10.1 Introducción: definiciones y convenio de signos

Transcripción

1 Tema 10

2 10.1 Introducción: definiciones y convenio de signos Def.: se entiende por óptica geométrica la parte de la óptica que trata, a partir de representaciones geométricas, los cambios de dirección que experimentan los rayos luminosos en los distintos fenómenos de reflexión y refracción, dejando a un lado el carácter electromagnético o corpuscular de la luz. Se basa en los siguientes supuestos: La luz se propaga rectilíneamente en los medios homogéneos e isótropos. Los rayos luminosos son reversibles. Se cumplen las leyes de reflexión y refracción. Los rayos son independientes en su propagación, es decir, el cruce de dos o más rayos no afecta a sus trayectorias. Los rayos son reversibles Def.: Dado un objeto, si su imagen se forma al hacer concurrir en un punto rayos que divergen, la imagen es virtual. Si la imagen se forma al cortarse rayos convergentes, la imagen será real. Siempre se podrá recoger en una pantalla. Def.: Se denomina dioptrio al conjunto formado por dos medios transparentes, con índices de refracción distintos, separados por una superficie. Si la superficie de separación es plana se tratará de un dioptrio plano; si fuera esférica, se trataría de un dioptrio esférico. Eje del dioptrio (eje óptico): eje de simetría del dioptrio. Polo o vértice del dioptrio: punto de corte del eje óptico con el dioptrio. Radio de curvatura: distancia entre el vértice del dioptrio y el centro de curvatura: Distancia objeto: distancia (sobre el eje) desde el punto objeto hasta el vértice O. Distancia imagen: distancia (sobre el eje) desde el punto imagen hasta el vértice O. Def.: un sistema óptico es un conjunto formado por varios dioptrios. 195

3 10.2 Convenio de signos Para estudiar los sistemas ópticos se establece un convenio de signos que permite determinar con precisión y sin posibilidad de confusión los elementos del sistema. Nosotros nos regiremos por las normas DIN. Normas DIN (Deutsche Ingenieur Normen) 1. Las letras que hacen referencia a la imagen son las mismas que las referidas al objeto, pero con prima: s y s. 2. Las figuras se dibujan de modo que la luz proceda de la izquierda y se propague a la derecha. 3. Las magnitudes lineales se consideran negativas a la izquierda y positivas a la derecha del vértice. 4. Las distancias al eje óptico son positivas si están por encima del eje óptico y negativas si están por debajo de él. 5. Los ángulos que los rayos forman con el eje óptico o cualquier eje (normal), son positivos cuando para hacer coincidir el rayo con el eje mediante un giro por el camino más corto, éste se realiza en sentido contrario a las agujas del reloj. 196

4 10.3 Espejos esféricos Def.: Se llama espejo a toda superficie lisa y pulimentada capaz de reflejar los rayos luminosos. Pueden ser esféricos o planos. Los espejos esféricos pueden ser convexos o cóncavos. Si la superficie que refleja la luz es la externa, es espejo es convexo. El radio de curvatura será positivo (R > 0), porque, atendiendo al tercer punto de las normas DIN, las magnitudes lineales a la derecha del vértice serán positivas. Por el contrario, si la superficie reflectante es la interior, el espejo es cóncavo (R < 0) Elementos de los espejos esféricos cóncavo convexo El centro de curvatura, C, es el centro de la esfera a la que pertenece el espejo. El centro de figura O es el centro o polo del espejo. El eje principal es la recta que pasa por el centro de curvatura y por el centro de figura. El foco F de un espejo cóncavo es el punto del eje principal en el que se cortan los rayos reflejados que corresponden a rayos de luz incidentes paralelos al eje principal. El foco F de un espejo convexo es el punto de su eje principal en el que convergen las prolongaciones de los rayos reflejados que provienen de los rayos incidentes paralelos a dicho eje. El foco de este tipo de espejos es virtual. La distancia focal f de un espejo esférico es la distancia entre el foco y el polo del espejo. Equivale siempre a la mitad del R radio del espejo: f. 2 Elementos de un espejo esférico 197

5 Formación de imágenes en espejos esféricos Para obtener las imágenes en los espejos esféricos se sigue la marcha de dos o más de los infinitos rayos que parten del objeto y llegan al espejo. Si los rayos reflejados se cortan, ese punto de corte es el punto imagen y esa imagen será real, mientras que, si son divergentes, el punto imagen es el punto donde se cortan sus prolongaciones y se tratará de una imagen virtual. Se puede utilizar cualquier rayo que parta del objeto y llegue al espejo, pero es más fácil usar dos rayos cualesquiera de los tres que se exponen a continuación: Un rayo paralelo al eje se reflejará pasando por el foco. Un rayo que pasa por el centro de curvatura se reflejará sobre su trayectoria por incidir perpendicularmente sobre la superficie del espejo. Un rayo que pasa por el foco se reflejará paralelo al eje óptico. Rayos utilizados en la formación de la imagen La imagen de un punto del eje principal también se encuentra en dicho eje. Al estudiar la construcción de imágenes en los espejos esféricos vamos a considerar como objeto una flecha perpendicular al eje principal, cuyo principio se halle sobre el eje. Tomaremos en consideración únicamente los rayos que parten de la punta de la flecha, porque la base, al estar en el eje principal, producirá imágenes también sobre el eje principal. Formación de imágenes en espejos cóncavos (5 casos) Imagen cuando el objeto está más alejado del centro de curvatura La imagen será: 198

6 Imagen cuando el objeto se encuentra sobre el centro de curvatura La imagen será: Imagen cuando el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco La imagen será: Imagen cuando el objeto se encuentra sobre el foco La imagen será: Imagen cuando el objeto se encuentra entre el foco y el vértice del espejo La imagen será: 199

7 Formación de imágenes en espejos convexos (tendremos un caso único) La imagen será siempre: Como hemos visto en todos estos casos, siempre que la imagen se recoja a la derecha del espejo (s > 0), se tratará de una imagen virtual. Sólo cuando sea virtual será derecha (y > 0) Ecuaciones de los espejos esféricos Dados los siguientes diagramas de rayos, en los que se ve cómo se forma la imagen de un objeto en un espejo cóncavo, se pueden obtener unas conclusiones comparando ángulos y razones trigonométricas. tg tg y s y s y y s s A. L. Esta última relación se conoce como el aumento lateral (A.L.). puesto que relaciona el tamaño de la imagen con el del objeto. tg tg obtenemos las exp resiones : 200

8 1 f 1 s 1 s Ecuación fundamental de los espejos esféricos Ejercicios 1. Un fósforo de 4.0 cm de altura se coloca a 40.0 cm de un espejo cóncavo de 60.0 cm de radio. Halla la posición, tamaño y naturaleza de la imagen. Realiza el mismo ejercicio con un espejo convexo. 2. Se coloca un objeto de 2.0 cm de altura a 30.0 cm de un espejo cóncavo suyo radio de curvatura mide 20.0 cm. Calcula: a) la distancia focal. b) la posición de la imagen. c) su tamaño Espejos planos Las imágenes que se observan en un espejo plano parecen estar dentro de él. Si percibimos la imagen es porque llega luz hasta nuestros ojos. Dado que la luz no puede venir de la zona posterior del espejo se deberá a la reflexión en su superficie. Para la formación de la imagen, utilizaremos los rayos que parten de los puntos extremos del objeto. Del extremo superior se trazan dos rayos luminosos. Uno es normal al espejo y se refleja retrocediendo en la misma dirección. El otro incide con cierto ángulo i en el espejo y se refleja formando un ángulo igual. La prolongación de los dos rayos reflejados da lugar al extremo superior de la imagen del objeto. Del extremo inferior trazamos los dos mismos rayos y procedemos de la misma manera. Al unir el extremo superior de la imagen con su extremo inferior obtenemos la imagen del objeto. 201

9 El espejo plano se puede estudiar como un espejo esférico con radio. De ahí que el foco también sea. Sustituyendo en la ecuación fundamental de los espejos esféricos, obtenemos: 1 f 0 1 s 1 s 1 s 1 s s s De este resultado deducimos que la imagen será virtual, derecha y su distancia es idéntica a la distancia objeto. Al sustituir este resultado en la ecuación del Aumento Lateral, obtenemos que los tamaños de los objetos y sus respectivas imágenes son idénticos. Ejercicio Imagen en un espejo plano 1. Natalia, cuya estatura es de 1.72 m, se sitúa a 75 cm de un espejo plano. a) A qué distancia del espejo se forma su imagen? b) Cuál es el tamaño de su imagen? 10.5 El dioptrio plano La refracción de la luz en la superficie de un dioptrio plano, por ejemplo agua y aire, origina que la profundidad aparente de un objeto sumergido sea menor que la profundidad real. Un observador que se fije en un objeto sumergido en el agua verá la imagen virtual del objeto a una distancia s de la superficie del agua, inferior a la distancia real s. Para la formación de imágenes en el dioptrio plano utilizaremos los dos rayos siguientes: El primero incidirá perpendicularmente sobre la superficie de separación de los medios y continuará su camino sin experimentar cambios en su trayectoria. El segundo llega a la superficie de separación con un cierto ángulo de inclinación i con la normal y se refractará según la Ley de Snell de la refracción. Si pasa a un medio con un índice de refracción menor, se alejará de la normal, en caso contrario, se aproximará a la normal. La imagen se formará donde se corten las prolongaciones de los dos rayos que hemos utilizado. 202

10 Aire Agua El dioptrio plano puede considerarse como un caso particular del dioptrio esférico de radio infinito. En este caso, la ecuación del dioptrio esférico (que no hemos visto, ni vamos a ver) se simplifica muchísimo, como ocurrió con la de los espejos planos. La ecuación resultante para los dioptrios planos será: n s n s s: distancia real hasta la superficie del cambio de medio. s : distancia observada (aparente) a la que se cree que se encontrará el objeto. n: índice de refracción del medio en el que se emite la luz. n : índice de refracción del medio desde el que se observa. De la ecuación del aumento lateral para dioptrios esféricos se obtiene que el tamaño de la imagen será siempre igual que el tamaño del objeto. Ejercicios 1. En el fondo de un recipiente lleno de agua (n = 1.33) se encuentra una moneda de 2 cm de diámetro. La distancia aparente de la moneda a la superficie es de 30 cm. a) Cuál es la profundidad del recipiente? b) Cuánto mide el diámetro de la imagen de la moneda? 2. Un avión pasa a 275 m de altura sobre la superficie de un lago. A qué distancia ve el avión un buceador? 203

11 10.6 Lentes delgadas Def.: Una lente es un sistema óptico centrado formado por dos dióptrios, de los que uno al menos es un dioptrio esférico, en el que los medios refringentes extremos tienen el mismo índice de refracción (generalmente es aire). Se emplean para corregir los defectos del ojo, para fabricar telescopios, anteojos, microscopios, cámaras fotográficas, etc Tipos de lentes Las lentes se clasifican en dos grupos: Lentes convergentes: son más gruesas en el centro que en los bordes. Como indica su nombre y como veremos a continuación, tienden a concentrar los rayos. Un ejemplo de lente convergente es la lupa. Se representarán por el símbolo:. Lentes divergentes: son más gruesas en los bordes que en el centro. Tienden a abrir el haz de rayos de luz. Un ejemplo son las lentes utilizadas en las mirillas. Se representarán por el símbolo:. Una lente se considera delgada cuando su grosor es pequeño comparado con los radios de curvatura de sus dioptrios. En este tema sólo trataremos lentes de este tipo, cuyo estudio es más sencillo, tanto en la formación de las imágenes, como en la deducción de las fórmulas cuantitativas. 204

12 Elementos ópticos de las lentes Tanto si la lente es convergente como si es divergente, los elementos que interesa considerar son: Elementos ópticos de una lente convergente Eje principal o eje óptico: es la recta que une los centros de curvatura de los dos dioptrios. Si uno de ellos es plano, el eje principal es la perpendicular al mismo que pasa por el centro de curvatura del otro. Centro óptico (O) de una lente delgada: es un punto interior de la lente que está en su eje principal, y que tiene la propiedad de que todo rayo que pasa por él no cambia de dirección. Foco objeto (F): es el punto por el que deben de pasar los rayos incidentes para que tras atravesar la lente vayan paralelos al eje. Distancia focal objeto (f): distancia desde el centro óptico hasta el foco objeto. Foco imagen (F ): punto en el que concurren los rayos luminosos paralelos al eje óptico. Distancia focal imagen (f ): distancia desde el centro óptico hasta el foco imagen F. Elementos ópticos de una lente divergente En las lentes delgadas, las dos distancias focales son iguales y de signo contrario, f = - f, si a ambos lados de la lente existe el mismo medio material. 205

13 Formación de imágenes en lentes delgadas Las imágenes en las lentes se pueden construir de la misma manera que hicimos con las imágenes en los espejos esféricos. Bastará con utilizar dos de los tres rayos siguientes: Un rayo paralelo al eje óptico se refractará pasando por el foco imagen. Un rayo que pasa por el centro óptico no variará su trayectoria. Un rayo que pasa por el foco objeto se refractará paralelo al eje óptico. En el caso de que la lente sea divergente, la imagen se construirá igual, pero teniendo en cuenta que el foco imagen se encuentra a la izquierda de la lente, es decir, la distancia focal imagen es negativa. Formación de imágenes en lentes convergentes Imagen cuando el objeto está a una distancia de la lente mayor que el doble de la distancia focal La imagen será: 206

14 Imagen cuando el objeto está a una distancia de la lente igual al doble de la distancia focal La imagen será: Imagen cuando el objeto está a una distancia de la lente mayor que la distancia focal, pero menor que el doble de la distancia focal La imagen será: Imagen cuando el objeto está sobre el foco de la lente La imagen será: 207

15 Imagen cuando el objeto está situado a una distancia de la lente menor que la distancia focal La imagen será: Formación de la imagen en lentes divergentes: La imagen será siempre: Como hemos visto en todos estos casos, siempre que la imagen se recoja a la izquierda del espejo (s < 0), se tratará de una imagen virtual. Sólo cuando sea virtual será derecha (y > 0). Siempre que deseemos proyectar una imagen (diapositiva, proyector de transparencias, etc.) tendremos que utilizar lentes convergentes, porque son las únicas que emiten imágenes reales. En el caso de que queramos ver las imágenes derechas, tendremos que invertir los objetos. 208

16 Ecuaciones de las lentes delgadas Dados el siguiente diagrama de rayos, en el que se ve cómo se forma la imagen de un objeto en una lente convergente, se pueden obtener como conclusión unas ecuaciones comparando ángulos y razones trigonométricas. Trabajando con los ángulos obtenemos: tg tg y s y s A. L. (Aumento lateral) Trabajando con los ángulos obtenemos: tg tg P 1 f 1 s 1 s Ecuación fundamental de las lentes delgadas o ecuación de Gauss. 209

17 La potencia de una lente es la inversa de la distancia focal imagen f. El signo de la potencia es el mismo que el de la distancia focal imagen, es decir, las lentes convergentes tiene potencias positivas y las divergentes tiene potencias negativas. Si la distancia focal viene expresada en metros, la potencia de la lente vendrá expresada en dioptrías. Una dioptría es la potencia de una lente de distancia focal un metro. Si queremos relacionar la potencia de una lente, es decir, la inversa de la distancia focal imagen, con los radios de curvatura de la lente tendremos que recurrir a la siguiente relación, conocida como la ecuación del fabricante: P 1 f (n 1) 1 R 1 R 2 1 Para poder aplicar bien esta ecuación, tenemos que tener claro los signos de los distintos radios de curvatura. R1 es el radio de la primera superficie que me encuentro viajando en el sentido en que lo hace la luz, esto es, de izquierda a derecha. Si para trazar dicho radio el centro de curvatura se encuentra a la derecha de la lente (lentes convergentes), ese radio será positivo. En caso de que el centro de curvatura se encuentre a la izquierda de la lente (lentes divergentes), ese primer radio será negativo. R2 es el radio de la segunda superficie que me encuentro. Se aplican los mismos criterios que con R1: R2 será negativa para lentes convergentes y positiva para lentes divergentes. Radios de curvatura de una lente Ejercicios 1. La distancia focal de una lente delgada convergente mide 10 cm. Calcula la distancia a la imagen, el aumento lateral y la naturaleza de la imagen si se coloca un objeto a una distancia de 30 cm de la lente. 2. Un objeto luminoso de 2.8 cm de altura está situado a 20 cm de una lente divergente de potencia 10 dioptrías. Determina: a) la distancia focal de la lente. b) la posición de la imagen. c) la naturaleza y el tamaño dela imagen. d) la construcción geométrica de la imagen. 3. Los radios de curvatura de las caras de una lente bicóncava delgada son 6.4 y 4.2 cm, respectivamente, y su índice de refracción es n = 1.5. Si se sitúa un objeto de 0.85 cm de altura delante de la lente, a 12 cm de la misma, calcula: a) la distancia focal de la lente. b) la posición, el tamaño y las características de la imagen que se forma. 210

18 10.7 El ojo humano Aunque el ojo es denominado a menudo el órgano de la visión, en realidad, el órgano que efectúa el proceso de la visión es el cerebro; la función del ojo es traducir las vibraciones electromagnéticas de la luz en un determinado tipo de impulsos nerviosos que se transmiten al cerebro a través del nervio óptico. El globo ocular es una estructura esférica de aproximadamente 2,5 cm de diámetro con un marcado abombamiento sobre su superficie anterior. La parte exterior, o la cubierta, se compone de tres capas de tejido: la capa más externa o esclerótica tiene una función protectora, cubre unos cinco sextos de la superficie ocular y se prolonga en la parte anterior con la córnea transparente; la capa media o úvea tiene a su vez tres partes diferenciadas: la coroides muy vascularizada, reviste las tres quintas partes posteriores del globo ocular continúa con el cuerpo ciliar, formado por los procesos ciliares, y a continuación el iris, que se extiende por la parte frontal del ojo. La capa más interna es la retina, sensible a la luz. Esquema del ojo humano La córnea es una membrana resistente, compuesta por cinco capas, a través de la cual la luz penetra en el interior del ojo. Por detrás, hay una cámara llena de un fluido claro y Otro esquema del ojo humano húmedo (el humor acuoso) que separa la córnea de la lente del cristalino. En sí misma, la lente es una esfera aplanada constituida por un gran número de fibras transparentes dispuestas en capas. Está conectada con el músculo ciliar, que tiene forma de anillo y la rodea mediante unos ligamentos. El músculo ciliar y los tejidos circundantes forman el cuerpo ciliar y esta estructura aplana o redondea la lente, cambiando su longitud focal. El iris es una estructura pigmentada suspendida entre la córnea y el cristalino y tiene una abertura circular en el centro, la pupila. El tamaño de la pupila depende de un músculo que rodea sus bordes, aumentando o disminuyendo cuando se contrae o se relaja, controlando la cantidad de luz que entra en el ojo. 211

19 Por detrás de la lente, el cuerpo principal del ojo está lleno de una sustancia transparente y gelatinosa (el humor vítreo) encerrado en un saco delgado que recibe el nombre de membrana hialoidea. La presión del humor vítreo mantiene distendido el globo ocular. La retina es una capa compleja compuesta sobre todo por células nerviosas. Las células receptoras sensibles a la luz se encuentran en su superficie exterior detrás de una capa de tejido pigmentado. Estas células tienen la forma de conos y bastones y están ordenadas como los fósforos de una caja. Situada detrás de la pupila, la retina tiene una pequeña mancha de color amarillo, llamada mácula lútea; en su centro se encuentra la fóvea central, la zona del ojo con mayor agudeza visual. La capa sensorial de la fóvea se compone sólo de células con forma de conos, mientras que en torno a ella también se encuentran células con forma de bastones. Según nos alejamos del área sensible, las células con forma de cono se vuelven más escasas y en los bordes exteriores de la retina sólo existen las células con forma de bastones. El nervio óptico entra en el globo ocular por debajo y algo inclinado hacia el lado interno de la fóvea central, originando en la retina una pequeña mancha redondeada llamada disco óptico. Esta estructura forma el punto ciego del ojo, ya que carece de células sensibles a la luz Funcionamiento del ojo En general, los ojos de los animales funcionan como unas cámaras fotográficas sencillas. La lente del cristalino forma en la retina una imagen invertida de los objetos que enfoca y la retina se corresponde con la película sensible a la luz. Como ya se ha dicho, el enfoque del ojo se lleva a cabo debido a que la lente del cristalino se aplana o redondea; este proceso se llama acomodación. En un ojo normal no es necesaria la acomodación para ver los objetos distantes, pues se enfocan en la retina cuando la lente está aplanada gracias al ligamento suspensorio. Para ver los objetos más cercanos, el músculo ciliar se contrae y por relajación del ligamento suspensorio, la lente se redondea de forma progresiva. Un niño puede ver con claridad a una distancia tan corta como 6,3 cm. Al aumentar la edad del individuo, las lentes se van endureciendo poco a poco y la visión cercana disminuye hasta unos límites de unos 15 cm a los 30 años y 40 cm a los 50 años. En los últimos años de vida, la mayoría de los seres humanos pierden la capacidad de acomodar sus ojos a distancias cortas. Esta condición, llamada presbicia, se puede corregir utilizando unas lentes convexas especiales. 212

20 Defectos del ojo y su corrección La miopía consiste en que una persona puede enfocar bien los objetos cercanos, pero no ve claramente los lejanos. Es decir, se produce a causa de una distancia finita del punto remoto, haciendo posible que las personas no veamos con claridad los objetos situados más allá de este punto. Se debe a la excesiva convergencia del cristalino del ojo o a la excesiva longitud del globo ocular, lo que hace que la imagen no se forme sobre la retina, sino delante de ella. Se puede corregir mediante lentes divergentes. Miopía y su corrección mediante lentes divergentes La hipermetropía es la dificultad de enfocar claramente los objetos cercanos. El punto próximo del ojo hipermétrope está más lejos de lo normal, que son aproximadamente 25 cm. Este defecto se debe a que el cristalino no es suficientemente convergente o a que el globo ocular es demasiado corto, por lo que la imagen se forma detrás de la retina y la visión es borrosa. Este defecto se puede corregir mediante lentes convergentes, ya que refractan los rayos acercándolos al eje principal permitiendo que Hipermetropía y su corrección mediante lentes convergentes el cristalino haga el resto y los haga converger en la retina. 213

21 El astigmatismo es un tipo de defecto diferente en el cual la superficie de la córnea no es esférica, sino que tiene una curvatura más pronunciada en un plano que en otro. En consecuencia, la imagen de las líneas horizontales se puede formar en un plano diferente que la imagen de las líneas verticales. Este defecto se corrige mediante una lente de superficie cilíndrica. Por ejemplo, supóngase que la curvatura de la córnea en un plano horizontal es la correcta para enfocar los rayos provenientes del infinito en la retina, pero la curvatura en el plano vertical es demasiado grande para formar una imagen nítida en la retina. Cuando se coloca delante del ojo una lente cilíndrica con su eje horizontal, Astigmatismo y su corrección mediante lentes cilíndricas la lente no altera los rayos en el plano horizontal, pero la divergencia adicional de los rayos en el eje vertical hace que éstos se enfoquen nítidamente sobre la retina. Cuando se desea corregir tanto el astigmatismo como la miopía o la hipermetropía, se indican tres números: uno corresponde a la potencia esférica, otro a la potencia cilíndrica y un ángulo que describe la orientación del eje del cilindro. Las líneas horizontales y verticales se focalizan en distintos planos Ejercicios 1. Qué lentes correctoras debe utilizarse para corregir la hipermetropía de un ojo cuyo punto próximo está situado a 1.4 m? El punto próximo de una persona con visión normal está situado a 25 cm. 2. Un ojo miope tiene el punto remoto a 16.7 cm y el punto próximo a 10 cm. Calcula: a) la potencia de las lentes que necesita para ver claramente un objeto situado en el infinito. b) la posición de su punto próximo cuando use estas lentes. Nota: s: se tomará siempre la distancia correcta, la que tendría un ojo sin defectos de visión. s : se tomará siempre la distancia a la que se encuentre. 214

22 10.8 Instrumentos ópticos La cámara oscura Este instrumento que fue la base de la cámara fotográfica se conoce desde el siglo XVI. Consiste en una caja hueca de paredes opacas con un orificio en el centro de una de sus caras. Los rayos de luz reflejados por los objetos del exterior situados delante de la caja, atraviesan el orifico y forman una imagen invertida en la pared opuesta. Si esta pared se sustituye por una traslúcida, podrá verse la imagen desde el exterior. Cuanto más pequeño sea el orificio, más estrecho será el cono de rayos incidente y más nítida será la imagen. De los infinitos rayos de luz emitidos por A, sólo penetra en la cámara un pequeño haz que produce en la pantalla traslúcida la correspondiente imagen A. Dado que lo mismo ocurre para el rayo que sale de B y atraviesa el orificio, apreciamos una imagen B A en la pantalla La lupa La lupa, o microscopio simple, es el más sencillo de los instrumentos ópticos: es una lente convergente de pequeña distancia focal (y, por tanto, de gran potencia) que se interpone entre le ojo y el objeto a observar, para aumentar el tamaño de la imagen formado en la retina. Si el objeto se coloca entre el foco y la lente convergente, la imagen es mayor, derecha y virtual. Para ver un objeto con detalle se Funcionamiento de la lupa Cámara oscura acerca a los ojos para aumentar el ángulo de visión, pero este proceso tiene el límite del punto próximo (unos 25 cm). Con la lupa, cuando se enfoca, la imagen obtenida con ella se forma en el punto próximo. El aumento angular o poder amplificador de la lupa es la relación entre el ángulo visual cuando se observa un objeto con lupa y el ángulo visual 0 cuando se observa sin lupa, colocando el objeto en el punto próximo. Si se coloca el objeto en el foco, la imagen se forma en el infinito y el ojo está relajado, es decir, sin acomodación. Por lo tanto: tg 0 tg 0 y f y 0.25 A A f 215

23 La cámara fotográfica Los elementos básicos de una cámara fotográfica son: una caja hermética a la luz (cuerpo), una lente convergente (el objetivo), un obturador para abrir la lente durante un intervalo de tiempo concreto, un diafragma que está formado por un anillo de laminillas metálicas superpuestas que permite regular el diámetro efectivo del objetivo y, por tanto, la cantidad de luz que se va a poder registrar y un medio de registro sensible a la luz, que puede ser una película fotográfica en las cámaras tradicionales o un detector electrónico en las cámaras digitales. La lente forma un imagen real invertida del objeto que se fotografía sobre el medio de registro. El enfoque de los objetos se logra ajustando la distancia entre la lente y la película, de modo que la imagen del objeto que se va a fotografiar se forme sobre la película sensible. La cantidad de luz que penetra en la cámara se regula mediante el tiempo de exposición y la abertura del diafragma. Ambos parámetros se gradúan en función de la Esquema de una cámara fotográfica sensibilidad de la película, de la luz ambiente disponible, de la profundidad de campo que se desee obtener El microscopio Cuando se necesita un aumento mayor que el que es posible obtener con una lente de aumento simple, el instrumento al que se acude es el microscopio. En la figura vemos los elementos básicos del microscopio. Para analizar este sistema aplicamos el principio de que una imagen formada por un elemento óptico como una lente puede servir como objeto de un segundo elemento. El objeto O que se va a examinar se coloca inmediatamente después del primer punto focal F1 del objetivo, una lente convergente que forma una imagen real y ampliada I. En un instrumento correctamente diseñado, esta imagen se encontrará entre el foco F1 de Esquema del microscopio una segunda lente convergente y entre dicha lente, llamada ocular. El ocular funciona como lente de aumento simple (lupa) y forma una imagen virtual nítida I de la imagen I. Tanto el objetivo como el ocular de un microscopio real son lentes compuestas corregidas en alto grado y con varios elementos ópticos, pero con el ánimo de simplificar la compresión de su funcionamiento, aquí se muestran como lentes delgadas simples. 216

24 El telescopio El sistema óptico de un telescopio es semejante al de un microscopio compuesto. En ambos instrumentos se observa a través e un ocular la imagen formada por un objetivo. La diferencia fundamental es que el telescopio se utiliza para ver objetos grandes y lejanos, y el microscopio sirve para ver objetos pequeños muy cercanos. Muchos telescopios utilizan un espejo curvo como objetivo y no una lente. En la figura se muestra un telescopio de refracción, debido a que emplea una lente como objetivo. La lente objetivo forma una imagen real reducida I del objeto. Esta imagen es el objeto para la lente ocular, la cual forma una imagen virtual ampliada de I. Los objetos que se observan con un telescopio están por lo general tan lejos del instrumento, que la primera imagen I se forma casi exactamente en el foco de la lente objetivo. Si la imagen final I formada por el ocular se desea que esté en el infinito para poderla ver con mayor comodidad por un ojo sin defectos, la primera imagen también debe estar sobre el foco del ocular. La distancia entre el objetivo y el ocular será la suma de las distancias focales del objetivo y del ocular: f1 + f2. Esta distancia coincidirá con la longitud del telescopio El anteojo terrestre Esquema del telescopio de refracción El telescopio nos proporciona imágenes invertidas. Para las observaciones de objetos situados sobre la Tierra es más conveniente que las imágenes sean derechas. Para ello, el anteojo de Galileo consta de una lente convergente (el objetivo) de gran distancia focal y otra, divergente (el ocular) de distancia focal pequeña, separadas de forma que su intervalo óptico sea nulo, es decir, la distancia entre ellas es igual a la suma de sus distancias focales. La imagen del objetivo no se llega a formar; la imagen del ocular es virtual, derecha y aumentada y, esto es más importante, se forma más Esquema del anteojo terrestre cerca del ojo, por lo que aumenta el ángulo de visión. 217

25 EJERCICIOS 1. Se coloca un objeto de 3 cm de altura a 10 cm polo de un espejo convexo cuyo radio de curvatura mide 10 cm. Calcula la posición de la imagen y su tamaño. Describe la naturaleza de la imagen y construye el diagrama de rayos. 2. Un espejo cóncavo forma una imagen real, invertida, tres veces mayor que el objeto y está situada sobre el eje a 10 cm del polo del espejo. Calcula el radio de curvatura y la posición del objeto. Construye el diagrama de rayos. 3. Delante de un espejo esférico convexo de 50 cm de radio de curvatura se sitúa un objeto de 4 cm de altura, perpendicularmente al eje óptico del espejo y a 75 cm de distancia de su vértice. Calcula: a) la distancia focal del espejo. b) la posición de la imagen. c) el tamaño de la imagen. 4. Un espejo esférico tiene un radio de curvatura de 120 cm. Si a una distancia de 90 cm de él se coloca un objeto de 5 cm de altura, calcula la posición y el tamaño de la imagen a) si el espejo es cóncavo. b) si es convexo. 5. A qué distancia de un espejo convexo de 30 cm de radio de curvatura y perpendicularmente a su eje debe colocarse un objeto para que el tamaño de la imagen se reduzca a la mitad? 6. Se dispone de un espejo cóncavo de 20 cm de radio y se desea que la imagen se forma a 1 m del espejo. A qué distancia se deberá colocar el objeto? 7. Un objeto de 12 mm de altura se encuentra delante de un espejo convexo de 20 cm de radio, a 10 cm del vértice del mismo. a) Cómo es la imagen formada por el espejo y dónde está situada? b) Efectúa la construcción geométrica de la imagen. 8. A 35 cm de distancia de un espejo cóncavo de 60 cm de radio de curvatura se NS encuentra un objeto. Determina a qué distancia hay que colocar un espejo plano perpendicular al eje del sistema, para que la imagen formada después de reflejarse los rayos en este espejo quede situada en el centro de curvatura del espejo cóncavo. 9. En el fondo de un estanque lleno de agua (n = 1.33), con una profundidad de 1.4 m, se encuentra una pequeña piedra. a) A qué distancia de la superficie del agua se ve la piedra? b) Cómo es el tamaño de la imagen? 10. Un buceador observa desde el agua (n = 1.33) un avión que pasa a 250 m sobre la superficie del agua. A qué altura ve el buceador al avión? 11. Desde una altura de 1.5 m sobre el agua observamos un pez que nada a 0.50 m de profundidad. A qué distancia de nosotros vemos al pez? 12. Calcula la profundidad aparente de una piscina de agua (n = 1.33) de 2 m de profundidad cuando se la mira verticalmente al fondo desde el aire. 13. Un pescador situado en su barca se encuentra a 2.1 m de altura por encima de la superficie del agua, mientras que un pez nada a 0.5 m debajo de la superficie. El índice de refracción del agua es 4/3. a) A qué distancia ve el pescador al pez? b) Y el pez al pescador? 14. Un objeto de 5 cm de altura está situado a 60 cm de distancia de una lente convergente de 40 cm de distancia focal. Calcula: a) la potencia de la lente. b) la posición de la imagen. 218

26 c) el tamaño de la imagen. 15. La potencia de una lente es de 5 dioptrías. a) Si 10 cm a su izquierda se coloca un objeto de 2 mm de altura, halla la posición y el tamaño de la imagen. b) Si la lente es de vidrio (n = 1.5) y una de sus caras tiene un radio de curvatura de 10 cm, cuál es el radio de curvatura de la otra? 16. Un objeto de 5 cm de altura se sitúa a 25 cm de distancia de una lente delgada de 50 cm de distancia focal. Halla la posición y el tamaño de la imagen a) si la lente es convergente. b) si es divergente. 17. Con una lente convergente se obtiene una imagen real a 5 cm de la lente si el objeto está situado a 25 cm de la lente. Calcula la distancia focal imagen. 18. Se coloca un objeto a 36 cm de una pantalla. a) En qué puntos entre el objeto y la pantalla ha de colocarse una lente de 8 cm de distancia focal para obtener una imagen sobre la pantalla? b) Cuál es el aumento de la imagen para estas posiciones de la lente? 19. Una lente biconvexa de vidrio (n = 1.5) tiene radios de curvatura 0.1 m y 0.2 m. Calcula la distancia focal a) de la lente. b) si cambiamos el orden de radios, es decir, si le damos la vuelta. 20. Se necesita proyectar una diapositiva de 2 cm de altura sobre una pantalla situada a 3 m de la diapositiva, de modo que la imagen sea de 0.5 m. Calcula: a) la posición de la lente. b) su potencia. 21. Cierta persona no ve claramente los objetos situados más allá de 2.5 m, su punto remoto. Determina: a) el defecto que padece su vista. b) la distancia focal de las lentes que debe usar. c) su potencia. 22. El punto próximo de un présbita está a 80 cm. Determina: a) si le es dificultoso leer a 25 cm y por qué. b) el tipo y la potencia de gafas que necesita. 23. a) Qué gafas necesita para leer una persona cuyo punto próximo se encuentra a 200 cm? b) Qué gafas precisa para ver de lejos una persona cuyo punto remoto está situado a 50 cm del ojo? EJERCICIOS DE TEORÍA 24. A qué se debe la aproximación aparente que experimentan los objetos sumergidos en el agua? 25. Si queremos ver nuestra imagen ampliada en un espejo, qué tipo de espejo hemos de emplear y dónde nos tenemos que colocar? 26. Puede obtenerse una imagen mayor que le objeto empleando un espejo convexo? Y empleando un espejo cóncavo? En qué condiciones? 27. Describe bajo qué circunstancias la imagen en una lente delgada puede ser del mismo tamaño que la del objeto. En estas circunstancias, deduce si la imagen puede aparecer invertida. 28. Es posible que el objetivo de una cámara fotográfica sea una lente divergente? 29. Qué se debe hacer para poder ver la imagen de una diapositiva más grande? 219

27 CUESTIONES TEÓRICAS DE LAS PRUEBAS PAU (desde 2003) 30. Indica cómo es la imagen en las lentes divergentes (es decir, si es real o virtual y si es mayor o menor que el objeto). Justifica la respuesta utilizando diagrama de rayos (septiembre de 2006). 31. Enuncia las leyes de la reflexión y de la refracción y utilízalas para explicar el anteojo terrestre (septiembre de 2005). 32. Se dispone de una lente convergente de distancia focal f. Dibuja el diagrama de rayos para formar la imagen de un objeto de altura y, situado a una distancia s de la lente, en el caso en que s > f. Explica razonadamente si la imagen formada es real o virtual (junio de 2004). PROBLEMAS DE PRUEBAS PAU 33. La lente de un cierto proyector es simétrica, está hecha de un vidrio de 1.42 de índice de refracción y tiene una distancia focal de 25 cm (Murcia, junio de 2006). a) Calcula la velocidad de la luz dentro de la lente. b) Determina los radios de curvatura de las dos superficies de la lente. c) A qué distancia del foco objeto de la lente hay que situar una transparencia para proyectar su imagen, sobre una pantalla situada a 3 m de la lente? 34. Un objeto de 3 cm de altura se sitúa a 75 cm y verticalmente sobre el eje de una lente delgada convergente de 25 cm de distancia focal. Calcula (Galicia, junio de 2003): a) la posición de la imagen. b) El tamaño de la imagen. (realiza un dibujo del problema). 220

28 Cuestiones 1. Qué dimensiones mínimas debe tener un espejo plano para que podamos ver en él nuestra imagen completa? 2. Por qué los reflectores tienen forma de paraboloides? 3. Cómo pueden verse desde un submarino los barcos que navegan sobre el agua? Explica el funcionamiento de dicho aparato. 4. Qué clases de imágenes se forman en un espejo cóncavo si el objeto se halla situado: a) entre el foco y el vértice del espejo. b) Entre el foco y el centro de curvatura. c) A una distancia mayor que el radio de curvatura. Acompaña de un gráfico cada uno de los casos. 5. Un espejo convexo sólo da imágenes virtuales. Justifícalo. 6. Qué clase de lente se debe utilizar para proyectar la imagen de un objeto en una pantalla? 7. Por qué no coincide la profundidad aparente de un objeto situado en el fondo del agua con la profundidad real? 8. Qué significado tiene la expresión ser corto de vista? 9. Explica brevemente en qué consiste la hipermetropía. 10. Por qué un astigmático, al enfocar diversos haces de líneas que forman determinados ángulos entre sí, ve unos claros y otros difusos? 11. Qué función desempeña la lupa? 12. Con una buena cámara fotográfica se puede variar la apertura del diafragma; qué ventajas y desventajas presenta? 221

29 Solución cuestiones 1. La mitad de nuestra altura, pues el triángulo ABC es proporcional al triángulo ADE y, además, AD = 2 AB. 2. Para reflejar toda la luz que reciben en forma de haz paralelo sin que se produzca ninguna dispersión. Con el fin de conseguirlo se debe colocar el foco luminoso en el foco del paraboloide. 3. Por medio del periscopio. El más sencillo es el que se describe a continuación. Está formado por dos espejos planos y paralelos que reciben y reflejan la luz de modo que los rayos luminosos forman un ángulo de 45º con la normal. Para ello el ángulo formado por los espejos y la horizontal debe ser también de 45º. 4. a) imagen virtual, derecha y mayor que el objeto. b) imagen real, invertida y mayor que el objeto. c) imagen real, invertida y menor que el objeto. 5. Dan sólo imágenes virtuales, porque los rayos luminosos, al incidir sobre el espejo, divergen, juntándose sólo en sus prolongaciones. Si se quiere justificar analíticamente deberemos tener en cuenta que la distancia focal es positiva p p p p f p p La imagen situada detrás del espejo, p, es positiva. 6. Una lente convergente, puesto que las lentes divergentes no producen imágenes reales. 7. Considerando un objeto O en el fondo de una piscina. En el dibujo se ve que el rayo que proviene de dicho objeto, se desvía al salir al exterior, alejándose de la normal. El ojo verá a O en A, situado en la prolongación de los rayos que llegan al mismo. 8. En los miopes la imagen de los objetos se forma delante de la retina. El punto remoto no está en el infinito y el punto próximo está más cerca de lo que corresponde a un ojo emétrope. Es debido a la excesiva convergencia del cristalino y se corrige con lentes divergentes. 9. Es la formación de las imágenes detrás de la retina debido a la poca convergencia del cristalino. Por esta razón, tanto el punto remoto como el próximo están más cerca de lo normal. Se corrige este defecto con lentes convergentes. 10. Porque las superficies refractantes de su ojo no son esféricas, presentando diversos radios de curvatura. De hecho, equivale a la existencia de una lente esférica y otra cilíndrica. 11. Si se desea ver con detalle un objeto se le acerca al ojo a fin de que el ángulo subtendido sea mayor y, en consecuencia, lo sea también la imagen retiniana. Como normalmente el punto próximo se encuentra a unos 25 cm no es posible mejorar más la visión sin ayuda de instrumentos ópticos. Por ello se coloca cerca del ojo una lente convergente de modo que el objeto está situado a una distancia de la lente algo inferior a la focal. La imagen se forma en el infinito y el ángulo subtendido es mayor. 12. Una mayor apertura proporciona una mayor luminosidad y una pérdida de profundidad de campo. Con una velocidad adecuada se podrá compensar la carencia de luz, pero habrá que tener en cuenta que sólo saldrán nítidos los objetos enfocados. Por el contrario, si se cierra el diafragma se gana en profundidad de campo saldrán nítidos los objetos situados en distintos planos aunque se pierde en luminosidad. Este inconveniente se puede compensar con un mayor tiempo de exposición. 222

30 CTS Los telescopios reflectores Un telescopio reflector utiliza un espejo cóncavo llamado espejo principal o espejo objetivo para enfocar la luz de una estrella. El espejo principal forma la imagen en el llamado foco primario situado en la parte superior del tubo. Como por lo general es in inconveniente observar allí la imagen, un pequeño espejo secundario refleja la luz hacia un lugar más accesible. La principal consideración a tener en cuenta en el caso de un telescopio astronómico no es su poder amplificador, sino su capacidad de recoger luz procedente del objeto lejano. Ésta depende del tamaño del objetivo: cuanto mayor es el objetivo, mayor será la luminosidad de la imagen. Hoy en día, casi todos lo telescopios construidos son reflectores, porque evitan la aberración cromática de las lentes, ya que todas las longitudes de onda se reflejan con el mismo ángulo. Un espejo es mucho más barato que una lente del mismo diámetro, porque como la luz no ha de atravesar el vidrio, no es preciso que este sea perfecto y no tenga ninguna burbuja de aire. Además, puede apoyarse sobre toda su cara posterior con lo que se eliminan los problemas de combadura por su propio peso. También se reduce el coste, porque sólo hay que pulir una cara, no como en las lentes, que hay que pulir las dos. En los telescopios modernos, el espejo objetivo consta de varias docenas de segmentos especulares que se adaptan entre sí, y que pueden ajustarse individualmente para corregir pequeñas variaciones de tensión gravitatoria cuando el telescopio se inclina o para compensar dilataciones o contracciones térmicas y otros cambios producidos por condiciones climáticas. También pueden ajustarse para anular las distorsiones producidas por fluctuaciones atmosféricas. La luz procedente de todos los segmentos especulares se enfoca en una imagen única, equivalente a la que se obtendría con un espejo mayor. Un sistema de haces láser y pequeños ordenadores permite que continuamente se ajusten las imágenes individuales para obtener esa gran imagen única. Esta técnica se conoce como óptica activa. Debajo de cada segmento de espejo existe un sistema de sensores controlados por ordenador y sistemas mecánicos accionados por motor que pueden hacer variar de modo continuo la forma de cada espejo. 223

31 Ejercicios 1 1. Una persona de 1.80 m de altura tiene sus ojos a 1.70 m del suelo. Ve su imagen vertical perfectamente en un espejo situado a 2 m de él. Calcula la posición y altura del espejo. 2. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura de 1 m. Determina analíticamente la posición y aumento de la imagen del objeto si éste se encuentra a: a) 2 m del espejo. b) 1 m. c) 0.75 m. d) 0.5 m. e) 0.25 m 3. Un espejo convexo tiene 1 m de radio. Calcula la posición y tamaño de la imagen de un objeto de 20 cm de altura si éste se encuentra a: a) 2 m del espejo. b) 0.75 m. c) 0.25 m. 4. Un objeto de 10 cm de altura está delante de una lente convergente de 15 cm de distancia focal. Determina la potencia de la lente y la posición, naturaleza y tamaño de la imagen si el objeto se encuentra a : a) 20 cm de la lente. b) 15 cm. c) 10 cm. 5. Determina la potencia de una lente divergente de 20 cm de distancia focal y la posición, naturaleza y tamaño de la imagen de un objeto de 10 cm de altura si se coloca éste a: a) 30 cm de la lente. b) 10 cm de la lente. 6. Debemos construir una lente biconvexa simétrica de 5 dioptrías con un material de vidrio de n = 1.6. Calcula su distancia focal y su radio de curvatura. 7. Un objeto de 2 cm de altura está situado a 30 cm de una lente convergente de 20 cm de distancia focal. Calcula la posición y el tamaño de la imagen. 8. Un objeto de 9 cm de alto está a 27 cm de una lente divergente de f = - 18 cm. Dibuja y calcula la posición y la altura de la imagen. 9. Determina la naturaleza, posición y amplificación de la imagen de una lente delgada convergente de una dioptría si el objeto está situado a 150 cm. 10. Tenemos una lente divergente de 10 dioptrías. Calcula la posición y el aumento lateral para un objeto situado a 30 cm a la izquierda de la lente. 11. Cierto espejo colocado a 2 m de un objeto produce una imagen derecha y de tamaño tres veces mayor que el objeto. El espejo es convexo o cóncavo? Cuánto mide el radio de curvatura del espejo? 12. Un objeto de 1 cm de altura se encuentra delante de un espejo cóncavo de 20 cm de radio, a 10 cm del vértice del mismo. Cómo es la imagen formada por el espejo y dónde está situada? Construye la imagen gráficamente y resuelve el problema matemáticamente. 13. Un objeto de 1.2 cm de altura está situado a 20 cm de una lente convergente de 14 cm de distancia focal. Calcula la posición y el tamaño de la imagen. Halla también la imagen gráficamente. 224

32 Ejercicios 2 1. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de 1.2 m. A una distancia de 90 cm por delante de él se sitúa un objeto de 10 cm de altura. a) Calcula dónde se forma la imagen. b) Calcula el tamaño de la imagen. c) Representa gráficamente el sistema con su trazado de rayos. 2. El espejo cóncavo de un faro de automóvil forma la imagen de un filamento de 4 mm de la lámpara sobre una pared que dista 3 m del espejo. La imagen tiene un tamaño de 0.3 m. Calcula: a) Dónde está colocado el filamento respecto del espejo? b) El radio del espejo. c) Representa gráficamente el sistema con su trazado de rayos. 3. Se desea diseñar un espejo esférico que forme una imagen real, invertida y que mida el doble que los objetos que se sitúan a 50 cm del espejo. Se pide determinar: a) Tipo de curvatura del espejo. Justifica la respuesta. b) Radio de curvatura del espejo. 4. Se tiene un objeto de 5 cm de altura a 20 cm de una lente biconvexa de 2 dioptrías. a) Calcula la posición y tamaño de la imagen, indicando si es real o virtual. b) Representa gráficamente el sistema con su trazado de rayos. 5. Mediante una lente se quiere proyectar la imagen de una diapositiva aumentada 20 veces sobre una pared distante 12 m de la lente. a) Indica razonadamente que clase de lente se necesita. b) Calcula en qué posición hay que colocar diapositiva. c) Calcula la distancia focal de la lente. 6. Una lente convergente forma una imagen de un objeto muy lejano (haces de luz incidentes paralelos), a una distancia de 20 cm de la misma. Se pide: a) Longitud focal de la lente. b) Si se coloca un objeto a 100 cm de la lente, dónde se formará la imagen? c) Si se coloca un objeto a una distancia de la lente superior a la distancia focal, cuáles serán las características de la imagen? 7. Con una lente delgada convergente, cuya distancia focal es de 20 cm, se desea obtener la imagen de un objeto que sea real y tres veces más grande que el objeto. Se pide calcular la distancia del objeto a la lente y dibujar el diagrama de rayos. 8. Sea una lente convergente de distancia focal 10 cm. Obtén gráficamente la imagen de un objeto, y comenta sus características, cuando éste está situado: a) 20 cm por delante de la lente. b) 5 cm por delante de la lente. c) Calcula la potencia de la lente. 9. Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Dicha lente proyecta sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamaño 5 cm. a) Calcule la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen sea de 40 cm de tamaño. b) Si el índice de refracción de la lente es igual a 1.5, qué valor tienen los radios de la lente y cuál es la potencia de la misma? 225