+ 5x. Objetivos Simplificar expresiones algebraicas racionales. Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas racionales.

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1 COLEGIO SECUNDARIO LA PLATA Colegio Secundario La Plata Educar para un mundo mejor Epresiones algebraicas racionales Objetivos Simplificar epresiones algebraicas racionales Sumar, restar, multiplicar y dividir epresiones algebraicas racionales Epresiones algebraicas racionales Son cocientes de polinomios Por consiguiente, debemos primeramente, determinar cuáles son los valores que hacen que el denominador se anule Tendrá sentido resolver siempre que los denominadores sean distintos de cero Cómo determinamos los valores que anulan al denominador? Igualamos el denominador a cero, y despejando la variable, es este caso, averiguamos los valores buscados: Ejemplos: a) b) c) con con 0 con 0 y con Simplificación Para simplificar una epresión algebraica, se factorizan numerador y denominador y se simplifican los factores comunes Ejemplos: ) 8 Etrayendo factor común en el denominador Con 0 y -8, porque sabemos que con estos dos valores de, se anula en denominador y no podríamos simplificar ( 8) Se simplifica la del numerador y denominador ( 8) ) Analía A Berretta

2 Se etrae factor común en el numerador y denominador y simplificamos las del numerador y denominador Con 0 y ) ( ) ( 9 ) Se etrae factor común en el numerador y se factoriza la diferencia de cuadrados en el denominador Con y con - ( ) ( )( ) ( ) Analía A Berretta

3 Resolver, determinando los valores que anulan al denominador: ) ) ) 6 9 ) 0 m m m m m ) y y y y 6) 7) a ( a b) ab( a b) a ( a b ) Analía A Berretta

4 6 6 8) 8 9) 6 9 0) ) ) a 6 a a 8 Adición y sustracción de epresiones algebraicas racionales Adición La adición de epresiones algebraicas racionales se define de la misma manera que la adición de números racionales A B C D A D B C B D Por lo tanto, si los denominadores son distintos, se debe buscar el mcm de los denominadores dados Para determinar el mcm se factoriza cada denominador en sus factores primos (factores irreducibles) y se forma el producto de los factores primos distintos, empleando el eponente más grande que aparezca en cada factor primo O sea, luego de la factorización de cada denominador, se toman los factores comunes y no comunes con su mayor eponente Analía A Berretta

5 Ejemplo con igual denominador: X X X X ( X ) ( X ) X X X X Sumamos los numeradores: X X Sacamos factor común en numerador y factorizamos la diferencia de cuadrados del denominador y luego simplificamos: ( ) ( X )( ) X Cada vez que realizamos una operación, debemos verificar: Qué términos podemos simplificar Si el resultado se puede simplificar Ejemplo con distinto denominador: Primeramente, factorizamos los denominadores Vemos en este caso claramente, que el primero es una diferencia de cuadrados y el segundo es el cuadrado de un binomio, por lo tanto: ( )( ) Debemos calcular el múltiplo común de menor grado de los denominadores, o sea calculamos el denominador común de menor grado: (Como en números fraccionarios, tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor eponente) ( ) ( ) ( ) mcmgr ( ) ( ) Con el nuevo denominador común, averiguamos los nuevos numeradores, o sea, estaremos escribiendo fracciones equivalentes a las dadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Distribuimos y sumamos los numeradores, ya que ahora tienen el mismo denominador, y reducimos términos: Analía A Berretta

6 Analía A Berretta 6 ) ( Sustracción Vamos a ver la sustracción en el mismo ejemplo anterior, pero con el signo cambiado Procedemos de la misma manera que en la adición Factorizamos los denominadores Debemos calcular el denominador común de menor grado Con el nuevo denominador común, averiguamos los numeradores Pero aquí debemos tener cuidado con el signo menos, ya que afecta a todo el segundo numerador ( [ ] ) Resolvemos el paréntesis dentro del corchete: [ ] Luego, resolvemos corchete: ) Cancelamos términos: ( Ya no podemos reducir más

7 Ejercitación en la adición de epresiones algebraicas: a) b) c) Vamos a ver qué sucede con esta ecuación: d) Para qué valores de tiene solución? e) Practicamos con sustracción de epresiones algebraicas a) b) c) 9 d) Analía A Berretta 7

8 Multiplicación y División de Epresiones algebraicas racionales: El producto de dos epresiones algebraicas racionales es igual a la epresión que resulta de multiplicar los numeradores dividida por la multiplicación de los denominadores- Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El cociente de dos epresiones algebraicas racionales es igual a la epresión que resulta de multiplicar la primera por la inversa de la segunda- Ejemplo: : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Ejercitación: a) b) c) d) : 8 e) 6 : 9 f) : g) h) : : Analía A Berretta 8

9 Ejercicios Combinados con epresiones algebraicas racionales Introduciremos ejercicios combinados, donde podremos ver todas las operaciones realizadas hasta ahora En los ejercicios combinados, también estaremos trabajando con potenciación y para ello debemos saber que: La potenciación de epresiones algebraicas fraccionarias, es distributiva con respecto a la división P Q Potenciación n P Q n n Con Q() 0 Veremos un ejemplo de potenciación: Se presenta la epresión algebraica elevada al cuadrado: Por propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la división: ( ) : 0 Realizaremos un ejemplo de un ejercicio combinado, determinando previamente cuáles son los valores de la variable, que anulan el denominador Ejemplo Nº 8 ( ) ( ) Factorizamos el numerador y denominador, como lo estamos realizando hasta ahora ( ) ( ) ( )( ) ( ) Por último simplificamos y nos queda: ( ) - ; ; Analía A Berretta 9

10 Por lo tanto, vemos que 8 : - ; ; ) Resolver los siguientes ejercicios combinados: a) : 8 b) : 9 6 c) 6 d) e) ECUACIONES RACIONALES Dada una epresión de la forma R(), siendo P() y Q() polinomios, Q() no nula, denominamos ecuación racional a la epresión R() 0 Resolver la ecuación es encontrar los valores de la variable para los cuales la epresión racional se hace cero, teniendo que eceptuar aquellos valores que nos anulan el denominador Q(), pues, ya sabemos que no está definida la división por cero Es decir, las raíces de R() son los valores de que anulan a P() Ejemplo : 0 Determinaremos cuáles son los valores de que nos anulan el denominador 0 Analía A Berretta 0

11 Analía A Berretta ) ( 0 Es evidente que los valores que anulan al denominador son: y - Resolviendo la ecuación nos queda: X 0 (ya que la multiplicación por cero es cero) Por consiguiente Resolveremos ecuaciones racionales, determinando previamente cuáles son los valores de la variable, que anulan el denominador Ejemplo : Sea la epresión a resolver: 0 Determinamos el común denominador y factorizamos 0 Determinamos cuáles son los valores de que anulan el denominador Dichos valores son: - y Aplicamos propiedad distributiva: de donde surge que 9 7

12 ) Resolver las siguientes ecuaciones racionales a) b) c) d) 7 e) f) 9 g) h) i) j) 6 Analía A Berretta

13 Problemas Planteamos las siguientes situaciones problemáticas: Ejemplo Si tenemos un terreno rectangular, como indica la figura, siendo su área de 0 m, calcular cuántos metros de alambre serán necesarios para cercarlo En este caso, sabemos que la superficie del rectángulo es base por altura, y que eso lo debemos igualar a 0 m Área del terreno : ( ) ( ) ( ) 0 Factorizando queda: ( ) ( ) ( ) 0 : - Simplificando queda: ( ) 0 ( ) 0 80 ± 8 Si bien los dos resultados de esta ecuación, son 9 y 9, nosotros solamente tendremos que optar por una de ellas Es decir, la que tenga sentido dentro del conteto del problema, ya que si elegimos el resultado 9, la longitud de los lados, sería negativo, cosa que es imposible dentro de la realidad Por lo tanto, el único resultado útil, será 9 Reemplazando este valor en la ecuación, resulta que 9 8 m 9 Y reemplazando el valor en, que es el otro lado, dará como resultado (9) 0 m Analía A Berretta

14 Verificamos en la ecuación planteada, igualando a 0 y comprobaremos los valores hallados: 9 ( 9 ) 8 0 ( 9 ) De esta manera verificamos que el valor hallado de verifica la igualdad Pero no debemos perder de vista el objetivo del problema, ya que la pregunta es, Cuántos metros serán necesarios para alambrar el terreno? Para ello debemos calcular el perímetro del mismo, sumando sus lados O sea: metros O lo que es lo mismo: metros Por lo tanto la respuesta al problema: Son necesarios 76 metros para alambrar el terreno (La respuesta corresponde en metros, ya que el área se planteó en m ) Ejemplo Si el área de una parcela de tierra que tiene la forma que se indica en la figura es de 00 m, indicar cuál es la longitud de sus lados Dato etra: Sabemos que la hipotenusa tiene m de largo - - ) Área total de la figura Sup del rectángulo sup del triángulo a) Sup del rectángulo: (-) ( )( )( ) : - b) Sup del triángulo : Sup Total (-) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analía A Berretta

15 Por lo tanto, si el área es de 00 m ( ) 00 ( ) 00 ± Debemos preguntarnos: Podemos considerar los dos valores de, como soluciones del problema? Tomemos 9, para reemplazarlo en unos de los lados del rectángulo: ( ) Por lo tanto, no podemos considerar 9 como un posible valor de, ya que 0 metros, no puede ser la longitud de uno de los lados del rectángulo, ya que no podemos hablar de distancias negativas Concluimos que -0 no es solución Ahora tomamos el segundo valor de y reemplazando nuevamente: 0 0 metros (Altura del rectángulo) Ahora reemplazaremos en el resto de los lados de la figura: 0 metros (Base del rectángulo) 0 metros (Un cateto del triángulo rectáng) La hipotenusa es igual a metros, por dato del problema Entonces, reemplazando el valor obtenido, las medidas de la figura son: 0m m 0m 0 m Analía A Berretta

16 a) ) Hallar el área de las siguientes figuras b) ( ) c) Si el área de la figura es de 96 m, Calcular el valor de su base mayor d) Determinar para qué valores de el área de la figura A es igual al área de la figura B A B Analía A Berretta 6