Capítulo V. Teoremas de Fermat, Euler y Wilson

Transcripción

1 Capítulo V Teoremas de Fermat, Euler y Wlson En este capítulo utlzamos los conceptos desarrollados en dvsbldad y conteo para deducr tres teoremas báscos de la teoría de números. En el próxmo capítulo, sobre congruencas, estos msmos resultados se obtenen al examnar la estructura del conjunto de resduos módulo n, donde n es un natural, bajo las operacones modulares suma y producto. V.1. Funcón φ de Euler La funcón de Euler φ : N N asgna a n el número de enteros postvos m con m n tal que m y n son relatvamente prmos. Formalmente φ(n) = {m N : 1 m n : mcd(m, n) = 1} Usando lo que sabemos de conteo y dvsbldad vamos a determnar φ(n). Consderemos prmero como ejemplo n = p prmo. Entonces todo m con 1 m < n es relatvamente prmo con p y por lo tanto φ(p) = p 1 = p(1 1/p). Consderemos ahora n = p k con p prmo. S mcd(m, n) = 1 entonces p no dvde m. Es más fácl contar los m tal que p dvde m en el rango 1 m < n; estos son precsamente los múltplos de p: p, p, 3p,..., p p, p + p,..., p 3,..., (p k 1 1)p Es decr, los enteros lp con l = 1,,..., p k 1 1, y entonces φ(p k ) = p k 1 1 = p k (1 1/p). 1

2 CPÍTULO V. TEOEMS DE FEMT, EULE Y WILSON 1 Para el caso general, recordamos que m, n N son relatvamente prmos s m y n no tene nngún factor prmo en común. sí que expresando n por medo de su factorzacón prma n = p 1 1 p p k k el problema es contar los m con 1 m n tal que nngún p dvde m. Queremos determnar la cardnaldad del conjunto n = {m N : 1 m n, mcd(m, n) = 1} Pero mcd(m, n) = 1 mplca que p m para todo I k, por lo tanto n = {m N : 1 m n, I k, p m} k = {m N : 1 m n, p m} =1 Sea Entonces y = {m : 1 m n, p m}. k n = =1 k n =. =1 Entonces, la cardnaldad de n se puede determnar usando el prncpo de nclusón-exclusón: n =. =J I k ( 1) J 1 Para este cálculo, notamos que (revse la dscusón para el cálculo de φ(p)) = {lp : 1 l n/p } J y por lo tanto = n/p. 1 Del conocmento de φ para n de la forma p k se puede obtener φ para n general, s superamos que φ satsface φ(n 1 n ) = φ(n 1 )φ(n ) cuando mcd(n 1, n ) = 1. Pero aquí vamos a segur otro camno para obtener φ(n) y de ese resultado obtenemos la propedad ctada.

3 V.1. FUNCIÓN φ DE EULE 3 Por convenenca, para = J I k, escrbmos p J = j J p j. Entonces, smlarmente tenemos que {m : 1 m n, p m} y por lo tanto Entonces y = J J = {m : 1 m n, J, p m} = {m : 1 m n, p J m} = {lp J : 1 l n/p J }. = n/p J. J n = φ(n) = n = n n = n =J I k ( 1) J 1 n p J ( 1) J 1 n p J =J I k = n 1 + ( 1) J 1 p J =J I k Fnalmente, notamos que 1 + ( 1) J 1 = ) (1 1p p J =J I k I k (como ejemplo, (1 1/p 1 )(1 1/p )(1 1/p 3 ) = 1 1/p 1 p 1/p p 3 1/p 1 p 3 + 1/p 1 p p 3 ) y por lo tanto φ(n) = n (1 1p ). I k De la expresón para φ(n) podemos deducr la sguente propedad de la funcón φ: s n = n 1 n con mcd(n 1, n ) = 1, entonces φ(n) = φ(n 1 n ) = φ(n 1 )φ(n ). Se dce que φ es una funcón multplcatva.

4 4 V.. CPÍTULO V. TEOEMS DE FEMT, EULE Y WILSON Teorema de Fermat Teorema 1 Sea p prmo. Para todo natural n 0, p dvde n p n. Prueba. Usamos nduccón sobre n. Para n = 1, se tene n p n = 0 y p dvde 0. Como hpótess de nduccón, asummos que p dvde n p n para n 1 y lo probamos para n + 1. Utlzando el teorema bnomal, se tene que (n + 1) p (n + 1) = ( n p + ( p 1 = (n p n) + ) n p 1 + ( p 1 ( p ) n p 1 + ) ( ) ) p n p + + n + 1 (n + 1) p 1 ( ) ( ) p p n p + + n. p 1 Por hpótess de nduccón p dvde n p n. Veamos que p dvde ( p k) para 1 k < p: claramente p dvde ( ) p k! = p(p 1) (p k + 1), k pero para k < p, p no dvde k! = 1 3 k (porque k! es producto de factores menores ó guales a k y por lo tanto sus factores prmos son menores ó guales a k), y por lo tanto el lema de Euler mplca que p dvde ( p k). Por lo tanto p dvde (n + 1) p (n + 1). Prueba. (lternatva) Esta prueba se basa en analzar los dferentes brazaletes posbles con p cuentas cada una de n colores posbles. Puesto que cada una de las p cuentas puede tener uno de los n colores, se tene ncalmente que el número de brazaletes es n p. Sn embargo, algunos de estos son esencalmente el msmo: uno corresponde a una rotacón del otro. La fgura V. lustra el caso p = 4 (no prmo) y n =. Cada fla corresponde a una clase de equvalenca bajo rotacón; en este caso los tamaños posbles son 1, y 4. La fgura V. lustra el caso p = 5 (prmo) y n =. En este caso, excepto los brazaletes monocromátcos, todas las clases de equvalenca tenen tamaño 5. El argumento general es el sguente: - El número de brazaletes no monocromátcos es n p n. - Todas las clases de equvalenca tenen tamaño p: Consderamos las rotacones con un ángulo múltplo de θ p = π/p. Para un brazalete, sea k 1 el mínmo k tal que una rotacón con un ángulo kθ p transforma el brazalete en s msmo. Por una parte k > 1 porque k = 1 mplca que el brazalete es monocromátco, y por la otra k p (porque certamente la rotacón con ángulo pθ p = π reproduce el brazalete orgnal. Por el teorema de la dvsón, exsten enteros q, r con 0 r k tal que p = qk+r.

5 V.. TEOEM DE FEMT 5 Fgura V.1: Brazaletes con 4 cuentas de colores. Los brazaletes en cada fla se pueden obtener del prmero por rotacón.

6 6 CPÍTULO V. TEOEMS DE FEMT, EULE Y WILSON Fgura V.: Brazaletes con 5 cuentas de colores, excepto los monocromátcos. Los 5 brazaletes en cada fla se pueden obtener del prmero por rotacón. Se concluye que 5 30.

7 V.3. TEOEM DE EULE 7 Pero s r > 0, esto sgnfca que una rotacón con un ángulo rθ p transforma el brazalete en s msmo (la rotacón con ángulo pθ p se puede dvdr en una rotacón con ángulo qkθ p la cual reproduce la rotacón ncal y una con ángulo rθ p la cual de nuevo reproduce la confguracón ncal porque completa una vuelta), lo que es una contradccón con la mnmaldad de k. Por lo tanto r = 0 y de aquí que p = qk. Pero, puesto que p es prmo y k > 1, debe ser el caso que k = p. - Fnalmente, se tenen n p n brazaletes agrupados en clases de equvalenca de tamaño p, por lo tanto concluímos que p dvde n p n. V.3. Teorema de Euler hora probamos una generlzacón del teorema de Fermat, llamada teorema de Euler. En la prueba sguente usamos que s n dvde a b, entonces n dvde a k b k lo cual se deduce de la factorzacón a k b k = (a b)(a k 1 + a k b + + ab k + b k 1 ). Teorema S n 1 y mcd(a, n) = 1, entonces a φ(n) 1 es dvsble por n Prueba. Prmero probamos usando nduccón sobre k que para p prmo y a tal que mcd(a, p k ) = 1, a φ(pk) 1 es dvsble por p k. El caso base k = 1 se deduce del teorema de Fermat: por eéste, p (a p a) = a(a p 1 1). Pero puesto que mcd(a, n) = 1, por el lema de Euler se concluye que p (a p 1 1). summos como hpótess de nduccón que Es decr, exste un entero q tal que Prmero notamos que p k (a φ(pk) 1). a φ(pk) = 1 + qp k. φ(p k+1 ) = p k+1 (1 1/p) = pφ(p k );

8 8 CPÍTULO V. TEOEMS DE FEMT, EULE Y WILSON entonces, usando el teorema bnomal obtenemos a φ(pk+1 ) = a pφ(pk ) = (a φ(pk) ) p = (1 + qp k ) p ( p = ) qp k + ( ) ( ) p p (qp k ) + + (qp k ) p 1 + (qp k ) p. p 1 Tenendo en cuenta que ( p 1) = p, se observa que todos los termnos de la derecha después del 1 son dvsbles por p k+1 (puesto que k 1, k k + 1, y así los térmnos sguentes certamente son dvsbles por p k+1 ). Por lo tanto p k+1 (a φ(pk+1) 1). hora para el caso general, consderamos la factorzacón prma de n: n = p k 1 1 pk pkr r. Note que s mcd(a, n) = 1, entonces mcd(a, p k ) = 1. Como hemos probado el caso n = p k, lo aplcamos a cada p k y obtenemos que p k (a φ(pk ) 1) Puesto que φ es multplcatva, φ(n)/φ(p k ) es un entero, y usando que m (a b) mplca m (a l b l ) con la potenca l = φ(n)/φ(p k ) concluímos que para = 1,..., r p k (a lφ(pk ) 1 l ) = (a φ(n) 1). Fnalmente, puesto que los p son prmos dferentes, esto mplca que n = p k 1 1 pk pkr r (a φ(n) 1). V.4. Teorema de Wlson Teorema 3 Sea p prmo. Entonces p dvde (p 1)! + 1. Prueba. Consderamos polígonos con p vértces, p-gonos; los vértces se consderan separados unformemente por un ángulo θ p = π/p sobre una crcumferenca. La fgura lustra el caso p = 5. S fjamos un vértce, una permutacón de los otros p 1 vértces especfca la secuenca de conexones. Sn embargo, se obtene el msmo p-gono con las dos permutacones dferentes, que corresponden a las dos dreccones desde el vértce ncal. sí que el número de p-gonos posbles es (p 1)!.

9 V.4. TEOEM DE WILSON 9 Fgura V.3: Pentágonos. Para p = 5, este número es 1 y estos se muestran en la fgura. lgunos de estos p-gonos, llamados estelares son especales en que se reproducen bajo una rotacón con ángulo θ p. Cada uno de estos está especfcado por un entero k, 1 k < p, que ndca el número de vértces que salta en cada conexón (note que se regresa al vértce ncal por prmera vez después de l saltos con ángulo kθ p precsamente cuando l = p, debdo a la prmaldad de p: se regresa al vértce ncal por prmera vez después de rotar np veces θ p para algún n, lo que mplca np = kl y, puesto que k < p, entonces que l es un múltplo de p; fnalmente l = p y n = k nos da el prmer retorno al vértce ncal). De nuevo, por la smetría en las dos posbles dreccones, sólo exsten p 1 de estos p-gonos. La prmera fla en la fgura muestra los dos pentágonos estelares. Ignorando los p-gonos estelares, nos quedan (p 1)! (p 1) p-gonos. Un argumento como el usado en la prueba del teorema de Fermat prueba que estos p-gonos no estelares se agrupan en clases de equvalenca de tamaño p bajo rotacón por ángulos múltplos de θ p. La segunda y tercera fla en la fgura muestran las dos clases de equvalenca para p = 5. Por lo tanto p (p 1)! (p 1).

10 10 CPÍTULO V. TEOEMS DE FEMT, EULE Y WILSON Por lo tanto y p ((p 1)! (p 1)) p ((p 1)! + 1). La mplcacón contrara tambén es certa: S p dvde (p 1)! + 1 entonces p es prmo. (Ejercco.) Congruencas Para p, q Z y n N con n 1, se dce que p y q son congruentes módulo n s n dvde p q. Esto se escrbe p q (módn). Con este concepto, los tres teoremas anterores se pueden escrbr como a p a (módp) para p prmo a φ(n) 1 (módn) para mcd(a, n) = 1 (p 1)! 1 (módp) para p prmo.