Modelo 6 Opción A. Como me dicen que es y = 1 me están dando las condiciones

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1 Modelo 6 Opción A Ejercicio º [ puntos] Deterin l función f : R R sbiendo que f ( que l rect tngente l gráfic de f en el punto de bscis es l rect. L rect tngente de f( en es " f( f (( " Coo e dicen que es e están dndo ls condiciones f '( f ( f ( Por el teore fundentl del cálculo integrl: si f( es un función continu en el intervlo cerrdo [,b], entonces l función f ( t dt es derivble su derivd es l función f( En nuestro cso ( f '( d '( f f f ''( d f '( f ''( d ( d K f ( K coo f ( K K f ( f ( f '( d ( d M Coo f( M M por tnto l función pedid es f( Ejercicio º [ puntos] Clcul > pr que el áre del recinto liitdo por ls gráfics de ls funciones f: R R g: R R definids por f( g( se 7 (uniddes de áre. L gráfic de f( es un prábol de vértice en (, rs hci rrib L gráfic de g( es un prábol de vértice en (, rs hci bjo Aunque no lo piden ls gráfics conjunts son: - Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción A Págin

2 Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción A Págin Se observ que ls gráfics son siétrics respecto del ej OY por tnto: Áre 7 u ( d f g ( (. ( d f g ( (. [ ] d ( ( "" "-" son ls soluciones de f( g(: -... ± Áre. [ ]d ( (. d (. ( ( Ejercicio º Se A l triz A e I l triz identidd de orden ( [ puntos] Clcul los vlores de pr los que el deterinnte de A I es cero. (b [ puntos] Clcul l triz invers de A I pr. ( B A I - det (B B desrrollndo por los djuntos de l ª colun ( - ( - ( - ( - ( El deterinnte de l triz B A I es cero, - (b Pr - : B A I B (- -.(.( - (-.. (- eiste B - B - B.Adj(B t B B t ( B - ( B ( B -8 ( B ( B - ( B

3 B ( -8 B ( B ( 6 - Adj(B t 8 8 B - B Adj(B t. 8 8 Ejercicio º Consider el plno π de ecución z 6 el punto P(,,. ( [ puntos] Clcul l rect que ps por el punto P es perpendiculr l plno π. (b [ puntos] Encuentr el punto siétrico de P respecto del plno π. ( Coo "r" es perpendiculr π r tiene coo vector director d r el vector norl del plno n π d r n π (,, - L ecución de l rect "r" perpendiculr "π" que ps por el punto P, en for prétric es: z π r P Q P n π (b Pr clculr el punto P siétrico del punto P respecto l rect "r", nos dos cuent por el prtdo ( que el punto Q (intersección de l rect "r" con el plno "π" es el punto edio del segento PP Pr clculr Q r π, sustituo l rect en el plno deterino : ( ( ( El punto Q es Q(.,., - (,, Coo Q es el punto edio del segento PP si P (,, z P(,, - teneos: 7 z Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción A Págin

4 Modelo 6 Opción B Ejercicio º [ puntos] Se quiere construir un depósito en for de pris de bse cudrd sin tpder que teng un cpcidd de. Qué diensiones h de tener el depósito pr que su superficie se íni? Función optiizr: Superficie S (No tiene tp superior Relción entre ls vribles: Voluen. Superficie S( Sbeos que si g ( g ( < es un áio reltivo de g( Sbeos que si g ( g ( < es un áio reltivo de g( S ( - S ( - S ( S ( ( > es un ínio reltivo Si ( ls diensiones del depósito son, Ejercicio º Se f : R R l función definid por f( ( [ 7 puntos] Deterin l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de bscis (b [ 7 puntos] Dibuj el recinto liitdo por l gráfic de f, l rect tngente obtenid en el prtdo nterior el eje OX. Clcul su áre. ( L rect tngente en es: - f( f (( f( f( f ( f ( L rect tngente pedid es: ( Operndo: Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción B Págin

5 (b es un prábol con el vértice en (, ls rs hci rrib es un rect que ps por ejeplo por los puntos (, - (, Un esbozo de l gráfic de bs funciones es Ls funciones se cortn en el punto (, (punto de tngenci El áre pedid es: Áre d - ( d Ejercicio º - [ ] [ ( ( ] u Consider el siste de ecuciones z z ( [ puntos] Clsific el siste según los vlores de. (b [ punto] Resuelve el siste cundo se coptible indeterindo. ( L trices socids son: triz de los coeficientes A l plid A*!A! ªF: ºF -ª F - - -( A - - (doble Si : rngo(a rngo(a * nº incógnits: el siste es coptible deterindo tiene solución únic. Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción B Págin

6 Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción B Págin 6 Si : ls trices socids son: A A* En A coo rngo(a Pr clculr el rngo de A* orlos un enor de orden no nulo: Los orldos en A* de A rngo(a* (Se puede observr directente que l ª colun de A* es igul l ª por tnto: rngo(a rngo(a* Coo rngo(a rngo(a * el siste es coptible indeterindo (S.C.I. tiene infinits soluciones que dependen de un práetro. Este es el cso que nos piden resolver. (b Heos visto que pr el siste es S.C.I. uniprétrico. Pr resolverlo se eliinn ls ecuciones que no forn prte del enor que nos de el rngo ls incógnits se les d un vlor prétrico: A* z z Luego l solución del siste pr es (,, z (,, con R Ejercicio º Consider el plno π de ecución z 6 l rect "r" definid por z ( [ puntos] Clcul el áre del triángulo cuos vértices son los puntos de corte del plno π con los ejes de coordends. (b [ puntos] Clcul, rzondente, l distnci de l rect r l plno π. π z 6 Su vector norl es n π (,, - r z Punto de l rect P r (, -, vector director d r (, -, ( Pr clculr los puntos de corte del plno con los ejes lo hgo de dos fors:

7 For ª.- Eje OX z plno π z 6 A (,, z Eje OY Eje OZ z plno π z 6 B (,, plno π z 6 C (,, -6 A O C B For ª.- Pr clculr los vértices de los puntos de corte del plno π con los ejes de coordends, poneos l ecución del plno en su for segentri, los núeros que dividn l "", l "" l "z" serán l bscis, ordend cot de l intersección: z z 6 Dividios todo por 6: 6 Por tnto los puntos de corte son A(,,, B(,, C(,, - 6 C Recordos que el áre del triángulo es del áre del A B prlelogro que deterinn los vectores AB AC, que el áre del prlelogro es el ódulo del producto vectoril de dichos vectores, es decir: Áre triángulo. ABAC AB (,, - (,, (-,, AC (,, (,, (-,,-6 ABAC i j k i(-8 j(8 k(9 (- 8, - 8, 9 6 Áre triángulo. ABAC. 7 ( u (b Pr clculr l distnci de l rect l plno previente se estudi su posición reltiv: El vector norl del plno n π (,, - el vector director de l rect d r (, -, son perpendiculres porque su producto esclr cero (veáoslo: n π. d r (,, -. (, -, Entonces l rect el plno son prlelos Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción B Págin 7

8 Pr clculr l distnci de for rzond: se clcul l distnci de un punto culquier P r de l rect l P r d r r plno est distnci será l distnci entre el punto P r su proección ortogonl en el plno Q π Q n π º: Pr clculr Q se clcul l rect s perpendiculr l plno psndo por P º: Q s π º: d(r, π P r Q º s dirección s ds nπ (,, Ps por Pr (,, s z º π z 6 : 7 ( (- ( Q (,, 7 º P r Q (,, - (, -, (,, d(r, π P r Q u.l. Otr for: edinte l fórul de l distnci de un punto un plno: Coo r π d(r, π d(p r, π d(r, π d(p r, π..( 6 6 u.l. 9 Eáenes Selectividd 7 Modelo 6 - Opción B Págin 8

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