GUÍA N o 1 FÍSICA GENERAL II LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO

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1 GUÍA N o 1 FÍSICA GENERAL II LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO Objetivos de aprendizaje: Esta guía es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos: Entender los fenómenos de atracción y repulsión propios de las cargas eléctricas, así como sus leyes de conservación y propiedades de cuantización. Comprender, calcular y aplicar la ley de Coulomb para el cálculo de fuerzas entre cargas puntuales. Aplicar la ley de Coulomb para el cálculo de fuerzas entre distribuciones de carga continua. Definir el concepto de Campo Eléctrico y su significado en términos de la fuerza eléctrica. Calcular el Campo Eléctrico para distribuciones de cargas puntuales y continuas. I. PREGUNTAS CONCEPTUALES Responda usando argumentos técnicos las siguientes preguntas. Apóyese en gráficos y ecuaciones según corresponda. Sea preciso y claro en sus respuestas. Ver capítulos 27 y 28 del libro [1]. a) Qué es la carga eléctrica? en qué unidades se mide? porqué se dice que la carga se conserva? b) En qué se diferencia un material conductor de uno aislante? c) Una varilla cargada atrae partículas de polvo de corcho seco, las cuales, después de tocar la varilla a menudo se alejan violentamente. Explique este fenómeno. d) Si frota enérgicamente una moneda con los dedos, no logrará que resulte cargada por la fricción, porqué? e) Porqué los experimentos de electrostática no funcionan en los días húmedos? f) Las líneas de campo eléctrico nunca se cruzan por qué? Demuestre. g) Dibuje las líneas de campo eléctrico que rodean dos cargas eléctricas separadas por una distancia L, cuando: i) Ambas son negativas, ii) Ambas son positivas y iii) Una es positiva y la otra negativa. h) Dos cargas puntuales de magnitud y signo desconocidos están separadas una distancia d. El campo eléctrico es cero en un punto entre las cargas, sobre la línea que las une. Qué puede concluirse acerca de las cargas? i) Dos cargas puntuales de magnitud y signo desconocidos están fijas separadas una distancia d. Podemos tener E = en puntos fuera del eje que las une? Explique. j) Tres cargas puntuales de igual de magnitud (distinta de cero), pero signos desconocidos están fijas en los vértices de un triángulo equilátero. qué se debe cumplir para que el campo eléctrico sea cero en el centro del triángulo? puede el campo eléctrico ser cero sobre uno de los lados del triángulo?

2 FIS12: Física General II II. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Tres cargas eléctricas fuentes q 1, q 2 y q 3, están situadas en los puntos P 1, P 2 y P 3 señalados en la Figura 1a. Datos: q 1 = 25Q, q 2 = 9Q y q 3 = 16Q. FIG. 1. Configuración de cargas discreta. a) Respecto de la Figura 1a. Si un agente externo desea mantener una carga de prueba q quieta en el punto P 4, determine la magnitud de la fuerza que debe hacer el agente para realizarlo. b) Se mueve la carga q 1 al punto P 4, la carga q 2 al punto P 3 y la carga q 3 al punto P 2, tal como muestra la Figura 1b cuál es ahora el campo eléctrico en el punto P 1?. 2. Tres cargas fuentes q 1 = Q, q 2 = +Q y q 3 = Q, están situados en los puntos T 1, T 2 y T 3 mostrados en la Fig. 2. FIG. 2. Configuración de cargas discreta. a) Determine el vector de campo eléctrico en los puntos P y R, de la figura 2. [ OP = (a,a,) y OR = (a/2,a/2,)]. b) Cuál debería ser la magnitud de una carga ubicada en el centro del cuadrado (punto R), de tal forma que el campo eléctrico en P sea nulo?. 3. Tres cargas eléctricas puntuales (Q 1, Q 2 y Q 3 ), todas de magnitud Q se encuentran ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a, tal como muestra la figura 3. Determine la magnitud de la fuerza eléctrica que experimenta cada una de ellas. FIG. 3. Configuración de cargas discreta. 2

3 FIS12: Física General II 4. Un alambre rectilíneo de longitud L se ubica sobre el eje x centrado en el origen (entre coordenadas x = L/2 y x = L/2). El alambre tiene densidad lineal de carga uniforme λ. FIG. 4. Distribución de carga continua (lineal). a) Determine la fuerza eléctrica que ejerce el alambre sobre una carga q ubicada en el punto P 1, donde r(p 1 ) = (L,) b) Determine aproximadamente el vector del campo eléctrico del alambre en el punto P 2 ( r(p 2 ) = (,a)). Cuál es la magnitud si a L.? 5. Considere una densidad de carga volumétrica ρ distribuida homogéneamente en un cilindro de radio R y largo L. Ubique su sistema de coordenadas en el centro del cilindro con el eje X alineado con el eje de simetría del cilindro. a) Calcule el campo eléctrico E(y) en un punto P ubicado a una distancia y del centro del cilindro (y > R). 6. Una esfera de radio R tiene un hueco esférico no concéntrico de radio R/2, como muestra la figura 5. Una carga se distribuye uniformemente con densidad ρ, sobre el volumen representado por la zona achurada. Determinar E en el punto D. Ayuda: Trate el hueco como una esfera con carga ρ, recuerde que los se pueden superponer. FIG. 5. Esfera de radio R con hueco de radio R/2. 3

4 FIS12: Física General II III. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dipoloeléctrico. Calculeel campoeléctricode un dipolo(una carga+q yuna carga q separadasauna distancia 2a) en su eje de simetría. FIG. 6. Dipolo eléctrico. Como ambas cargas son de igual magnitud podemos asumir que la componente y del campo resultante sera nula, por lo que solo calcularemos la componte E x en la dirección x. Sea E ± los campos eléctricos generados por las cargas ±q respectivamente. La magnitud de estos campos es la misma luego sus componentes en el eje x serán, E + = k q r 2 (1) E = k q r 2, (2) E +x = E x = k q cosθ. (3) r2 Pero de la figura 6 podemos decir que r = y 2 +a 2 y cosθ = a/r = a/ y 2 +a 2, por lo tanto q E +x = E x = k (y 2 +a 2 ) 3/2. (4) Finalmente la componente x del campo resultantes es la suma de las componentes x de los campos ±, por lo tanto q E x = 2k (y 2 +a 2 ) 3/2. (5) 2. Calcule el campo eléctrico debido a una distribución de carga homogénea ρ en una esfera de radio R. Solución: Para una pequeña cantidad de carga dq encerrada en un volumen dv podemos escribir el campo eléctrico como de = k dq ˆr, (6) r 2 donde d E es el diferencial de campo eléctrico a una distancia r de la carga dq. Luego la componente radial del campo eléctrico se puede escribir como E r = k r 2 dq. (7) 4

5 FIS12: Física General II Pero dq = ρdv y como ρ es constante podemos escribir E r = k r 2ρ V dv, (8) luego usamos coordenadas esféricas (ver figura 6) para escribir el elemento de volumen dv como, dv = r 2 sinθdr dθdφ, (9) donde la coordenada radial r esta definida en [,R], mientras que θ esta en el intervalo [,π] y φ esta en [,2π]. Luego el campo eléctrico se puede escribir como una integral de triple E r = k 2π r 2ρ π R r 2 sinθdr dθdφ, (1) dondesehaidentificadoconuna lacoordenadadeintegraciónr paraquenoseaconfundidaconlacoordenada r del punto donde se calculara el campo eléctrico. FIG. 7. Coordenadas esféricas. La coordenada r se conoce como distancia radial, θ es el angulo polar y φ el angulo azimutal. Usando trigonométrica y la definición de angulo obtenemos que el elemento de volumen se puede escribir como dv = r 2 sinθdrdθdφ. De las integrales sobre los ángulos θ y φ obtenemos 2 y 2π respectivamente. E r = k R r 24πρ Mientras que de la integral sobre el la coordenada radial r obtenemos R 3 /3. r 2 dr (11) E r = k r πr3 ρ. (12) Note que la cantidad 4/3πR 3 corresponde al volumen de una esfera de radio R, por lo tanto multiplicado por la densidad de carga volumétrica ρ nos da la carga total Q en la esfera. Finalmente obtenemos E r = k Q r2. (13) IV. RESULTADOS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 5

6 FIS12: Física General II 1. a) 5keQq 5d. b) E(P 2 1 ) = keq 1 2 d ( 5ˆx 2 5ŷ). 2. a) E(P) = keq a ( ˆx ŷ) y) E(R) = 2keQ a ( ˆx+ 2 2 ŷ). b) Dadas las magnitudes y signos de las otras cargas, al poner una carga en el punto R independiente de su magnitud y signo, el campo eléctrico en P NO puede ser nulo. 3. keq2 3 a a) 4keλq 3L ˆx. b) E(P 2 ) = 2keλL a L 2 +4a 2ŷ si a L entonces E(P 2 ) = 2keλ a ŷ. 2π L/2 L/2 r dr dθ dz r 2 +y 2 +z 2 2yr sinθ, donde las coordenadas primas representan la integración sobre el 5. E(y) = ρk R cilindro y la coordenada y es el punto donde se pide el campo eléctrico. 6. E = ρr3 ( 1 1 3ε r 2 8(r R/2) )ˆr. 2 [1] Haliday, Resnick and Krane, volumen 2 cuarta edición. Y/O los capítulos correspondientes de cualquiera de los otros libros de consulta que aparecen en el reglamento. 6