Tema 5. Análisis de sistemas muestreados

Transcripción

1 Ingeniería de Control Tema 5. Análisis de sistemas muestreados Daniel Rodríguez Ramírez Teodoro Alamo Cantarero

2 Contextualización del tema Conocimientos que se adquieren en este tema: Relacionar la estabilidad de un sistema con el módulo de los polos de su función de transferencia. Aplicar el criterio de Jury para determinar la estabilidad de un sistema. Caracterizar y hallar el error en régimen permanente de un sistema frente a señales de entrada estandar. Relacionar de manera cualitativa la posición de los polos del sistema con su respuesta transitoria. Conocer como se corresponden puntos y lugares del plano s con sus equivalentes en el plano z.

3 Esquema del tema 4.1. Introducción Estabilidad en sistemas de control por computador Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Errores en régimen permanente Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z.

4 Introducción El análisis de sistemas es un paso previo al diseño que resulta imprescindible. En otros cursos se ha hecho lo mismo para sistemas continuos: condiciones de estabilidad, métodos para comprobar la estabilidad en bucle cerrado, errores en régimen permanente, estudio del efecto de polos y ceros en la respuesta temporal. Ahora se verá lo mismo para sistemas muestreados. Resultados análogos a los de sistemas continuos. Algunas diferencias cualitativas importantes (polos y ceros). Además se estudiará la correspondencia en el plano z de algunas regiones interesantes del plano s: Amortiguación constante, Frecuencia constante, Frecuencia natural constante, etc

5 Esquema del tema 4.1. Introducción Estabilidad en sistemas de control por computador Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Errores en régimen permanente Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z.

6 Estabilidad de sistemas discretos La función de transferencia en Z de un sistema implica que: donde La señal de entrada U(z) puede ser un cociente de polinomios: La salida quedaría entonces como: Descomponiendo en fracciones simples: Parte que depende de los polos del sistema Parte que depende de los polos de la señal de entrada

7 Estabilidad de sistemas discretos La antitransformada de cada uno de las fracciones simples es de la forma: La salida será estable si todos los términos son estables. La estabilidad de cada término depende del valor del polo p i. Ejemplo: < p < < p < p > p < -1 Las secuencias que se amortiguan son aquellas en las que -1<p i < 1

8 Se comprueba que: Estabilidad de sistemas discretos Los términos tenderán a cero si el módulo de p i es menor que la unidad. Un sistema descrito por G(z) es estable si y sólo si el módulo de todos sus polos es menor que uno, es decir si todos los polos pertenecen estrictamente al círculo unidad. Es este resultado equivalente al de estabilidad de sistemas continuos?

9 Estabilidad de sistemas discretos Tómese un punto en la frontera de la región de estabilidad del plano s: Su transformación en el plano z es: describe el círculo unidad Por otra parte sea un punto del plano s con parte real distinta de cero: Manteniendo σ constante y variando ω z describe un círculo: De radio mayor que la unidad si σ > 0. De radio menor que la unidad si σ < 0. Finalmente si s=0, se transforma en z=e Tm 0 =1, es decir en la frontera de estabilidad. Los puntos de la región estable (inestable) del plano S se transforman en puntos de la región estable (inestable) del plano Z.

10 El criterio de estabilidad de Jury. Equivalente en discreto al criterio de Routh-Hurwitz. Se utiliza para determinar si todas las raices de están dentro del círculo unidad. Se basa en la construcción de una tabla: Las dos primeras filas están formadas por los coeficientes de A(z) Se añade una tercera igual a la primera menos la segunda por α = a n /a 0. Se añade otra: coef. de la tercera (menos el último) en orden inverso. Quinta linea = Tercera Cuarta por El proceso continuaría hasta obtener una tabla de 2n+1 filas En general:

11 Criterio de estabilidad de Jury Si a 0 > 0 entonces A(z) tiene todas las raices estables si y solo si: Además, si ningún es cero, entonces el número de valores negativos es igual al número de raices inestables de A(z). Si todos los para k=1,l,n-1 son positivos, entonces la condición es equivalente a las condiciones: Condiciones necesarias para la estabilidad se pueden usar antes de formar la tabla.

12 Ejemplo Se pretende discutir la estabilidad de un sistema de segundo orden en función de sus coeficientes: Se forma la tabla: 2.5 Las raíces serán estables: a a 1

13 Esquema del tema 4.1. Introducción Estabilidad en sistemas de control por computador Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Errores en régimen permanente Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z.

14 Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Polos en el eje real Polos en el eje imaginario

15 Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Polos complejos conjugados dentro del circulo unidad Polos complejos conjugados en el circulo unidad y fuera de el

16 Esquema del tema 4.1. Introducción Estabilidad en sistemas de control por computador Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Errores en régimen permanente Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z.

17 Errores en régimen permanente Para un sistema dado por una función de transferencia G(z) cuya entrada es R(z) y la salida Y(z), el error vendrá dado por: Para hallar el error en régimen permanente se aplica el th. del valor final: Un caso muy común es que la entrada sea un escalón unitario: Por ejemplo, si : Un sistema de primer orden tiene erp ante escalón nulo si a+b=1

18 Errores en régimen permanente Error en régimen permanente de un sistema con función de transferencia G(s) en lazo cerrado: El error en régimen permanente será: Si R(z) es un escalón unitario: donde es la ganancia estática de bucle abierto de la planta. Para que el error sea cero K p debe ser infinita $ polo en z = 1, sistema de tipo 1. Se llama tipo de un sistema al número de polos en z=1 que tiene dicho sistema.

19 Errores en régimen permanente En el caso de que la entrada sea una rampa, : donde Un sistema tipo 0 tiene K v = 0 error infinito. Un sistema tipo 1 tiene K v distinta de cero y finita error finito. Un sistema tipo 2 tiene K V infinita error cero. En el caso de que R(z) sea una parábola: donde Los sistemas de tipo 0 y 1 tienen K a = 0, por lo que el errror es infinito. Los de tipo 2 tienen K a finita y error finito y los de tipo 3 y superior tienen K a infinita y error cero.

20 En resumen: Errores en régimen permanente

21 Esquema del tema 4.1. Introducción Estabilidad en sistemas de control por computador Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Errores en régimen permanente Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z.

22 Características frecuenciales: correspondencias entre el plano z y el plano s. Al ser z un número complejo cumple que: Sea la frecuencia de muestreo y sean s_1 y s_2 dos puntos del plano s que difieren en: Los puntos en z que le corresponden son: A puntos del plano s que difieran en múltiplos de la frecuencia de muestreo en el eje imaginario le corresponden el mismo lugar en el plano z. Cualquier punto en el plano z tiene infinitos equivalentes en el plano s.

23 Correspondencias entre el plano z y el plano s 1 : 5: 2: 3: 4: Puntos de interes en el plano s Puntos equivalentes en el plano z

24 Correspondencias entre el plano s y el plano z Eje imaginario circulo unidad. Eje real: s=σ z=e Tσ. σ 0 z entre 0 y 1. σ > 0 z > 1. Lugares de atenuación constante: Corresponden en el plano s a rectas de parte real se transforman en circunferencias en el plano z. s z 1 = 1 1

25 Correspondencias entre el plano s y el plano z Lugares de frecuencia constante: En el plano s toman la forma de s=σ +jω 1 recta horizontal con parte imaginaria jω 1. En el plano z recta de ángulo ω 1 T. σ = σ =

26 Correspondencias entre el plano s y el plano z Lugares de amortiguación ζ constante: En sistemas continuos de segundo orden: En el plano s los lugares de amortiguación constante son rectas: La transformación es: Espiral logaritmica

27 Correspondencias entre el plano s y el plano z Lugares de frecuencia natural constante: En el plano s son círculos perpendiculares a los de amortiguamiento constante. Al ser la transformada z un mapeo conforme, los lugares serán perpendiculares a la espiral logarítmica de los lugares de amortiguamiento constante en el plano z.