que se qued si cllos. Así, cd hij recie 19 cezs más. Cuáts hijs tiee el gdero? (Sol. 6 hijs) 84. U cudrill de vedimidores tiee que vedimir dos fics, u de ls cules tiee dole superficie que l otr. Durte medio dí trjó todo el persol de l cudrill e l fic grde; después de l comid, u mitd de l gete quedó e l fic grde y l otr mitd trjó e l pequeñ. Durte es trde fuero termids ls dos fics, ecepció de u reducido sector de l fic pequeñ, cuy vedimi ocupó el dí siguiete completo u solo vedimidor. Co cuátos vedimidores cot l cudrill? (Ayud: Llmr l º de vedimidores y s l superficie que vedimi u perso e medi jord, y plter u ecució, o u sistem!) (Sol. 8 vedimidores) (C) Rúl G.M. 015 Tem 0: Repso de coceptos de úmeros y álger O-9