Nociones elementales de trigonometría

Transcripción

1 Nociones elementales de trigonometría La parte de la Matemática que se basa en las propiedades especiales de un triángulo rectángulo se llama trigonometría. Muchos conceptos de trigonometría son muy importantes para el estudio de la física. Por ejemplo en la composición y descomposición de fuerzas, en la determinación de las componentes del vector velocidad de un móvil, etc. Razones trigonométricas: Básicamente una razón trigonométrica es la relación entre las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo rectángulo se llaman: Catetos.- Son los lados perpendiculares del triángulo (o sea, los que forman el ángulo de 90º). Si un cateto está ubicado enfrente de un ángulo agudo (el que es menor que 90º), se dice que es su cateto opuesto. Si el cateto es un lado del ángulo agudo, se llama cateto adyacente. Hipotenusa.- Es el lado opuesto al recto (o sea, el único lado que no es perpendicular a ninguno de los lados). Es el mayor de los lados del triángulo rectángulo. Por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente: b y c son los catetos. b es el cateto opuesto al ángulo B 1. c es el cateto adyacente al ángulo B 2. a es la hipotenusa. Las razones trigonométricas básicas del ángulo B son: Seno Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. 1 Con relación al ángulo C, el lado b es su cateto adyacente. 2 Con relación al ángulo C, el lado c es su cateto opuesto Instituto Don Bosco Ramos Mejía Pág. 1/6

2 Coseno sen B= catetoopuesto hipotenusa = b a Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente cateto adyacente cos B= = c hipotenusa a Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. cateto opuesto tg B= cateto adyacente = b c Observación importante: Hemos definido en principio a las razones trigonométricas como razones (cocientes) entre las medidas de dos de los lados de un triángulo rectángulo. Sin embargo, debe notarse que si ampliamos (o disminuimos) uno de los lados del triángulo, los otros dos lados también aumentarán (o disminuirán) en la misma proporción. Es decir que los dos triángulos serán semejantes y por lo tanto guardarán las mismas proporciones entre sus lados. De modo que las razones trigonométricas sólo dependerán del valor del ángulo con respecto al cual se definen y no de las dimensiones de los lados. Por depender únicamente del ángulo, a las razones trigonométricas se las denomina funciones trigonométricas del ángulo. Razones trigonométricas de ángulos notables: En la siguiente tabla se consignan los valores de las funciones trigonométricas de algunos ángulos que frecuentemente aparecen en los problemas. Cálculo inverso: Al proceso de encontrar el valor de una función trigonométrica teniendo como dato al valor del Instituto Don Bosco Ramos Mejía Pág. 2/6

3 ángulo se lo llama cálculo directo. Sin embargo, a veces es necesario hallar el valor del ángulo teniendo como dato el valor de una función trigonométrica. Por ejemplo, supongamos que se conoce que el seno de un ángulo es 0,866 (es decir, se sabe que senα=0,866 ), pero se necesita conocer cuál es el valor del ángulo cuyo seno vale 0,866. En esos casos se usan las funciones trigonométricas inversas. En este caso sería: α=arc sen 0,866 La expresión anterior se lee: alfa es igual al arco seno de 0,866. Esta función arco seno es una forma abreviada de hacer la pregunta: qué ángulo tiene un seno de 0,866? Con la calculadora podemos averiguar que este ángulo es 60º. Resumiendo: la función inversa del seno es el arco seno (se escribe arc sen) la función inversa del coseno es el arco coseno (se escribe arc cos) la función inversa de la tangente es el arco tangente (se escribe arc tg) Atención: debemos asegurarnos que la calculadora esté ajustada en grados sexagesimales (debe aparecer en el display de la misma la letra D (de degrees). Componentes de un vector: Un método de sumar vectores (fuerzas, velocidades, etc.) emplea las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de ejes de coordenadas. Estas proyecciones se llaman componentes del vector. Cualquier vector se puede describir completamente con sus componentes. Por ejemplo, en la figura siguiente se representa un vector cartesianas. A en un sistema de coordenadas Notar que A se puede expresar como la suma de dos vectores, Ax sobre el eje x, y Ay sobre el eje y. Es decir A= Ax+ Ay Instituto Don Bosco Ramos Mejía Pág. 3/6

4 Ax ( valor de Ax ) es la componente x de A Ay (valor de Ay ) es la componente y de A. Estas componentes pueden ser positivas (si los sentidos de los vectores componentes coinciden con el sentido positivo de los ejes cartesianos) -como en este ejemplo, o negativas (si los sentidos de los vectores componentes coinciden con el sentido negativo de los ejes cartesianos. Aplicando trigonometría: cos θ= Ax A y sen θ= Ay A Por lo tanto, las componentes del vector A son: Ax=A cos θ Ay= A sen θ Estas componentes forman dos lados de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el módulo de A. La dirección del vector A puede establecerse conociendo el valor del ángulo θ. Aplicando el teorema de Pitágoras y la definición de tangente, obtenemos: A= Ax 2 + Ay 2 tg θ= Ay Ax θ=arc tg ( Ay Ax ) En los párrafos siguientes se ejemplifica como se aplica este procedimiento de descomponer un vector para obtener la fuerza total que actúa sobre un cuerpo. Este problema aparece en física frecuentemente y se denomina: Composición de fuerzas: Muchas veces tenemos distintas fuerzas aplicadas sobre un cuerpo y en distintas direcciones. Para conocer su comportamiento lo que hacemos es calcular la fuerza resultante, equivalente a la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas. Por ejemplo, sobre un cuerpo (no representado en la figura) actúan las fuerzas que se indican en el siguiente esquema: F1 = 100 Newton F2= 80 Newton α =20 del eje X β = 115 del eje x Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es: 1. Descomponer a las fuerzas proyectándolas (hallando sus componentes) sobre los ejes x e y Instituto Don Bosco Ramos Mejía Pág. 4/6

5 por medio de relaciones trigonométricas. Componentes de la fuerza F1 F1x = F1 Cos α = 100 N Cos 20º = 93,97 N F1y = F1 Sen α = 100 N Sen 20º = 34,20 N Para la F2 F2x = F2 Cos β = 80 N Cos 115º = - 33,81 F2y = F2 Sen β = 80 N Sen 115º = 72,50 2. Una vez que hemos descompuesto todas las fuerzas sobre los dos ejes, hallamos la componente x de la fuerza resultante, sumando (algebraicamente) las componentes de todas las fuerzas sobre dicho eje. Y lo mismo para la componente y de la fuerza resultante (sumamos algebraicamente las componentes de todas las fuerzas sobre el eje y). Fx= Fix=F1x+ F2x=93,97 N 33,81 N =60,16 N Fy= Fiy=F1y+ F2y=34,20 N +72,50 N =106,7 N 3. Componemos Fx y Fy para hallar la fuerza resultante Fr que actúa sobre el cuerpo Hallamos el módulo (valor) de la fuerza resultante aplicando el corolario del Teorema de Instituto Don Bosco Ramos Mejía Pág. 5/6

6 Pitágoras. F= Fx 2 +Fy 2 F= 60, ,7 2 =122,49 N 4. Hallamos la dirección de la fuerza resultante determinando el ángulo que forma con el eje horizontal x mediante la función arco tangente. γ=arc tan( Fy )=arc tan(106,7 Fx 60,16 ) γ=60º 35' 5 Instituto Don Bosco Ramos Mejía Pág. 6/6