Introducción a los Modelos de Pronósticos

Transcripción

1 Introduccón a los Modelos de Pronóstcos Dra. Fernanda Vllarreal Unversdad Naconal del Sur- Departamento de Matemátca Septembre fvllarreal@uns.edu.ar

2 Introduccón Planeacón del futuro, un aspecto relevante en cualquer organzacón. El éxto a largo plazo depende de cuán ben la gerenca antcpa el futuro y elabora las estrategas apropadas. El buen juco, la ntucón y tener concenca del estado de la economía pueden dar a un gerente una dea aproxmada o ntucón de lo que es probable que suceda en el futuro. Sn embargo, es dfícl convertr esta ntucón en un número que pueda usarse, como el volumen de ventas del sguente trmestre o el costo de la matera prma por undad para el año próxmo.

3 Pronóstco Es una estmacón cuanttatva o cualtatva de uno o varos factores (varables) que conforman un evento futuro, con base en nformacón actual o del pasado.

4 La estmacón de pronóstcos del volumen de ventas trmestrales para un producto en partcular durante el año próxmo afectará los programas de produccón, los planes de compra de materas prmas, las polítcas de nventaros y las cuotas de ventas. En consecuenca, los malos pronóstcos pueden dar como resultado un ncremento en los costos de la empresa. Cómo debemos proceder para proporconar los pronóstcos trmestrales del volumen de ventas? Revsar los datos hstórcos, con frecuenca ayuda a comprender mejor el patrón de las ventas pasadas, lo que conduce a mejores predccones de las ventas futuras del producto.

5 Los datos hstórcos de ventas forman una sere de tempo. Una sere de tempo es un conjunto de observacones de una varable medda en puntos sucesvos en el tempo o a lo largo de perodos sucesvos. En este curso se presentan varos procedmentos para analzar las seres de tempo. El objetvo de estos análss es proporconar buenos pronóstcos o predccones de los valores futuros de la sere de tempo.

6 Métodos de elaboracón de pronóstcos Los métodos de elaboracón de pronóstcos se clasfcan como cuanttatvos o cualtatvos. Los métodos cuanttatvos se utlzan cuando: se dspone de nformacón pasada sobre la varable que se pronostcará la nformacón puede cuantfcarse es razonable suponer que el patrón del pasado segurá ocurrendo en el futuro. En estos casos puede elaborarse un pronóstco con un método de seres de tempo o un método causal.

7 S los datos hstórcos se restrngen a valores pasados de la varable que tratamos de pronostcar, el procedmento de elaboracón de pronóstcos se llama método de sere de tempo. El objetvo de los métodos de sere de tempo es descubrr un patrón en los datos hstórcos y luego extrapolarlo haca el futuro; el pronóstco se basa sólo en valores pasados de la varable que tratamos de pronostcar o en errores pasados. En este curso se explcan tres métodos de seres de tempo: suavzacón (promedos móvles, promedos móvles ponderados y suavzacón exponencal), proyeccón de tendencas y proyeccón de tendencas ajustada por nfluenca estaconal.

8 Los métodos de elaboracón de pronóstcos causal se basan en el supuesto de que la varable que tratamos de pronostcar exhbe una relacón de causa y efecto con una o más varables. En este curso se presenta el uso del análss de regresón como un método de elaboracón de pronóstcos causal. Por ejemplo, los gastos de publcdad nfluyen en el volumen de ventas de muchos productos, de manera que el análss de regresón puede utlzarse para desarrollar una ecuacón que muestre cómo se relaconan estas dos varables. Utlzar un método de seres de tempo para elaborar el pronóstco en este ejemplo, mplca que no se consderarían los gastos de publcdad; es decr, un método de sere de tempo basaría el pronóstco sólo en las ventas pasadas.

9 Los métodos cualtatvos por lo general nvolucran el uso del juco experto para elaborar pronóstcos. Una ventaja de los procedmentos cualtatvos es que pueden aplcarse cuando la nformacón sobre la varable que se está pronostcando no puede cuantfcarse o son escasos. Método Delph Juco experto Redaccón de escenaros Enfoques ntutvos

10 PATRONES O COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO El patrón o comportamento de los datos en una sere de tempo tene varos componentes. El supuesto usual es que cuatro componentes separados: tendenca, cíclco, estaconal e rregular, se combnen para proporconar valores específcos de la sere de tempo. TENDENCIA: componente de muy largo plazo CICLICO: componente de largo plazo ESTACIONAL: componente de corto plazo IRREGULAR: componente de muy corto plazo

11 En el análss de las seres de tempo, las medcones pueden hacerse cada hora, daro, a la semana, cada mes, anualmente o en cualquer otro ntervalo regular de tempo. Aunque los datos de las seres de tempo suelen mostrar fluctuacones aleatoras, las seres de tempo tambén muestran un desplazamento o movmento gradual haca valores relatvamente altos o bajos a través de un lapso largo. A este desplazamento gradual de la sere de tempo se le conoce como la tendenca de la sere de tempo. Este desplazamento o tendenca suele deberse a factores de largo plazo como varacones en las característcas demográfcas de la poblacón, en la tecnología o en las preferencas del públco.

12 Otros patrones de tendenca posbles

13 Aunque una sere de tempo puede tener una tendenca a través de lapsos largos, no todos los valores futuros de la sere de tempo caerán exactamente sobre la línea de tendenca. Las seres de tempo suelen mostrar secuencas de puntos que caen de manera alternante arrba y abajo de la línea de tendenca. Toda sucesón recurrente de puntos que caga abajo y arrba de la línea de tendenca y que dure más de un año puede atrburse al componente cíclco de la sere de tempo. En la fgura las observacones son anuales.

14 Patrón de cambo que se repte año con año en el msmo número de períodos. FUERZAS QUE AFECTAN Y EXPLICAN ESTACIONALIDAD: períodos escolares períodos vacaconales productos de estacón estacones del año MURPHY

15 Componente rregular Mde la varabldad de una sere cuando los demás componentes se han elmnado o no exsten. FUERZAS QUE AFECTAN Y EXPLICAN ALEATORIEDAD cambos clmátcos desastres naturales huelgas hechos fortutos Este componente representa la varabldad aleatora en las seres de tempo y es resultado de factores a corto plazo, mprevstos y no recurrentes que afectan a la sere de tempo. Como este componente representa la varabldad aleatora en las seres de tempo, es mpredecble; no podemos ntentar predecr su mpacto en las seres de tempo.

16 Métodos de suavzacón En esta prmera parte se presentan tres métodos de elaboracón de pronóstcos: promedos móvles, promedos móvles ponderados y suavzacón exponencal. El objetvo de cada uno de estos métodos es suavzar las fluctuacones aleatoras causadas por el componente rregular de las seres de tempo, por lo que se conocen como métodos de suavzacón.

17 Este tpo de métodos es apropado para una sere de tempo estable, es decr, una que no exhbe efectos sgnfcatvos de tendenca, cíclcos o estaconales. Los métodos de suavzacón son fácles de usar y por lo general proporconan un alto nvel de precsón para pronóstcos de corto alcance como un pronóstco para el sguente perodo. Uno de los métodos, la suavzacón exponencal, tene requstos de datos mínmos y por tanto es un buen método para usar cuando se requeren pronóstcos para cantdades grandes de artículos.

18 Promedos móvles (smples de orden k) F t+1 = Y t + Y t Y t-k+1 k El método de los promedos móvles utlza el promedo de los k valores de datos más recentes en la sere de tempo como el pronóstco para el sguente perodo. El térmno móvl ndca que, mentras se dspone de una nueva observacón para la sere de tempo, reemplaza a la observacón más antgua de la ecuacón anteror y se calcula un promedo nuevo. Como resultado, el promedo cambará, o se moverá, conforme surjan nuevas observacones. Y t : observacón en el período t F t : pronóstco para el período t

19 Promedos móvles (smples de orden 3) F t+1 = Y t + Y t-1 + Y t-2 3 se promedan solo las últmas observacones el orden se determna a pror un orden grande elmna los pcos (suavza) un orden pequeño permte segur muy de cambos de corto plazo cerca los

20 Promedos móvles (smples de orden 2) ACME MA(2)

21 PROMEDIO MÓVIL DE ORDEN ACME MA(3)

22 Promedos móvles (smples de orden 4) ACME MA(4)

23 Ejemplo Ltros de nafta venddos por semana (en mles) Gráfco Secuencas Cronológcas semana

24 Ejemplo El pronóstco para la semana 13 es 19. e t = Y t - F t : resduo (error de pronóstco) en el período t Precsón del pronóstco. Una consderacón mportante en la seleccón de un método de elaboracón de pronóstcos es la precsón del pronóstco. Desde luego, queremos pronostcar que los errores sean menores. Las últmas dos columnas de la tabla que contenen los errores de pronóstco y los errores de pronóstco al cuadrado, se pueden utlzar para desarrollar meddas de la precsón del pronóstco.

25 Meddas de error Error Medo (Me) : ME = Error Medo Absoluto: MAD = n e dentfca sesgo e dstanca promedo n Error Medo Cuadrátco (Mse): e ) 2 MSE = n penalza errores grandes Error Medo Absoluto Porcentual: proporcón del error e / y MAPE = n MAPE proporcona una ndcacón de cuan grande son los errores de pronostco en comparacón con los valores reales de la sere.

26 Promedos móvles ponderados En el método de promedos móvles, cada observacón en el cálculo recbe el msmo peso. Una varacón, conocda como promedos móvles ponderados, consste en selecconar dferentes pesos para cada valor de datos y luego calcular un promedo ponderado de los k valores de datos más recentes como el pronóstco.

27 En la mayoría de los casos la observacón más recente recbe el mayor peso, y el peso dsmnuye para los valores de datos más antguos. Por ejemplo, para la sere de tempo de las venta de nafta semanal el cálculo de un promedo móvl ponderado de tres semanas, donde la observacón más recente recbe un peso del trple del peso dado a la observacón más antgua y la sguente observacón más antgua recbe un peso del doble que la observacón más antgua. Para la semana 4 el cálculo es: 3/6*19+2/6*21+1/6*17=19.33 En general, s creemos que el pasado recente es un mejor pronostcador del futuro que el pasado dstante, los pesos más grandes deben darse a las observacones más recentes.

28 Suavzacón exponencal F t+1 = Y t + ( 1- ) F t 0 La suavzacón exponencal utlza un promedo ponderado de valores de seres de tempo pasadas como pronóstco. La formula muestra que el pronóstco para el perodo t+1 es un promedo ponderado del valor real en el perodo t y el pronóstco para el perodo t. Es un caso especal del método de promedos móvles ponderados en el cual selecconamos sólo un peso, el peso para la observacón más recente. Los pesos para los demás valores se calculan de forma automátca y se vuelven cada vez más pequeños a medda que las observacones se alejan en el pasado. Podemos demostrar que el pronóstco de la suavzacón exponencal para cualquer perodo tambén es un promedo ponderado de todos los valores reales prevos.

29 Por ejemplo para una sere de tempo que consta de tres perodos de datos: Y 1, Y 2 y Y 3. Comenzamos F 1 =Y 1 F (1-1 = 1 + (1-1 = Y 1 Por lo tanto, el pronóstco de suavzacón exponencal para el perodo dos es gual al valor real de la sere de tempo en el perodo 1. Para el perodo 3 el pronóstco es: F (1- F 2 = 2 + (1-1 Por ultmo al susttur esta expresón para F 3 en la expresón para F 4, se obtene: F (1-3= 3 + (1-2 + (1-1] = 3 + (1- Y 2 + (1-2 Y 1 Por consguente F 4 es un promedo ponderado de los prmeros tres valores de la sere de tempo.

30 Constante suavzacón =0.2

31 Qué valor de? S la varabldad aleatora de la sere de tempo es consderable, es preferble un valor pequeño para la constante de suavzacón. La razón de esta eleccón es que, dado que gran parte del error de pronóstco se debe a la varabldad aleatora, no queremos reacconar de forma exagerada y ajustar los pronóstcos demasado rápdo. Para una sere de tempo con relatvamente poca varabldad, los valores más grandes de la constante de suavzacón tenen la ventaja de ajustar rápdamente los pronóstcos cuando ocurren errores de pronóstco y por ende permten que el pronóstco reaccone más rápdo a las condcones cambantes. Elegmos el valor de que mnmza el error de pronostco.

32 Observar como los pronóstcos suavzan las fluctuacones rregulares de la sere de tempo.

33 Proyeccón de la tendenca En este punto se muestra cómo pronostcar los valores de una sere de tempo que exhbe una tendenca lneal a largo plazo. El tpo de seres de tempo para las cuales el método de proyeccón de tendencas es aplcable, muestra un ncremento o dsmnucón constante en el tempo. Debdo a que este tpo de sere de tempo no es estable, los métodos de suavzacón descrtos en la seccón anteror no son aplcables.

34 Ejemplo La sere de tempo para el número de bccletas venddas parece tener un ncremento general o una tendenca ascendente.

35 Para una tendenca lneal, el volumen de ventas estmado expresado como una funcón del tempo. T t = valor de tendenca para las ventas de bccletas en el perodo t Las ecuacones para calcular b 1 y b 0 son

36 Ecuacón para el componente de tendenca lneal para las seres de tempo de ventas de bccletas. T t = t La pendente de 1.1 en la ecuacón de tendenca ndca que durante los 10 años pasados la empresa ha expermentado un crecmento medo en las ventas de alrededor de 1100 undades por año. La proyeccón de tendenca del año sguente, T 11 = * 11=32.5

37 Componentes de tendenca y estaconal cómo pronostcar los valores de una sere de tempo que tene tanto un componente de tendenca como uno estaconal? La elmnacón del efecto estaconal de una sere de tempo se conoce como desestaconalzacón de la sere de tempo. Después de hacerlo, las comparacones perodo a perodo son más sgnfcatvas y pueden ayudar a dentfcar s exste una tendenca.

38 El enfoque que segumos en este punto es apropado en stuacones cuando sólo están presentes los efectos estaconales o en stuacones en que se dan tanto el componente estaconal como el de tendenca. El prmer paso es calcular los índces estaconales y utlzarlos para desestaconalzar los datos. Luego, s es evdente una tendenca en los datos desestaconalzados, utlzamos el análss de regresón sobre los datos desestaconalzados para estmar la tendenca.

39 Modelo multplcatvo Además de un componente de tendenca T y un componente estaconal S, asummos que la sere de tempo tambén tene un componente rregular I. El componente rregular representa los efectos aleatoros de la sere de tempo que no pueden explcarse por medo de los componentes de tendenca y estaconal.

40 Con T t, S t e I t para dentfcar los componentes de tendenca, estaconal e rregular en el tempo t, suponemos que el valor de la sere de tempo real, denotado por Y t, puede descrbrse por el modelo multplcatvo de seres de tempo. T t es la tendenca medda en undades del elemento que se pronostca. Sn embargo, los componentes S t e I t se mden en térmnos relatvos, con valores por encma de 1.00, lo que ndca efectos por encma de la tendenca, y valores por debajo de 1.00 que denotan efectos por debajo de la tendenca.

41 Las ventas son menores en el segundo trmestre de cada año, segudas por los nveles de ventas más altos en los trmestres 3 y 4. Por tanto, conclumos que exste un patrón estaconal para las ventas de televsores.

42 Comenzamos el procedmento de cálculo utlzado para dentfcar la nfluenca estaconal de cada trmestre. Con el fn de medr la varacón estaconal, es común usar el método de razón de promedo móvl. Esta técnca proporcona un índce que descrbe el grado de varacón estaconal. Los valores del promedo móvl centrado tenden a suavzar las fluctuacones tanto estaconal como rregular en la sere de tempo. Los valores del promedo móvl calculados para cuatro trmestres de datos no ncluyen las fluctuacones debdas a nfluencas estaconales porque el efecto estaconal se ha promedado. Cada punto en el promedo móvl centrado representa cuál sería el valor de la sere de tempo sn nfluencas estaconales o rregulares.

43 Total móvl Año trmestre Ventas(mles) (1) promedo móvl 1 1 4,8 promedo móvl centrado valores estaconalesrregulares índce estaconal 2 4,1 21,4 5, ,475 1,096 22,4 5,6 4 6,5 5,7375 1,133 23,5 5, ,8 5,975 0,971 0,93 1 trmestre 2 24,3 6, ,2 6,1875 0,840 0,84 2 trmestre 25,2 6,3 3 6,8 6,325 1,075 1,09 3 trmeste 25,4 6,35 4 7,4 6,4 1,156 1,14 4 trmestre 25,8 6, ,5375 0,918 26,5 6, ,6 6,675 0,839 26,9 6, ,5 6,7625 1,109 27,2 6,8 4 7,8 6,8375 1,141 27,5 6, ,3 6,9375 0, ,9 7,075 0,834 28,6 7, ,4 (1)Un total móvl se asoca con el dato que ocupa el lugar del medo del conjunto de valores del cual fue calculado

44 Al dvdr cada observacón de la sere de tempo entre el valor del promedo móvl centrado correspondente, podemos dentfcar el efecto estaconal-rregular en la sere de tempo. Por ejemplo, el tercer trmestre del año 1 muestra 6.0/5.475=1.096 como el componente estaconal-rregular combnado. La tabla anteror resume los valores estaconales-rregulares resultantes para toda la sere de tempo. Consdere el tercer trmestre. Los resultados de los años 1, 2 y 3 muestran valores del tercer trmestre de 1.096, y 1.109, respectvamente. Por tanto, en todos los casos el componente estaconal-rregular parece tener una nfluenca por encma del promedo en el tercer trmestre. Las fluctuacones durante los tres años pueden atrburse al componente rregular, por lo que podemos promedar los valores calculados para elmnar la nfluenca rregular y obtener una estmacón de la nfluenca estaconal del tercer trmestre gual a 1,09. Índce estaconal 0,93 1 trmestre 0,84 2 trmestre 1,09 3 trmestre 1,14 4 trmestre

45 Índce estaconal 0,93 1 trmestre 0,84 2 trmestre 1,09 3 trmestre 1,14 4 trmestre El trmestre de mejores ventas es el cuarto, con ventas que promedan 14% por encma del valor medo trmestral. El trmestre con peores ventas, o más lento, es el segundo, con un índce estaconal de 0.84, que muestra que las ventas promedaron 16% por debajo de las ventas medas trmestrales. Verfcar: El modelo multplcatvo requere que el índce estaconal medo sea gual 1.00.

46 Desestaconalzacón de las seres de tempo El propósto de determnar índces estaconales es precsamente elmnar los efectos estaconales de una sere de tempo. Este proceso se conoce como desestaconalzacón de las seres de tempo.

47 La sere de tempo parece tener una tendenca lneal ascendente. Para dentfcar esta tendenca, utlzamos el método de proyeccón de la tendenca; en este caso, los datos utlzados son los valores de las ventas trmestrales desestaconalzadas.

48 T t = t La pendente de ndca que durante los 16 trmestres anterores la empresa ha expermentado un crecmento desestaconalzado medo en las ventas de aproxmadamente 148 televsores por trmestre. S suponemos que la tendenca de los 16 trmestres pasados en datos de ventas es un ndcador razonablemente bueno del futuro, podemos utlzar esta ecuacón para proyectar el componente de tendenca de la sere de tempo para los 4 próxmos trmestres del año 5. proyeccón de tendenca. t (en mles) 17 7, , , ,061 El paso fnal en el desarrollo del pronóstco, cuando tanto el componente de tendenca como el estaconal están presentes, es utlzar el índce estaconal para ajustar la proyeccón de tendenca.

49 Observacón mportante En esta prmera parte se utlzó la regresón lneal smple para ajustar una tendenca lneal a las seres de tempo de ventas de bccletas y tambén para el caso de venta de televsores. Aquí obtuvmos una ecuacón lneal que vnculaba dchas ventas con el perodo. Pero el número de bccletas venddas en realdad no se relacona de manera causal con el tempo, más ben el tempo es un susttuto de las varables con que se relacona en realdad el número de bccletas venddas, desconocdas o demasado dfícles o costosas de medr. Por lo cual, el uso del análss de regresón para la proyeccón de la tendenca no es un método de elaboracón de pronóstcos causal debdo a que sólo se utlzaron los valores pasados de ventas, es decr, la varable que se pronostca. Cuando utlzamos el análss de regresón para relaconar las varables que queremos pronostcar con otras varables que se supone nfluyen en la varable o la explcan, se vuelve un método de elaboracón de pronóstcos causal.

50 Análss de Regresón El Análss de Regresón tene como objetvo estudar la relacón entre varables. Permte expresar dcha relacón en térmnos de una ecuacón que conecta una varable de respuesta Y, con una o más varables explcatvas X 1,X 2,,X k. Fnaldad: Determnacón explícta del funconal que relacona las varables. (Predccón) Comprensón por parte del analsta de las nterrelacones entre las varables que ntervenen en el análss.

51 Datos de corte transversal Una base de datos de corte transversal consste en una muestra de ndvduos, hogares, empresas, cudades, estados, países u otras undades, tomada en algún punto dado en el tempo. Algunas veces no todos los datos de estas undades corresponden exactamente a un msmo momento. Por ejemplo, puede ser que, un conjunto de famlas sea entrevstado durante dferentes semanas de un año. En un análss de corte transversal puro, dferencas menores de tempo en la recoleccón de los datos son gnoradas. Aun cuando un conjunto de famlas haya sdo entrevstado en semanas dstntas de un msmo ano, se consderara como una base de datos de corte transversal.

52 Se quere estudar la relacón entre ROE (medda de desempeño de una empresa) y el pago que recben los CEO. Relacón entre salaro y años de educacón. Relacón entre salaro, años de educacón y experenca laboral Relacón entre preco de una vvenda y metros cuadrados, cantdad de habtacones, etc.

53 A pesar de que el análss de regresón tene que ver con la dependenca de una varable respecto a otras varables, esto no mplca causaldad necesaramente. La msma vene dada por consderacones a pror o teórcas. A dferenca del análss de correlacón, en donde el prncpal objetvo es medr el grado de asocacón lneal entre dos varables, aquí estamos nteresados en estmar o predecr el valor promedo de una varable sobre la base de valores fjos de otras varables.

54 Análss de regresón lneal smple El análss de regresón se relacona en gran medda con la estmacón y/o predccón de la meda (de la poblacón) o valor promedo de la varable dependente, con base en los valores conocdos o fjos de las varables explcatvas.

55 Poblacón total de 60 famlas de una comundad hpotétca. Ingreso semanal (X) y gasto de consumo semanal (Y ), en dólares. Las 60 famlas se dvden en 10 grupos de ngresos (de $80 a $260). Se tenen 10 valores fjos de X y los correspondentes valores de Y para cada uno de los valores X; así que hay 10 subpoblacones Y

56 Se tenen 10 valores medos para las 10 subpoblacones de Y. A estos valores medos se les denomna valores esperados condconales, en vsta de que dependen de los valores dados a la varable condconal X. Se denota por E(Y/X) Resulta mportante dstngur dchos valores condconales esperados del valor esperado ncondconal del gasto de consumo semanal, E(Y). E(Y)=7272/60=121,2 Es ncondconal en el sentdo de que para obtener esta cfra se omten los nveles de ngresos de las dversas famlas

57 Cuál es el valor esperado de una famla? del gasto de consumo semanal La meda ncondconal: $121,20 Cuál es el valor esperado del gasto de consumo semanal de una famla cuyo ngreso semanal es $100,La meda condconal: $77 Saber el nvel de ngreso nos permte predecr mejor el valor medo del gasto de consumo.

58 Se puede observar en él gráfco de dspersón, al unr las medas condconales la recta de regresón poblaconal (RRP). ( o regresón de Y sobre X). El adjetvo poblaconal se debe al hecho de que en este ejemplo se consderó una poblacón de 60 famlas. Gráfco de dspersón Gasto de consumo v/s Ingreso A pesar de la varabldad del gasto para cada ngreso, en promedo el consumo semanal se ncrementa en la msma medda que el ngreso Ingreso semanal

59 Curva de regresón poblaconal Desde el punto de vsta geométrco, una curva de regresón poblaconal es smplemente el lugar geométrco de las medas condconales de la varable dependente para los valores fjos de la (s) varables explcatva(s). Es la curva que conecta las medas de las subpoblacones de Y que corresponden a los valores del regresor X.

60 Concepto de funcón de regresón poblaconal (FRP) Es claro que cada meda condconal E(Y/X) es funcón de X, donde X es un valor dado de X. E(Y/X)=f(X) y f(x) denota alguna funcón de la varable explcatva X. Qué forma toma la funcón f(x)? En una stuacón real no tenemos la totaldad de la poblacón para efectuar el análss. La forma funconal de la FRP es, una pregunta empírca, aunque en casos específcos la teoría puede tener algo que decr. Por ejemplo, un economsta podría plantear que el gasto de consumo está relaconado lnealmente con el ngreso. Por tanto, como una prmera aproxmacón podemos suponer que la FRP es una funcón lneal de X E( Y / X ) 1 2X 1 y 2 son parámetros no conocdos pero fjos que se denomnan coefcentes de regresón

61 Funcón de Regresón Poblaconal E Y X f X El valor esperado de la dstrbucón de Y esta funconalmente relaconado con X, pero... Qué forma funconal toma f X? Lneal No Lneal

62 El térmno regresón lneal sempre sgnfcará una regresón lneal en los parámetros.

63 Entre otras las formas funconales lneales se destacan: Y. X Y Y. X exp(. X )

64 La prmer ecuacón es lneal La segunda ecuacón se puede trasformar en: logy log log X La tercer ecuacón se puede transformar en logy X Veamos la nterpretacón de cada coefcente

65

66 Ecuacón de regresón poblaconal FRP E( Y / X ) 1 2X Ecuacón de regresón poblaconal FRP Donde 2son parámetros no conocdos pero fjos que se denomnan coefcentes de regresón. 1 y En el análss de regresón el nterés es estmar la FRP, es decr estmar los valores de no conocdos con base en las 1 y 2 observacones de Y y X

67 Especfcacón estocástca de la FRP Qué podemos decr sobre la relacón entre el gasto de consumo de una famla ndvdual y un nvel dado de ngresos? Se observa en la fgura, que dado el nvel de ngresos de X, el gasto de consumo de una famla ndvdual está agrupado alrededor del consumo promedo de todas las famlas en ese nvel de X, esto es, alrededor de su esperanza condconal. Por consguente, podemos expresar la desvacón de un Y ndvdual alrededor de su valor esperado de la sguente manera: Y E( Y / X ) u o u Y E( Y / X ) Donde la desvacón u es una varable aleatora no observable que toma valores postvos o negatvos. Técncamente, u es conocda como perturbacón estocástca o térmno de error estocástco.

68 Especfcacón estocástca de la FRP Se puede decr que el gasto de una famla ndvdual, dado su nvel de ngresos, puede ser expresado como la suma de dos componentes Y E( Y / X ) u La meda del gasto de consumo de todas las famlas con el msmo nvel de ngresos. Componente aleatoro. Es un susttuto para todas aquellas varables que son omtdas del modelo pero que colectvamente afectan a Y

69 Especfcacón estocástca de la FRP Y E( Y / X ) u 1 2 X u La ecuacón plantea que el gasto de consumo de una famla está relaconado lnealmente con su ngreso, más el térmno de perturbacón. Así los gastos de consumo ndvdual, dado X=$80, pueden ser expresados como Y Y Y Y Y u u u u u Así, el supuesto de que la recta de regresón pasa a través de las medas condconales de Y mplca que los valores de la meda condconal de u cero. son

70 Especfcacón estocástca de la FRP La especfcacón estocástca Y E( Y / X ) u 1 2 X u Tene la ventaja que muestra claramente otras varables además del ngreso, que afectan el gasto de consumo y que un gasto de consumo de famlas ndvduales no puede ser explcado en su totaldad solamente por la(s) varable(s) ncluda(s) en el modelo de regresón.

71 Funcón de regresón muestral (FRM) En la práctca lo que se tene al alcance no es más que una muestra de valores de Y que corresponden a algunos valores fjos de X. Por consguente la labor ahora es estmar la FRP con base en nformacón muestral. Supóngase que no se conocía la poblacón de la tabla 1 y que la únca nformacón que se tenía era una muestra de valores de Y selecconada aleatoramente para valores dados de X tal como se presenta en la tabla 2 De la muestra de la tabla 2, se puede predecr el gasto de consumo semanal promedo Y para la poblacón correspondente a los valores de X selecconados? Se puede estmar la forma FRP a partr de la nformacón muestral?

72 Funcón de regresón muestral (FRM) Consderemos otra muestra tomada de la poblacón de la tabla. Las rectas de la fgura se conocen como rectas de regresón muestral. En general, se podrían obtener N FRM dferentes para N muestras dferentes y estas FRM no necesaramente son guales

73 Ahora, en forma análoga a la FRP en la cual se basa la recta de regresón poblaconal, se puede desarrollar el concepto de funcón de regresón muestral. La contraparte muestral puede escrbrse como: Donde Y Y 1 2 X estmador de E(Y/X) Es la contraparte de E( Y / X ) 1 2X 1 2 estmador de estmador de 1 2 Atencón!: que un estmador, conocdo tambén como estadístco (muestral), no es más que una regla, fórmula o método para estmar el parámetro poblaconal a partr de la nformacón sumnstrada por la muestra dsponble. Un valor numérco partcular obtendo por el estmador en un análss se conoce como estmacón. Cabe señalar que un estmador es aleatoro, pero una estmacón no.

74 Funcón de regresón muestral (FRM) en su forma estocástca La FRM en su forma estocástca se puede expresar como Y 1 2 X Donde Conceptualmente es análogo a µ estmacón de µ denota el térmno resdual (muestral) y puede ser consderado como un El objetvo prncpal en el análss de regresón es estmar la FRP Y 1 2 X Con base en la FRM Y 1 2 X

75 Rectas de regresón muestral y poblaconal Debdo a fluctuacones muestrales, la estmacón de la FRP basada en la FRM es, en el mejor de los casos, una aproxmacón.

76 Rectas de regresón muestral y poblaconal Para X=X, se tene una observacón muestral Y=Y. En térmnos de la FRM, la Y observada puede ser expresada como Y Y Y en térmnos de la FRP, puede ser expresada como Y E( Y / ) X Dado que la FRM es apenas una aproxmacón de la FRP, se puede dseñar un método que haga que esta aproxmacón sea lo más ajustada posble?

77 Funcón de regresón smple: problema de estmacón La tarea consste en estmar la funcón de regresón poblaconal (FRP) con base en la funcón de regresón muestral (FRM) en la forma más precsa posble. Los dos métodos de estmacón que suelen utlzarse son: 1) Los mínmos cuadrados ordnaros (MCO) 2) La máxma verosmltud (MV). El método de MCO es el que más se emplea en el análss de regresón.

78 Método de mínmos cuadrados ordnaros (MCO) El método MCO se atrbuye a Carl Fredrch Gauss un matemátco alemán. Bajo certos supuestos el método tene algunas propedades estadístcas muy atractvas que lo han convertdo en uno de los más efcaces y populares del análss de regresón. Prmero se estma u Y 1 2 X que muestra que los resduos son smplemente las dferencas entre los valores observados y los estmados de Y. Ahora, dados n pares de observacones de Y y X, se está nteresado en determnar la FRM de tal manera que esté lo más cerca posble a la Y observada.

79 Método de mínmos cuadrados ordnaros (MCO) Con este fn se puede adoptar el sguente crtero: selecconar la FRM de tal manera que la suma de los resduos : u Y sea la menor posble. Este crtero, no es muy bueno porque a todos los resduos se les da la msma mportanca sn consderar qué tan cerca o qué tan dspersas estén las observacones ndvduales de la FRM. Debdo a lo anteror, es muy posble que la suma algebraca de los resduos sea pequeña (aun cero) a pesar de que las están bastante dspersas alrededor de FRM. u Y

80 Método de mínmos cuadrados ordnaros (MCO) Se puede evtar este problema s se adopta el crtero de mínmos cuadrados, el cual establece que la FRM puede determnarse en forma tal que u 2 Y Y 2 Y 1 2 X 2 sea la menor posble. Este método da más peso a los resduos tales como 1 y u 4 que a los resduos u 2 y u u 3 El procedmento de MCO genera las sguentes ecuacones para estmar 1 y 2 donde n es el tamaño de la muestra

81 Método de mínmos cuadrados ordnaros (MCO) Y Y X n X X 2 X 2 Ecuacones normales Resolvendo las ecuacones normales smultáneamente se obtene 2 x 2 x y 1 Y - 2 X Estmadores de mínmos cuadrados

82 Los estmadores obtendos se conocen como estmadores de mínmos cuadrados, pues se dervan del prncpo de mínmos cuadrados. Estos estmadores tenen propedades numércas por haber sdo obtendos con el método de MCO: Propedades numércas son las que se mantenen como consecuenca del uso de mínmos cuadrados ordnaros, sn consderar la forma como se generaron los datos. Exsten tambén las propedades estadístcas de los estmadores MCO, es decr, propedades que se mantenen sólo con certos supuestos sobre la forma como se generaron los datos.

83 S deseamos estmar sólo 1 y 2, basta el método MCO presentado de la seccón anteror. Por consguente, mentras no se especfque la forma como se crean o se generan X y u no hay manera de hacer alguna nferenca estadístca sobre Y, n tampoco, sobre 1 y 2. Así, los supuestos sobre la(s) varable(s) X y el térmno de error son relevantes para lograr una nterpretacón válda de los valores estmados de la regresón.

84 Modelo clásco de regresón lneal supuestos detrás del método MCO El modelo de Gauss, modelo clásco o estándar de regresón lneal (MCRL) el cual es el cmento de la mayor parte de la teoría econométrca, plantea 9 supuestos. Supuesto 1: Modelo de regresón lneal El modelo de regresón es lneal en los parámetros Y 1 2 X modelo smple Supuesto 2: Los valores de X son fjos en muestreo repetdo. Sgnfca que el análss de regresón es un análss de regresón condconal, esto es, condconado a los valores dados del (los) regresor X.

85 Supuesto 3: El valor medo de la perturbacón u es gual a cero. Dado el valor de X, el valor esperado del térmno aleatoro de perturbacón u es cero. E( u / X ) 0 Nótese que el supuesto E(u/X)=0 mplca que E( Y / X ) 1 2X

86 Supuesto 4: Homocedastcdad o gual varanza de u. Dado el valor de X, la varanza de u es la msma para todas las observacones, es decr, las varanzas condconales de u son déntcas. 2 var( u / X) Homocedastcdad Heterocedastcdad

87 Homocedastcdad

88 Homocedastcdad

89 Supuesto 5: No exste auto correlacón entre las perturbacones. Dados dos valores cualquera de X, X y Xj, la correlacón entre dos u y uj es cero. cov( u, uj / X, X j ) 0

90 Supuesto 6: La covaranza entre u y X es cero o E(uX)=0 cov( u, X Supuesto 7: El número de observacones n debe ser mayor que el número de parámetros por estmar. ) 0 Supuesto 8: Varabldad en los valores de X. No todos los valores de X en una muestra dada deben ser guales. var(x ) 0 Supuesto 9: No hay sesgo de especfcacón

91 El supuesto de normaldad: El modelo clásco de regresón lneal normal Recordemos que con los supuestos vstos anterormente los estmadores de MCO satsfacían dferentes propedades estadístcas muy deseables, tales como nsesgamento y varanza mínma. S nuestro objetvo es úncamente la estmacón puntual el método de MCO será sufcente, sn embargo 1, 2, 2 la estmacón puntual es sólo la formulacón de un aspecto de la nferenca estadístca. Nuestro nterés no consste solamente en estmar la funcón muestral de regresón (FRM), sno tambén en utlzarla para obtener nferencas respecto a la funcón de regresón poblaconal (FRP).

92 El supuesto de normaldad: El modelo clásco de regresón lneal normal La regresón lneal normal clásca supone que cada u, está normalmente dstrbuda con Meda : E(u ) 0 Varanza : Cov( u, u j ) : E u E u E( u E( u ) 2 ) u j E( u 2 ) E( u j ) 2 E( u u j ) 0 j Estos supuestos pueden expresarse en forma más compacta como u ~ 2 N(0, )

93 Normaldad

94 Prueba de hpótess para 2 gl.

95 La bondad de ajuste de la recta de regresón es equvalente a determnar cuán ben se ajusta la recta de regresón a los datos muestrales. Como medda de esto surge el coefcente de determnacón muestral (ó r 2 ): Verbalmente, r 2 mde la proporcón o el porcentaje de la varacón total en Y explcada por el modelo de regresón. Dos propedades de r 2 : 1. Es una cantdad no negatva. 2. Sus límtes son 0 r 2 1. Un r 2 de 1 sgnfca un ajuste perfecto. Por otra parte, un r 2 de cero sgnfca que no hay relacón alguna entre la varable regresada y la varable regresora, es decr, la mejor predccón de cualquer valor de Y es smplemente el valor de su meda. En esta stuacón, por consguente, la línea de regresón será horzontal al eje X.

96 REGRESION LINEAL MULTIPLE Generalzando la funcón de regresón poblaconal (FRP) de dos varables se puede escrbr la FRP de tres varables así: Y 1 2 X 1 3 X 2 donde Y es la varable dependente, X 1 y X 2 las varables explcatvas (o regresoras). u es el térmno de perturbacón estocástca, e la ésma observacón. Los coefcentes se denomnan coefcentes de regresón parcal Se contnúa operando dentro del marco del modelo clásco de regresón lneal (MCRL).

97 Modelo de tres varables Supuestos Específcamente. se supone lo sguente Valor medo de u, gual a cero E ( u / X, X 2 1 ) 0 para cada No correlacón seral cov( u, u j ) 0 j Homocedastcdad var( u ) 2

98 Supuestos Covaranza entre u y cada varable X gual a cero cov( u, X ) cov( u, X 2 1 ) 0 No hay sesgo de especfcacón El modelo está especfcado correctamente No hay colnealdad exacta entre las varables X No hay relacón lneal exacta entre X 1 y X 2 Adconalmente, se supone que el modelo de regresón múltple es lneal en los parámetros, que los valores de las regresoras son fjos en muestreos repetdo y que hay sufcente varabldad en dchos valores.

99 Interpretacón de la ecuacón de regresón múltple Dados los supuestos del modelo de regresón clásco, se cumple que, al tomar la esperanza condconal de Y a ambos lados de se obtene Y 1 2 X E( Y / X1, X 2 ) 1 2X1 3X 2 1 Expresado en palabras, de la expresón anteror se obtene la meda condconal o el valor esperado de Y condconado a los valores dados o fjos de las varables X 1 y X 2. Por consguente, gual que en el caso de dos varables, el análss de regresón múltple es el análss de regresón condconal, sobre los valores fjos de las varables explcatvas, y lo que obtenemos es el valor promedo o la meda de Y, o la respuesta meda de Y a valores dados de las regresoras X. Nota: Las propedades de los estmadores MCO del modelo de regresón múltples son smlares a aquellas del modelo con dos varables 3 X 2

100 Sgnfcado de los coefcentes de regresón parcal Los coefcentes de regresón 2 y coefcentes de regresón parcal. 3 se denomnan 2 mde el cambo en el valor de la meda de Y, E(Y) por undad de cambo en X 1 permanecendo X 2 constante. 3 mde el cambo en el valor medo de Y, E(Y) por undad de cambo en X 2 cuando el valor de X 1 se conserva constante.

101 Prueba de la sgnfcacón global de la regresón La sgnfcacón global de la regresón se puede probar con la relacón de la varanza explcada a la varanza no explcada: Esta sgue una dstrbucón F con k-1 y n-k grados de lbertad, donde n es el número de observacones y k es el número de parámetros estmados. R 2 /( k 1) F k 1, n k (1 R 2 ) /( n S la relacón F calculada excede el valor tabulado de F al nvel especfcado de sgnfcacón y grados de lbertad, se acepta la hpótess de que los parámetros de la regresón no son todos guales a cero y que R cuadrado es sgnfcatvamente dferente de cero. H 0 : k) n 0 H 1 : No todas las son cero

102 Chequear Supuestos 1. Normaldad de los resduos 2. No autocorrelacón 3. Homocedastcdad 4. Lnealdad 5. No multcolnealdad

103 Por ejemplo Normaldad de los resduos Gráfcos: Hstograma, gráfco probablístco normal H s t o g r a m a 1.00 Gráfco P-P normal de regresón Resduo tpfcado Frecuenca R e s d u o t p f c a d o D M N Prob acum esperada Prob acum observada

104 No autocorrelacón El caso e) ndca que no hay un patrón sstemátco, apoyando el supuesto de no autocorrelacón de los resduos.

105 El prmer gráfco (arrba-zq) nos estaría dcendo que no habría heteroscedastcdad. Sn embargo los otros gráfcos muestran patrones defndos.

106 Lnealdad Se observan los gráfcos de regresón parcal. Para examnar la relacón entre la varable dependente y cada una de las ndependentes por separado.

107 No Multcolnealdad FIV>10 se dce que la varable es altamente colneal. IC( índce de condcón) s esta entre 10 y 30 exste multcolnealdad entre moderada y fuerte y s excede 30, exste multcolnealdad severa. Al enfrentar el problema de multcolnealdad severa, una de las solucones mas smples consste en omtr del modelo una de las varables colneales.

108 Pruebas formales Homocedastcdad: Prueba de Goldfeld-Quant, prueba de Whte. Incorrelacón de los errores: Prueba de Durbn- Watson, prueba de rachas. Normaldad de los errores: Pruebas de Shapro- Wlks, prueba de Anderson Darlng

109 Ejemplo Analzar la relacón exstente entre el grado de estrés de los trabajadores Y a partr del tamaño de la empresa en que trabajan X 1, el número de año que llevan en el puesto de trabajo actual X 2, salaro anual percbdo X 3 y la edad del trabajador X 4.

110 obs X1 tamaño X2 Años puesto X3 Salaro anual X4 edad Y gradodee Una vez hallada la relacón pedda entre las varables, evaluar la capacdad predctva del modelo y hallar predccones del grado de estrés de los trabajadores para los valores sguentes de las varables ndependentes: x1 x2 x3 x

111 Análss de regresón con Datos de Seres de tempo En térmnos formales, a una secuenca de varables aleatoras ndexadas en el tempo se le llama proceso estocástco o proceso de seres de tempo ( estocástco es snónmo de aleatoro). Cuando se conforma una base de datos de seres de tempo, se obtene un resultado posble, o realzacón, del proceso estocástco. Úncamente se puede ver una sola realzacón, ya que no es posble retroceder en el tempo y empezar de nuevo el proceso. (Esto es análogo al análss de corte transversal en el que úncamente se puede reunr una sola muestra aleatora.) No obstante, s certas condcones hstórcas fueran dstntas, por lo general se obtendría una realzacón dferente para el proceso estocástco y es por ello que los datos de seres de tempo se consderan como el resultado de varables aleatoras.

112 Datos para regresón múltple con seres de tempo Y t valor de la sere de tempo en el perodo t x 1t = valor de la varable ndependente 1 en el perodo t x 2t = valor de la varable ndependente 2 en el perodo t Yt 1 2 X1 t 3 X 2t Ecuacón regresón estmada con 2 varables ndependentes.

113 Condcones para utlzar análss estadístco nferencal con datos de seres de tempo Un proceso estocástco es estaconaro en sentdo estrcto o fuerte cuando la dstrbucón de probabldad conjunta de la sere es nvarante con respecto al tempo. Un proceso estocástco es estaconaro en el sentdo débl s su meda y su varanza son constantes en el tempo y s el valor de la covaranza entre dos perodos depende sólo de la dstanca o rezago entre estos dos perodos, y no del tempo en el cual se calculó la covaranza. Ergodcdad: Las observacones muy lejanas en el tempo no están correlaconadas. Es necesara para poder contar con sufcentes observacones ndependentes para estmar los parámetros del modelo.

114 Una sere no estaconara tendrá meda y/o varanza que camban en el tempo S una sere es no estaconara se puede estudar su comportamento sólo durante el período de observacón. Cada conjunto de datos pertenecerá a un epsodo partcular No puede generalzarse Tenen poco valor práctco Por tanto, las seres de tempo estaconaras y déblmente dependentes son deales para el análss de regresón múltple.

115 COINTEGRACION La regresón de una varable de sere de tempo sobre una o mas varables de sere de tempo, frecuentemente puede dar resultados sn sentdo o espuros. Este fenómeno se conoce como regresón espura. Una forma de protegerse de esta es establecer s las seres de tempo están contegradas. Contegracón sgnfca que a pesar de no ser estaconaras a nvel ndvdual, una combnacón lneal de dos o mas seres de tempo puede ser estaconara.

116 Ejemplo Gasto en consumo personal contra Ingreso dsponble CP t = ID t + u t Se puede expresar u t = CP t - ID t Se somete el u t estmado a un test de raíz untara (para probar estaconaredad) S es estaconara la regresón de consumo contra ngreso sería contegrada. Exste una relacón de equlbro o largo plazo

117 Ejemplo fnal La novak corporaton desea desarrollar un modelo de pronostco para la proyeccón de la ventas futura. Ya que la corporacón tene tendas a lo largo de una extensa regón se elgen los ngresos personales dsponbles (x 1 ) como varable explcatva posble. A contnuacón se presentan los sguentes datos anuales desde 2000 a 2016:

118 fla año ventas(mllones) ngreso personal (mllones) tasa desempleo(%) ,1 5, ,2 349,4 5, ,5 362,9 6, ,2 383,9 5, ,2 402,8 5, , , ,8 472,2 4, ,6 510,4 3, ,6 544,5 3, ,4 588,1 3, ,8 630,4 3, ,6 685,9 4, ,8 5, ,9 801,3 5, ,9 903,1 4, ,3 983,6 5, ,1 1076,7 8,5

119 Yt X1 t 0. 35X 2t El modelo fnal estmado ncorpora la tasa de desempleo. La funcón Yt X1 t 0. 35X 2t puede utlzarse para predecr las ventas ya que se cumplen todos los supuestos. Datos de expertos se utlzan para estmar el ngreso personal y la tasa de desempleo para la regón para generar un pronostco de las ventas de Novak para S x 1 (1185) y x 2 (7,8) El pronostco de ventas esperado para 2017 es 32,8 mllones.

120 Yt X1 t 0. 35X 2t En otro tpo de modelo de pronóstco basado en la regresón, las varables ndependentes son todos los valores anterores de la msma sere de tempo. Por ejemplo, s los valores de la sere de tempo se denotan Y 1, Y 2,..., Y n, y la varable ndependente es Y t, se trata de hallar una ecuacón de regresón estmada que relacone Y t con los valores más recentes de la sere de tempo Y t- 1, Y t-2, etc. S se emplean como varables ndependentes los tres perodos más recentes, la ecuacón estmada de regresón será Y t Y 1 2 t 1 3 t 2 4 t A los modelos de regresón que tenen varables ndependentes con los valores anterores de la sere de tempo se les conoce como modelos autorregresvos. Y Y 3

121 Bblografía de referenca Anderson R., Sweeney D., Wllams T., Camm J. y Cochran J. (2015), Quanttatve Methods for Busness Cengage Learnng. USA. Anderson D., Sweeney D. y Wllams T. (2008), Estadístca para Admnstracón y Economía. 10º edcón. Ed. Thomson. Méxco. Canavos, G. (2003), Probabldad y Estadístca. Teoría y aplcacones. Mc Graw Hll. Interamercana de Méxco. Enders, W. (2008), Appled Econommetrc Tme Seres. Edtoral Wley. Inglaterra. Gusande Gonzalez, C., Vaamonde Lste, A. y Barrero Felpeto, A. (2011), Tratamento de datos con R, Statstca y SPSS. Ed. Díaz de Santos. España. Gujarat, D. y Porter D. (2010), Econometría 5 Edcón. Mc Graw Hll. Méxco. Hanke, J. and Wchern, D. (2006). Pronóstcos en los negocos. Edtoral Pearson. Méxco. Levne D., Stephan D, Krehbel T., and Berenson M. (2008). Statstcs for Managers. Pearson New Jersey. Software: Statgraphcs - QM for Wndows (Pearson)