AUTOMATAS FINITOS CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 2009

Transcripción

1 AUTOMATAS FINITOS Un utómt finito es un modelo mtemático de un máquin que cept cdens de un lenguje definido sore un lfeto A. Consiste en un conjunto finito de estdos y un conjunto de trnsiciones entre esos estdos, que dependen de los símolos de l cden de entrd. El utómt finito cept un cden x si l secuenci de trnsiciones correspondientes los símolos de x conduce desde el estdo inicil un estdo finl. Si pr todo estdo del utómt existe como máximo un trnsición definid pr cd símolo del lfeto, se dice que el utómt es determinístico (AFD). Si prtir de lgún estdo y pr el mismo símolo de entrd, se definen dos o más trnsiciones se dice que el utómt es no determinístico (AFND). Formlmente un utómt finito se define como un 5-upl M = <E, A, δ, e, F> donde E: conjunto finito de estdos A: lfeto o conjunto finito de símolos de entrd δ: función de trnsición de estdos, que se define como - δ: E x A E si el utómt es determinístico - δ: E x A P(E) si el utómt es no determinístico (P(E) es el conjunto potenci de E, es decir el conjunto de todos los suconjuntos de E) e : estdo inicil; e E F: conjunto de estdos finles o estdos de ceptción; F E Generlmente se soci con cd utómt un grfo dirigido, llmdo digrm de trnsición de estdos. Cd nodo del grfo corresponde un estdo. El estdo inicil se indic medinte un flech que no tiene nodo origen. Los estdos finles se representn con un círculo dole. Si existe un trnsición del estdo e i l estdo e j pr un símolo de entrd, existe entonces un rco rotuldo desde el nodo e i l nodo e j ; es decir que δ(e i, ) = e j, se represent en el digrm e i e j Ejemplo : Autómt finito determinístico que cept el lenguje L = { n c m / n > y m } M D = < {e, e, e 2 }, {,, c}, δ D, e, {e 2 }> δ D está definid por el siguiente digrm de trnsición de estdos c e e e 2 Ejemplo 2: Autómt finito determinístico que cept el lenguje

2 L 2 = {x/ x {, } * } M 2D = < {e, e, e 2, e 3 }, {, }, δ 2D, e, {e 3 }> δ 2D está definid por el siguiente digrm de trnsición de estdos e e e 2 e 3 Ejemplo 3: Autómt finito determinístico que cept el lenguje L 3 = {xc 3m / x {, } * y l cntidd de s es pr y m } M 3D = < {e, e, e 2, e 3, e 4 }, {,, c}, δ 3D, e, {e, e 4 }> δ 3D está definid por el siguiente digrm de trnsición de estdos e e c c c e 2 e 3 e 4 c Ejemplo 4: Autómt finito no determinístico que cept el lenguje L 4 = { x / x {, } * y x contiene l sucden ó x contiene l sucden } M 4ND = < {e, e, e 2, e 3, e 4 }, {, }, δ 4ND, e, {e 2, e 4 }> δ 4ND está definid por el siguiente digrm de trnsición de estdos, e e 3 e 4, e e 2, Función de trnsición pr cdens Se define demás un función δ * : E x A * E, tl que δ * (e i, x) es el estdo en que estrá el utómt después de leer l cden x comenzndo en el estdo e i. ) δ * (e i, ε) = e i 2) δ * (e i, x) = δ(δ * (e i,x), ) siendo x un cden y un símolo del lfeto A. L diferenci entre δ y δ * es que δ se define desde un estdo y un símolo del lfeto, y δ * se define desde un estdo y un cden de símolos. El lenguje ceptdo por un utómt finito M = <E, A, δ, e, F> es:

3 L(M) = { x A * / δ * (e, x) F } Los lengujes ceptdos por utómts finitos se denominn lengujes regulres. Equivlenci entre AFD y AFND Pr cd AFND, existe un AFD que cept el mismo lenguje. Ddo el utómt finito no determinístico M ND = <E ND, A, δ ND, e ND, F ND >, se define el utómt finito determinístico correspondiente M D = <E D, A, δ D, e D, F D > como sigue: - E D = P(E ND ) (conjunto potenci de E ND ). Cd elemento de E D se represent como [e, e 2,..., e i ] donde e, e 2,..., e i están en E ND. Se dee notr que [e, e 2,..., e i ] es un único estdo de M D que corresponde un conjunto de estdos de M ND. - A: lfeto - δ D : E D x A E D, se define como δ D ([e, e 2,..., e i ], ) = [e l, e m,..., e k ] sii δ ND ({e, e 2,..., e i }, ) = δ G ({e, e 2,..., e i }, ) = {e l, e m,..., e k }, donde δ G se define como δ G (C, ) = δ (p, ) y δ G (, ) = (C: conj. de estdos) p C Es decir que δ D plicd un elemento [e, e 2,..., e i ] de E D se clcul plicndo δ ND cd estdo de E ND representdo por [e, e 2,..., e i ]. - e D = [e ND ] - F D : conjunto de todos los estdos de E D que contienen l menos un estdo finl de M ND. Ejemplo 5: Construcción del utómt finito determinístico correspondiente l utómt finito no determinístico del ejemplo 4. El AFD M 4D correspondiente l AFND M 4ND se define como M 4D = < E 4D, {, }, δ 4D, [e ], F 4D > L función de trnsición δ 4D se clcul como: δ 4D [e ] [e, e 3 ] [e, e ] [e, e 3 ] [e, e 3, e 4 ] [e, e ] [e, e ] [e, e 3 ] [e, e, e 2 ] [e, e 3, e 4 ] [e, e 3, e 4 ] [e, e, e 4 ] [e, e, e 2 ] [e, e 2, e 3 ] [e, e, e 2 ] [e, e, e 4 ] [e, e 3, e 4 ] [e, e, e 2, e 4 ] [e, e 2, e 3 ] [e, e 2, e 3, e 4 ] [e, e, e 2 ] [e, e, e 2, e 4 ] [e, e 2, e 3, e 4 ] [e, e, e 2, e 4 ] [e, e 2, e 3, e 4 ] [e, e 2, e 3, e 4 ] [e, e, e 2, e 4 ] Como δ 4ND (e, ) = {e, e 3 }, entonces δ 4D ([e ], ) = [e, e 3 ]. Como δ 4ND ({e, e 3 }, )= δ G ({e, e 3 }, )=δ 4ND (e, ) δ 4ND (e 3, )={e, e 3 } {e 4 } = {e, e 3, e 4 } entonces δ 4D ([e, e 3 ], ) = [e, e 3, e 4 ]. De l mism form se clcul δ 4D pr el resto de los estdos.

4 Se dee notr que se h clculdo δ 4D pr únicmente quellos estdos lcnzles desde el estdo inicil y prtir de los cules se puede lcnzr un estdo finl. Por lo tnto, el conjunto de estdos E 4D es E 4D = {[e ], [e, e 3 ], [e, e ], [e, e 3, e 4 ], [e, e, e 2 ], [e, e, e 4 ], [e, e 2, e 3 ], [e, e, e 2, e 4 ], [e, e 2, e 3, e 4 ].} El conjunto de estdos finles F 4D está formdo por quellos estdos de E 4D que contienen l menos un estdo finl de M 4ND. Entonces F 4D = {[e, e 3, e 4 ], [e, e, e 2 ], [e, e, e 4 ], [e, e 2, e 3 ], [e, e, e 2, e 4 ], [e, e 2, e 3, e 4 ]} Renomrndo los estdos correspondientes l AFD: [e ] q [e, e 3 ] q [e, e ] q 2 [e, e 3, e 4 ] q 3 [e, e, e 2 ] q 4 [e, e, e 4 ] q 5 [e, e 2, e 3 ] q 6 [e, e, e 2, e 4 ] q 7 [e, e 2, e 3, e 4 ] q 8 l función de trnsición δ 4D se puede reescriir como: δ 4D q q q 2 q q 3 q 2 q 2 q q 4 q 3 q 3 q 5 q 4 q 6 q 4 q 5 q 3 q 7 q 6 q 8 q 4 q 7 q 8 q 7 q 8 q 8 q 7 Entonces M 4D = <{q, q, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7, q 8 }, {, }, δ 4D, q, {q 3, q 4, q 5, q 6, q 7, q 8 }> El digrm de trnsición de estdos correspondiente este utómt es: q q q 3 q 5 q 7 q 2 q 4 q 6 q 8

5 Minimizción de AFD Pr cd AFD existe un AFD con cntidd mínim de estdos que cept el mismo lenguje. El lgoritmo de minimizción divide el conjunto de estdos del AFD en clses de equivlenci. Los psos seguir son los siguientes: ) Eliminr los estdos no lcnzles desde el estdo inicil. 2) Eliminr los estdos desde los cules no es posile lcnzr un estdo finl. 3) Construir un prtición Π del conjunto de estdos, que consiste en dos grupos: estdos finles y estdos no finles. 4) Se K =. 5) Definir Π K+ de l siguiente mner: pr cd grupo G de un prtición Π K, dividir G en sugrupos tles que dos estdos s y t están en el mismo grupo sí y sólo sí pr todo símolo del lfeto de entrd, los estdos s y t vn l mismo grupo de Π K. 6) K = K +. 7) Si Π K Π K- volver l pso 5. En cso contrrio, terminr. Ejemplo 6: Minimizción del AFD resultnte del ejemplo 5. - No existen estdos no lcnzles desde el estdo inicil. - No existen estdos desde los cules no es posile lcnzr un estdo finl. - Como q, q, q 2 son estdos no finles y q 3, q 4, q 5, q 6, q 7, q 8 son estdos finles Π = { q q q 2, q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 } - Grupo q q q 2. Como - desde q con se ps l grupo q q q 2 - desde q con se ps l grupo q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 - desde q 2 con se ps l grupo q q q 2 se dee seprr el estdo q de los estdos q y q 2. Pr ver si q y q 2 pueden quedr en el mismo grupo, se dee nlizr qué ocurre con el símolo : - desde q con se ps l grupo q q q 2 - desde q con se ps l grupo q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 Entonces, como con vn distintos grupos se deen seprr tmién. - Después de relizr un nálisis similr pr el grupo q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8, l prtición resultnte es: Π = { q, q, q 2, q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 } - Anlizndo Π se puede concluir que no hy mner de seguir prticionndo, y que Π 2 = Π. Renomrndo los estdos: q p q p q 2 p 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 p 3 el AFD mínimo se define como M 4Dmin = < { p, p, p 2, p 3 }, {, }, δ, p, {p 3 }>, donde δ está definid

6 por el siguiente digrm de trnsición de estdos p p p 3, p 2 De los ejemplos 4, 5 y 6 se puede concluir que: L(M 4ND ) = L(M 4D ) = L(M 4Dmin ) = L 4 Ejemplo 7: Autómt finito no determinístico que cept el lenguje L 7 = { 2n 2k+ / n y k } {x / x {, } * y x contiene l sucden } M 7ND = < {e, e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 }, {, }, δ 7ND, e, {e 3, e 7 }> δ 7ND está definid por el siguiente digrm de trnsición de estdos e e e 2 e 3, e 5 e 4 e 6 e 7, El utómt finito determinístico M 7D correspondiente l AFND M 7ND se define como M 7D = < E 7D, {, }, δ 7D, [e ], F 7D > L función de trnsición δ 7D se clcul como: δ 7D [e ] [e, e 5 ] - [e, e 5 ] [e 2, e 5 ] [e 5, e 6 ] [e 2, e 5 ] [e, e 5 ] [e 3, e 5, e 6 ] [e 5, e 6 ] [e 5, e 7 ] [e 5, e 6 ] [e 3, e 5, e 6 ] [e 5, e 7 ] [e 4, e 5, e 6 ] [e 5, e 7 ] [e 5, e 7 ] [e 5, e 6, e 7 ] [e 4, e 5, e 6 ] [e 5, e 7 ] [e 3, e 5, e 6 ] [e 5, e 6, e 7 ] [e 5, e 7 ] [e 5, e 6, e 7 ]

7 Como δ 7ND (e, ) = {e, e 5 }, entonces δ 7D ([e ], ) = [e, e 5 ]. Como δ 7ND ({e, e 5 }, )= δ G ({e, e 5 }, )=δ 7ND (e, ) δ 7ND (e 5, )={e 2 } {e 5 } = {e 2, e 5 } entonces δ 7D ([e, e 5 ], ) = [e 2, e 5 ]. De l mism form se clcul δ 7D pr el resto de los estdos. Se dee notr que se h clculdo δ 7D pr únicmente quellos estdos lcnzles desde el estdo inicil y prtir de los cules se puede lcnzr un estdo finl. Por lo tnto, el conjunto de estdos E 7D es E 7D = {[e ], [e, e 5 ], [e 2, e 5 ], [e 3, e 5, e 6 ], [e 4, e 5, e 6 ], [e 5, e 6 ], [e 5, e 7 ], [e 5, e 6, e 7 ]} El conjunto de estdos finles F 7D está formdo por quellos estdos de E 7D que contienen l menos un estdo finl de M 7ND. Entonces F 7D = {[e 5, e 7 ], [e 3, e 5, e 6 ], [e 5, e 6, e 7 ]} Renomrndo los estdos correspondientes l AFD: [e ] q [e, e 5 ] q [e 2, e 5 ] q 2 [e 5, e 6 ] q 3 [e 3, e 5, e 6 ] q 4 [e 5, e 7 ] q 5 [e 4, e 5, e 6 ] q 6 [e 5, e 6, e 7 ] q 7 l función de trnsición δ 7D se puede reescriir como: δ 7D q q - q q 2 q 3 q 2 q q 4 q 3 q 5 q 3 q 4 q 5 q 6 q 5 q 5 q 7 q 6 q 5 q 4 q 7 q 5 q 7 Entonces M 7D = <{q, q, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7 }, {, }, δ 7D, q, {q 4, q 5, q 7 }> El digrm de trnsición de estdos correspondiente este utómt es: q q q 2 q 4 q 3 q 6 q 5 q 7

8 El utómt finito determinístico mínimo correspondiente l utómt M 7D se clcul como sigue: - No existen estdos no lcnzles desde el estdo inicil. - No existen estdos desde los cules no es posile lcnzr un estdo finl. - Como q, q, q 2, q 3 y q 6 son estdos no finles y q 4, q 5 y q 7 son estdos finles Π = { q q q 2 q 3 q 6, q 4 q 5 q 7 } - Grupo q q q 2 q 3 q 6. Como - desde q con se ps l grupo q q q 2 q 3 q 6 - desde q con se ps l grupo q q q 2 q 3 q 6 - desde q 2 con se ps l grupo q q q 2 q 3 q 6 - desde q 3 con se ps l grupo q 4 q 5 q 7 - desde q 6 con se ps l grupo q 4 q 5 q 7 los estdos q 3 y q 6 se deen seprr de los estdos q, q y q 2. Pr ver si q, q y q 2 pueden quedr en el mismo grupo, se dee nlizr qué ocurre con el símolo : - desde q con no hy trnsiciones definids - desde q con se ps l grupo q q q 2 q 3 q 6 - desde q 2 con se ps l grupo q 4 q 5 q 7 Como con vn distintos grupos se deen seprr. Pr ver si q 3 y q 6 pueden quedr en el mismo grupo, se dee nlizr qué ocurre con el símolo : - desde q 3 con se ps l grupo q q q 2 q 3 q 6 - desde q 6 con se ps l grupo q 4 q 5 q 7 Entonces, como con vn distintos grupos se deen seprr tmién. - Después de relizr un nálisis similr pr el grupo q 4 q 5 q 7, l prtición resultnte es: Π = { q, q, q 2, q 3, q 4, q 6, q 5 q 7 } - Anlizndo Π se puede concluir que no hy mner de seguir prticionndo, y que Π 2 = Π. Renomrndo los estdos: q p q p q 2 p 2 q 3 p 3 q 4 p 4 q 6 p 6 q 5 q 7 p 5 el AFD mínimo se define como M 7Dmin = < { p, p, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 }, {, }, δ, p, {p 4, p 5 }>, donde δ está definid por el siguiente digrm de trnsición de estdos p p p 2 p 4 p 6, p 3 p 5

9 Se puede concluir que L(M 7ND ) = L(M 7D ) = L(M 7Dmin ) = L 7 Autómt finito: Modelo Un utómt finito M que se utiliz como modelo es simplemente un utómt finito que se define como un 3-upl M M = <E, A, δ >. Notr que no existe estdo inicil e, ni el conjunto de estdos finles F, y que solo se utiliz pr modelr el funcionmiento de un proceso. Donde E: Conjunto finito de estdos, A: Alfeto o conjunto finito de símolos de entrd, δ: Es l función de trnsición de estdos definid δ: E x A E Ejemplo 8: Se muestr el modelo de funcionmiento de un grdor tipo E ={OFF, ON, PAUSA, AVAN., RETR.} A={ply, pus, stop, rew, ff} δ: stop OFF RETR rew ff ply ff stop ply stop rew rew ply ON ff AVAN pus pus PAUSA Autómt Finito Trductor Un utómt finito trductor M T es simplemente un utómt finito que se define como un 7-upl M T = <E, A, δ, e, F, S, γ>. Donde E: Conjunto finito de estdos, A: Alfeto o conjunto finito de símolos de entrd, δ: Es l función de trnsición de estdos definid δ: E x A E e : Estdo inicil e E. F: Conjunto de estdos finles o estdos de ceptción. F E. S: Alfeto o conjunto finito de símolos de slid γ: Es l función de trducción definid γ: E x A S* Ams funciones δ: E x A E y γ:e x A S* están definids sore E x A. Si existen δ (e i, ) = e j y γ (e i, ) = x donde e i, e j E; A ; x S*

10 en el digrm de trnsición de estdos el vlor de l trducción x se greg sore los rcos. / x e i e j Función de trducción pr cdens L extensión de l función de trducción γ * : E x A* S*, tl que γ * (e i,ω) es l cden que trducirá el utómt, luego de leer l cden ω en l cint de entrd y comenzndo en el estdo e i, se define como: ) γ * (e i, ε) = ε 2) γ * (e i, ω) = γ * (e i, ω). γ(δ * ( e i, ω), ) donde A, ω A*, e i E L diferenci entre γ y γ * es que γ se define desde un estdo y un símolo del lfeto, y γ* se define desde un estdo y un cden de símolos. Not: El utómt solo define l trducción, si el utómt finito reconocedor suycente cept l cden. Es decir, l trducción T(ω): A* S* socid M T está definid como: T(ω)= γ * (e, ω) δ * (e, ω) F donde ω A* Ejemplo 9: En ciert oficin, un máquin expendedor distriuye dos tipos de eids en lt: gseos y gu minerl. El precio por unidd es $. L máquin cept moneds de $.25, $.5 y $; y devuelve el cmio necesrio. Pr comprr un eid se deen introducir ls moneds, y luego pretr el otón G pr solicitr un gseos, o ien el otón M pr solicitr Agu Minerl. Pr est máquin se model el siguiente Autómt Finito AFM = <E, A, δ, S, γ> L función de trducción γ, indic el dinero que se entreg como cmio por l dquisición de l eid, seguido por el tipo de eid que se h selecciondo. El conjunto de estdos E = { e, e, e 2, e 3, e 4 }, donde el estdo e k de l máquin, pr k =,, 2, 3, 4, recuerd l inserción de un totl de k * $.25. A = {.25,.5,, G, M} S = {.25,.5,, g, m} donde g indic lt de gseos y m gu minerl δ.25.5 G M γ.25.5 G M e e e 2 e 4 e e e ε ε ε ε ε e e 2 e 3 e 4 e e e ε ε.25 ε ε e 2 e 3 e 4 e 4 e 2 e 2 e 2 ε ε.5 ε ε e 3 e 4 e 4 e 4 e 3 e 3 e 3 ε ε ε e 4 e 4 e 4 e 4 e e e g m

11 Ejemplo : Se L = { n 2m k / n 2 y m 2 y k } Trducir ls cdens de L: n 2m k como 2n+ (c) m pr n 2, m 2, k M T = <{e,e,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7 }, {,}, δ, e, {e 6, e 7 }, {,,c}, γ > δ y γ / /ε e / e / e 2 / /c /ε /c e 3 e 4 e 5 /ε e 6 e 7 Pr l cden de entrd = 2 4 T( 2 4 ) = γ * (e, 2 4 ) δ * (e, 2 4 ) F T( 2 4 ) = 5 2 (c) 2 e 6 F /ε Pr l cden de entrd T( ) = γ * (e, ) δ * (e, ) T( ) = (c) 3 e 7 F Pr l cden de entrd 4 2 T( 4 2 ) = γ * (e, 4 2 ) δ * (e, 4 2 ) T( 4 2 ) no es válid porque e F Ejemplo : Se L = {cc () 2k x / k y x {,c}*} Trducir ls cdens de L: cc() 2k x como k+ m pr k y m= x M T = <{e,e,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 }, {,}, δ, e, {e 2, e 6 }, {}, γ >

12 δ y γ: /ε c/ c/ε / /ε /ε e e 3 e 5 e e 2 /,c/ e 4 /, c/ e 6 Pr l cden de entrd cc γ * (e, cc)= δ * (e, cc) F Pr l cden de entrd cc() 4 cc γ * (e, cc() 4 cc)= 3 4 = 7 δ * (e, cc() 4 cc) F Pr l cden de entrd ccccc γ * (e, ccccc)= 9 δ * (e, ccccc) F Pr l cden de entrd ccc γ * (e, ccc)= 2 δ * (e, ccc) F