Maestría en Ingeniería Biomédica. Bases Físico-Matemáticas de los Sistemas Biológicos

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Gonzalo Romero Blanco
hace 7 años
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1 Maestría en Ingeniería Biomédica Bases Físico-Matemáticas de los Sistemas Biológicos Docentes: Msc Ing. Sandra Wray Dr. Ing. Ricardo L. Armentano Dr. Ing. Leandro J. Cymberknop 2015

UNIDAD 1 Caso de Estudio: Modelo Sistema dinámico compuesto por una o más ecuaciones diferenciales, que posibilita predecir la evolución temporal de la cantidad de individuos en un

2 UNIDAD 1 Caso de Estudio: Modelo Sistema dinámico compuesto por una o más ecuaciones diferenciales, que posibilita predecir la evolución temporal de la cantidad de individuos en un conjunto de especies Se parte de condiciones iniciales Reglas que representan la interacción entre las especies Reglas que representan la relación con el ecosistema SISTEMA COMPLEJO

3 UNIDAD 1 Caso de Estudio: Modelo de crecimiento Exponencial (Malthus) Considerando la presencia de una sola especie, puede establecerse que el ritmo de crecimiento obedece a la siguiente expresión: dn dt kn N( t) N0e kt donde N es la cantidad de individuos en un instante t, k constituye una constante de proporcionalidad y N 0 la población en el instante inicial k>0 se modela crecimiento k<0 se modela decaimiento hasta extinción Modelo Simple: No entran en consideración natalidad, mortalidad, envejecimiento, inmigración, emigración, factores fortuitos, entre otros Se predice crecimiento ILIMITADO de la población

4 UNIDAD 1 Caso de Estudio: Modelo de crecimiento Exponencial (Malthus) N( t) 10e 2t N( t) 10e 2t

5 UNIDAD 1 Caso de Estudio: La ecuación Logística Considerando que el crecimiento exponencial no puede incrementarse de manera ilimitada, se introduce una función donde se penalizan los aumentos de población sucesivos (Ec. de Verhulst): dn dt kn dn dt r 1 r constituye la tasa de crecimiento intrínseca K es la capacidad límite o de soporte (máximo nivel de población que se puede sostener indefinidamente) N( t) 1 K N K 1e 0 rt N K N

6 UNIDAD 1 Caso de Estudio: La ecuación Logística e N( t) 2t 20 2t 1 e La ecuación logística modela diversos tipos de crecimiento de poblaciones, donde existe competencia por algún recurso. De esta manera se comienza por un crecimiento exponencial (rápido) pero luego la tasa de incremento disminuye hasta detenerse (Función Sigmoidea). Ejemplos: Propagación de rumores, epidemias, embriones

7 UNIDAD 1 Caso de Estudio: La ecuación Logística Discreta Discretizando el eje temporal t en intervalos Ts y aplicando el método de Euler para estimar la derivada, puede obtenerse que:: N[ nts Ts] Ts N[ nts] r1 N[ nts] N[ nts] K Normalizando ahora el eje temporal discreto respecto de Ts (nts n), se obtiene una ecuación en diferencias, iterativa de la forma: N n1 Nn r1 N K n N n

8 UNIDAD 1 Caso de Estudio: La ecuación Logística Discreta Finalmente, efectuando el siguiente cambio de variables se obtiene que: x n K r N r K 1 N n n 1 r R x n1 Rxn 1 x n

9 UNIDAD 1 Caso de Estudio: La ecuación Logística Discreta Si 0<r<1 la población eventualmente decrece Si 1<r<2 la población tiende a r-1/r Si 2<r<3 la población tiende a r-1/r de manera fluctuante Si 3<r<4 la población presentará oscilaciones permanentes entre valores Si 3,56996 <r<3,8243 CAOS Si r>4 Divergencia x n1 Rxn 1 x n

10 UNIDAD 1 Caso de Estudio: La ecuación Logística Discreta x n1 Rxn 1 x n El Diagrama de Bifurcación representa la relación entre los valores de R y los valores de x asintóticos resultantes de una condición inicial particular. Es AUTOSIMILAR -> CAOS + FRACTALES

11 UNIDAD 1 Caso de Estudio: La ecuación Logística Discreta El Diagrama de Bifurcación representa la relación entre los valores de R y los valores de x asintóticos resultantes de una condición inicial particular. Es AUTOSIMILAR -> CAOS + FRACTALES

12 UNIDAD 1 Caso de Estudio: Ajuste de Curvas

13 UNIDAD 1 Caso de Estudio: : Ajuste no lineal de datos La función lsqnonlin permite encontrar el mínimo local de una función expresada como suma mínimos cuadrados de funciones no lineales. Implementa algoritmos ITERATIVOS en búsqueda de una solución óptima: min x i F( x, yest ) ymed i i 2 donde F(x,y) es una función no lineal, cuyos coeficientes son desconocidos, que estima el comportamiento de los datos medidos. Algoritmos utilizados: Levenberg-Marquardt Trust Region Reflective

14 UNIDAD 1 Caso de Estudio: : Bondad de Ajuste El índice de correlación (o coeficiente de determinación) R 2 (en mayúsculas por referirse a un ajuste no lineal) se define como : ymedi yesti 2 i R 1 2 ymedi ymed i 2 donde ymed i cosntituye el dato medido e yest i el dato estimado a partir de la curva de aproximación al comportamiento a modelar. En el numerador se observa la varianza residual (variabilidad no explicada) mientras que en el denominador la varianza total de los datos evaluados respecto a su media muestral.

15 UNIDAD 1 Caso de Estudio: : Implementación

16 UNIDAD 1 Caso de Estudio: ACTIVIDAD PRÁCTICA Actividad Práctica A partir de los datos medidos para la evolución del Paramecium Aurelia (paramecium.txt) y el Censo de los Estados Unidos (censo.txt) aplicar un modelo de crecimiento poblacional en para determinar: Valores de r y K Índice de Correlación (R 2 ) Intervalo de Confianza

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