MÓDULO 1. CÁLCULO DE ÓRBITAS

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1 LABORATORIO DE ARQUITECTURAS Y TECNOLOGÍAS EMBARCABLES EN SATÉLITE MÓDULO 1. CÁLCULO DE ÓRBITAS Nombre: INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.1. Leyes de Kepler Johannes Kepler ( ) revolucionó nuestro entendimiento de las órbitas. En "Misterio Cósmico", escrito antes de que tuviera 25 años, calculó que la órbita de Marte no era circular, sino elíptica. De este trabajo, desarrolló tres leyes muy importantes del movimiento de las órbitas Primera ley de Kepler. Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos. Una elipse es un curva plana cerrada que tiene la propiedad de que la suma de las distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, a cualquier punto de la curva permanece constante. En la figura 1.1, la distancia A+B es una constante a lo largo de la curva. A B F F' Figura 1.1 Primera Ley de Kepler Una elipse también resulta de la intersección de un plano con un cono. El diámetro mayor se conoce como eje mayor y determina el tamaño de la elipse. La mitad del eje mayor es el semieje mayor. La forma de la elipse depende de la proximidad entre los focos en relación con la longitud del semieje mayor. La excentricidad de una elipse es igual a la distancia entre los focos dividida por el semieje mayor. Si los focos coinciden, la elipse se convierte en un círculo, o dicho de otra forma, un círculo es una elipse con excentricidad cero. Segunda ley de Kepler. El vector posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales (figura 1.2). Esta ley también se conoce como la Ley de las Áreas.

2 Figura 1.2. Segunda Ley de Kepler La segunda ley de Kepler establece la velocidad de un objeto dentro de la órbita. Tercera ley de Kepler. Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los cubos de las distancias medias de los planetas al Sol (figura 1.3). 2 3 Esta ley puede expresarse por la ecuación P = kr, siendo k una constante de proporcionalidad Parámetros orbitales Figura 1.3. Tercera Ley de Kepler Sistema de coordenadas cartesiano Los sistemas de coordenadas cartesianos se forman a partir de tres vectores unidad ortogonales, formando entre ellos ángulos rectos. Para crear un sistema de coordenadas necesitamos especificar cuatro datos (figura 1.4): Un origen. Un plano fundamental. Un dirección principal Un tercer eje (1) Escojer un origen (2) Seleccionar el plano fundamental y trazar una línea perpendicular origen origen (3) Seleccionar la dirección principal (4) Encontrar el tercer eje origen origen tercer eje (regla de la mano derecha) dirección principal dirección principal Figura 1.4. Sistema de coordenadas Departamento de Automática 2

3 El origen define un punto de partida para nuestro sistema de coordenadas. El plano fundamental contiene dos de los ejes del sistema. Una vez se conoce el plano, se puede definir una dirección perpendicular a dicho plano. El vector unidad en esa dirección partiendo del origen es uno de los ejes. A continuación necesitamos definir una dirección principal, que puede ser algo que es físicamente significativo, por ejemplo una estrella. Para encontrar el tercer eje, se aplica la regla de la mano derecha Sistema de coordenadas geocéntrico-ecuatorial Para vehículos de órbita terrestre, un sistema de referencia que se emplea es el geocéntrico ecuatorial (figura 1.5), definido por los siguientes parámetros: Figura 1.5. Sistema geocéntrico ecuatorial Origen: el centro de la Tierra (de ahí el nombre de geocéntrico) Plano fundamental: el ecuador terrestre (de ahí el nombre de geocéntricoecuatorial), donde el eje perpendicular al plano fundamental es la dirección del Polo Norte Dirección principal: dirección del equinocio Vernal,, o, lo que es lo mismo, el vector que apunta al primer punto de Aries. La dirección del equinocio vernal apunta a la constelación zodiacal de Aries y se obtiene dibujando una línea desde la Tierra hasta el Sol, en el primer día de la primavera. Desafortunadamente la dirección del equinocio vernal no es perfectamente constante, debido a que tanto el Sol como la Tierra se mueven a lo largo de la galaxia. Por lo tanto, es muy importante definir con precisión esta dirección. Se emplean dos métodos. Un método consiste en emplear direcciones medias en algún instante de tiempo. El otro método consiste en usar la posición verdadera en un instante muy concreto en el tiempo. Tercer eje. Se obtiene empleando la regla de la mano derecha Se necesitan tres parámetros para fijar un punto en el espacio. En conjunto, estos parámetros se conocen como el vector posición de un objeto: R. Tres parámetros adicionales definen el vector velocidad, V. Un último parámetro, el tiempo, nos dice que la información suministrada es válida. Estos elementos, se conocen como elementos cartesianos. No obstante, para la descripción orbital, estos elementos no resultan muy convenientes, por lo que los astrónomos desarrollaron elementos orbitales que nos describen de forma sencilla el tamaño de la órbita, la forma y la orientación. A menudo, estos elementos orbitales se conocen como los elementos keplerianos (sistema clásico) Tamaño de la órbita Nos dice cómo de grande es una órbita (figura 1.6). Este parámetro depende de la velocidad con la que lancemos nuestro satélite a la órbita. Cuanto más rápido realicemos la inyección, más energía tiene la órbita y mayor es. Se expresa el tamaño orbital en Departamento de Automática 3

4 términos de su semieje mayor. El eje mayor de una órbita elíptica es la distancia desde del punto más cercano (perigeo) y el más alejado (apogeo). Figura 1.6. Tamaño de la órbita Debido al principio de la conservación de la energía, en una órbita elíptica, la velocidad del satélite es mayor en el perigeo que en el apogeo. Semieje mayor Podemos expresar el semieje mayor en términos de la distancia desde el centro de la Tierra hasta el apogeo (Rapogeo) y el perigeo (Rperigeo). El semieje mayor (a) puede obtenerse aplicando: Rapogeo + Rperigeo a = (1) 2 Período El período orbital P (es decir, cuánto tiempo tarda el satélite en describir una órbita completa), es proporcional al tamaño de la órbita y viene dado por la siguiente expresión: 3 a P = 2π (2) G M TIERRA donde: a: semieje mayor G = constante de gravitación universal = km 2 /sec 3 M TIERRA = masa de la Tierra = kg Por ejemplo, una órbita típica de la lanzadera espacial, que tiene una altitud de unos pocos cientos de kilómetros, tiene un período de unos 90 minutos, es decir, da unas 16 vueltas a la Tierra al día. Para un satélite de comunicaciones en una órbita geoestacionaria, con una altitud de km, el período es de 24 horas. Departamento de Automática 4

5 Forma de la órbita Excentricidad Cuanto menos circular es una órbita, más excéntrica o "imperfecta" es. La excentricidad, e, describe la forma de la órbita con respecto a una circunferencia (figura 1.7) Figura 1.7. Excentricidad Una circunferencia perfecta tiene una excentricidad de 0 Una órbita elíptica tiene una excentricidad inferior a la unidad Una órbita parabólica tiene una excentricidad igual a 1 Una órbita hiperbólica tiene una excentricidad superior a la unidad. En la práctica no es posible conseguir una órbita perfectamente circular o parabólica Orientación de la órbita Inclinación La inclinación, i, nos indica cuánto está inclinada una órbita. Una órbita que está justo en el plano del Ecuador tiene una inclinación de 0 grados y se conoce como órbita ecuatorial. Una órbita que pasa justo por los polos Norte y Sur debe tener una inclinación de 90 grados y se llama órbita polar Figura 1.8. Inclinación Departamento de Automática 5

6 En la figura 1.8, se muestra el ángulo entre el vector unidad, Kˆ (que coincide con el eje de rotación de la Tierra), y otro vector unidad, ĥ, que es perpendicular al plano de la órbita. Tabla 1. Tipos de órbitas atendiendo a la inclinación Inclinación Tipo de órbita Diagrama Inclinación Tipo de órbita Diagrama i = 0 grados Ecuatorial 0 < i < 90 Directa i = 180 grados i = 90 grados Polar 90 < i < 180 Indirecta o retrógrada Nodo ascendente Para medir lo "torcida" que está una órbita, se define el nodo ascendente como el punto en el que el satélite cruza el plano ecuatorial en dirección sur-norte. Este punto está referenciado a la dirección I, que apunta al equinocio vernal (figura 1.9). El ángulo entre la dirección I y el nodo ascendente se conoce como la ascensión recta del nodo ascendente, Ω, (RAAN). Argumento del perigeo Figura 1.9. Nodo ascendente La orientación de la órbita queda descrita localizando el perigeo con respecto al nodo ascendente. Esta ángulo, ϖ, se conoce como el argumento del perigeo (figura 1.10) y se mide positivamente en el sentido de movimiento del satélite. Departamento de Automática 6

7 Anomalía verdadera Figura Argumento del perigeo Finalmente, se describe la posición instantánea del satélite con respecto al perigeo usando otro ángulo conocido como anomalía verdadera, υ. Es un ángulo que se mide positivamente en la dirección del movimiento, entre el perigeo y la posición del satélite. De los seis elementos orbitales, la anomalía verdadera es el único que cambia continuamente (ignorando perturbaciones). Figura Anomalía verdadera Tabla 2. Resumen de los parámetros orbitales Nombre Símbolo Descripción Semieje mayor a Tamaño (y energía) Excentricidad e Forma e = 0. Circular e < 1. Elíptica e = 1. Parabólica e > 1. Hiperbólica Inclinación i Inclinación de la órbita con respecto al ecuador Longitud del nodo ascendente Ω Giro de la órbita con respecto al punto del nodo ascendente Argumento del perigeo ϖ Localización del perigeo con respecto al nodo ascendente Anomalía verdadera υ Localización del satélite con respecto al perigeo Departamento de Automática 7

8 1.3. Tipos de órbitas Las órbitas pueden ser de muy distintas maneras (más elevadas, inclinadas, elípticas...), siendo de distinta utilidad para las diferentes misiones. Las órbitas bajas (circulares, a unos 200 ó 300 km de altitud), se alcanzan más fácilmente y por tanto son utilizadas de forma frecuente para los vuelos tripulados (incluyendo estaciones espaciales), satélites científicos, satélites espías (necesitan estar cerca de la Tierra para conseguir una máxima resolución fotográfica), etc. La inclinación elegida dependerá de si se desea observar la Tierra de una forma más o menos sistemática (mayor inclinación implica mayor superficie cubierta) o de si su punto de mira se encuentra hacia fuera de nuestro planeta. La órbita polar posee una inclinación de unos 90 grados (pasa sobre los polos), es circular y está situada a unos 800 km de altitud. Es perfecta para observar toda la superficie terrestre de una forma repetitiva. Sin embargo, dado que la Tierra gira sobre su eje, ocurrirá que sucesivos pasos sobre un mismo punto podrán efectuarse bajo diferentes grados de iluminación solar. Esto puede ser válido pero no lo es tanto para misiones meteorológicas o de teledetección. Es por eso que algunas misiones utilizan la llamada órbita polar heliosíncrona, es decir, sincronizada con el Sol. Su inclinación es superior a los 90 grados ya que está alineada con la del eje terrestre. Esto permite pasar sobre un punto cada varios días y poder fotografiarlo siempre con la misma luz. El tercer tipo de órbita que llama poderosamente la atención es la geoestacionaria. También circular, es ecuatorial y se encuentra a unos km de altitud. Desde ella, un satélite tarda 24 horas en dar una vuelta a la Tierra, de modo que queda sincronizado con un punto situado sobre el ecuador. Desde esa posición se tiene una cobertura completa y constante de todo un hemisferio terrestre. Los satélites de comunicaciones pueden enviar entonces señales de televisión a parabólicas fijas en tierra, y los meteorológicos pueden tomar fotografías rutinarias de una misma región. Es una órbita que también usan los satélites de alerta inmediata, ingenios militares que vigilan constantemente si se produce el lanzamiento de un misil. Las órbitas geoestacionarias son útiles sobre todo para los países cercanos al ecuador. La cobertura es más deficiente si nos acercamos a los polos, debido a la curvatura terrestre. Naciones como Rusia, que poseen amplios territorios muy al norte, no pueden usar este tipo de órbitas para las comunicaciones en dichas regiones. Por eso, utilizan otras más adecuadas a sus intereses. Es el caso de las órbitas de alta excentricidad o Molniya: situado en inclinaciones grandes, el satélite alcanza un apogeo más allá de los km, mientras que el perigeo queda tan sólo a unos 500 km. Esto quiere decir que el satélite, aunque no será estacionario, permanecerá mucho más tiempo cerca del apogeo (donde se mueve más lentamente) que en el perigeo, y será útil si se emplean antenas provistas de los sistemas de orientación adecuados. Un giro completo dura 12 horas, de modo que el ciclo se repite dos veces al día. Con varios satélites espaciados se puede mantener una cobertura constante. Últimamente se están empezando a usar mucho una serie de órbitas intermedias. Son órbitas circulares, de entre 800 y km, de inclinaciones variadas, que permiten situar a muchos satélites cubriendo toda la Tierra, en forma de constelaciones, tal y como si fueran enjambres de abejas. Es el caso de algunos sistemas de comunicaciones modernos, o los satélites de navegación GPS. Estando más cerca de la Tierra, sus usuarios no necesitan aparatos receptores muy grandes y potentes. La presencia de Departamento de Automática 8

9 múltiples vehículos posibilita que constantemente haya más de uno sobre el horizonte, con lo que el servicio no queda nunca interrumpido. La existencia de diversas órbitas características, ampliamente utilizadas, ha desencadenado una cierta saturación (figura 1.12). Se lanzan decenas de satélites de comunicaciones geoestacionarios al año, de modo que el arco ecuatorial empieza a estar bastante superpoblado y a ser una propiedad codiciada por empresas y gobiernos. Figura Satélites terrestres 1.4. Midiendo el tiempo Resulta evidente pensar que, al igual que en nuestra vida cotidiana, en misiones espaciales sea muy útil conocer "qué hora es", de modo que se pueda establecer la hora del lanzamiento, la hora en la que el vehículo entra en órbita, la hora a la que el satélite debe tomar una acción determinada, la hora a la que el satélite sobrevuela una zona geográfica, etc. En la Tierra, como de todos es sabido, dependiendo de la zona geográfica en la que nos encontremos, será una hora u otra, pero, qué ocurre en un vehículo cuando sobrevuela todas las zonas horarias a lo largo de su órbita terrestre, u en otro vehículo con trayectoria interplanetaria. Formulada la pregunta de otro modo, cómo podemos medir el tiempo en el espacio?. Es necesario, pues, tener una referencia de tiempo que sea universal. A lo largo de la historia, los seres humanos hemos establecido diversas formas de medir el tiempo y hemos definido una serie de referencias o escalas de tiempo: GMT (Greenwich Mean Time). Fue en el año 1842 cuando el Reino Unido estableció una hora de referencia para Inglaterra, Escocia y Gales. La referencia de tiempo la proporcionaba el Observatorio Real en el municipio de Greenwich, en las cercanías de Londres, mediante observaciones astronómicas de tal modo que cuando el Sol se encontraba justo en la vertical de Greenwich, se establecía que eran las 12 del mediodía. En el año 1884, en la Conferencia Internacional del Meridiano, se dividió el globo terrestre en 24 meridianos espaciados 15º y centrados al este y al oeste por el meridiano 0, que se localizó en el Observatorio de Greenwich (figura 1.13). De este modo, se dividía la Tierra en 24 zonas horarias, siendo la diferencia entre zonas adyacentes de una hora; hacia el este una hora más y hacia el oeste una hora menos. En las cercanías del meridiano 180º se encuentra una línea imaginaria que diferencia el "hoy" del "mañana". Departamento de Automática 9

10 Figura Zonas horarias Posteriormente, al margen de la división en meridianos, cada país se englobó dentro de una determinada zona horaria por cuestiones políticas. La Hora Media de Greenwich o GMT pasó a ser la referencia oficial de tiempo para el resto del planeta, hasta el año 1972, que fue reemplazada por el Tiempo Universal Coordinado o UTC. UTC (Universal Time Coordinated). Tal y como se ha comentado previamente, el Observatorio Real de Greenwich basaba sus mediciones de tiempo en observaciones astronómicas. Sin embargo, con el desarrollo de relojes atómicos, se observó que las mediciones de tiempo basadas en las observaciones astronómicas eran de por sí inexactas debidas a las ligeras variaciones que sufre la rotación terrestre. Surgió la necesidad de obtener una referencia de tiempo que no estuviera sujeta a los fenómenos astronómicos y esta referencia la proporcionó las oscilaciones del átomo de Cesio bajo unas determinadas condiciones. La Oficina Internacional de Pesos y Medidas en París, es la encargada de proporcionar la UTC al resto del mundo, con una precisión de un nanosegundo/día. Por acuerdo internacional, para evitar que la diferencia entre la GMT, basada en la rotación terrestre, y la UTC sea muy grande, cuando la diferencia entre ambas alcanza el segundo, se hace un reajuste en la UTC sumándole ese segundo de diferencia. Esto suele tener lugar cada año o año y medio. La UTC se difunde a todos los rincones del mundo a través de las famosas señales horarias, emitidas a través de las emisoras de radio. También puede conocerse a través del sistema GPS: MET (Mission Elapsed Time). Es un reloj que se pone a cero en el momento del lanzamiento y cuenta normalmente en días, horas, minutos y segundos. Este tiempo es especialmente interesante para minimizar los efectos de la ventana de lanzamiento, una ventana que puede ser incluso de horas. De este modo no es necesario recalcular todo el plan de misión, dependiendo de la hora en la que se produzca el lanzamiento. Departamento de Automática 10

11 2. SATELLITE TOOL KIT Satellite Tool Kit (STK) es un paquete de programas destinado al diseño de aplicaciones espaciales. Está compuesto por un módulo principal (STK) y módulos adicionales que permiten desde el diseño de satélites y misiles, al modelado de sistemas de comunicación, pasando por la evaluación del entorno espacial. Dentro de las capacidades de STK, se encuentra la descripción de órbitas Creación de un escenario El escenario es el objeto de mayor nivel dentro de STK; incluye uno o más mapas y contiene el resto de objetos de STK (por ejemplo, satélites, instalaciones, barcos, etc). STK dispone de un módulo de visualización, llamado VO (Visualization Option). Este módulo permite mostrar órbitas, planetas, vehículos espaciales, misiles y zonas geográficas de manera tridimensional. Se carga mediante el programa STK/VO. Abra el programa STK (o STK/VO). Nada más arrancar STK, le aparecerá el gestor de escenarios (figura 2.1). Desde el gestor de escenarios podrá crear un nuevo escenario así como abrir un escenario ya existente. Figura 2.1. Gestor de escenarios Para crear un nuevo escenario, pulse el botón Create a New Scenario. Le aparecerá un mapa como el mostrado en la figura 2.2 y la ventana principal de STK (figura 2.3). La ventana principal muestra los diferentes elementos que componen el escenario clasificados en niveles. Está compuesta por un menú en la parte superior de la ventana (figura 2.3) y una barra de herramientas en la parte izquierda Un escenario puede tener uno o varios mapas como el de la figura 2.2 abiertos. Para crear un nuevo mapa, sólo debe seleccionar el escenario resaltándolo con el ratón e ir al menú de herramientas (Tools) y elegir la opción de New Map Window. Departamento de Automática 11

12 Figura 2.2. Planisferio terrestre En la ventana principal de STK se creará un nuevo escenario que se puede renombrar, haciendo un simple click sobre el nombre del escenario (figura 2.3). Por ejemplo, llamémosle Ejemplo1. Figura 2.3. Ventana principal 2.2. Editando las propiedades Las propiedades de la aplicación y de cada uno de los elementos que la componen, pueden editarse mediante el menú Properties en la barra de herramientas. Por ejemplo, para establecer las propiedades del escenario, se coloca el cursor sobre el mismo resaltando el nombre y se selecciona Basic Properties (puede también hacerse pulsando el botón derecho). Departamento de Automática 12

13 Figura 2.4. Propiedades básicas del escenario Para nuestro ejemplo, estableceremos un período de simulación de 24 horas. Seleccione, dentro de la pestaña Time Period, como tiempo de inicio (Start Time) el 1 de mayo de 2002 a las 00 horas, 00 minutos, 00 segundos y 00 centésimas de segundo (1 May :00.00) y como tiempo de parada (Stop Time) el 2 de mayo de 2002 a las 00 horas, 00 minutos, 00 segundos y 00 centésimas de segundo (2 May :00:00.00). Seleccione a continuación la pestaña Animation y asegúrese que el tiempo de inicio coincide con el seleccionado anteriormente Creando un satélite Para crear un satélite dentro de un escenario, sólo tiene que seleccionar el escenario y pulsar el botón (satélite). Se abrirá el asistente de órbitas (Orbit Wizzard). Para este ejemplo, vamos a colocar un satélite en una órbita geoestacionaria a una longitud de -100 grados (oeste). En el asistente, seleccionaremos como tipo de órbita la geoestacionaria. Figura 2.5. Asistente de Órbitas Pulsamos el botón Siguiente, y en la siguiente ventana indicaremos la longitud (Subsatellite Longitude) sobre la cual el satélite permanecerá fijo. Volvemos a pulsar Departamento de Automática 13

14 Siguiente y en la tercera ventana, cambiaremos los tiempos de comienzo y fin al 1 de mayo de :00:00.00 y 1 de mayo de :00:00.00 respectivamente. Para finalizar, pulsaremos el botón de Finalizar. Cambiaremos el nombre satélite a DAMA1. Si seleccionamos la ventana del mapa, habrá aparecido un satélite localizado a 100 grados de longitud oeste sobre el Ecuador. Pulsando el botón de Play, comenzará la animación. Puesto que hemos seleccionado una órbita estacionaria, el satélite permanecerá fijo en la misma posición durante toda la animación (figura 2.6). Figura 2.6. Posición de DAMA1 Se pueden editar en cualquier momento los parámetros orbitales, resaltando el satélite DAMA1 y seleccionando la opción de Basic Properties. Figura 2.7. Propiedades básicas del satélite Departamento de Automática 14

15 3. PRÁCTICAS Práctica 1 Se desea colocar un satélite en una órbita geoestacionaria. La longitud debe ser de 4 grados oeste. Una vez descrita la órbita, contéstese a las siguientes preguntas: a. Qué inclinación tiene la órbita?, por qué? b. Cuál es el período orbital? c. Cuál es la altitud del perigeo y del apogeo?. Según los resultados anteriores, dedúzcase la excentricidad de la órbita. d. Sin recurrir al asistente de órbitas, modifique los parámetros orbitales para situar el satélite en una longitud de 125 grados. Qué parámetro tiene que modificar? e. Pruebe a poner una ligera inclinación en la órbita y observe qué es lo que ocurre. Departamento de Automática 15

16 Práctica 2 Sitúe un satélite en una órbita cuyos parámetros son los siguientes: Parámetro Valor Inclinación 28,5 º Excentricidad 0 Altitud 300 km a. Cuál es el período de la órbita?. Confirme el resultado de forma analítica. b. Si se desea que el satélite pase por la Península Ibérica, que se encuentra a una latitud de 40º Norte, qué parámetro modificaría?. Modifique ese parámetro para que el satélite pase por la latitud indicada. c. En qué momento pasa por primera vez por la vertical de la Península Ibérica?, a qué hora pasará por segunda vez? Departamento de Automática 16

17 Práctica 3 Modifique la inclinación de la práctica 2 y ponga un valor de 90º a. Cómo se llama a este tipo de órbita? b. Modifique la inclinación del satélite primero a 100º y luego a 80º. Cómo es la órbita para cada uno de los casos, directa o retrógrada? Práctica 4 Cree un nuevo satélite, y en el asistente de órbitas, seleccione el tipo Molniya. Deje los parámetros que le indica el asistente por defecto. a. Rellene la siguiente tabla Parámetro Altitud del apogeo Altitud del perigeo Excentricidad Período Inclinación Valor b. De todo el período, cuánto tiempo permanece aproximadamente en las cercanías del apogeo?. Indique el tiempo dentro de un rango del ±10% respecto al apogeo. c. Si se desea cubrir todo el planeta en esas latitudes, cuántos satélites necesitaría como mínimo suponiendo que se encuentran a la suficiente altitud para que no haya problemas de comunicación entre ellos. Cree una constelación con los satélites que considere necesarios. Departamento de Automática 17