34 EJERCICIOS de LOGARITMOS

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1 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto. v) Dominio y rcorrido. vi) Asíntots. vii) lim f() y lim f() - ) f() = 0 y f() = b) f() 0, = y f() = 0, c) f() = y f() = d) f() = y f() = ) si < 0 si 5 f() = + + si 0 <. El mtmático suizo Lonhrd Eulr (707-78) obtuvo n 7 ls siguints fórmuls: + cos θ = sn θ = i iθ iθ iθ iθ Comprobr qu vrificn sn θ + cos θ = Dfinición d ritmo: N = = N (dond >0, ) Sistms d ritmos más utilizdos: NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN N = 0 = N Logritmo dciml =0 N = = N Logritmo nprino = Ln, dond, s llm ct. d Eulr; s un númro irrcionl.. Utilizndo l dfinición, hllr los siguints ritmos: ) 9 b) 8 c) /9 d) (-9) ) f) 8 g) h) i) 6 j) 0 0,0 k) /6 l) 5 0, m) 56 n) /6 o) 0,5 p) q) 0 r) /6 s) 7 t) (Soluc: ) ; b) ; c) -; d) ; ) /; f) /; g) ; h) /; i) ; j) -; k) -; l) -; m) ; n) -; o) -; p) 0; q) 0; r) -6; s) /; t) ). Clculr los ritmos dcimls d los siguints númros (sin clculdor) y comprobr l rsultdo: En honor John Npir (Npr, n ltín), mtmático inglés (550-67) invntor d los ritmos. Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

2 Mtmátics I LOGARITMOS ) b) c) 0,00 d) / ) 0 8 f) 0-7 g) 0 h) (Soluc: ) ; b) 6; c) -; d) -6; ) 8; f) -7; g) ; h) 0) 5. Utilizndo l dfinición d ritmo, hllr l vlor d n cd un d ls iguldds siguints: ) 8= f) =- k) 5=- p) =0 u) =0 b) /8= g) 9= l) /00 00= q) 0,5 = c) 00= h) 8= m) 0.0= r) (-6)= d) = i) = n) =-/ s) 5=- ) = j) 6= o) /6 = t) = (Soluc: ) ; b) -; c) ; d) 7; ) ; f) /9; g) 7; h) ; i) ; j) 6; k) /5; l) -; m) 0,; n) /; o) /96; p) ; q) 0,065; r) ; s) /5; t) 0 u) R) Cálculo rítmico: Fórmuls dl cálculo rítmico: p q = p + q p = p - q q n p = n p n p = p n (tods son válids n culquir bs) Csos prticulrs: = = = = = = 0 = = 0 6. Aplicndo ls fórmuls ntriors, clculr (y hcr l comprobción): ( ) , 7. / Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

3 5 + Mtmátics I LOGARITMOS (Soluc: ) -; ) /; ) /; ) -/; 5) ; 6) -/5; 7) /; 8) -; 9) /; 0) /; ) 5/6; ) /; ) 6; ) -; 5) /5; 6) -/; 7) -/; 8) ; 9) 5/; 0) /; ) -9/5; ) -/; ) -5/; ) ; 5) -/; 6) -/; 7) /; 8) /; 9) /; 0) -7/; ) -; ) -5/; ) -5/; ) 5) 7. Volvr hcr l jrcicio, pro st vz plicndo ls fórmuls dl cálculo rítmico. 8. Eprsr n función d los ritmos dcimls siguints, y comprobr con l clculdor: ) 6 d) 0,5 g) /0 j) 0, m) 0,0 8 b) 5 ) 0,65 h) 6 k) 0, n) c) /5 f) 50 i) 6/5 l) (Soluc: ) ; b) - ; c) -+6 ; d) - ; ) - ; f) - ; g) -- ; h) ; i) -+5 ; j) -+5 ; k) -+ ; l) ; m) + ; n) - ) 9. Eprsr n función d o : 8 ) b) c) d) (Soluc: ) ; b) - ; c) - ; d) + ; ) ) + ; f) f) ; g) ) g) 9 0. Eprsr n función d y los ritmos siguints, y comprobr con l clculdor: ) 5 b) c) / d) 9/ ) 6 f) 0 g) 6 h),6 i), (Sol: ) - ; b) + ; c) - ; d) - ; ) j) 90 k) 0,7 l) 0,7 m),6 + ; f) + ; g) + ; h) -+ + ; i) -+ + ; j) + ; k) -+ ; l) -+ + ; m) -/+ + ). Eprsr n función d, y 7 los ritmos siguints: ) 8 b) 0,8 c) 0,5 d), ). Clculr: ) b) (Sol: 6) (Sol: ) c) (Sol: -/9). Justificr ls siguints iguldds: 6 + = ) b) 5=(- ) c) = = / ) 5 + (*) f) = 9 d) 0 = Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

4 + b Mtmátics I LOGARITMOS. Sbindo qu 7,5 = 0, , hllr (sin clculdor): ) 75, b) 0,0075 c) Utilizndo ls fórmuls dl cálculo rítmico, dsrrollr l máimo ls prsions siguints: mnp ) () g) qr l) q) ( 0 ) b) ( ) m) ( -y ) b c5 / c) h) m r) mp n y r n) pq r mn i) d) ( p s) ( n y m ) m n m n ) o) ) () t) pq m j) c p) m + f) mn u) k) (Sol: ) + ; c b) + ; c) + - y; d) + ; ) + ; f) ; m + n g) m+ n+ p- q- r; h) ; i) r m+r n-r p; j) -- ; k) ; l) ; m) (+y)+(-y); n) n m - p -r q m + ; o) m ; p) n m + + b + 5 c m p + q) ; r) ; s) n +m y; t) + m+ n- p- q u) ) + n m m Obtnr n ls siguints prsions: = + ) = b) + b = c) b c + d Soluc : = 0 ( ) b Soluc : = ( c d ) b 6 Soluc : = 6 ( ). 7. Sbindo qu =7 y=, utilizr l clculdor pr hllr: ) b) () c) d) (+y) ) + y f) + y g) + y lo g + lo g b = 7 8. ) Hllr sbindo qu b 7 (Soluc: =9) N b) Si N=, cuánto vl N? Cuánto vl N? (Soluc: -8; N=6) 9. En qué bs s cumpl qu + =? (Soluc: =6) 0. V o F? Rzonr l rspust: ) (A+B)= A + B b) (A +B )= A+ B c) = Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

5 d) ) = AB C C = AB Mtmátics I LOGARITMOS f) El ritmo d un númro simpr d como rsultdo un númro irrcionl. g) Los ritmos dcimls d númros < son ngtivos; n cso contrrio, son positivos.. CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobr l vrcidd d l siguint fórmul, dbid l físico británico Pul Dirc (90-98), qu prmit scribir culquir númro N mpdo solmnt trs doss: N= (N rícs). Cuáls son los númros cuyos ritmos dcimls stán comprndidos ntr 0 y? Y ntr 0 y -? (Soluc: y 00; 0,0 y ). ) Rzonr ntr qué dos númros ntros stá 000. Comprobr l rsultdo con l clculdor. b) Ídm con 650. Ecucions ponncils:. Rsolvr ls siguints cucions ponncils por l método más propido, y comprobr l rsultdo n cd cso: + + = 0 = 8 9. (Soluc: =). (Soluc:,57) = 0. 8 = 7 (Soluc: -,759). + + = = = 6 = = 80 (Soluc: 5,79) (Soluc: =) (Soluc: =) (Soluc: =-6) 7. (Soluc: =) = 8. (Soluc: soluc.) 5 = (Soluc: =) = 0. (Soluc:,055) + = (Soluc: =) = / = = = 7 6. (Soluc: =) (Soluc:,099) (Soluc: soluc.) (Soluc: =) = 7 (Soluc: -,958) = 7. = 9 8. ( ) (Soluc: =, =) (Soluc: =) 0. (Soluc: 0,80) = (Soluc: =-) = 0 (Soluc: =0, =; =) + =. (Soluc: =) =. 0 (Soluc: soluc.) = 0 5. (Sol: =, =) 6. = 6+ (Soluc: =) 7. - = (Sol: =, =) 8. = + (Soluc: -7,880) = 0 (Soluc: =, =) 0. = 79 (Soluc: =5). 9 = 7 (Soluc:,5) +9 =. (Soluc: 5,8) =. 8 (Soluc: =±) 0 =. + = = 6. (*) + / = = (Soluc: =) (Soluc: =0, =) (Soluc: =-, =) (Soluc: =) Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

6 Mtmátics I LOGARITMOS + = 0 9. (Soluc: soluc.) + = 0 0. (Sol: =, = / ) = 5 (Soluc: =) = = (Soluc: =0, =) + = = = 6 (Soluc: =) (Soluc: =) (Soluc: =) (Soluc:,5850) 9 = 8 7. = = + 9. = = 5. = (Soluc: =, = / ) (Soluc: =0) (Soluc: soluc.) (Soluc: =-) (Soluc: =) (Soluc: = ) 5. Considérs l siguint fórmul: U = P( ρ + V) /D ρ V P D U D Dspjr ρ (Ayud: no s ncsrio utilizr ritmos) (Soluc: = + ) 6. Sin ncsidd d oprr, rzonr qu cucions dl tipo: + = = = 0, tc. no pudn tnr solución. Ecucions rítmics: 7. Rsolvr ls siguints cucions rítmics, comprobndo l vlidz d ls solucions obtnids: ) - (+6)= (Soluc: =) b) ( +)= 65 (Soluc: =±) c) (Soluc: =±5) d) (Soluc: =0) ) + + = = = (Soluc: =-) f) (-)+ (+)= + (-) (Soluc: =5) Soluc : = 0; = 5 0 /0 g) + 7-9=0 ( ) h) =0 ( ) i) (-)= - (Soluc: =) j) (+)- (-6)= (Soluc: =7) k) 0 - = (Soluc: =) l) (+9)=+ (Soluc: =/) Soluc : = m) (+)+ (-)=/00 ( ) n) = Soluc : = 0 (Soluc: =5) o) ( -7+0)= (Soluc: =; =5) Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

7 Mtmátics I LOGARITMOS p) + (+)= (Soluc: =) q) ( ++6)=+ (+) (Soluc: =; =6) r) + + = (Soluc: =/) s) - (-)= (Soluc: =) t) (-)+ (+6)= (+) (Soluc: =) u) + (-)= (Soluc: =5) v) (+9)- = (Soluc:,8) w) (+6)-= (-) (Soluc: =; =/5) ) (+)- = (Soluc: =/0) y) (6-)- (+)= (Soluc: =) z) + =5 (Soluc: =0) Sistms d cucions ponncils y/o rítmics: 8. Rsolvr los siguints sistms, comprobndo l vlidz d ls solucions obtnids: ) y = y (Soluc: =, y =-) = b) c) d) ) f) g) y = y = 5 = + = y 5 y = = + y y = y = ( ) ( ) y = 5 + y = 0 + y = 5 ( + ) y = (Soluc: =, y =-5) (Soluc: =, y =0) (Soluc: =, y =-) (Soluc: =0, y =) (Soluc: =, y =-7) (Soluc: =9, y =5) Problms d plicción: 9. ) Dmostrr qu l función qu prmit clculr n cuánto s convirt un cpitl C 0 cumuldo l cbo d t ños con un intrés i s: dond: C 0 s l cpitl inicil, n i s l intrés nul, n % i C(t)=C0 +, n 00 t Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

8 Mtmátics I LOGARITMOS b) Cuánto dinro tndrmos l cbo d 6 ños si colocmos plzo fijo l %? (Soluc: 5 ) c) Cuántos ños dbmos mntnr n un ntidd bncri un ts dl,5% si qurmos duplicr l cpitl? Es rlvnt l dto dl cpitl inicil? (Soluc: 8 ños; NO) d) Un prson qu tin dpositd n un cj d horros un ts dl % quir llgr tnr Cuánto timpo dbrá mntnr intcto l cpitl? (Soluc: 9 ños y 9 mss) 0. ) Dmostrr qu l función qu prs l volumn d mdr qu tin un bosqu l cbo d t ños s: dond: M 0 s l volumn inicil d mdr, n m l s l crciminto nul, n % 0 ( ) t M(t)=M +l, n m b) S clcul qu un bosqu tin 000 m d mdr y qu umnt l 5% cd ño Cuánt mdr tndrá l cbo d 0 ños si sigu crcindo n sts condicions? (Soluc: 9 56,7 m) c) Cuánto timpo trdrá n duplicrs l bosqu? (Soluc:, ños). Algunos tipos d bctris tinn un crciminto d sus poblcions muy rápido. L schrichi coli pud duplicr su poblción cd hor. ) Supongmos qu hcmos un cultivo n l qu inicilmnt hy 5000 bctris d st tipo. Construir un tbl pr rzonr qu l función qu nos d l númro d bctris l cbo d t hors s: t f(t)=5000 b) Cuánts hbrá l cbo d 6 hors? c) Dibujr un gráfic qu rprsnt l crciminto n ls 8 primrs hors. d) Si tnmos un cultivo d 00 bctris y qurmos consguir un millón, cuánto timpo h d trnscurrir? (Soluc: b) bctris; d) hors y curto) Cmbio d bs: = b b (fórmul dl cmbio d bs). Utilizndo l fórmul dl cmbio d bs s pid: ) Dmostrr qu b b = b) Hllr l rlción ntr l ritmo nprino y l ritmo dciml. c) Eprsr n función d (Soluc: =,9). ) Nustr clculdor sólo dispon d ritmos dcimls. Usndo l fórmul dl cmbio d bs, hllr 5 b) Rzonr qu 5 s irrcionl.. Volvr hcr l jrcicio, pro utilizndo st vz l clculdor y l fórmul dl cmbio d bs. Tto bjo licnci Crtiv Commons: s prmit su utilizción didáctic sí como su rproducción imprs o digitl simpr y cundo s rspt l mnción d su utorí, y s sin ánimo d lucro. En otros csos s rquir l prmiso dl utor

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