CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN Rn

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN Rn Ignacio Gracia Rivas 1 Narciso Román-Roy 2 Narciso Urbizu Montañés 3 Departamento de de Matemática Aplicada IV C/ Jordi Girona 1; Edificio C-3, Campus Norte UPC E Barcelona 18 de febrero de ignacio@ma4.upc.es 2 matnrr@ma4.upc.es 3 urbi@ma4.upc.es

2 Prefacio Estos Apuntes de Análisis Vectorial constituyen una guía personal a la asignatura de Análisis Vectorial que se imparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingeniería de Telecomunicación (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ningún momento pretenden ser una guía oficial, ni tan siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura. Están basados (aunque no integramente) en los apuntes que, sobre diversas partes del programa, habían preparado principalmente los profesores M.C. Muñoz Lecanda y P. Morillo Bosch. Debemos agradecer también la colaboración de otros muchos compañeros que han impartido esta asignatura y que, además de hacernos valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque somos consciente de que todavía pueden quedar otros muchos por detectar). Entre estos profesores hemos de citar, además de los anteriores, a E. Garriga Valle, X. Gràcia Sabaté, P. Martín de la Torre y G. Sáez Moreno. i

3 Contents 1 Topología de R n. Sucesiones Introducción Nociones de Topología de R n Norma y distancia Bolas y rectángulos abiertos y cerrados Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera Abiertos y cerrados Sucesiones en R n Sucesiones de vectores en R n Sucesiones de Cauchy. Completitud Sucesiones, puntos interiores y puntos frontera Conjuntos compactos y sucesiones Límites y continuidad de funciones en R n Introducción Funciones de varias variables Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel Límites de funciones Límite de una función en un punto y en el infinito Límites direccionales. Límites reiterados Continuidad Continuidad. Propiedades de las funciones continuas Propiedades topológicas. Teorema de Weierstrass. Consecuencias Continuidad uniforme Cálculo Diferencial en R n Introducción Diferenciabilidad de funciones en R n ii

4 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. iii Diferenciabilidad de una función en un punto. Interpretación geométrica Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Matriz jacobiana Interpretación geométrica de las derivadas parciales. Aproximación lineal Caracterización de funciones diferenciables Propiedades de las funciones diferenciables Propiedades elementales (linealidad y otras) Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz Regla de la cadena. Aplicaciones Teorema de la función implícita Teorema de la función inversa Operadores diferenciales Gradiente de un campo escalar. Campos conservativos Rotacional de un campo vectorial. Campos irrotacionales Divergencia de un campo vectorial. Campos solenoidales Laplaciana de funciones escalares y vectoriales. Funciones armónicas Expresión de los operadores diferenciales en otras coordenadas Otras propiedades de los operadores diferenciales Determinación de funciones potenciales escalares y vectoriales Curvas y superficies Introducción Curvas Curvas en R n Curvas regulares Recta tangente y plano normal a una curva. Aplicaciones Orientación Superficies Superficies en R Superficies regulares Plano tangente y recta normal a una superficie Superficies orientadas Borde de un conjunto. Conectividad Frontera geométrica o borde de un conjunto Deformaciones de curvas y superficies. Conjuntos conexos Estudio local de funciones en R n 61

5 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. iv 5.1 Introducción Fórmula de Taylor Fórmula de Taylor. Expresión del resto Cálculo de extremos Formas cuadráticas Extremos libres. Puntos críticos. Condición necesaria de extremo Condición suficiente de extremo Extremos condicionados Método de los multiplicadores de Lagrange Extremos absolutos de una función continua en un compacto Integración de funciones escalares en R n Introducción Concepto de integral múltiple Integral múltiple en un rectángulo Medida y contenido cero Funciones integrables en un rectángulo Integral múltiple en una región más general Propiedades de la integral múltiple Primeras propiedades Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivación bajo el signo integral) Cálculo de integrales múltiples por iteración: Teorema de Fubini Cambio de variable Integrales impropias Función no acotada en el entorno de un punto Región de integración no acotada Integrales de línea y de superficie Introducción Integrales de línea de campos escalares y vectoriales Longitud de un arco de curva Integral de línea de un campo escalar. Propiedades Integral de línea de un campo vectorial. Propiedades Integrales de línea de campos conservativos Independencia del camino en una integral de línea

6 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. v Caracterización de campos conservativos mediante integrales de línea Determinación de funciones potenciales escalares mediante integrales de línea Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales Área de una superficie Integral de superficie de un campo escalar. Propiedades Integral de superficie de un campo vectorial. Propiedades Teoremas del Análisis Vectorial Introducción Teorema de Stokes Teorema de Stokes en R 3. Aplicaciones Teorema de Stokes en casos especiales Teorema de Green. Aplicaciones Caracterización de campos conservativos por medio del teorema de Stokes Aplicación: Resolución de ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante Teorema de la divergencia Teorema de Gauss-Ostrogadski en R 3. Aplicaciones Teorema de Gauss-Ostrogadski en R 2. Aplicaciones Caracterización de los campos solenoidales Otras aplicaciones Definición intrínseca de los operadores diferenciales

7 Preliminares n {}}{ A lo largo del curso se va a trabajar en el conjunto R n := R... R, que es un espacio afín n-dimensional. Esto significa que, una vez fijado un origen, R n se identifica con un espacio vectorial, el cual se supondrá dotado con la métrica euclídea (con lo que R n es un espacio vectorial euclídeo). Salvo indicación contraria, se tomará la base canónica usual referida a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales; es decir, la que está formada por vectores ortonormales que denotaremos {e i } i=1...n (e 1,..., e n ). Los elementos x R n presentan, por consiguiente, una naturaleza dual, por cuanto se pueden considerar indistintamente como puntos, que vendrán especificados por medio de sus coordenadas x (x 1,..., x n ), o como vectores, que serían los vectores de posición de dichos puntos, en cuyo caso los valores de las coordenadas del punto n son las componentes escalares del vector de posición, esto es, x = x 1 e x n e n x i e i. Finalmente, el producto escalar de dos vectores x, x R n se especificará poniendo x, x i=1 n x i x i. Eventualmente, también se manejaran otros sistemas de coordenadas en R 2 y R 3 ; en particular: i=1 Coordenadas polares en R 2. Se designan por (r, φ); con r (0, ), θ [0, 2π). La relación con las coordenadas cartesianas (x, y) en R 2 es x = r cos φ, y = r sin φ Coordenadas cilíndricas en R 3. Se designan por (r, φ, z); con r (0, ), φ [0, 2π), z (, ). La relación con las coordenadas cartesianas (x, y, z) en R 3 es x = r cos φ, y = r sin φ, z = z Coordenadas esféricas en R 3. Se designan por (r, φ, θ); con r (0, ), φ [0, 2π), θ [0, π). cartesianas (x, y, z) en R 3 es La relación con las coordenadas x = r sin θ cos φ, y = r sin θ cos φ, z = r cos θ 1

8 Chapter 1 Topología de R n. Sucesiones 1.1 Introducción Antes de comenzar el estudio de las funciones reales de varias variables, es preciso hacer algunas consideraciones sobre el espacio en que se definen, esto es, R n. En términos más precisos, lo primero que se va a hacer en este capítulo preliminar es una somera introducción a ciertas nociones topológicas 1 sobre R n. Concretamente, se presentarán las definiciones que generalizan algunos conceptos básicos bien conocidos en la recta real R, como son las nociones de distancia entre puntos o de intervalo, entre otras. La exposición concluirá analizando otras características de R n relacionadas con las sucesiones, que están en íntima relación con sus propiedades topológicas como, p. ej., la completitud. 1.2 Nociones de Topología de R n Norma y distancia Los dos primeros conceptos que se van a definir generalizan en R n las nociones de valor absoluto y distancia en R. Definición 1 Para todo vector x R n, se denomina norma o módulo de x al valor x x, x 1/2 n i=1 x 2 i Comentario: Obsérvese que cuando n = 1 esta es precisamente la definición de valor absoluto, (luego es una buena generalización de este concepto). Algunas propiedades de la norma son las siguientes: Proposición 1 x, y R n, λ R. 1. x 0, y x = 0 x = 0 1 La Topología es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes por transformaciones que los deforman (sin romperlos ) y, por tanto, independientes de los sistemas coordenados elegidos. 2

9 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n λx = λ x ; y como consecuencia x y = y x. 3. x, y x y (desigualdad de Schwarz). 4. x + y x + y. 5. x y x y. 6. Si x (x i ), entonces x i x n i=1 x i. ( Dem. ) Se basan en las propiedades del producto escalar. Se demostrarán únicamente 3 y Se tiene que demostrar que: n n n ( x i y i ) 2 ( x i ) 2 ( y i ) 2. En efecto, se observa que ( n i=1 x iz + y i ) 2 0, z R. Haciendo A = i=1 i=1 i=1 n x 2 i, B = i=1 n x i y i y C = se tiene Az 2 + 2Bz + C 0 y por tanto la ecuación de 2 o grado Az 2 + 2Bz + C, o tiene una solución real doble, o no tiene ninguna, lo que implica B 2 AC 0 que es la desigualdad buscada. Se ha supuesto que A 0. Si A = 0 la demostración es trivial pues todos los x i son nulos. 5. Teniendo en cuenta la propiedad anterior, se tiene que x+y 2 = n (x i +y i ) 2 = i=1 n (x 2 i +yi 2 +2x i y i ) = x 2 +2x y+ y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 i=1 i=1 n i=1 y 2 i Se dice que (R n, ) es un espacio normado. Definición 2 Dados dos puntos x, y R n, con x (x 1,..., x n ), y (y 1,..., y n ), se denomina distancia entre x e y a la norma del vector x y; es decir, d(x, y) x y x y, x y 1/2 n (x i y i ) 2 i=1 Las propiedades de la distancia se obtienen a partir de las de la norma y algunas de ellas son las siguientes: Proposición 2 x, y, z R n. 1. d(x, y) = d(y, x). 2. d(x, y) = 0 y = x. 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular). ( Dem. ) Inmediatas. Se dice que (R n, d) es un espacio métrico. Con estas definiciones, siguiendo la terminología del Álgebra Lineal, R n es un espacio vectorial euclídeo.

10 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n Bolas y rectángulos abiertos y cerrados Los siguientes conceptos generalizan en R n las nociones de intervalos (abiertos y cerrados) en R. Definición 3 Sea un punto p R n y un escalar r R Se denomina esfera con centro en p y radio r al conjunto S(p, r) = S r (p) {x R n d(x, p) = r} 2. Se denomina bola abierta con centro en p y radio r al conjunto B(p, r) = B r (p) {x R n d(x, p) < r} 3. Se denomina bola cerrada con centro en p y radio r al conjunto B(p, r) = B r (p) B r (p) S r (p) {x R n d(x, p) r} (También se utiliza la bola perforada B r (a) = B r (a) {a}). Definición 4 En R n se denomina rectángulo abierto H (respectivamente rectángulo cerrado H) al producto cartesiano de n intervalos abiertos (resp. cerrados) de R: H (a 1, b 1 )... (a n, b n ) H [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] n (a i, b i ) i=1 n [a i, b i ] En ambos casos, se denomina centro del rectángulo al punto de R n cuyas coordenadas son las de los puntos medios de los correspondientes intervalos; es decir, ( a1 + b 1 c,..., a ) n + b n 2 2 i=1 Comentario: Existen rectángulos que no son ni abiertos ni cerrados: son aquellos formados a partir de productos cartesianos de intervalos abiertos, cerrados y/o semiabiertos indistintamente. Una relación entre bolas y rectángulos está dada por la siguiente propiedad: Proposición 3 1. Toda bola contiene un rectángulo y, a su vez, está contenida en un rectángulo, todos con el mismo centro. 2. Todo rectángulo contiene una bola y, a su vez, está contenido en una bola, todos con el mismo centro. ( Dem. ) Evidente. Comentarios: Como consecuencia de esta propiedad, a partir de un punto se puede construir una secuencia infinita alternada de bolas y rectángulos, cada uno incluyendo al precedente, que tienen como centro dicho punto.

11 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 5 Realmente, las nociones de bola y rectángulo son topológicamente equivalentes puesto que el paso de una a otra se lleva a cabo por una mera deformación del espacio R n, esto es, matemáticamente hablando, por medio de un cambio de coordenadas (p. ej., de cartesianas a esféricas). Obsérvese que cuando n = 1 de ambas definiciones se recupera la noción de intervalo. Definición 5 Un conjunto A R n contenga. se dice que está acotado si existe alguna bola o rectángulo que lo Definición 6 Se denomina entorno de un punto p R n a todo conjunto E(p) (acotado) que contenga una bola o rectángulo con centro en p Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera A fin de poder hacer consideraciones de tipo topológico sobre conjuntos que no sean ni bolas ni rectángulos, es necesario introducir nuevos conceptos. Definición 7 Sea un conjunto A R n y un punto x R n. 1. Se dice que x es un punto interior de A si B r (x) contenida en A (lo que implica que x A). Se denomina interior de A, y se designa por Å o bien Int A, al conjunto formado por todos sus puntos interiores. 2. Se dice que x es un punto adherente de A si B r (x) contiene puntos de A En particular, los puntos adherentes pueden ser de dos tipos: (a) Se dice que x es un punto de acumulación de A si B r (x) contiene algún punto de A, distinto de x (lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A). Se denomina acumulación de A, y se designa por A, al conjunto formado por todos sus puntos de acumulación. (b) Se dice que x es un punto aislado de A si es adherente pero no es de acumulación; esto es, B r (x) Tal que A B r (x) = {x} (lo que implica que x A). Se denomina adherencia (también clausura o cierre) de A, y se designa por por todos sus puntos adherentes. Ā, al conjunto formado 3. Se dice que x es un punto exterior de A si no es adherente; esto es, B r (x) que no contiene ningún punto de A (lo que implica que x A). Se denomina exterior de A, y se designa por Ext A, al conjunto formado por todos sus puntos exteriores. 4. Se dice que x es un punto frontera de A si B r (x) contiene puntos de A y puntos que no son de A (lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A). Se denomina frontera (topológica) de A, y se designa por Fr A, al conjunto formado por todos sus puntos frontera. Comentarios: Todo punto interior, por su propia definición, es de acumulación, luego es adherente; esto es, Å Ā. Pero no todo punto de acumulación ha de ser interior necesariamente. Un punto aislado no es interior ni exterior: es un punto frontera. Un punto frontera puede ser de acumulación (p. ej., los puntos frontera de un intervalo) o no, ya que un punto aislado de un conjunto siempre es punto frontera. Por tanto, todo punto frontera es adherente, pero no es interior (ni, por supuesto, exterior).

12 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 6 Todo punto exterior no es de acumulación y todo punto de acumulación no es exterior. La adherencia de A se obtiene añadiendo a A todos los puntos frontera que no le pertenecen; es decir, Ā A Fr A. Ejemplos: La frontera de una bola es la esfera con el mismo centro y de igual radio. Si la bola es abierta, sus puntos frontera no le pertenecen, si es cerrada sí. Si A es un conjunto finito de puntos aislados se tiene que Int A = Ø Ext A = R n A Fr A = A Proposición 4 Si x es un punto de acumulación de A, entonces toda bola B r (x) contiene infinitos puntos de A. ( Dem. ) (Reducción al absurdo). Supongamos que exista alguna bola B r (x) que contiene sólamente n puntos de A, a 1, a 2,..., a n. Sea r = min{ x a 1,..., x a n }, entonces B r/2 (x) no contiene ningún punto de A y, por tanto, x no es punto de acumulación de A. Comentarios: Como consecuencia inmediata de este resultado se tiene que los conjuntos finitos no tienen puntos de acumulación. No obstante, un conjunto infinito puede tener puntos de acumulación (p. ej.; si A = {1/n, n R}, entonces 0 es punto de acumulación de A), o no tenerlos (como el conjunto B = {1,..., n,...}). Además, en un conjunto infinito de puntos aislados todos sus elementos son puntos frontera, pero puede haber más de éstos que no son del conjunto, ya que si hay puntos de acumulación de A que no pertenecen a A, éstos son también puntos frontera. (Como ejemplo, el límite de una sucesión en R estrictamente creciente (o decreciente) convergente es un punto frontera de la sucesión pero no es un elemento de la misma (además es el único punto de acumulación del conjunto)). Teorema 1 (Bolzano-Weierstrass). Sea A R n un conjunto acotado con infinitos puntos, entonces existe al menos un punto de R n que es punto de acumulación de A. En relación con estas definiciones se establece la siguiente propiedad: Proposición 5 A R n, Int A, Ext A y Fr A establecen una partición de R n ; esto es, todo punto de R n pertenece a uno, y sólo uno, de estos tres conjuntos; es decir, 1. Int A Ext A Fr A = R n. 2. Int A Ext A = Ø, Ext A Fr A = Ø, Int A Fr A = Ø, ( Dem. ) Inmediato a partir de las definiciones (se deja como ejercicio) Abiertos y cerrados Se acaba de comentar y ver que los puntos frontera de un conjunto pueden pertenecerle o no. Basándonos en esta observación vamos a introducir una nueva caracterización de los conjuntos de R n.

13 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 7 Definición 8 Sea un conjunto A R n. Se denomina complementario de A al conjunto R n A {x R n x A} A partir de ésta y de la anterior definición se comprueba de inmediato que: Proposición 6 A R n. 1. Fr A = Fr(R n A). 2. Int A = Ext(R n A) y Ext A = Int(R n A). Teniendo ésto en cuenta se define: Definición 9 Sea un conjunto A R n. 1. A es abierto si coincide con su interior: A = Int A. 2. A es cerrado si su complementario es un abierto. Los conjuntos cerrados se caracterizan por las siguientes propiedades equivalentes: Proposición 7 Sea A R n. Son equivalentes: 1. A es cerrado. 2. A = Ā. 3. Fr A A. 4. A A. ( Dem. ) La demostración se basa en la observación de que A es cerrado si R n A es abierto x A, x Int (R n A) = Ext A. Ejemplos: Las bolas y rectángulos abiertos (resp cerrados) son abiertos (resp. cerrados). Un conjunto finito de puntos aislados es cerrado. Un conjunto infinito de puntos aislados no necesariamente es cerrado, {( depende de si tiene o no puntos de acumulación: p. ej., sobre la recta los puntos de la sucesión A = ) n }. n En R, N y Z son cerrados. Q no es ni abierto ni cerrado, ya que Fr Q = R. Comentarios: Un conjunto no puede ser abierto y cerrado simultaneamente, salvo el vacío Ø y el total R n que, por definición, son abiertos y cerrados a la vez. Obviamente, hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (p. ej., un rectángulo formado por el producto cartesiano de intervalos semiabiertos). Finalmente se tiene la siguiente propiedad sobre la unión y la intersección de abiertos y cerrados:

14 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 8 Proposición 8 1. La unión de abiertos es un abierto. 2. La intersección finita de abiertos es un abierto. 3. La intersección de cerrados es un cerrado. 4. La unión finita de cerrados es un cerrado. ( Dem. ) 1. Sea F una colección arbitraria de abiertos y sea S = A F A. x S existe A F tal que x A, y como es abierto existe B r (x) A S, por tanto x Int S luego S es un abierto. 2. (Se hace para dos abiertos. La generalización es inmediata). Sea S = A 1 A 2. Para todo x S existen B r1 (x) A 1 y B r2 (x) A 2. Sea r = min(r 1, r 2 ), entonces B r (x) S y, por tanto, todo punto de S es interior luego S es abierto. 3. La intersección de cerrados es el complementario de la unión de los complementarios, que son abiertos, y por lo anterior es un abierto y su complementario cerrado. 4. Se razona como en la anterior. Contraejemplos: La intersección infinita de abiertos puede ser un cerrado: ( 1 1 n, ) = [ 1, 1] n n N La unión infinita de cerrados puede ser un abierto: [ n, 1 1 ] = ( 1, 1) n n N Relacionado con los anteriores conceptos introduciremos, finalmente, la siguiente definición: Como consecuencia inmediata de la proposición 7 se tiene que: Proposición 9 A R n, Ā es cerrado, y es el menor cerrado que contiene a A. Para acabar, se demuestra la siguiente propiedad: Proposición 10 Si B R n es cerrado y A B, entonces Ā B. ( Dem. ) Ā es cerrado, luego x Ā se tiene que, o bien x Fr A, o bien x Int A. Obviamente Int A A B. Por otra parte, si x Fr A entonces B r (x) contiene puntos de A y, por lo tanto, de B (dado que A B, luego x Ext B y, como B es cerrado, eso implica que x B. De ahí Fr A B. Por consiguiente Int A Fr A Ā B.

15 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n Sucesiones en R n Sucesiones de vectores en R n El concepto de sucesión de números reales se generaliza en R n de la siguiente manera: Definición 10 Se denomina sucesión (de vectores) en R n a toda aplicación N R n. Comentarios: Se usa la misma terminología y notación que para sucesiones numéricas. Así, las imágenes de la aplicación se denominan términos o elementos de la sucesión. El término general de una sucesión vectorial se designa por {x m }. Obsérvese que si x m (x m 1,..., x m n ), entonces una sucesión de vectores en R n induce n sucesiones numéricas, que son las de las coordenadas: {x m } ({x m 1 },..., {x m n }). Definición 11 Sea {x m } una sucesión de vectores. Un punto a R n es el límite de la sucesión si, ε 0, ν N tal que si µ ν, entonces x µ a < ε. Se usará la notación lim m {xm } = a, o tambien {x m } m a 2. Si una sucesión tiene límite se dice que es convergente, si no lo tiene es no convergente o divergente. Comentario: Nótese que la definición de límite significa que, a partir del término ν-ésimo todos los términos están contenidos en una bola abierta de centro en a y radio ε. Las propiedades de las sucesiones de vectores son análogas a las de las sucesiones numéricas: Proposición 11 Sean {x m } y {y m } sucesiones en R n y λ R. 1. lim m {xm } = a si, y sólo si lim m {xm a} = 0 (vector nulo). 2. lim m {xm } = a si, y sólo si lim m {xm i } = a i (i = 1,..., n), (las sucesiones de la coordenadas convergen a las coordenadas de a). 3. Si {x m } es convergente entonces está acotada. 4. Si {x m } tiene límite entonces éste es único. 5. Si lim m {xm } = a y lim m {ym } = b, entonces 6. Si lim m {xm } = a entonces lim m {λxm } = λa. lim m {xm ± y m } = a ± b. 7. Si lim m {xm } = a y lim m {ym } = b entonces para la sucesión de los productos escalares se tiene que lim m { xm, y m } = a, b. 8. Si lim m {xm } = 0 y {y m } es otra sucesión tal que { y m } acotada entonces lim m { xm, y m } = 0 ( Dem. ) 1. Como en R. 2 Esta es la misma definición que para sucesiones numéricas cambiando el valor absoluto por la norma.

16 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n Inmediata observando que, de acuerdo con el apartado 5 de la proposición 3, 3. Como en R. x m i a i x m a n x m i a i 4. Es una consecuencia de 2 y de la unicidad del límite de las sucesiones numéricas. 5. Inmediata observando que, de acuerdo con la desigualdad triangular, 6. Inmediata. 7. Obsérvese que y ambas sucesiones tienen límite igual a Usando la desigualdad de Schwarz se tiene que i=1 x m + y m a b x m a + y m b x m, y m a, b = x m a, y m + a, y m a, b = x m a, y m + a, y m b x m, y m x m y m m 0 Comentario: Teniendo en cuenta la segunda propiedad, el cálculo de límites de sucesiones de vectores se reduce al cálculo de límites de sucesiones numéricas (las sucesiones de las cooordenadas) Sucesiones de Cauchy. Completitud Igual que se hizo con las sucesiones numéricas, se define el siguiente concepto: Definición 12 Sea {x m } una sucesión de vectores. {x m } es una sucesión de Cauchy si ε 0, ν N tal que si µ, ρ ν, entonces x µ x ρ < ε. Comentario: Nótese que esta definición significa que, a partir del término ν-ésimo todos los términos de la sucesión están contenidos en una bola abierta de diámetro ε. Teniendo en cuenta los comentarios hechos en el apartado anterior, es evidente que: Proposición 12 {x m } es una sucesión de Cauchy si, y sólo si, lo son las n sucesiones numéricas componentes {x m i }. ( Dem. ) Inmediata observando que, de acuerdo de nuevo con el apartado 5 de la proposición 3, n x µ i xρ i xµ x ρ x µ i xρ i i=1

17 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 11 Con todos estos conceptos ya estamos en condiciones de explorar las relaciones entre las sucesiones (convergentes) de vectores y las propiedades topológicas de R n. De este modo, es posible establecer en R n propiedades análogas a las que ya se verificaban para la recta real R, como son el teorema de Bolzano- Weierstrass 3 y, en particular: Teorema 2 (de completitud de R n ): La c.n.s. para que una sucesión {x m } sea convergente en R n es que sea una sucesión de Cauchy. ( Dem. ) Basta usar las sucesiones de las coordenadas y el teorema de completitud de R Sucesiones, puntos interiores y puntos frontera Siguiendo con las relaciones entre las sucesiones de vectores y la topología de R n, analizaremos, a continuación, las dos siguientes propiedades: Proposición 13 Sea A R n. x Ext A existe una sucesión {x m } de puntos de A cuyo límite es x. ( Dem. ) Si x Ext A entonces x Int A o x Fr A. En cualquier caso se puede construir una sucesión de bolas B(x, 1 ) cada una de las cuales contiene puntos de A (por definición de punto interior o frontera), m entonces basta tomar uno de ellos en cada bola x m obviamente tiene como límite x. B(x, 1 m ) y se tiene una sucesión {xm } A que Proposición 14 A R n es cerrado si, y sólo si, {x m } sucesión de puntos de A convergente, su límite es un punto x A. ( Dem. ) (= ) Si A es cerrado y {x m } x, con {x m } A, entonces en todo entorno de x hay puntos de {x m } (por definición de límite), esto es puntos de A, luego x Ext A y, por tanto, x A. ( =) x Fr A, de acuerdo con la proposición anterior, {x m } A con {x m } x. Pero, por hipótesis, toda sucesión de puntos de A convergente lo es a un punto de A, luego x A. Por consiguiente Fr A A, luego A es cerrado Conjuntos compactos y sucesiones Para concluir este capítulo preliminar, se va a introducir una última noción de topología tendrá el mismo papel en las propiedades de las funciones de varias variables que los intervalos cerrados de R en ciertos teoremas relativos a funciones de una variable. Definición 13 Sea K R n. K es un conjunto compacto si es cerrado y está acotado. La propiedad que relaciona los conjuntos compactos con las sucesiones es la siguiente: Proposición 15 K R n es compacto si, y sólo si, de toda sucesión de puntos de {x m } K se puede obtener una subsucesión convergente a un punto x K. ( Dem. ) (= ) Sea K compacto y {x k } K. Suponiendo que la sucesión {x k } tiene infinitos términos (en caso contrario es facil extraer subsucesiones convergentes), por el teorema 1, tiene un punto de acumulación b, lo que implica que toda bola centrada en b contiene infinitos puntos de la sucesión. 3 Que enuncia que toda sucesión acotada tiene alguna subsucesión convergente.

18 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 12 Para la bola B 1 (b) elegimos un punto x h1 {x k }. Para la bola B 1/2 (b) elegimos un punto x h2 {x k }, con h 2 > h 1. Para la bola B 1/3 (b) elegimos un punto x h3 {x k }, con h 3 > h 2, y así sucesivamente. Obtenemos de esta forma una subsucesión {x hj } j N, en K, que tiene como límite b y como K es cerrado entonces b K. ( =) (Reducción al absurdo): 1. Si K no es cerrado x Fr K con x K. Sea {x m } K tal que {x m } x, entonces cualquier subsucesión de ésta converge a x K, contra la hipótesis. 2. Si K no está acotado entonces, M R +, x m K con x m > M, luego se puede formar una sucesión {x m } divergente que, por tanto, no tiene subsucesiones convergentes, contra la hipótesis. Comentario: Aunque, como ya se ha señalado, en algunos teoremas sobre funciones en R n los compactos tienen el mismo papel que los intervalos cerrados en R, ambos conceptos no son equivalentes en R. En efecto, en R todo intervalo cerrado es un compacto, pero no todo compacto es semejante a uno o varios intervalos cerrados. La diferencia está en que en los intervalos cerrados todos sus puntos son de acumulación, en los compactos no necesariamente (p. ej., un conjunto finito de puntos aislados es un compacto).

19 Chapter 2 Límites y continuidad de funciones en R n 2.1 Introducción En el curso de Cálculo Infinitesimal se analizaron únicamente las funciones (reales) de una variable. Sin embargo, en la naturaleza hay fenómenos para cuya descripción matemática se requieren funciones que dependen de más de una variable y que, en Física, suelen denominarse campos. Así, p. ej., La temperatura de una región del espacio (a lo largo del tiempo): T (x, y, z, t): R 4 R La velocidad de las partículas de un fluido en movimiento v(x, y, z): R 3 R 3 La fuerza gravitatoria en el entorno de una distribución de masa F (x, y, z): R 3 R 3 En este capítulo se va a hacer una presentación de este tipo de funciones, comenzando ya a estudiar los conceptos analíticos con ellas relacionados, tal como se hizo en su momento con las funciones de una variable. Concretamente, se empezará introduciendo las nociones de límite y continuidad y, en los siguientes capítulos, se abordarán las cuestiones relativas a la diferenciabilidad e integrabilidad de estas funciones. (A partir de ahora, siempre que no se diga explícitamente lo contrario, se toman los dominios de las funciones abiertos a fin de evitar problemas de aproximación a los puntos frontera). 2.2 Funciones de varias variables Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel Definición 14 Se denomina campo o función (real) de varias variables a toda aplicación f: A R n R m (n > 1, m 1) La región A R n donde está definida la aplicación recibe el nombre de dominio de la función 1, y se indica como Dom f El dominio de una función de varias variables suele estar dado por una o varias expresiones analíticas del tipo h(x 1,..., x n) 13

20 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 14 Igualmente, se denomina imagen de f al conjunto de puntos que son imagen de algún punto del dominio, Im f = {y R m f(x) = y, x A}. 1. Si m = 1 entonces se dice que f es un campo o función escalar. 2. Si m > 1 entonces se dice que f es un campo o función vectorial. En este caso se tiene f : A R n R m x (x 1,..., x n ) (f 1 (x),..., f m (x)) donde f j : A R n R (j = 1,..., m) son funciones escalares que se denominan funciones componentes de f 2. Ejemplos: Funciones escalares: temperatura, presión, densidad,... Funciones vectoriales: campos gravitatorio, electrostático, electromagnético... Comentarios: Es evidente, a partir de lo expuesto en la definición, que el estudio de una función vectorial se reduce al de sus funciones componentes. Por ese motivo, en adelante se prestará atención preferente al análisis de las funciones escalares. Para una función vectorial con funciones componentes f = {f i }, se tiene que Dom f = m i=1dom f i. Definición Sea f: A R n R m, con f = (f 1,..., f m ). Se denomina gráfica de la función al conjunto graf f R n+m dado por graf f := {(p; q) p A, q = f(p)} {(x 1,..., x n ; y 1,..., y m ) (x 1,..., x n ) A, y 1 = f 1 (x 1,..., x n ),..., y m = f m (x 1,..., x n )} 2. Sea f: A R n R. Se denomina conjunto de nivel k o equiescalar al conjunto de puntos del dominio donde la función tiene el mismo valor k, es decir, Φ k := {p (x 1,..., x n ) A f(p) = c (ctn.)} 3. Sea f: A R n R. Se denomina sección de la gráfica de f a la intersección de graf f con planos de R n+1. (Es habitual considerar los planos coordenados o planos paralelos a éstos). Comentarios: Un campo escalar f: A R R tiene como grafica, en general, una curva en R 2 cuya ecuación es y = f(x); lo que se denomina expresión explícita de la curva. Igualmente, si f: A R 2 R, la grafica de f está en R 3 y es, generalmente, una superficie cuya expresión explícita es z = f(x, y). Si se trata de una función de dos variables, un conjunto de nivel es, en general, una curva cuya ecuación es F (x, y) = cte. Se dice que es una curva dada en forma ímplicita. En el caso de funciones de tres variables, un conjunto de nivel es, en general, una superficie que, en forma ímplicita, se expresa como F (x, y, z) = cte. Obsérvese que, en particular, para funciones de dos variables f f(x, y), las secciones obtenidas al intersectar la gráfica de f con los planos paralelos al plano coordenado XY proyectan sobre las curvas de nivel de la función (y análogamente sucede para funciones de más variables). 2 Los valores que toman estas funciones componentes en cada punto del dominio de f son, obviamente, las componentes de un vector de R m (de ahí el nombre de funciones vectoriales).

21 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 15 El estudio de las secciones y superficies de nivel es útil con vistas a tener una idea aproximada de cómo es la gráfica de la función. Finalmente, dadas f, g: R n R m, se definen las funciones f + g, λf, fg: R n R m como la suma o producto componente a componente; es decir, (f, g)(x) = ((f 1 + g 1 )(x),..., (f m + g m )(x)) (λf)(x) = (λf 1 (x),..., λf m (x)) fg(x) = (f 1 (x)g 1 (x),..., f m (x)g m (x)) Análogamente la función producto escalar f, g : R n R está dada por f, g (x) = f 1 (x)g 1 (x) f m (x)g m (x) Por otra parte, si f : A R n R m y g : B R m R l, se define la función compuesta g f : C R n R l por (g f)(x) = g(f(x)) Notar que C = Dom (g f) = A f 1 (B). 2.3 Límites de funciones Límite de una función en un punto y en el infinito Comenzaremos el análisis de las funciones de varias variables propiamente dicho estudiando el comportamiento de una función en el entorno de un punto. La primera noción sobre este particular es la de límite: Definición 16 Sea f: A R n R m una función, a R n un punto de acumulación de A y p R m. p es el límite de f en a si, ε 0, δ > 0 tal que si x a < δ entonces f(x) p < ε. Se escribirá lim f(x) = p, x a o bien f(x) x a p 3. Una definición alternativa de éste concepto viene dada por la siguiente propiedad: Proposición 16 Sea f: A R n R m una función, a R n un punto de acumulación de A y p R m. p es el límite de f en a si, y sólo si, {x l } A, sucesión de puntos en A con lim {x l } = a, se tiene que para la l sucesión de las imágenes, lim {f(x l )} = p. l ( Dem. ) Como en el caso de una variable. Las propiedades de los límites de funciones de varias variables son análogas a las de las del caso de una variable: Proposición 17 Sean f, g: A R n R m funciones, a R n un punto de acumulación de A y p, q R m. 1. Si lim x a f(x) = p entonces p es único. 2. lim x a f(x) = p si, y sólo si, lim x a f j (x) = p j (j = 1,..., m) Si lim x a f(x) = p y lim x a g(x) = q, entonces lim x a (f(x) ± g(x)) = p ± q. 3 Esta es la misma definición que para funciones de una variable cambiando el valor absoluto por la norma. 4 Así, el cálculo de límites de funciones vectoriales se reduce al cálculo de límites de sus funciones componentes.

22 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n Si lim x a f(x) = p y λ R, entonces lim x a λf(x) = λp. 5. Si m = 1, lim x a f(x) = p 0 y f(x) 0, x A, entonces 1 está bien definida en A y lim f(x) x a 1 f(x) = 1 p 6. Si m = 1, f tiene límite en a y este es positivo (resp. negativo), entonces existe alguna bola perforada con centro en a sobre la que f toma valores positivos (resp. negativos). 7. Si m = 1 y f h g en un entorno perforado de a, y lim x a f(x) = lim x a g(x) = b, entonces lim x a h(x) = b. 8. Si lim x a f(x) = p y lim x a g(x) = q, entonces lim x a f(x)g(x) = (p 1 q 1,..., p m q m ) Si lim x a f(x) = p y lim x a g(x) = q, entonces lim x a f(x), g(x) = p, q. 10. Si lim x a f(x) = p, entonces lim x a f(x) = p 11. Si f tiene límite en a, entonces esta acotada sobre alguna bola de centro a. 12. Sean f: A R n R m y g: B R m R l, con f(a) B, y tales que a es punto de acumulación de A, b = lim f(x) es un punto de acumulación de B y lim g(y) = c, entonces lim (g f)(x) = c, siempre x a y b x a que b B ó g es continua en b 6. ( Dem. ) Se demuestran fácilmente a partir de las definiciones y propiedades dadas. Finalmente, introduciremos los conceptos de límites infinitos y en el infinito. Definición 17 Sea f: A R n R m, y a R n. 1. f tiene límite infinito en a si, L > 0, δ > 0 tal que x A {a} que cumpla x a < δ se tiene f(x) > L. Se expresa lim x a f =. 2. Si A es no acotado, f tiene límite en el infinito si, ɛ > 0, M > 0 tal que, x A que cumpla x > M, se tiene f(x) b < ɛ. Se expresa lim x f = b. 3. Si A es no acotado, f tiene límite infinito en el infinito si, L > 0, M > 0 tal que, x A que cumpla x > M, se tiene f(x) > L. Se expres lim x f = Límites direccionales. Límites reiterados En el cálculo de límites de funciones de varias variables no se dispone de técnicas análogas a las del caso de una variable 7. Ello obliga a desarrollar otros métodos de cálculo nuevos basados en los conceptos que se van a exponer en este apartado. Dado que, según se ha visto en el primer punto de la proposición 17, el límite de una función vectorial se obtiene calculando el de sus funciones componentes, sólo vamos a considerar, en adelante, el caso de funciones escalares. En el apartado anterior hemos podido observar (proposición 16) que el límite de una función en un punto puede alcanzarse tomando una sucesión en el dominio que tenga como límite ese punto, y analizando el comportamiento de la sucesión de las imágenes. Es en este hecho en el que se va a basar la técnica que va a ser desarrollada. Así, estudiaremos el comportamiento de la función en un punto acercándonos al mismo por medio de una sucesión de puntos que estén sobre una línea. Esta es la idea que subyace en la siguiente definición: Definición 18 Sea f: A R n R y a A un punto de acumulación de A. 5 Donde f(x)g(x) (f 1 (x)g 1 (x),..., f m(x)g m(x)). 6 Ver sección siguiente. 7 P. ej., no existe nada semejante a la regla de L Hôpital.

23 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n Si c: I R A es una curva parametrizada 8 que pasa por a (esto es, c(t 0 ) = a), se denomina límite de f en a según la curva c(t) al valor lim t t0 f(c(t)) (si existe) En particular, se denomina límite direccional de f en a al límite según la recta c(t) := a + tv; esto es, al valor lim t 0 f(a + tv) (si existe). Como caso particular, en el caso de funciones de dos variables, y con curvas (rectas) dadas en forma explícita se tiene que, si f: A R 2 R y a (x 0, y 0 ) A un punto de acumulación de A, 1. El límite de f en a según la curva y = g(x) (que pasa por a) es el valor lim x x 0 f(x, g(x)) (si existe) 2. En particular, el límite direccional de f en a es el límite según la recta y = mx + b (que pasa por a); esto es, el valor lim x x 0 f(x, mx + b) (si existe). Comentarios: Los límites según curvas son la generalización al caso de varias variables, de la noción de límite lateral del caso de una variable. A este respecto, podría enunciarse un resultado análogo al correspondiente a límites laterales en los siguientes términos: Proposición 18 lim x a f(x) = p si, y sólo si, los límites según todas las posibles curvas que pasen por a existen y son iguales a p. Y un obvio corolario de este resultado, referido a los límites direccionales es: Corolario 1 Si lim x a f(x) = p entonces los límites direccionales según cualquier recta que pase por a existen y son iguales a p. Teniendo ésto en cuenta, se puede asegurar que el límite de una función en un punto no existe si se da alguno de los siguientes casos: 1. Si el límite según una curva depende de la curva elegida. En particular, si al hacer límites direccionales, no existe el límite para alguna recta o su valor depende de m (esto es, de la recta que se toma). 2. Si existiendo y siendo iguales todos los límites direccionales, no existe o es diferente de los anteriores el límite según alguna otra curva. Una manera de indagar si existe el valor del límite en un punto para funciones de dos o de tres variables consiste en hacer un cambio de coordenadas a polares (en R 2 ) o a esféricas (en R 3 ) y hacer r 0 ( si el límite es en el origen 10 ). Para concluir esta sección, hay que señalar que existen también los denominados límites reiterados que, para una función de dos variables, son los del tipo lim x x 0 lim f(x, y), lim y y 0 y y 0 lim f(x, y) x x 0 cuyo valor, en caso de existir y ser el mismo, no tiene por qué coincidir con se tiene que: lim f(x, y). En particular, (x,y) (x 0,y 0) 8 Ver capítulo 4. 9 Obsérvese que se trata de un límite de una función de una variable. 10 Si no, hay que hacer previamente otro cambio de coordenadas que lleve el punto en cuestión al origen.

24 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n. 18 Si lim f(x, y) = p, y existen lim f(x, y) y lim f(x, y), entonces existen los límites reiterados (x,y) (a,b) x a 1 y a 2 de f y valen p. Puede ocurrir que exista lim f(x, y) y no existir alguno de los reiterados. (x,y) (a,b) Si existen el límite de la función y los reiterados en un mismo punto, éstos han de coincidir. 2.4 Continuidad Continuidad. Propiedades de las funciones continuas En la sección anterior se ha tratado del concepto de límite de una función en un punto, pero en ningún momento se ha considerado la cuestión de si la función estaba o no definida en dicho punto. Esto da origen al siguiente concepto: Definición 19 Sea f: A R n R m y a R n un punto de acumulación de A f es continua en a si (a) a A; es decir, f(a), y (b) lim x a f(x) = f(a) f es continua en un conjunto B A si lo es x B. Las propiedades de las funciones continuas se basan en las del límite: Proposición 19 Sean f, g: A R n R m funciones y a A. 1. f es continua en a si, y sólo si, lo son todas y cada una de sus funciones componentes. 2. Si f y g son continuas en a, también lo es f ± g. 3. Sea λ R. Si f es continua en a, también lo es λf. 4. Si m = 1 y f(x) 0, x A, entonces lo es 1 f(x). 1 f(x) 5. Si f y g son continuas en a, también lo es f, g. 6. Si f y g son continuas en a, también lo es fg. está bien definida en A y si f es continua en a, también 7. Si m = 1, f(x) 0 y f es continua en a, entonces f no cambia de signo en algún entorno de a. 8. Si f es continua en a, entonces f está acotada en algún entorno de a. 9. Si g: B R m R l, b = f(a) B y f y g son continuas en a y b respectivamente, entonces g f es continua en a. Finalmente, se tiene también la siguiente caracterización de los conjuntos abiertos y cerrados: Teorema 3 Sea f: A R n R m. Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes. 11 Si a es un punto aislado de A entonces basta con asegurar la primera condición. 12 Es la misma definición que para funciones de una variable.

25 I. Gracia Rivas, N. Román Roy, N. Urbizu Montañés Cálculo Diferencial e Integral en R n f es continua. 2. Para todo abierto V R m, f 1 (V ) = A U, donde U es un abierto de R n 3. Para todo cerrado T R m, f 1 (T ) = A S, donde S es un cerrado de R n ( Dem. ) (1 2) Sea V un abierto de R m y a un punto de f 1 (V ). Se ha de probar que a U A, con U abierto. Sea f(a) = b, como V es abiert, existe B ε (b) V. Por ser f continua en A, existe B δa (a) tal que f(b δa (a) A) B ε (b); de donde se deduce que y esto implica que B δa (a) A f 1 (f(b δa (a) A)) f 1 (B ε (b)) f 1 (V ) f 1 (V ) = a f 1 (V ) [B δa (a) A] = [ a f 1 (V )B δa (a)] A = U A, con U abierto donde se ha tenido en cuenta que la unión de abiertos es un abierto. (2 1) Sea a A y f(a) = b. Veamos que f es continua en a. Sean ε > 0 y B ε (b) la bola abierta en R m. Por hipótesis f 1 (B ε (b)) = U A, con U abierto en R n. Como a U A y U es abierto, existe un δ > 0 tal que B δ (a) A U A f 1 (B ε (b)) luego f (B δ (a) A) B ε (b), lo que implica que f es continua en a. (2 3) T cerrado implica que R m T es un abierto. Luego, por 2, f 1 (R m T ) = U A, donde U es un abierto de R n. Por tanto f 1 (T ) = (R n U) A y R n U es un cerrado de R n. (3 2) Análogo al caso anterior. Ejemplo: Sea f: (0, ) R R dada por f(x) = 1, y V = [1, ) (que es cerrado en R). x f 1 (V ) = (0, 1] = [0, 1] (0, ), donde U [0, 1] es cerrado. Se tiene que Propiedades topológicas. Teorema de Weierstrass. Consecuencias A continuación vamos a reseñar algunas propiedades de las funciones continuas, que son generalizaciones de otras bien conocidas en el cálculo de una variable. Teorema 4 (de Weierstrass): Sea K R n un compacto y f: K R m una función continua. Entonces f(k) es compacto. ( Dem. ) Se ha de demostrar que f(k) es cerrado y está acotado. 1. f(k) es cerrado: Hemos de probar que Fr (f(k)) f(k) Sea y Fr (f(k)), sabemos que existe una sucesión {y h } f(k) tal que lim h yh = y. Sea {x h } la sucesión en K tal que f(x h ) = y h. Por ser K compacto, existe una subsucesión {x hi } convergente en K, esto es, existe lim x hi que vale a K. i Por ser f continua, la sucesión {f(x hi )} converge a f(a) en R m. Ahora bien, f(x hi ) = y hi y la sucesión {y hi } es subsucesión de {y h }, que tiene límite y, por tanto, ambas han de tener el mismo límite. Luego y = f(a) f(k), lo que implica Fr (f(k)) f(k), y f(k) es un conjunto cerrado. 2. f(k) está acotado: Si no lo estuviera, h N, x h K tal que f(x h ) > h, y tendríamos la sucesión {x h } en K que, como es un compacto, ha de tener alguna subsucesión convergente. Sea ésta {x h l } y a K su límite. Por tanto, puesto que f es continua, {f(x h l )} f(a), lo cual es absurdo dado que la sucesión no está acotada. Luego f(k) tiene que estar acotado.