Tema 8: Aplicaciones. Ecuaciones en. diferencias: modelos en tiempo discreto. 1 Modelo de crecimiento exponencial. 2 Sucesión de Fibonacci

Transcripción

1 8 de diciembre de 20

2 Contexto: Bloque de Álgebra Lineal Tema 6. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Tema 7. Valores y vectores propios. Tema 8. Aplicaciones del cálculo de los valores y vectores propios: diferencias.

3 Contenidos.

4 Introducción. diferencias. Las ecuaciones en diferencias no son tan conocidas como las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones en diferencias evolucionan en un número finito de pasos finitos, mientras que una ecuación diferencial da un número infinito de pasos infinitesimales. Las teorías son bastante paralelas, es la analogía entre lo y lo continuo que aparece una y otra vez en matemáticas.

5 Ejemplo. Colonia de bacterias. Ejemplo Se tiene una colonia de bacterias en la que cada bacteria se reproduce asexualmente, dividiéndose en dos bacterias tras la duplicación de su material genético. Esta división se produce cada hora. Si la población inicial es de 00 bacterias, cuál será el número de bacterias que tendrá la colonia cuando hayan pasado 3h.? Y cuando hayan pasado n?

6 Modelo de La expresión general de la relación de recurrencia que describe el modelo de es: P n+ = KP n, donde P 0 es la población inicial y K una constante positiva denominada constante de. Su solución es P n = K n P 0, n = 0,, 2,... OBS: Si K >, el tamaño de la población siempre es creciente. Esta situación no es realista en términos biológicos (limitaciones de alimento o de habitat). Modelos que incluyen estas limitaciones son: el modelo logístico o la curva de reclutamiento de Beverton-Holt.

7 Sucesión de El siguiente ejemplo de ecuaciones en diferencias proviene de la sucesión de : Definición 0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,... Una sucesión es un función cuyo dominio es N y cuya imagen es un subconjunto de R. Los valores a, a 2,... de la sucesión se denominan términos de la sucesión. a n es el término n-ésimo o término general de la sucesión.

8 Problema. Una población de conejos Una pareja de conejos comienza a procrear a la edad de un mes y a partir de ese momento tienen como descendencia una nueva pareja de conejos cada mes. Si comenzamos con una pareja de conejos y ninguno de los conejos nacidos a partir de esa pareja muere, cuántas parejas de conejos habrá al principio de cada mes? (, 202)

9 Ecuación en diferencias La ecuación en diferencias correspondiente a la sucesión de es: F n+2 = F n+ + F n. Aparece en gran variedad de aplicaciones: la distribución de las hojas de ciertos árboles, el orden de las semillas de los girasoles, etc. Cómo calcular F 000 sin hallar todos los términos anteriores?

10 Resolución de la ecuación en diferencias OBJETIVO: Resolver la ecuación en diferencias F n+2 = F n+ + F n. Paso : Reducir la ecuación a una ecuación de un paso u n+ = Au n. La situación es ahora análoga a los ejemplos anteriores, pero ahora A M 2 y u n+ y u n vectores de dos componentes.

11 Resolución de la ecuación en diferencias Si u n = ( Fn+ F n puede escribirse como Observación ), entonces u n+ = ( 0 } F n+2 = F n+ + F n F n+ = F n+ ) u n. Éste es un truco habitual para una ecuación en diferencias lineal de orden s. s ecuaciones de la forma F n+ = F n+ se combinan con la ecuación dada en un sistema de un paso. Para s = 2.

12 Resolución de la ecuación en diferencias Paso 2: Resolver la ecuación u n+ = Au n. u 0, u = Au 0, u 2 = Au = A 2 u 0,. u n = A n u 0 El problema ahora es hallar un modo rápido de calcular A n. LA CLAVE: los valores y vectores propios.

13 Resolución de la ecuación en diferencias A M k diagonalizable A = PDP A n = PD n P u n = A n u 0 = PD n P u 0. Como las columnas de P son los vectores propios de A, si C = P u 0, entonces la solución u n = PD n C = = (x x 2 x k ) λ n... λ n k = c λ n x + c 2 λ n 2x c k λ n k x k. c c 2. c n

14 Resolución de la ecuación en diferencias EN EL CASO DE FIBONACCI: ( A = 0 ). Los valores propios son: λ = y λ 2 = 5 2. Los subespacios propios son: V = v y V 2 = v 2, donde ( ) ( + 5)/2 v = P = ( ( 5)/2 y v 2 = ( ( + 5)/2 ( 5)/2 ). ).

15 Resolución de la ecuación en diferencias P = con λ = y λ 2 = 5 2. ( /(λ λ 2 ) λ 2 /(λ λ 2 ) /(λ λ 2 ) λ /(λ λ 2 ) C = P u 0 = P ( 0 u n = ( Fn+ F n ) = c λ n ) = ( λ ) ( /(λ λ 2 ) /(λ λ 2 ) ) ( + c 2 λ n λ2 2 F n = c λ n + c 2 λ n 2 = λ n λ n 2 λ λ 2 λ λ 2 = ( + 5 ) n ( 5 ) n ) )

16 Resolución de la ecuación en diferencias OBS : F n es un entero positivo. OBS 2: 5 < 2 F n+ ĺım n F n = λn+ λ n ĺım n ( 5 ) n = 0 2 = λ = + 5 2,68

17 Resolución de la ecuación en diferencias EN GENERAL: Si u 0 es un vector propio de la matriz A asociado al valor propio λ, entonces u n = λ n u 0 es solución de la ecuación en diferencias u n+ = Au n. En general u 0 no es vector propio, pero sí es combinación lineal de vectores propios, en este caso: Si u 0 = c x + c 2 x c k x k siendo x, x 2,..., x k vectores propios de A asociados respectivamente a los valores propios λ, λ 2,..., λ k, entonces u n = c λ n x + c 2 λ n 2x c k λ n k x k. OBS: Así sucede en el ejemplo de.

18 Ejemplo. Flujo de una población de aves. Ejemplo Un territorio está dividido en tres zonas Z, Z 2 y Z 3 entre las que habita una población de aves. Cada año y debido a diversas razones (disponibilidad de alimentos, peleas por el territorio, etc.) se producen los siguientes flujos s entre las distintas zonas: En Z : un 60 % permanece en Z, un 0 % emigra a Z 2 y un 30 % emigra a Z 3. En Z 2 : un 0 % emigra a Z, un 80 % permanece en Z 2 y un 0 % emigra a Z 3. En Z 3 : un 0 % emigra a Z, un 20 % emigra a Z 2 y un 70 % permanece en Z 3.

19 Ejemplo. Flujo de una población de aves. Supongamos que tenemos una situación inicial en la que de la población total de aves un 30 % viven en Z, un 20 % viven en Z 2 y un 50 % viven en Z 3. Cuál será la distribución de la población de aves a los 2 años? Y a los n años?

20 Ejemplo. Flujo de una población de aves. La matriz que define el flujo es: 0,6 0, 0, A = 0, 0,8 0,2 0,3 0, 0,7 El vector que describe la situación inicial es: 0,3 u 0 = 0,2 0,5

21 Ejemplo. Flujo de una población de aves. Pasado un año: Pasados dos años: u = Au 0 = 0,25 0,29 0,46 u 2 = Au = A 2 u 0 =. 0,225 0,349 0,426. Pasados n años: u n = A n u 0.

22 Ejemplo. Flujo de una población de aves. Para calcular u n utilizaremos que A = PDP y por tanto A n = PD n P, D matriz diagonal. Los valores propios de A son: λ =, λ 2 = 0,6, λ 3 = 0,5. Los subespacios propios asociados son: V = v, V 2 = v 2, V 3 = v 3, donde v = 2,25,75, v 2 = 0, v 3 = 2.

23 Ejemplo. Flujo de una población de aves. P = 0 2,25,75 2 Si u n = u n = x n y n z n x n y n z n, P = y u 0 = = P x 0 y 0 z ,6 n ,5 n 0,2 0,2 0,2,25 0,75 0,25 0,8 0,2 0,2 entonces P 0,3 0,2 0,5

24 Ejemplo. Flujo de una población de aves. u n = x 0 y 0 z 0 + 0,5 n 0, = 0,2 2. 2,25,75 + 0,6 n 0,35 0 Como lim n 0,6 n = 0 y lim n 0,5 n = 0, entonces 0,2 lim n u n = 0,2 2,25 =,75 0,4 0,35. +

25 Ejemplo. Flujo de una población de aves. Observación El vector al que converge u n es un vector propio correspondiente al valor propio de la matriz A. Esto es cierto independientemente de cual sea el vector inicial u 0 porque siempre x 0 + y 0 + z 0 = ya que la suma de los porcentajes de aves en las zonas Z, Z 2 y Z 3 es siempre el 00 %.

26 Modelo de En muchas especies la reproducción es altamente dependiente de la edad. Ahora estudiaremos un modelo de población en estructurado por edades: el modelo de (Patrick Holt ( )). El modelo de estudia una población en la que: Los animales pueden vivir hasta una edad máxima de k años (u otra unidad de ). La cantidad de machos en la población es siempre un porcentaje fijo de la población de hembras. Sólo se estudian las hembras.

27 Modelo de Se divide la población de hembras en k + grupos de edad: Sea x (n) i : hembras de edad i vivas en el instante n, 0 i k. P i : fracción de hembras de edad i que seguirán vivas un año después. F i : número medio de crías hembras nacidas de una hembra de edad i. x (n) = x (n) 0 x (n). x (n) k el vector de distribución de edades en el instante n.

28 Modelo de Número de hembras de edad 0 en el instante n + : x (n+) 0 = F 0 x (n) 0 + F x (n) + + F k x (n) k. Número de hembras de edad en el instante n + : x (n+) = P 0 x (n) 0. Número de hembras de edad j en el instante n + : x (n+) = P 0 x (n) 0, j =,..., k.

29 Modelo de En notación matricial: x (n+) = Ax (n), n, donde F 0 F F 2 F k F k P A = 0 P P k 0 A se denomina matriz de.. Su solución es: x (n) = A n x (0). Para calcularla utilizaremos que A = PDP (si A es diagonalizable).

30 Comportamiento a largo plazo Teorema Sea A matriz de. A tiene un valor propio λ > 0 dominante siempre que existan dos grupos de edades fértiles consecutivos, i.e., cuando F i F i+ > 0 para algún i {,..., k } Observación Si se toman los intervalos de suficientemente pequeños, esta condición se tendrá siempre. Definición Sea A M n. Si λ > λ 2 λ n, entonces decimos que λ es un valor propio dominante de A.

31 Comportamiento a largo plazo Sea v un vector propio asociado al valor propio dominante λ. Entonces ĺım n x (n) = cλ n v, donde c es una constante que depende de las cantidades iniciales x (0). A λ se le denomina parámetro de de la población. La población finalmente: Crece si λ >. Decrece si 0 < λ <. Se estabiliza si λ =.

32 Comportamiento a largo plazo Además, ĺım n x (n) = cλ n v x (n) λ x (n ) para valores grandes de n La proporción de hembras en cada uno de los grupos de edad se mantiene constante para valores grandes de n, i.e., x (n) j x (n) + x (n) x (n) k tiende a estabilizarse a largo plazo., j =,..., k, Los valores a los que tienden dichas proporciones se denominan distribución de edades estable.

33 Comportamiento a largo plazo Observación Un vector propio correspondiente al valor propio dominante λ nos proporciona una distribución de edades estable.

34 Ejemplo. Modelo de Ejemplo Supongamos que una población de animales hembras está dividida en dos clases de edad. En cada periodo el 8 % de la primera pasa a la segunda. El número medio de crías hembras de las hembras de la primera clase es de,5 y el de la segunda es de 2. Si inicialmente hay 00 hembras de cada clase de edad: Determínese la distribución de hembras en el instante 2. Estúdiese el comportamiento de la población a largo plazo.

35 Ejemplo. Modelo de La expresión matricial es: ( ) x (n+) 0 x (n+) = y En el instante : x () = Ax (0) = x (0) = (,5 2 0,08 0 (,5 2 0,08 0 ( ). ) ( ) ( x (n) 0 x (n) ) = ) ( ).

36 Ejemplo. Modelo de En el instante 2: ( x (2),5 2 = 0,08 0 ) ( ) = ( ). Comportamiento a largo plazo: Valores propios de A: λ =,6, λ 2 = 0,. Parámetro de : λ =,6, la población crece. Un vector propio asociado a λ =,6: ( ) 20.

37 Ejemplo. Modelo de Distribución de edades estable: Las hembras de edad 0 tienden a ser el 95 % de la población pues = 0, Las hembras de edad tienden a ser el 5 % de la población pues 20 + = 0,04769.