Capítulo 5. Los números reales y sus representaciones Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-1

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Javier Moreno Cuenca
hace 7 años
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1 Capítulo 5 Los números reales y sus representaciones 2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-1

2 Capítulo 5: Los números reales y sus representaciones 5.1 Números reales, orden y valor absoluto 5.2 Operaciones, propiedades y aplicaciones de los números reales 5.3 Números racionales y representación decimal 5.4 Números irracionales y representación decimal 5.5 Aplicaciones de decimales y porcentajes 2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-2

3 Sección 5.4 Números irracionales y representación decimal 2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-3

4 Números irracionales y representación decimal Definición y conceptos básicos Irracionalidad de contradicción y demostración por Operaciones con raíces cuadradas Los números irracionales 2,, and e. y 2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-4

5 Definición: números irracionales Números irracionales {x x es un número representado por un decimal que no es periódico ni repetitivo} 2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-5

6 Irracionalidad de 2 2 es un número irracional. La prueba de esto es una demostración por contradicción. Necesitamos considerar lo siguiente: 1. Para una expresión racional que está en sus términos simplificados, el máximo común divisor del numerador y el denominador es Si un número entero es par, 2 es uno de sus factores. 3. Si un cuadrado perfecto es par, entonces su raíz cuadrada es par Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-6

7 Irracionalidad de 2 (demostración) En la ecuación 2q 2 = p 2, se puede ver que 2 es un factor de p 2, así que p 2 es par y, por lo tanto, p también. Como p es par, se puede escribir en la forma 2k, donde k es un número entero q (2 k) q 2 2 2q 4k 2 2 2k Sustituya p con 2k. Como 2 es un factor de q 2, entonces q 2 y q deben ser pares Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-7

8 Irracionalidad de 2 (comprobación) Esto lleva a una contradicción: p y q no pueden ser ambos pares porque entonces tendrían un factor común igual a 2. Y se supuso que su máximo común divisor era 1. Por lo tanto, como el supuesto original de que es racional llevó a una contradicción, de ahí se sigue que 2 es irracional Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-8

9 Operaciones con raíces cuadradas En las siguientes diapositivas se estudiarán la multiplicación, división, suma y resta con raíces cuadradas Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-4-9

10 Regla de productos para raíces cuadradas Para números reales no negativos a y b, a b a b Pearson Education, Inc. Diapositiva

11 Forma simplificada de un radical de raíz cuadrada 1. El número dentro del radical (radicando) no tiene factores (con excepción de 1) que sean cuadrados perfectos. 2. El radicando no tiene fracciones. 3. Ningún denominador contiene un radical Pearson Education, Inc. Diapositiva

12 Ejemplo: Simplificación de un radical de raíz cuadrada (regla del producto) Simplifique 32. Solución Pearson Education, Inc. Diapositiva

13 Regla del cociente para raíces cuadradas Para los números reales no negativos a y los números reales positivos b, a b a b Pearson Education, Inc. Diapositiva

14 Ejemplo: Simplificación de radicales de raíces cuadradas (regla del cociente) Simplifique 7. 9 Solución Pearson Education, Inc. Diapositiva

15 Racionalización del denominador 5, Dado 3 para obtener una expresión equivalente sin radical en el denominador se usa el procedimiento conocido como racionalización del denominador, que se muestra a continuación Forma simplificada Pearson Education, Inc. Diapositiva

16 Suma y resta de radicales de raíces cuadradas Sume o reste como se indica. a) b) Solución a) (8 2) b) Pearson Education, Inc. Diapositiva

17 Los números irracionales π, ϕ y e Pi ( ) Pi representa la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro Pearson Education, Inc. Diapositiva

18 Los números irracionales π, ϕ y e Fi ( ) Fi es la razón áurea y su valor exacto es Pearson Education, Inc. Diapositiva

19 Los números irracionales π, ϕ y e e e es un número fundamental en nuestro Universo. Es la base de las funciones exponencial y logarítmica. e Pearson Education, Inc. Diapositiva

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