Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica.

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1 Tema 1 Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales problemas planteados. Los orígenes del Cálculo se remontan al siglo III a. C., cuando los griegos intentaban resolver el problema del cálculo de áreas usando el método exhaustivo (inventado por Eudoxo), en el que se aproxima el área de la región que se desea conocer mediante áreas de regiones poligonales inscritas en ella cada vez más precisas. Con este método, Arquímedes ( a. C.) determinó la fórmula exacta del área del círculo y de otras figuras. La sustitución de los números romanos por los caracteres arábigos, aparición de los signos + y, el importante desarrollo de las notaciones matemáticas que empezó en el siglo XVI d. C., la notación decimal y los resultados sobre soluciones algebraicas de las ecuaciones cúbica y cuártica estimularon el desarrollo de la Matemática y, en particular, de los símbolos algebraicos que permitieron retomar el interés por el método exhaustivo, que se transformó en lo que hoy se conoce como cálculo integral. Sin embargo, el mayor impulso de esta rama de las Matemáticas se dió en el siglo XVII gracias a Isaac Newton ( ) y Gottfried Leibniz ( ), y continuó su desarrollo hasta que Augustin-Louis Cauchy ( ) y Bernhard Riemann ( ) le dieron una base matemática firme. Los aspectos fundamentales (o piedras angulares) que sustentan el Cálculo son el concepto de derivada y el concepto de integral. Ambos se apoyan en una herramienta fundamental que es el ite. Observemos que: El ite permite estudiar la tendencia de una función cuando su variable se aproxima a un cierto valor. La derivada permite calcular tasas de variación y pendientes de las tangentes a las curvas, definiéndose pues como un ite. La integral se introduce como ite de una suma especial y permite calcular áreas, volúmenes, longitudes de curva, etc. 1

2 La función valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se designa por x, definido por: { x si x 0, x = x si x < 0. En el caso del valor absoluto de una función, debemos tener en cuenta que: { f(x) si f(x) 0, f(x) = f(x) si f(x) < 0. Ejemplo { x 5 si x 5 0, x 5 = (x 5) si x 5 < 0. } = { x 5 si x 5, x + 5 si x < 5. x 2 2 x 3 = { x 2 2x 3 si x 0, x 2 + 2x 3 si x < Las funciones y sus gráficas. La gráfica de una ecuación de dos variables es el conjunto de puntos del plano que son solución de la ecuación y = f(x). Para definir el concepto de función, nos interesamos por aquellas ecuaciones de dos variables en las que una de ellas (habitualmente, la variable y) se puede expresar (de forma unívoca) en función de la otra variable (habitualmente, la variable x). Hablamos entonces de variable dependiente e independiente, respectivamente, y se denotará de forma general como y = f(x). Hay varios aspectos importantes de las funciones a tener en cuenta a la hora de su representación gráfica, y que tratamos a continuación Dominio de una función El dominio de una función es el conjunto de puntos de R para los que la función tiene sentido. Ilustraremos algunos de los casos que se estudian con más frecuencia en ejemplos. Ejemplo x f(x) = 1 + x Para que la raíz tenga sentido necesitamos que 1 x 0 y para que el denominador 1 + x no se anule que x 1. Dicha situación de puede dar si: { } 1 x 0, lo que se corresponde con ( 1, 1], 1 + x > 0 { } 1 x 0, lo que se corresponde con. 1 + x < 0 Es decir D(f) = ( 1, 1]. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 2 Curso 2013/14

3 f(x) = e x 1. El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que e x 1 0, es decir x ln(1) = 0. Por tanto, D(f) = [0, + ). f(x) = ln x El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que x = 0, es decir D(f) = R\{0} = (, 0) (0, + ). f(x) = ln(x(2 1x)(x + 3)) El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que x(2 x)(x + 3) > 0. Tenemos varias situaciones posibles: x > 0 2 x > 0 x + 3 > 0 x > 0 2 x < 0 x + 3 < 0 x < 0 2 x > 0 x + 3 < 0 x < 0 2 x < 0 x + 3 > 0, lo que corresponde con (0, 2),, lo que corresponde con,, lo que corresponde con (, 3),, lo que corresponde con. Por tanto, D(f) = (, 3) (0, 2) Límites. 1. Los problemas de la tangente y la velocidad. El concepto de ite se puede ilustrar a través del problema de la recta tangente a una curva y = f(x) en un punto de ella P : ite de las rectas secantes a la curva y = f(x) que pasan por P. Se usa entonces la definición de pendiente entre dos puntos de la curva, el propio P = (a, f(a)) y un punto genérico Q = (x, f(x)), como: m P Q = f(x) f(a). x a Si la recta tangente es el ite de las rectas secantes, su pendiente será el ite de las pendientes de las rectas secantes m P Q cuando Q tiende a P. Del mismo modo, se puede ilustrar el concepto de ite a través del concepto de velocidad. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 2013/14

4 2. El ite de una función. Una definición formal de dicho concepto es la siguiente: La notación f(x) = L x a se lee el ite de f(x) cuando x tiende a a es L", y quiere decir que si x es un número arbitrariamente próximo a a, entonces la imagen de x a través de la función f se aproxima arbitrariamente a L. Por aproximarse arbitrariamente dos números reales podemos entender aproximarse por la izquierda o por la derecha, por tanto la definición anterior encubre que existen los ites laterales, que denotaremos por f(x) el ite por la derecha y x a + f(x) el ite por la izquierda, y que ambos son iguales. Igualmente se define x a el concepto de ite + o. 3. Cálculo de ites. Una posible estrategia para calcular ites es relacionarlos con el concepto de continuidad (que conocen, al menos de manera intuitiva). Así, si la función es continua en un punto, el ite de la función en dicho punto coincide con su valor a través de f. De este modo, se daría respuesta, por ejemplo, a ites de funciones polinómicas, racionales (siempre que el punto en el que se quiere calcular el ite no anule el denominador) y trigonométricas (si el punto pertenece al dominio de la función trigonométrica). En el caso del ite de una función compuesta: Si f y g son funciones tales que x a g(x) = L y x L f(x) = f(l), entonces: f(g(x)) = f(l). x a Respecto al cálculo de ites de funciones definidas a través de la suma, resta, producto de dos o más funciones, de una función por una constante o del cociente de funciones (siempre que la función que aparece en el denominador no se anule en el punto en el que se quiere calcular el ite), podemos decir: (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) x a x a x a (f(x) g(x)) = f(x) g(x) x a x a x a (f(x) g(x)) = f(x) g(x) x a x a x a f(x) f(x) x a g(x) = x a g(x) x a El mismo resultado es válido para ites x a, x a + (a R), x ó x +. Sin embargo, en algunos casos tales operaciones conducen a ites indeterminados. Uno de los casos en el que se conoce la solución de dicha indeterminación es el caso del ite a infinito de funciones racionales, es decir, cociente de funciones Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 2013/14

5 polinómicas: si grad(p) > grad(q) p(x) x q(x) = a n b n si grad(p) = grad(q) y p(x) = a n x n + a n 1 x n , q(x) = b n x n + b n 1 x n si grad(p) < grad(q) También son conocidos los dos teoremas siguientes: [T1 ] Si f(x) g(x) para todo x en un intervalo abierto conteniendo a a (quizás excepto en a), y existen los ites de ambas funciones cuando x tiende a a, entonces: f(x) g(x). x a x a [T2 ] (Teorema del sandwich") Si f(x) g(x) h(x) para todo x en un intervalo abierto conteniendo a a (quizás excepto en a), y f(x) = h(x) = x a x a L, entonces: g(x) = L. x a 4. Definición precisa de ite. La definición de ite dada anteriormente es un poco vaga, ya que el concepto de proximidad no queda explicitado de manera clara. Así por ejemplo, no podemos dar respuesta a la cuestión básica de cuál es la cercanía de x al punto a para que la función f(x) esté a 0,1 del ite L. La siguiente definición formaliza los conceptos anteriores, traduciendo el concepto de proximidad en distancia (valor absoluto): Definición de ite: Sea f una función definida en u intervalo abierto que contiene a a (excepto posiblemente a), y sea L un número real. La notación f(x) = L x a significa que, para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x a < δ, entonces f(x) L < ε. Igualmente, se formalizarán los conceptos de ites laterales e infinitos. 5. Continuidad y ites laterales. En el lenguaje cotidiano, un proceso es continuo si tiene lugar de forma gradual, sin interrupción o cambio abrupto. Del mismo modo se define el concepto de continuidad en un punto c: Definición de continuidad:una función f se dice que es continua en un punto c si: 1) está definida en c R, es decir, existe f(c) Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 5 Curso 2013/14

6 2) existe f(x), es decir, si existe f(x), existe f(x) y x c x c x c + 3) x c f(x) = f(c) f(x) = f(x) x c x c + Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo. Una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y, además, f(x) = f(a) y f(x) = f(b). x a + x b Si alguna de las condiciones anteriores no se verifica, aparece uno de los siguientes fenómenos de discontinuidad: discontinuidad evitable: Si existe x c f(x) pero x c f(x) f(c). posee una discontinuidad evita- Ejemplo { x + 2 si x 0, La función f(x) = 2(x + 1) 2 si x < 0. x 2 2x+1 x 1 si x 1, La función f(x) = 3 si x = 1. ble en x = 0. es continua en x = 0. discontinuidad de salto: Si existe el ite por la izquierda f(x), existe x c el ite por la derecha f(x) pero f(x) f(x). Si f(x) x c + x c x c + x c f(x) R, entonces se dice que la discontinuidad es de salto finito. En x c + caso contrario, la discontinuidad es de salto infinito. Ejemplo { ln(e x 1 ) si x 1, La función f(x) = posee una discontinuidad de salto finito en x = 1. 1 si x < 1. { 1 x si x 0, La función f(x) = posee una discontinuidad de salto infinito en x = 0 si x = discontinuidad esencial: Si no existe alguno de los ites laterales x c f(x) ó x c + f(x). { ( sen 1 ) x si x 0, Ejemplo La función f(x) = posee una discontinuidad esencial en x = 0, ya que no existe ni f(x) ni f(x). 1 si x = 0. x 0 x 0 + Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 2013/14

7 La suma, diferencia, producto, cociente y composición de dos funciones continuas es continua, así como del producto de un escalar por una función continua. Como consecuencia, podemos enunciar: Teorema del Valor Intermedio: Supongamos que f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y que N es cualquier número entre f(a) y f(b). Entonces, existe un número c [a, b] tal que f(c) = N Asíntotas de una función Recordemos que hay tres tipos de asíntotas asociadas a una función f(x): verticales, horizontales y oblicuas. Se caracterizan por: asíntotas verticales: Son de la forma x = a donde a / D(f). Existen si f(x) = x a y/o f(x) =. No pueden cortar a la función en ningún punto. x a + Ejemplo La función f(x) = 1 tiene como dominio D(f) = R\{1}, luego x 1 la única candidata a asíntota vertical de f(x) es x = 1. Como: 1 x 1 x 1 =, entonces se trata realmente de una asíntota vertical. 1 x 1 + x 1 = + asíntotas horizontales: Son de la forma y = b, b R, donde b = x f(x). Como se pueden calcular los ites a + ó a, pueden existir hasta dos asíntotas horizontales distintas. Las asíntotas horizontales pueden cortar a la función en uno o más puntos. Ejemplo La función f(x) = x verifica que: 1 + x2 x x 1 + x 2 = 0 R luego y = 0 es una asíntota horizontal (hacia y hacia + ). Observemos x que la curva y = y la asíntota horizontal y = 0 se cortan en el punto 1 + x2 (0, 0). La función f(x) = ex x + 1 x verifica que: e x x + 1 = 0, x + e x x + 1 = + luego y = 0 es una asíntota horizontal hacia, pero no hacia +. Observemos que la curva y = ex y la asíntota horizontal y = 0 no se cortan en x + 1 ningún punto. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 2013/14

8 La función f(x) = 1 verifica que: 1 + ex 1 1 = 1, x 1 + ex x e x = 0 luego y = 1 es una asíntota horizontal hacia, e y = 0 es una asíntota horizontal hacia +. Observemos que la curva y = 1 y las asíntotas horizontales y = 0 e y = 1 no se cortan en ningún 1 + ex punto. asíntotas oblicuas: Son de la forma y = m x + n, m R\{0}, n R, donde f(x) m = x x, n = (f(x) m x). x Como se pueden calcular los ites a + ó a, pueden existir hasta dos asíntotas oblicuas distintas. Las asíntotas oblicuas pueden cortar a la función en uno o más puntos. Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles hacia y hacia +, es decir, si existe asíntota horizontal hacia + no puede existir asíntota oblicua hacia +, e igualmente hacia. Ejemplo La función f(x) = m = x x 3 (1+x) 2 x x 3 verifica que: (1 + x) 2 = x ( x 3 n = x (1 + x) 2 x x 2 (1 + x) 2 = 1, ) 2x 2 x = x (1 + x) 2 = 2, luego y = x 2 es una asíntota oblicua (hacia y hacia + ). Observemos que la x 3 curva y = (1 + x) 2 y la asíntota oblicua y = x 2 se cortan en el punto ( 2 3, 8 3 ) Derivación La derivada. Dada una función f definida en un entorno del punto a, se define la derivada de f en x, que denotaremos por f (x) (también se darán a conocer otras notaciones para la definición de este concepto), como: f f(x + x) f(x) (x) = x 0 x siempre que éste exista, y donde x representa el incremento de x. El cociente que aparece en la definición recibe el nombre de cociente incremental. Análogamente al caso de la continuidad, la derivada por la derecha y por la izquierda existen si los ites laterales (por la derecha y por la izquierda) del cociente incremental existen. Sólo si ambos son iguales, la función será derivable en dicho punto. Se dice que una función es derivable en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo. Recordemos que la derivabilidad implica continuidad. El recíproco no es cierto. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 2013/14

9 Fórmulas de diferenciación. Como es muy lento el cálculo de derivadas a partir de la definición, es conveniente conocer las reglas de derivación más básicas. A continuación mostramos las derivadas de las principales funciones elementales: Derivadas de funciones elementales Regla de la cadena Potencia (x n ) = nx n 1 (f(x) n ) = nf(x) n 1 f (x) Exponenciales ( (e x ) = e ) x e f(x) = e f(x) f (x) ( (a x ) = a x (ln a) ) a f(x) = (ln a)a f(x) f (x) Logarítmicas (ln x) = 1 x, x > 0 (ln f(x)) = 1 f(x) f (x) (log a (x)) = 1 1 (log ln a x a f(x)) = 1 1 ln a f(x) f (x) Trigonométricas (senx) = cos x (cos x) = senx (tan x) = 1 + (tan x) 2 = 1 (cos x) 2 (cotanx) = (1 + (cotanx) 2 ) = 1 (senx) 2 (senf(x)) = f (x) cos f(x) (cos f(x)) = f (x) senf(x) (tan f(x)) = [1 + (tan f(x)) 2 ] f (x) (cotanf(x)) = [1 + (cotanf(x)) 2 ] f (x) Inversas trigonométricas (arcsenx) = 1 1 x 2, si x < 1 (arcsenf(x)) = f (x) 1 f(x) 2 (arccosx) = 1, si x < 1 (arc cos 1 x 2 f(x)) = f (x) 1 f(x) 2 (arctanx) = x 2 (arctan f(x)) = f (x) 1 + f(x) 2 (arccotanx) = 1 (arccotanf(x)) = f (x) 1 + x (f(x)) 2 En la tabla anterior, la columna de la derecha es relativa a la derivación de funciones compuestas (y equivalente al uso de la Regla de la Cadena). Además, tendremos que tener Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 9 Curso 2013/14

10 en cuenta el álgebra de derivadas, cuyas fórmulas son: Derivada de una suma/resta: (c f(x)) = c f (x), para c R. Derivada de una constante por una función: (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) Derivada de un producto: (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Derivada de un cociente: ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) g(x) 2, si g(x) La Regla de la Cadena. Regla de la cadena: Si existen las derivadas de la función f respecto de u y de la función u = g respecto de x, entonces la función F = f g es una función derivable respecto de x y su derivada respecto de x, F (x) viene dada por la expresión: F (x) = f (g(x)) g (x) Aplicaciones de la derivación Recta tangente y recta normal a una curva y = f(x). La recta tangente a una curva y = f(x) en el punto x = a viene dada por la expresión: y = f(a) + f (a) (x a) y la recta normal a una curva y = f(x) en el punto x = a viene dada por la expresión: y = f(a) 1 f (x a) (a) Ejercicio Calcula la recta tangente de las siguientes funciones en los puntos indicados: Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 10 Curso 2013/14

11 f(x) = e x2 en x = 1 En x = 1, f(1) = 1 e, y la recta tangente viene dada por la expresión: y f(1) = f (1) (x 1), es decir, y 1 e = f (1) (x 1). Por tanto, tenemos que calcular f (1). Observemos que f (x) = 2 x e x2, luego f (1) = 2 e. La recta tangente viene dada pues por y 1 e = 2 e (x 1), es decir: y = 1 (3 2x). e Y la recta normal viene dada por y 1 e = e 2 (x 1), es decir: y = e ( 1 2 x + e e ). 2 f(x) = ln(x + 1) en x = 2 En x = 2, f(2) = ln(3), y la recta tangente viene dada por la expresión: y f(2) = f (2) (x 2), es decir, y ln(3) = f (2) (x 2). Por tanto, tenemos que calcular f (2). Observemos que f (x) = 1 x+1, luego f (2) = 1 3. La recta tangente viene dada pues por y ln(3) = 1 3 (x 2), es decir: y = ln(3) + 1 (x 2). 3 Y la recta normal viene dada por y ln(3) = 3(x 2), es decir: y = ln(3) 3 (x 2) Regla de l Hôpital. El cálculo de ites presenta algunos casos de indeterminación que pueden ser dilucidados gracias a una de las aplicaciones del cálculo de derivadas como es la Regla de l Hôpital 1 : Supongamos f y g funciones diferenciables y g (x) 0 sobre un intervalo abierto I que contiene al punto a, a [, + ], (salvo quizás a). Supongamos que o bien f(x) = 0 y g(x) = 0 x a x a f(x) = ± y g(x) = ±, x a x a es decir, tenemos una indeterminación del tipo 0/0 o /. Entonces, f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x) siempre que el ite de la derecha no sea indeterminado. Dicha regla es válida también para el cálculo de ites laterales. 1 Nota: La regla de l Hôpital debe su nombre al Marqués de l Hôpital ( ), pero fue descubierta por el matemático suizo J. Bernouilli ( ). Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 11 Curso 2013/14

12 Ejercicio e x x + x = + e x (indet.) = (L Hôpital) + x + 1 = + x 2 + 2x + 1 = + 2x + 2 (indet.) = (L Hôpital) = 0 x 1 x x 1 1 Análogamente, las indeterminaciones 0 ó se pueden resolver usando la Regla de L Hôpital, siempre y cuando se hayan transformado inicialmente en ites del tipo 0 0 ó. Ejercicio x + xe x = + 0 (indet.) = x + x + (ex x) = + (indet.) = x x + e x = + = (L Hôpital) + x + x e x = + = (L Hôpital) + x + ( x + ex 1 x ) e x = + 1 = 0, luego ex ( x + ex 1 x ) e x = + (1 0) = +. 1 e x = 0 ( ), donde Nota: El caso de ites de f(x) g(x) que sean de la forma 0 0, 0 o 1 no se tratarán en este tema Monotonía y determinación de extremos. Intuitivamente una función es creciente o decreciente en un intervalo si su pendiente es positiva o negativa (respectivamente) en todos los puntos del intervalo. Por tanto, si la función es derivable se puede demostrar (de manera formal) cuándo es creciente y cuándo decreciente según el signo de su derivada. Los puntos en los que dicha derivada se anule serán llamados puntos críticos, ya que se corresponden con el paso de una función creciente a decreciente o viceversa. El crecimiento/decrecimiento de una función se puede conocer usando el llamado criterio de la derivada primera: Una función se dice creciente en x si f (x) > 0. Una función se dice decreciente en x si f (x) < 0. Notemos que los extremos relativos de una función también verifican la condición de punto crítico f (x) = 0, pero no todos los puntos críticos son extremos relativos. Ejemplo La función f(x) = x está definida en R y tiene como derivada 1 + x2 f (x) = 1 x2 (1 + x 2 ) 2. Por tanto, es decreciente en (, 1) (1, + ) y creciente en ( 1, 1). Además, posee un mínimo relativo en ( 1, 1 2 ) y un máximo relativo en (1, 1 2 ). Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 12 Curso 2013/14

13 La función f(x) = x 3 está definida en R\{ 1} y tiene como derivada (1 + x) 2 f (x) = x2 (x + 3) (1 + x) 3. Por tanto, es creciente en (, 3) (0, + ) y decreciente en ( 3, 1) ( 1, 0). Observemos que el punto que no pertenece al dominio influye en la determinación de ( las zonas de crecimiento/decrecimiento. Además, posee un máximo relativo en 3, 27 ) y un mínimo relativo en (0, 0). 4 El concepto de extremo relativo es un concepto local, mientras que el concepto de extremo absoluto necesita conocer e comportamiento global de la función en el dominio considerado Concavidad y convexidad: el criterio de la derivada segunda. En el caso de que la función sea dos veces derivable, se introduce el criterio de concavidad basado en la derivada segunda. Los puntos en los que la curva cambia de cóncava a convexa se llaman puntos de inflexión, y, si la función es dos veces derivable, se pueden identificar como los valores que anulan la derivada segunda f (x) = 0. De ese modo: Una función se dice convexa en x (abierta hacia arriba) si f (x) > 0. Una función se dice cóncava en x (abierta hacia abajo) si f (x) < 0. Ejemplo La función f(x) = x está definida en R y tiene como derivadas: 1 + x2 f (x) = 1 x2 (1 + x 2 ) 2, f (x) = 2x(x2 3) (1 + x 2 ) 3. Por tanto, es cóncava en (, 3) (0, 3) y convexa en ( 3, 0) ( ( 3, + ). Además, posee como puntos de inflexión: ) ( ) 3 3, 3 3,, (0, 0) y. 4 4 La función f(x) = x 3 está definida en R\{ 1} y tiene como derivadas (1 + x) 2 f (x) = x2 (x + 3) (1 + x) 3, f (x) = 6x (1 + x) 4. Por tanto, es cóncava en (, 1) ( 1, 0) y convexa en (0, + ). Observemos que el punto que no pertenece al dominio influye en la determinación de las zonas de concavidad/convexidad. Además, posee un punto de inflexión en (0, 0). Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 13 Curso 2013/14

14 1.5. Representación gráfica. Describimos los pasos principales para representar gráficamente una función y = f(x): 1. Dominio. 2. Continuidad y derivabilidad: Calcular los valores de x para los que la función es continua y los valores de x para los que la función es derivable. 3. Paridad/periodicidad: Comprobar si la función es: a) par: si verifica que f( x) = f(x) b) impar: si verifica que f( x) = f(x) y/o si es periódica, es decir, si existe T > 0 tal que f(x + T ) = f(x). 4. Cortes con los ejes: a) Corte con el eje OX: Calcular los puntos x 0 tales que f(x 0 ) = 0. Dichos puntos tienen por coordenadas (x 0, 0). b) Corte con el eje OY: Calcular f(0). Dichos puntos tienen por coordenadas (0, f(0)). 5. Asíntotas: a) Verticales: Existen si existe un punto a / D(f) tal que f(x) = ó x a f(x) =. x a + En ese caso, x = a es una asíntota vertical. b) Horizontales: Existen si x f(x) = b R. En ese caso, y = b es una asíntota horizontal. f(x) c) Oblicuas: Existen si existe = m R, y si existe (f(x) m x) = x x x n R. En ese caso, y = mx + n es una asíntota oblicua. NOTA: No pueden existir simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas. 6. Monotonía, extremos: a) Crecimiento/decrecimiento: Calcular los valores de x para los que la función es creciente (f (x) > 0) y los valores para los que la función es decreciente (f (x) < 0). b) máximos/mínimos: Calcular los puntos que verifican que f (x) = 0 y tales que que son un máximo o un mínimo de la función. 7. Concavidad/convexidad, puntos de inflexión: a) concavidad/convexidad: Calcular los valores de x para los que la derivada segunda de la función es positiva o negativa. b) puntos de inflexión: Calcular los valores de x para los que se verifica que f (x) = 0. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 14 Curso 2013/14

15 8. Representación gráfica. Ejercicio Dada la función f(x) = x2 x 2 1 represéntala gráficamente estudiando previamente: dominio de definición, simetrías, cortes con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Solución: Describimos a continuación los principales pasos a seguir para obtener la representación gráfica: Dominio: D(f) = R\{ 1, 1}. Corte con los ejes: Corte con OX: Buscamos la intersección de y = f(x) con y = 0, que es el punto (0, 0). Corte con OY : Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0, es decir, (0, 0). Asíntotas: Asíntotas verticales: Las candidatas son x = 1 y x = 1, ya que { 1, 1} / D(f). Lo comprobamos: { x = 1 x 1 f(x) = + } { x = 1 x 1 f(x) = } x 1 + f(x) = x 1 + f(x) = + Asíntotas horizontales: Son de la forma y = b, siendo b R tal que f(x) = x b. Observemos que: x x 2 x 2 1 = 1. Por tanto, la función posee una asíntota horizontal que es y = 1 cuando x y x +. Asíntotas oblicuas: No hay, ya que existe asíntota horizontal. Monotonía, máximos y mínimos: Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada primera de la función: f (x) = 2x (x 2 1) 2. Igualando la expresión anterior a cero, obtenemos que f (x) = 0 si x = 0, de manera que f es creciente en (, 1) ( 1, 0) y decreciente en (0, 1) (1, + ). Además, podemos deducir que en x = 0 hay un máximo relativo, que se corresponde con el punto (0, 0). Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 15 Curso 2013/14

16 Concavidad/convexidad, puntos de inflexión: Para su estudio, calculamos la derivada segunda: f (x) = 6x2 + 2 (x 2 1) 3. La expresión anterior nunca es igual a cero, pero puede cambiar de signo, ya que el denominador lo hace en x = 1 y x = 1. No hay, por tanto, son puntos de inflexión, pero la derivada segunda es positiva en (, 1) (1, + ) y negativa en ( 1, 1). La siguiente gráfica corresponde a la función y = x2 x 2 1 en el intervalo [ 3, 3]: x Ejercicio Dada la función f(x) = ln(x 2 + 2x) represéntala gráficamente estudiando previamente: dominio de definición, simetrías, cortes con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Solución: Describimos a continuación los principales pasos a seguir para obtener la representación gráfica: Dominio: D(f) = (, 2) (0, + ). Corte con los ejes: Corte con OX: Buscamos la intersección de y = f(x) con y = 0, que gracias a las propiedades del logaritmo son los puntos que verifican x 2 + 2x = 1, es decir, los puntos ( 1 2, 0) y ( 1 + 2, 0). Corte con OY : Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0. Como 0 / D(f), no hay puntos de corte con OY. Asíntotas: Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 16 Curso 2013/14

17 Asíntotas verticales: Las candidatas son x = 2 y x = 0, ya que ( 2, 0) / D(f). Lo comprobamos: x = 2 x = 0 x 2 f(x) = x 0 + f(x) = Asíntotas horizontales: Son de la forma y = b, siendo b R tal que x f(x) = b. Observemos que: x ln(x2 + 2x) = +. Por tanto, la función no posee asíntotas horizontales ni cuando x ni cuando x +. Asíntotas oblicuas: Son de la forma y = m x + n, m, n R, donde ln(x 2 + 2x) m = = = L Hôpital x x x Luego como m = 0 no hay asíntota oblicua. 2x+2 x 2 +2x 1 = 0, Monotonía, máximos y mínimos: Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada primera de la función: f (x) = 2x + 2 x 2 + 2x. Igualando la expresión anterior a cero, obtenemos que f (x) = 0 si x = 1 / D(f). Observemos que, en cualquier caso, la derivada en los puntos a la izquierda de x = 1 y a la derecha de x = 1 tendrán signo distinto, es decir, f es decreciente en (, 2) y creciente en (0, + ). Además, podemos deducir que la función no posee extremos relativos. Concavidad/convexidad, puntos de inflexión: Para su estudio, calculamos la derivada segunda: f (x) = 2x2 4x 4 (x 2 + 2x) 2. La expresión anterior nunca es igual a cero, el numerador es siempre negativo y el denominador siempre positivo. Por tanto la función siempre es cóncava (abierta hacia abajo), y no hay puntos de inflexión. La siguiente gráfica corresponde a la función y = ln(x 2 + 2x) en el intervalo [ 10, 10]: Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 17 Curso 2013/14

18 x Problemas de optimización Aunque se trata de una de las aplicaciones más útiles de la derivación, los problemas de optimización presentan una dificultad adicional para el alumno: Esta consiste en traducir un enunciado escrito en lenguaje cotidiano al lenguaje matemático. Por ello, deben quedar claros los pasos a dar para un buen planteamiento y resolución del problema: asignar variables o símbolos a cada una de los elementos que aparecen en el problema escribir una ecuación inicial que exprese lo que se quiere maximizar o minimizar, si en la ecuación anterior aparecen varias variables, escribir una o varias ecuaciones (de ligadura) que relacionen las variables entre sí a partir de la información suministrada por el problema gracias a las ecuaciones de ligadura, escribir la ecuación inicial como una función explícita de una única variable (independiente): Función a optimizar determinar el dominio de la función a optimizar calcular los extremos de la función usando los métodos y criterios anteriormente explicados. Ejercicio Uno de los lados de un campo abierto está acotado por un río recto. 1. Cómo podrían cercarse los otros tres lados de una figura rectangular para encerrar la mayor área posible con una cerca de longitud 80 m? 2. Si se desea vallar una superficie de 18 m 2, qué dimensiones requerirán la mínima cantidad de valla? Solución: Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 18 Curso 2013/14

19 (a) El campo abierto sólo requiere 3 lados de cerca, ya que el lado del rectángulo que falta tiene como frontera el río. Al tratarse de un rectángulo, habrá 2 lados de longitud x y un lado de longitud y. Por tanto, el perímetro viene dado por 2x + y y según el enunciado debe ser igual a 80, es decir, 2x + y = 80. Por otra parte, el área de dicha figura (que es un rectángulo) viene dada por A = x y. Si queremos deducir la expresión del área A en función de x, hacemos lo siguiente: A = x y 2x + y = 80 } A(x) = x (80 2x) = 80x 2x 2. Observemos que se trata de una función continua definida en [0, 40], pues fuera de dicho intervalo la función A(x) toma valores negativos (y eso no tiene sentido). Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de una función, para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Por tanto, para calcular los extremos absolutos de la función tenemos que estudiar los valores de dicha función en los posibles candidatos: extremos: x = 0, x = 40, y sus valores son A(0) = 0, A(40) = 0, puntos en (0, 40) donde A (x) = 0: x = 20, y su valor es A(20) = 800, puntos donde la función no es derivable: en este caso no hay. Máximo de A : 800, alcanzado en x = 20. Mínimo de A : 0, y se alcanza en x = 0, x = 40. Otra forma de resolver el problema es estudiando su gráfica. Observamos que: A (x) = 80 4x, A (x) = 0 x = 20. Luego A es creciente (estrictamente) en (0, 20) y decreciente (estrictamente) en (20, 40). Por tanto, la función A(x) alcanza un máximo local en x = 20, que es A(20) = 800. Como A(0) = 0 y A(40) = 0, deducimos que dicho máximo es global. En definitiva, debe haber 2 lados de 20m. y un lado de 40 m. para que el área encerrada por la cerca sea la máxima posible. (b) En este caso, los datos del problema nos llevan a la conclusión siguiente, donde P es el perímetro de la superficie que se desea vallar: } x y = 18 P (x) = 2x + 18 P = 2x + y x. Observemos que se trata de una función continua definida en (0, + ), pues fuera de dicho intervalo la función P (x) toma valores negativos (y eso no tiene sentido). Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de una función, para una función continua en un intervalo semiabierto y no acotado. Por tanto, para calcular los extremos absolutos de la función sólo podemos usar el segundo razonamiento del apartado anterior. Observemos que: P (x) = 2 18 x 2, P (x) = 0 x = 3. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 19 Curso 2013/14

20 La función P (x) es decreciente en (0, 3) y creciente en (3, + ), por tanto posee un mínimo local en x = 3 que vale P (3) = 12. Como además P (x) = + x 0 + y P (x) = +, podemos deducir que dicho mínimo es global. x + En definitiva, debe haber 2 lados de 3m. y un lado de 6 m. para que se requiera la mínima cantidad de valla. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 20 Curso 2013/14

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

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