Aspectos matemáticos de la telefonía celular Algunas aplicaciones de los números de Eisenstein

Transcripción

1 Miseláne Mtemáti 38 (2003) SMM Aspetos mtemátios de l telefoní elulr Alguns pliiones de los números de Eisenstein Hétor Lomelí Orteg 1. Introduión. Todos hemos experimentdo el prolem de l interfereni undo hlmos por teléfono. Est interfereni es usd por el ruido que siempre está presente en ls trnsmisiones y por los errores que se enuentrn l reiir un señl. El prolem se grv si un mism ví se utiliz pr vris trnsmisiones simultánes, situión que es omún en ls teleomuniiones moderns. Es deir, por un mism ví hln un multitud de usurios. A esto se le llm interfereni. Est situión se grv undo se usn vís que no dependen de un medio lámrio pr trnsmitir; esto es, trnsmisiones éres. L interfereni deterior l omuniión por el uso ruzdo de ls freuenis de trnsmisión. Esto se puede entender pensndo en dos equipos telefónios móviles onetdos un mism nten. Si mos utilizn freuenis que se preen, el resultdo será que hrá interfereni en ls trnsmisiones de ls dos señles y ningun de ls onversiones se entenderá. Es omo si existier un efeto de línes ruzds. El resultdo puede ser ómio, pues en vez de tener dos pres de persons hlndo, el efeto de línes ruzds produe un onfusión terrile entre utro. Por lo tnto, es desele que en el diseño de un red de elulres los equipos trsmitn en freuenis sufiientemente distints omo pr que se evite est onfusión. Desgridmente, tmién existen límites en los vlores de ls freuenis que se pueden signr en un determindo sistem. Ls ompñís de telefoní deen respetr ls leyes 77

2 78 Hétor Lomelí Orteg vigentes en un pís, ls ules restringen lo que se puede her on ls freuenis. Cundo se estleieron ls primers redes de elulres, se ont on unos poos trnsmisores y reeptores muy potentes que servín pr urir un áre muy grnde. El resultdo de este primer diseño fue un rápid sturión en el número de usurios y el deterioro en l lidd del serviio por l ongestión resultnte del ml uso de ls freuenis. (A esto se le llmó l ongestión espetrl. Ver [8].) ) ) Figur 1: El mio de diseño de ) un nten potente ) un red de ntens de j poteni en onfigurión elulr, permitió l mejor en el serviio de telefoní móvil y l posiilidd de tenión un grn número de usurios. Pr diseñr deudmente un red móvil, se desrrollron los sistems elulres. En ellos, se reprten ls freuenis disponiles y se seprn por elds, demás de repetirls periódimente. De este modo, dos elds dyentes no utilizn el mismo onjunto de freuenis, y ls freuenis se reutilizn por l repetiión de ls elds. Pr implementr un red de telefoní elulr se tiene que omprender lo que hy de ieni detrás de ell, en prtiulr l form en l que ls freuenis están distriuids en un áre geográfi, por ejemplo un iudd. Esto se dee her de tl form que se optimie el número de ntens, tomndo en uent el número de susriptores de l red, y l lidd del serviio que se pretende proveer. Supongmos que un ompñí dispone de n nles de trnsmisión identifidos on ls freuenis f 1,...,f n. L ompñí dee signrls de mner óptim. Es de esperse que el número de usurios se muy superior n.

3 Alguns pliiones de los números de Eisenstein 79 L reutilizión de freuenis permite que el número de usurios se multiplique de un mner espetulr. Pr fijr ides, onsideremos que ls freuenis se reutilizn en elds de tres tipos 1 :, y. Los prolems de interfereni surgen undo dos equipos trnsmiten un nten on freuenis que se preen. Lo que se he es seprr físimente ls freuenis, de tl modo que d eld sólo utilie freuenis lejns entre sí. 2 Esto se ilustr en l siguiente tl. Freueni f 1 f 2 f 3 f 4 f 5. Utilizd sólo en elds de tipo. En l figur 2 se puede ver un onfigurión físi de ls tres elds de nuestro ejemplo. Al seprr de este modo ls freuenis, ls elds de tipo usrán ls freuenis f 1,f 4,f 7,..., ls de tipo usrán ls freuenis f 2,f 5,f 8,..., y ls de tipo usrán ls freuenis f 3,f 6,f 9,..., et. Figur 2: Un red de elulres on tres elds distints. 1 Esto depende del diseño de l red. Como veremos más delnte el número de tipos de eld está reliondo on los enteros de Eisenstein. 2 Lejns en el sentido de ser sufiientemente distints.

4 80 Hétor Lomelí Orteg De est mner se logrn dos oss: primero, en un mism eld ls freuenis no interfieren uns on otrs; es deir, ls freuenis no se preen entre sí y, segundo, ls freuenis se pueden reutilizr. Por ejemplo, si se tiene un usurio en un eld de tipo utilizndo l freueni f 1, entones se puede signr otro usurio en otr eld de tipo l mism freueni f 1. Lo que impide que exist onfusión e interfereni es l distni físi que existe entre ls elds, pues l poteni de trnsmisión disminuye on el udrdo de l distni. El diseño elulr permite que no se neesrio que ls ntens trnsmitn un poteni muy elevd. De heho, esto es desele pr evitr l interfereni entre dos elds del mismo tipo. Existen muhos otros spetos de l telefoní elulr y muhos otros ftores que influyen en su diseño. Como veremos más delnte, onsiderremos sólo uno de ellos. Referimos l letor interesdo en otros spetos de l telefoní elulr l texto de Rppport [8], un lásio en l mteri. El presente rtíulo tiene omo propósito mostrr ómo se pueden utilizr lgunos oneptos de mtemátis elementles pr demostrr un fórmul que es entrl en el diseño elulr, l llmd fórmul del onglomerdo. A primer vist, l fórmul pree mági: relion un proedimiento geométrio pr generr l red elulr on el número de elds resultntes de ese proeso. L ellez de ls mtemátis es que surgen en los lugres menos esperdos. En este so, tenemos mostrmos un pliión industril de oneptos lgerios. 2. Un Modelo mtemátio Ante l omplejidd del mundo, l estleer un modelo mtemátio sólo se deen onsiderr iertos ftores y todos los demás se mntienen onstntes. Dd l imposiilidd de tomr en uent todos los spetos de un ojeto, se supone que ierts vriles son irrelevntes y se intent identifir sólo ls que produen el fenómeno que dese estudirse. Esto es totlmente lro en ierts rms de ls ienis exts, sore todo quells en ls que iertos fenómenos pueden ser desritos por un teorí simple. L lor del modeldor es, en estos sos, esoger ls vriles relevntes y empler rzonmientos dedutivos que vyn de lo generl lo prtiulr. Así pues, el primer pso en el proeso de modelión mtemáti onsiste en proponer un representión de est relidd. Est propuest es ritrri, pero generlmente se s en l experieni y l

5 Alguns pliiones de los números de Eisenstein 81 ) ) Figur 3: Ls elds de un red elulr se pueden representr omo ) hexágonos, unque en l relidd esto ) no se exto. Est suposiión no impide que ls onlusiones del modelo sen relevntes. oservión. L presunión de que podemos representr l relidd es un hipótesis fundmentl y so trevid. Einstein deí que lo más misterioso del mundo es que fuer inteligile. De heho, pueden existir distintos modelos de un mismo ojeto. En un modelo mtemátio, l strión deud del ojeto de estudio inluye l identifiión y mediión de los ftores que se onsidern relevntes. Asimismo, se tiene un onjetur de ls reliones que existen entre ellos y su omportmiento. Medinte l mnipulión mtemáti, es desele y neesrio que un modelo se pz de produir onlusiones, y sólo sí psmos l proeso dedutivo. En el so que nos oup, intentremos strer los elementos eseniles del prolem de l signión de freuenis en l telefoní elulr. Uno de estos, es l form en que se divide un áre geográfi en regiones donde se olon ls ntens. Distintos estudios [7, 8] hn demostrdo que un distriuión hexgonl es óptim. Es lro que en el modelo no se esper que ls elds sen perfetmente hexgonles. Sin emrgo, un representión en form de hexágonos nos permite sr onlusiones interesntes sore el diseño de un red de elulres. Vése l figur 3. Proederemos de hor en delnte suponiendo que ls elds son hexágonos regulres que teseln 3 el plno. L reutilizión de freuen- 3 Teselr quiere deir urir el plno on un número finito de mosios de un mism form. Típimente esto se he on retángulos o hexágonos. En iertos

6 82 Hétor Lomelí Orteg is impli que dentro de un eld se usn un suonjunto fijo de ls freuenis disponiles, digmos k de ells. Como vimos nteriormente, el diseño elulr impli que ests freuenis son reutilizds en ierts elds no ontigus l originl. L periodiidd del diseño impli que nturlmente surgen loques de freuenis los que llmremos onglomerdos de freuenis de un tmño fijo N. Hgmos lguns uents. Supongmos que l ompñí posee n freuenis. Al reprtirls en el onglomerdo se otiene que Nk = n. Pr estleer l red de elulres, deide utilizr m onglomerdos d uno de tmño N. Entones el máximo número de usurios que puede tender l mismo tiempo es mnk. Amplindo m, se puede mplir el número de usurios. El diseño elulr está sdo en l repetiión periódi de ls elds en un plno. Esto se he de un mner sistemáti l esoger dos enteros positivos α y β y repetir ls elds de l siguiente mner: pr enontrr un eld del mismo tipo se he un movimiento trvés de ls elds, reorriendo primero α elds en líne ret, rotndo un ángulo de 60 y luego finlizndo on un reorrido de β elds en líne ret. En l figur 4 se ilustr un onglomerdo resultnte de fijr (α,β) = (3, 1). Lo interesnte de todo esto es que l geometrí hexgonl impli que el número de elds por d onglomerdo stisfe un fórmul que sólo depende de α y β. Nuestro propósito es demostrr est fórmul. N = α 2 + αβ + β 2 (1) Típimente, los diseños que más se usn [7] orresponden N = 4, 7 y 12. Mostrmos estos sos en l figur 5. El prolem de unts freuenis son neesris en un red de elulres se puede strer de l siguiente mner. Estleeremos un modelo mtemátio sdo en los llmdos enteros de Eisenstein, en osiones llmdos de Guss o inluso G números. El origen de estos números se remont Guss. Friedih Guss fue uno de los ms grndes mtemátios de l histori. Trjó en muhs áres de ls Mtemátis [9] y en d un hizo ontriuiones eseniles. Un de ls oss que Guss demostró fue que d polinomio puede ser ftorizdo ompletmente en el mpo de los números omplejos. Por ejemplo, ftorizmos x 3 1 del siguiente modo: x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1) = (x 1)(x ω)(x ω) esritos se utilizn plrs que son sinónimos: emldosr o enmosir.

7 Alguns pliiones de los números de Eisenstein 83 h g m f i h l e d g k j h m f i g l e d m f i k j l e d k j Figur 4: Uso elulr de freuenis. Nótese que ls freuenis son reutilizds por elds no ontigus en ptrones fijos de repetiión. En este so se ilustr un diseño (α,β) = (3, 1) y l ĺıne punted represent l distni de reutilizión. L fórmul (1) predie 13 elementos en el onglomerdo ) ) ) Figur 5: Diseños elulres orrespondientes ) α = 2, β = 0, N = 4. ) α = 2, β = 1, N = 7 y ) α = 2, β = 2, N = 12.

8 84 Hétor Lomelí Orteg donde y por lo tnto se umple que ω = i, ω = i, ω 2 = 1 ω = ω. Guss utilizó est ftorizión pr demostrr un versión simple del teorem de Fermt, l orrespondiente n = 3. Ver [5, 6]. Y definido ω, y ddos dos números enteros u,v definimos todos los números omplejos de l form u + vω. Es deir, estmos onsiderndo números omplejos de l form u + vω = u + v ( i ) = (u 12 ) v vi, donde u y v son enteros ritrrios. Consideremos el onjunto de todos los enteros de Eisenstein : llmémosle G. Esto es, G = {u + vω C : u,v Z}. En l figur 6 se muestrn lgunos elementos de G ernos l origen en el plno omplejo. Pr nuestro modelo, vmos utilizr los números de Eisenstein de l siguiente mner. 4 Por d eld de l red de elulres, se identifirá el entro de l eld on un número del plno omplejo. Se supondrá que l distni entre el entro de dos elds es de d = 1. El ángulo entre dos segmentos que unen los entros de dos elds ulesquier es un múltiplo de 60. L ide está sd en el heho de que l red de elulres puede identifirse on los números de Eisenstein, de tl form que el onjunto G represent los entros de los hexágonos de l red elulr. Puesto de otr mner, pr d entero de Eisenstein orresponde un eld y pr d eld orresponde un entero de Eisenstein. Tenemos un iyeión. Cd número de Eisenstein tiene seis veinos. Por ejemplo, el origen tiene los siguientes veinos: 1, 1+ω, ω, 1, 1 ω, ω. Esto se puede ver en l figur 7. Del mismo modo, se puede ver que los seis veinos 4 Más pliiones y resultdos er de estos números se pueden enontrr en [2, 3, 4, 5, 6].

9 Alguns pliiones de los números de Eisenstein 85 Figur 6: Algunos números de Eisenstein, veinos l origen en el plno omplejo. Con ĺınes punteds hemos mrdo lguns elds hexgonles orrespondientes. de un número de Eisenstein ulquier u + vω son de l form (u + 1) + vω, (u + 1) + (v + 1)ω, u + (v + 1)ω, (u 1) + vω, (u 1) + (v 1)ω, u + (v 1)ω. ω 1 + ω ω ω Figur 7: Los seis números de Eisenstein que son veinos del origen.

10 86 Hétor Lomelí Orteg h r Figur 8: Geometrí ási de un hexágono. L relión entre ldo r y potem h es h = 3 r, y el áre es r2. Notemos que esto stisfe ls siguientes propieddes: entre dos entros de elds ontigus existe un distni de 1 y que el ángulo entre tres entros ontiguos es un múltiplo de 60. Con est representión de ls elds de un red elulr sd en los números G, podemos deduir l fórmul (1). De heho lo hremos de dos mners distints. 3. Demostrión de l fórmul del onglomerdo 3.1. Método geométrio Vmos demostrr l fórmul del onglomerdo usndo lo que onoemos de áres de hexágonos. Nos vmos referir l figur 8. Un poo de trigonometrí nos permite ver que l relión entre potem y ldo es 3 h = 2 r. De esto onluimos que el áre de un hexágono es re = r2. Consideremos hor un onglomerdo on diseño de tipo (α,β). Se esoge un eld ulquier en el plno. En l figur 9 se represent

11 Alguns pliiones de los números de Eisenstein 87 D Figur 9: Un eld mrd, los seis veinos de ést y un onglomerdo dentro del hexágono myor resultnte. En este so se represent un diseño (α,β) = (3, 1). l situión típi, on un eld mrd de un olor más osuro. Ls seis elds de igul tipo, que están más erns de l eld mrd, formn un hexágono de ldo D. Se puede rer un onglomerdo de l siguiente mner: dentro del hexágono se vn esogiendo elds, mrndo en d pso todos quellos que son esiles on los movimientos (α, β) desritos on nterioridd. El proeso pr undo todos los hexágonos quedn mrdos. Puede verse que dentro del hexágono myor pree un onglomerdo. Ddo que d eld tiene potem 1 2, el áre del onglomerdo es re(onglomerdo) = 3 2 N donde N es el número de elementos en el onglomerdo. Al opir

12 88 Hétor Lomelí Orteg el onglomerdo en d vértie del hexágono, otenemos seis opis del onglomerdo. Result que el áre totl de ests seis opis que qued dentro del hexágono es un terio del áre totl de ls seis opis. Esto impli que demás del onglomerdo originl, en otros dos onglomerdos dentro del hexágono myor y en totl en tres. Por lo tnto tenemos que, re(hexágono myor) = 3 re(onglomerdo) Usndo ls fórmuls de áre de un hexágono onluimos que D2 = re(hexágono myor) = 3 re(onglomerdo) = 3 3N 2 y por lo tnto N = D 2. Pr enontrr D, ste reordr que D es l distni entre dos entros. Se dej l letor demostrr que l difereni, en número omplejos, entre dos entros es de l form ±ω k (α βω). Por lo tnto, D es l norm omplej de estos números. Reordndo que l norm omplej de ω es 1, otenemos los siguiente: D 2 = ±ω k (α βω) 2 = (α βω)(α βω) = (α βω)(α β ω) = α 2 αβ(ω + ω) + β 2 ω ω = α 2 + αβ + β 2. L fórmul nterior estlee demás un relión entre el número de elds en un onglomerdo y l distni entre dos elds del mismo tipo. Esto termin l demostrión Método lgerio En este prtdo dremos un demostrión que utiliz Mtemátis un poo más vnzds. Puede her otrs mners de demostrr l fórmul que nos oup y se exhort l letor dr su propi respuest. Que sirv omo testimonio de l riquez de ls Mtemátis. Remitimos l letor interesdo l siguiente refereni: [1]. En l demostrión neesitremos de un lem, uy versión generl es l siguiente. Lem 1. Sen γ 1,γ 2,...,γ n Z n vetores on entrds enters, linelmente independientes. Se K el sugrupo de Z n generdo por γ 1,γ 2,...,

13 Alguns pliiones de los números de Eisenstein 89 γ n. Entones Z n /K es un sugrupo finito on el siguiente número de elementos. #(Z n /K) = det(γ 1,γ 2,...,γ n ). Demostrión. Definimos P = {s 1 γ 1 + s 2 γ s n γ n R n : s 1,s 2,...,s n [0, 1)}. Pr d lse de equivleni [u] Z n /K existe un únio representnte ũ P. Esto impli que # (Z n /K) = # (Z n P). Se E 0 el retángulo unitrio. Esto es E 0 = {(x 1,x 2,...,x n ) R n : x 1,x 2,...,x n [0, 1)}. Se K = K + E 0. Pr d z Z n P definimos { Q z = p P : p z K }. Es fáil ver que vol(q z ) = vol(e 0 ) = 1 y que {Q z } z Z n P es un prtiión de P. Por lo tnto vol(p) = vol(q z ) = # (Z n P). z Z n P El volumen vol(p) se enuentr on l fórmul usul del determinnte. Esto finliz l demostrión. Vmos hor por l demostrión de l formul (1). Se G = {u + vω : u,v Z} el onjunto de enteros de Eisenstein. Este onjunto es un nillo onmuttivo on l sum y produto hereddos de los números omplejos. Sen α,β dos enteros positivos. Definimos h 1 = α βω, h 2 = ωh 1 = β + (α + β)ω. Se H el idel generdo por h 1. Es fáil ver que dos elds son equivlentes si l difereni entre sus números de Eisenstein está en H. Por lo tnto el tmño del onglomerdo orresponde l número de elementos

14 90 Hétor Lomelí Orteg del nillo oiente G/H; es deir, l número de lses de equivleni de l relión de equivleni generd por H. Visto omo grupo ditivo, H es el sugrupo generdo por h 1 y h 2. Se define el siguiente homomorfismo de grupos φ : G Z Z. u + vω (u,v). Sen γ 1 = φ(h 1 ) y γ 2 = φ(h 2 ). Por lo tnto # (G/H) = # (Z Z/ < γ 1,γ 2 >.). El lem nterior nos permite firmr que ( # (G/H) = det(γ 1,γ 2 ) = α β det β α + β ) = α 2 + αβ + β 2. Esto termin l demostrión. Referenis [1] Artin, Mihel, Alger, Prentie Hll In., Englewood Cliffs, NJ, 1991, [2] Brjs, Alerto, El número de representiones de un entero positivo omo l norm de un entero de Eisenstein, An. Inst. Mt. UNAM 13, (1973), [3] Chen, Nn-Xin nd Chen, Zho-Dou nd Shen, Y-Nn, Rings of Guss nd Eisenstein s integers nd their physil pplitions, Progr. Ntur. Si., 4 (2), (1994) [4] Conwy, John nd Guy, Rihrd, The ook of numers, Copernius, New York, NY, [5] De l Peñ, José Antonio, Alger en tods prtes, Fondo de Cultur Eonómi, Méxio, D.F. 1999, 1, Coleión l ieni pr todos # 166, [6] Dörrie, Heinrih, 100 gret prolems of elementry mthemtis, Dover Pulitions In., New York, NY, 1982, 96 98, Reimpresión de l ediión de 1965 trduido de l quint ediión en lemán por Dvid Antin.

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