DE LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Transcripción

1 Capítulo 2 DE LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Objetivo general Presentar y afianzar algunos conceptos de los números naturales y números enteros relacionados con el estudio de la matemática discreta. Objetivos específicos Reconocer y comprender la divisibilidad en números enteros. Identificar el concepto y la utilidad del concepto de congruencia en números enteros. Comentario inicial En este capítulo se presentan algunos tópicos de los números naturales y de los enteros que tienen que ver con matemática discreta. Se asume que para el lector son conocidas la naturaleza y propiedades de los números naturales y enteros, vistos en cursos anteriores de matemáticas. 27

2 Lección No. 7: El principio de inducción Característica inductiva de los números naturales Por la mayoría son conocidos los números naturales y su uso más común que es el de contar. La posibilidad de contar está dada por una propiedad propia de los naturales que se llama el Principio de inducción de los números naturales. Para entender el principio de inducción se hace necesario conocer los Axiomas de Peano. Si N es el conjunto de los números naturales, los Axiomas de Peano son como sigue: a. 0 b. Para todo n N existe n+1. El natural n+1 se llama el sucesor del natural n. c. Si S tal que 0 S y n S implica que n+1 S ; entonces S ; este es el Principio de Inducción de los números naturales. El principio de inducción en los naturales da lugar a lo que se llaman las definiciones inductivas, algoritmos recurrentes y las demostraciones por inducción, estas últimas se verán con detalle en la siguiente sección. Ejemplo 1: Un ejemplo clásico de definición por inducción es x n es real y n es natural. La definición de x n es como sigue: x 0 1, x 1 x y para todo n 1, x n 1 x n x., donde x Ejemplo 2: Un ejemplo clásico de algoritmo recurrente es la Serie de Fibonacci dada por a 0 1, a 1 1 y a n 1 a n a n 1, para todo n 1. Los primeros 8 términos de la serie son 1, 1, 2, 3, 5, 8,13 y 21. Ejercicios Ejercicio 1: Defina inductivamente R n, donde Res el conjunto de los números reales y n es natural mayor o igual a 1. 28

3 Ayuda: Recordar que R 2 es igual al producto cartesiano RxR. Ejercicio 2: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de programación en la Serie de Fibonnacci. Demostración por inducción Inspirado en el principio de inducción de los números naturales, existe un mecanismo de demostración denominado demostración por inducción. La Demostración por inducción consiste en verificar una propiedad de la forma P n, donde P es una propiedad acerca de un número natural n. Si S es el conjunto de los números naturales que satisface P n y si i. El natural 1 S y ii. Si para todo k S, con k+1, k+1 S entonces S es igual al conjunto de los números naturales. Por lo tanto, para demostrar cualquier propiedad que satisface todos los naturales, basta demostrar que el natural 1 satisface la propiedad y que k+1 también la satisface. La parte en la que uno supone que la propiedad es válida para k se llama hipótesis de inducción. Es importante aclarar que en la demostración por inducción no es necesario que 1 S, es posible que la propiedad P n sea válida en los naturales a partir de un natural diferente a 1 en adelante. Si esto es cierto, se dice que P n es cierta para todos los naturales, a partir del natural donde es válido. Ejemplo 3: Verificar por inducción la propiedad P ( n) definida por la igualdad 1, 3, 5, 7,,2n 1 n 2, para todo n 1. En efecto, para n 1, se tiene que P ( 1) se cumple, ya que Ahora supongamos que para un natural k mayor que 1 es válida la propiedad, es decir, P( k) es cierta, sólo falta verificar que P ( k+1) es cierta, es decir, hay que verificar que 1, 3, 5, 7, 2k 1 ( k +1) 2. 29

4 Pero esto es cierto, ya que, por hipótesis de inducción 1, 3, 5, 7,,2 k 1 k 2 1, 3, 5, 7,,(2 k 1) +(2k+1) k 2 +(2k+1)=(k+1) 2 De aquí P (k+1) es cierta y como ya se verificó que P( 1) es cierta, entonces por el principio de inducción, la propiedad P( n) es cierta para todo n 1. Ejemplo 4: Verificar por inducción la propiedad la igualdad n n n+1 2 P ( n)definida por, para todo n 1. En efecto, para 1+1 n 1, se tiene que P( 1) se cumple porque 1 1. Ahora 2 supongamos que para un natural k mayor que 1 es válida la propiedad, es decir, P ( k) es cierta, sólo falta verificar que decir verificar que k+1 (k+1)[(k+1)]/ k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 +1) = (k+1)(k+2)/2 P ( k+1) es cierta, es De aquí que P)k+1) es verdadera y ya se verificó que P ( 1) es cierta, por el principio de inducción, la propiedad P (n) es cierta para todo n 1. Ejemplo 5: Demostrar que 4n < n 2-7 para todo n 6. Expresemos con P(n) la proposición 4n < n 2-7. Para n=6: P(6) = 4.6 = 24 y = 36-7 = 29 Por lo tanto P(6) es verdadera. Suponemos que P(k) es verdadera para k > 6, o sea que cumple 4k < k 2-7 4k < k 2-7 4k + 4 < (k 2-7) + 4 < (k 2-7) + (2k + 1)

5 ya que 2k + 1 > 4 para k 6 4(k + 1) < (k 2 + 2k + 1) - 7 = (k + 1) 2-7 Por lo tanto, por el principio de inducción, P(n) es verdadera para todo valor n 6. Ejercicios Ejercicio 2: Demostrar que 2 n > n 2 + 4n + 5 es verdadera para n 7 Ejercicio 3: Probar que n N: n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 Lección No. 8: Divisibilidad y el Algoritmo de Euclides Conceptos básicos A partir de la suma y el producto de los números enteros se define la diferencia a b como el entero c tal que a b c. Si a 0 y 31