Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica

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1 Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur. Fórmuls de Newton-Cotes 3. Fórmuls compuests Fórmuls de cudrtur Objetivo Aproximr l integrl I = b f(x) dx usndo un combinción linel de vlores de f(x) en puntos del intervlo [, b], x <x < <x n b, b f(x) dx ' α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n ). L fórmul de cudrtur es F (f) =α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n ). Error E (f) = I F (f) = b f(x) dx [α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n )].

2 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric Ejemplo. Considermos l integrl I = x sin xdx.. Aproxim el vlor de I con l fórmul de cudrtur F (f) = b µ + b f()+4f + f(b). 6. Clcul el vlor excto de l integrl y el vlor del error.. Vlor proximdo. enemos =, b =, f(x) =x sin x, F (f) = ( + 4 (.5) sin (.5) + sin ) = Vlor excto y error. Clculmos un primitiv de f(x) x sin xdx= integrmos por prtes µ = x cos x ( cos x) dx u = x du = dx dv =sinxdx v = cos x = x cos x + cos xdx = x cos x +sinx + c El vlor excto es x sin xdx=[ xcos x +sinx] x= x= = cos + sin =. 37. Error E (f) = I F (f) = =.. L fórmul de cudrtur h producido un proximción con decimles exctos. Grdo de precisión Ddo un intervlo [, b], decimos que un fórmul de cudrtur F (f) =α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n ) tiene grdo de precisión g si es exct pr todos los polinomios de grdo g (y no lo es pr lguno de grdo g +). Es decir, si p(x) es un polinomio de grdo g, entonces l fórmul de cudrtur es exct pr p(x) b p(x) dx = α p(x )+α p(x )+ + α n p(x n ).

3 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 3 Determinción del grdo de precisión Puede demostrrse que l fórmul de cudrtur F (f) tiene grdo de precisión g si es exct pr los polinomios p (x) =,p (x) =x, p (x) =x,...,p g (x) =x g ynoloespr p g+ (x) =x g+. Ejemplo. Considermos el intervlo [, ]. Determin el grdo de precisión de l fórmul de cudrtur F (f) = [f() + 4f() + f()]. 3 enemos que verificr l exctitud de F (f) sobre p (x) =,p (x) =x, p (x) =x,... dx =[x] = F (f) exct pr p (x) =. F () = 3 (+4+)= 6 3 = x xdx= = F (f) exct pr p (x) =x. F (x) = 3 ( + 4 +)= 6 3 = x x 3 dx = = F (f) exct pr p (x) =x. F x = 3 ( )= 8 3 x x 3 4 dx = = =4 F (f) exct pr p 3 (x) =x 3. F x 3 = 3 ( )= 3 =4 x x 4 5 dx = = F (f)no exct pr p 4 (x) =x 4. F x 4 = 3 ( ) = 3

4 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 4 L fórmul de cudrtur tiene grdo de precisión 3, y es exct pr tods ls integrles p(x) dx con p(x) polinomio de grdo 3. Por ejemplo, tomemos p(x) =x 3 x, x 3 x x 4 dx = 4 x = =4 =, F (p) = [ + 4 ( ) +(8 ) ]= 6 3 {z } {z } 3 =. p() p() Fórmuls de Newton-Cotes Ls fórmuls de Newton-Cotes se obtienen integrndo el polinomio interpoldor construido con nodos igulmente espcidos. Estrtegi. Dividimos [, b] en n subintervlos de longitud h = b n, los puntos de división son de l form x =, x = + h, x = +h,. x j = + jh,. x n = + nh = b.

5 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 5. Clculmos el polinomio p n (x) que interpol f(x) en los nodos x,x,x,...,x n. 3. ommos b f(x) dx ' b p n (x) dx.. Fórmul del trpecio y de impson Fórmul del rpecio Es l fórmul de Newton-Cotes de puntos. b p (x) dx = f()+f(b) (b ). i tommos h = b F (f) = b [f()+f(b)]. F (f) = h [f(x )+f(x )], x =, x = + h, h = b. Fórmul de impson Es l fórmul de Newton-Cotes de 3 puntos. h = b, x =, x = + h, x = +h = b.

6 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 6 Puede demostrrse que b p (x) dx = b 6 f()+4f µ + b = h 3 [f(x )+4f (x )+f(x )]. + f(b) F (f) = h 3 [f(x )+4f (x )+f(x )], x =, x = + h, x = +h, h = b. Ejemplo. Considermos l integrl I = x dx. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul del trpecio.. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul de impson. 3. Clcul los errores.. Aproximción por trpecio. enemos =, b =, f(x) = x, F (f) = µ + = 3 = 3 4 =.75.. Aproximción por impson. enemos h = =.5, x =, x =.5, x =, F (f) =.5 µ =

7 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 7 3. Vlor excto y errores. x dx =[lnx] =ln=. 6935, E (f) = I F (f) = =.5685, E (f) = I F (f) = =. 9. Con l fórmul impson, hemos obtenido decimles exctos.. Errores Fórmul del trpecio e f(x) de clse C [, b], e cumple b x =, x = b, h = b. I = f(x) dx = h [f (x )+f (x )] h3 f () (t), t (, b). Vlor bsoluto del error E (f) = I F (f) = h3 f () (t), t (, b). Cot superior de error Fórmul de impson e f(x) de clse C 4 [, b], e cumple b E (f) h3 M, M = mx f () (x). x [,b] x =, x = + h, x = b, h = b. I = f(x) dx = h 3 [f (x )+4f (x )+f (x )] h5 9 f (4) (t), t (, b). Vlor bsoluto del error E (f) = I F (f) = h5 f (4) (t), t (, b). 9 Cot superior de error E (f) h5 9 M 4, M 4 = mx f (4) (x). x [,b]

8 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 8 Ejemplo. Considermos l integrl I = x ln xdx.. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul del trpecio; clcul un cot superior de error.. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul de impson; clcul un cot superior de error. 3. Clcul el vlor excto de l integrl y verific los resultdos.. Aproximción trpecio. enemos =, b =, h = =, f(x) =x ln x, F (f) = ( ln + ln ) = ln = Cot de error E (f) h3 M, M = mx f () (x). x [,] Clculmos ls derivds f (x) =lnx +, f (x) = x, f (x) es positiv si x [, ]. L función objetivo es g(x) = f () (x) = x, g (x) = x, l derivd g (x) es negtiv, por lo tnto g(x) es decreciente en el intervlo yresult M = mx f () (x) = g() =. L cot de error es x [,] E (f) h3 M = = Aproximción por impson. enemos h = =.5,

9 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 9 x =, x =.5, x =. Vlor de l proximción, F (f) =.5 ( ln + 4.5ln(.5) + ln ) = Cot de error, E s (f) h5 9 M 4, M 4 = mx f (4) (x). x [,] Empezmos por determinr M 4. Clculmos ls derivds f (x) = x, f (4) (x) = x 3. L derivd f (4) (x) es positiv si x [, ], porlotnto,lfunciónobjetivo es g(x) = f (4) (x) = x 3. Clculmos l derivd de l función objetivo g (x) = 6 x 4, vemos que g (x) es negtiv y, en consecuenci, l función objetivo g(x) es decreciente M 4 = mx f (4) (x) = g() =. x [,] Cot de error pr l proximción medinte l fórmul de impson E (f) h5 9 M 4 = (.5)5 = Vemosque,enestecso,podemossegurrdecimlesexctos. 3. Vlor excto y errores. Clculmos un primitiv de f(x) x lnx dx = integrmos por prtes. u =lnx, dv = xdx, du = x dx. v = x. = x ln x = x ln x = x x x dx xdx ln x x 4 + c.

10 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric El vlor excto, con cinco decimles, es x ln xdx = x = ln +/4 = Error trpecio x= x ln x =(ln ) 4 x= µ ln 4 E (f) = I F (f) = =. 5686, cot error trpecio Error impson E (f) E (f) = I F (f) = =., cot error impson E (f) Observmos que los errores son inferiores ls cots de error correspondientes. 3 Fórmuls compuests 3. rpecio compuesto Estrtegi. Dividimos el intervlo [, b] en n subintervlos de longitud h = b n, y obtenemos n +puntos x =, x = + h, x = +h,...,x n = + nh = b. Los n subintervlos son A =[x,x ],A =[x,x ],...,A j =[x j,x j ],...,A n =[x n,x n ].. Aplicmos l fórmul del trpecio cd subintervlo A =[x,x ] F () = h [f (x )+f (x )],.. A j =[x j,x j ] F (j) = h [f (x j )+f (x j )],.. A n =[x n,x n ] F (n) = h [f (x n )+f (x n )].

11 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 3. ommos como proximción globl l sum de ls proximciones sobre los subintervlos F (n) C = F () + F () + + F (j) + + F (n). Fórmul de trpecio compuesto F (n) C = h [f(x )+f (x )+ +f (x j )+ +f (x n )+f (x n )], h = b n. i grupmos términos, obtenemos C = h n [f(x X )+f (x n )] + h f (x j ), F (n) j= h = b n. Cot de error i f(x) es de clse C [, b], se cumple E (n) b C = f(x)dx F (n) C b h M, h = b n. M = mx f () (x). x [,b] Demostrción de l cot de error

12 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric Dividimos el intervlo en n subintervlos y plicmos ls propieddes de ls integrles b x x xn f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + + f (x) dx, x x x n = f (x) dx + f (x) dx + + f (x) dx, A A A n = I + I + + I n. Definimos F (n) C = F () + F () + + F (n), donde F (j) es el vlor de l fórmul simple del trpecio sobre el intervlo A j =[x j,x j ]. Entonces se cumple E (n) b C = f (x) dx F (n) C ³ = (I + I + + I n ) F () + F () + + F (n) ³ ³ ³ = I F () + I F () + + I n F (n) I F () + I F () + + I n F (n) E () + E () + + E (n), donde E (j) represent el error del trpecio simple en el intervlo A j. Podemos cotr el error en cd subintervlo como sigue E (j) h3 M (j), M(j) =mx f () (x). x A j Entonces, result l siguiente cot pr el error globl E (n) C h3 M () + h3 M () + + h3 M (n). i tommos M = mx f () (x), x [,b] se cumple pr todos los intervlos M (j) =mx f () (x) mx f () (x) = M, x A j x [,b] por lo tnto E (n) C h3 M + h3 M + + h3 M = n h3 M = n b h n M b h M.

13 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 3 Ejemplo 3. Clcul x ln xdx con decimles exctos usndo l fórmul del trpecio compuesto.. Cálculo del número de intervlos. enemos l cotción E (n) C Hemos visto en el Ejemplo. que =,b=,f(x) =x ln x. b h M, h = b n, M = mx f () (x). x [,] M = mx x [,] f () (x) =, entonces Exigimos yresult E (n) C (n) E h. C h.5 h.5 =.6, h.6= Como h = n = n, result n n Necesitmos 5 subintervlos.. Vlor de l proximción. Con n =5, el vlor del step es = h = 5 =.. Obtenemos los nodos x =,x =., x =.4, x 3 =.6, x 4 =.8, x 5 =.

14 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 4 L fórmul del trpecio compuesto con 5 subintervlos es F (5) C = h [f (x )+f (x 5 )] + h 4X f (x j ), en nuestro cso result F (5) C =. ( ln + ln ) + (.) (.ln.+.4ln.4+.6ln.6+.8ln.8) = = Error excto. Vlor excto con 5 decimles j= Error E (5) C I = x ln xdx= = I F (5) = =.3. C 3. Fórmul de impson compuesto Estrtegi L ide es dividir el intervlo [, b] en m subintervlos de igul longitud A,A,...,A m y plicr l regl simple de impson cd subintervlo. Pr centrr ides, expondremos el cso m =3.. Pr plicr l regl de impson, debemos tomr el punto medio de cd intervlo. Por lo tnto, l distnci entre nodos (step) es Los nodos son h = b m. x =, x = + h, x = +h,...,x n = +mh = b. i m =3, l distnci entre nodos será y tendremos m +=7nodos h = b 6

15 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 5 en este cso, los intervlos son A =[x,x ], punto medio x. A =[x,x 4 ], punto medio x 3. A 3 =[x 4,x 6 ], punto medio x 5.. Aplicmos l fórmul de impson cd subintervlo A =[x,x ] F () = h 3 [f (x )+4f (x )+f(x )]. A =[x,x 4 ] F () = h 3 [f (x )+4f (x 3 )+f(x 4 )]. A 3 =[x 4,x 6 ], F (3) = h 3 [f (x 4)+4f (x 5 )+f(x 6 )]. 3. ommos como proximción globl l sum de ls proximciones sobre los subintervlos En el cso m =3 F (m) C = F () + F () (m) + + F. F (3) C = h 3 [f (x )+4f (x )+f(x )+4f (x 3 )+f(x 4 )+4f (x 5 )+f(x 6 )]. Podemos reordenr y grupr los vlores como sigue. F (3) C = h 3 {f (x )+f(x 6 ) + [f(x {z } )+f(x 4 )] +4 [f (x {z } )+f (x 3 )+f (x 5 )]}. {z } nodos extremos nodos pres interiores nodos impres Fórmul de impson compuesto F (m) C = h 3 f(x )+f (x m )+ m X j= f (x j )+4 mx f (x j ), j= h = b m.

16 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 6 Cot de error i f(x) es de clse C 4 [, b], se cumple E (m) b C = f(x)dx F (m) C b 8 h4 M 4, h = b m. M 4 = mx f (4) (x). x [,b] Demostrción de l cot de error El procedimiento es muy precido l empledo en l demostrción de l cot de error pr l fórmul del trpecio compuesto. enemos b f (x) dx = f (x) dx + A f (x) dx + + A f (x) dx A m = I + I + + I m. F (m) C = F () + F () (m) + + F, donde F (j) es el vlor de l fórmul simple de impson sobre el intervlo A j =[x j,x j ]. Entonces E (m) b C = f (x) dx F (m) C ³ = (I + I + + I m ) F () + F () (m) + + F ³ ³ ³ = I F () + I F () + + I m F (m) I F () + I F () + + I m F (m) E () + E () + + E (m), donde E (j) represent el error de impson simple en el intervlo A j. bemos que se cumple E (j) h5 9 M (j) 4, M(j) 4 =mx f (4) (x), x A j entonces E (m) C h5 9 M () 4 + h5 9 M () h5 9 M (m) 4. i tommos M 4 = mx f (4) (x), x [,b] se cumple pr todos los intervlos M (j) 4 =mx f (4) (x) mx f (4) (x) = M 4, x A j x [,b]

17 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 7 por lo tnto E (m) C Ejemplo 3. Clcul h5 9 M 4 + h5 9 M h5 9 M 4 h 4 m h5 9 M 4 = m b m 9 M 4 b 8 h4 M 4. x ln xdx con 4 decimles exctos usndo l fórmul de impson compuesto.. Cálculo del número de intervlos. enemos l cotción E (m) C Hemos visto en el Ejemplo. que entonces Exigimos =,b=,f(x) =x ln x. b 8 h4 M 4, h = b m, M 4 = mx f (4) (x). x [,b] M 4 = mx x [,] f (4) (x) =, (m) E C 8 h4. 8 h4.5 4, h =. 45, h =. 59. Como h = m = m, result m. 59 m = Necesitmos tomr m =. e trt de impson doble, con m =4subintervlos.

18 Frncisco Plcios em 3: Integrción Numéric 8. Vlor de l proximción. Con m =, result h = 4 =.5. Los nodos son x =,x =.5, x =.5, x 3 =.75, x 4 =. L fórmul de impson doble es en concreto F () C = h 3 f (x )+f (x 4 )+ X f (x j )+4 j= X f (x j ) j= = h 3 {f (x )+f (x 4 )+f(x )+4[f(x )+f(x 3 )]}, F () C =.5 [(ln+ln)+(.5ln.5) + 4 (.5 ln ln.75)] 3 = = Error excto. E () C I = x ln xdx= = I F () = = C