3.3. Número de condición de una matriz.

Transcripción

1 96 33 Número de condición de una matriz Consideremos el sistema Ax = b, de solución u Queremos controlar qué cambios se producen en la solución cuando hacemos pequeños cambios en las componentes de b o de A Empecemos por tomar un cambio b en b la solución cambiará a u + u, y se tiene A(u + u) = b + b, A u = b Por tanto, el cambio en la solución se estima en A b Si tomamos una norma vectorial y la norma matricial subordinada, entonces A b Por otro lado, b A u, de donde u obtenemos u A A b b A Medimos el error relativo, y b Así, la variación en el error relativo de la solución está asociada a la cantidad A A Definición 33 Sea una norma matricial subordinada y A una matriz inversible el número cond(a) = A A se denomina número de condición o condicionamiento de la matriz A respecto a No hay problema en extender la definición a cualquier norma matricial Consideremos ahora cambios en la matriz A Teorema 332 Sea norma matricial subordinada, A matriz inversible y b 0 Si entonces Demostración De Au = b llegamos a Au = b, (A + A)(u + u) = b u + u cond(a) A A A(u + u) + A u = 0, u = A ( A)(u + u)

2 Normas de vectores y matrices 97 A A u + u, u + u cond(a) A A Teorema 333 Sea norma matricial subordinada, A matriz inversible y A < / A Si (A + A)(u + u) = b + b entonces ( u cond(a) b cond(a) A b + A ) A A Demostración [BF98, p468] Proposición 334 Sea norma matricial subordinada y A una matriz inversible cond(a) 2 cond(a) = cond(a ) 3 cond(λa) = cond(a) para todo λ K {0} Demostración Como la norma es subordinada, Por otro lado, Si λ es no nulo, entonces = I = AA A A = cond(a) cond(a) = A A = A A = cond(a ) cond(λa) = λa (λa) = λ A λ A = cond(a) Proposición 335 Sea A una matriz inversible cond 2 (A) = λ n (A A) λ (A A) donde λ n (A A), λ (A A) son,respectivamente, los autovalores mayor y menor de la matriz A A

3 98 Demostración Como A es regular, la matriz A A es hermitiana y sus autovalores reales son todos positivos Si w V, no nulo, entonces w A Aw = Aw 2 2 > 0 porque A es inversible Si λ es autovalor de A A, con v autovector asociado, entonces de donde λ > 0 Sabemos que 0 < v A Av = λ v 2 2 A 2 2 = ρ(a A) = λ n (A A) y A 2 2 = ρ((a ) A ) = ρ(a (A ) ) = ρ((a A) ) = λ (A A) Lema 336 Sea A matriz hermitiana no singular, con autovalores λ λ 2 λ n cond 2 (A) = λ n λ Demostración Recordemos que ρ(a ) = λ cond 2 (A) = A 2 A 2 = ρ(a)ρ(a ) = λ n λ Nota 337 Sea norma matricial subordinada y A matriz hermitiana cond(a) = A A ρ(a)ρ(a ) = cond 2 (A), para matrices hermitianas, cond 2 es el menor de todos Lema 338 Si U es unitaria y A es una matriz arbitraria, entonces cond 2 (A) = cond 2 (UA) = cond 2 (AU) = cond 2 (U AU), es decir, cond 2 es invariante por transformaciones unitarias, y cond 2 (U) = Demostración Nota 339 El número de condición de una matriz es siempre un número mayor que, por lo que el sistema Ax = b estará tanto mejor condicionado cuanto más próximo a esté dicho cond(a) 2 Si A es una matriz unitaria, el sistema estará siempre bien condicionado respecto a cond 2

4 Normas de vectores y matrices 99 Ejemplo 330 Consideremos el sistema Ax = b con A = , b = y supongamos que tenemos una variación en b dada por 0, b = 0, 0, 0, La solución exacta del sistema es u = mientras que la del sistema alterado Ax = b + b es 9,2 u + u = 2,6 4,5, Para la norma 2 calculamos los errores relativos y tenemos 2 u 2 8,2, b 2 b 2 0,003 Esto era de esperar porque cond 2 (A) 2984, Nota 33 El cálculo del número de condición a partir de la definición implica a la inversa de la matriz, por lo que no es un buen método En la práctica, se suele calcular como subproducto del proceso de resolución de un sistema También se suelen dar cotas a A Nota 332 Una regla del pulgar sobre la influencia del número de condición sobre la validez de la solución es la siguiente Supongamos que se usa eliminación gaussiana con pivoteo parcial sobre un sistema bien escalado Ax = b con aritmética de t-dígitos en coma flotante Supongamos también que no hay otras fuentes de error, si cond(a) es del orden de 0 p, la solución calculada es precisa con t p dígitos significativos En otras palabras, esperamos una pérdida de unos p dígitos Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:,835x +,667y =,68,333x +,266y =,067

5 00 ( ) A =, A =,68, A = , cond (A) = ,7 0 6 El valor de cond (A) no es tan importante como su orden de magnitud Lo anterior indica que el cambio relativo en la solución puede ser del orden de un millón de veces el cambio relativo en A Así, si usamos eliminación gaussiana con 8 dígitos para resolver el sistema, únicamente podemos esperar t p = 8 6 = 2 dígitos significativos Esto no significa que podamos tener suerte y alcancemos mayor precisión