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Rosa Franco Olivares
hace 7 años
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1 IIND 4º CURSO. ESTRUCTURAS PROBLEMAS PROPUESTOS DE DINÁMICA NOTA: Cuando proceda considerar el factor de amortiguamiento, tómese: ζ= 0,02. D 1. Una viga simplemente apoyada de 1,85 m de luz está formada por 2 UPN 120. La viga soporta en su punto medio un motor de las siguientes características: Masa total: 95 Kg. Masa giratoria de 20 Kg, con excentricidad de 1,45 mm. Régimen de funcionamiento: 3000 rpm. Se pide: a) Considerando únicamente la fuerza vertical, obtener la tensión máxima en la viga cuando el motor está en funcionamiento. b) Analiza los posibles procedimientos para reducir la tensión obtenida: aumentar el perfil, reducir el perfil, añadir una masa, poner un amortiguador, etc. c) Explica cómo tendrías en cuenta el efecto de las fuerzas horizontales y analiza su importancia (en la viga se produce una fuerza horizontal y un momento, considerando que el c.d.g. del motor está a una cierta altura sobre la directriz de la viga) D 1. L=1,85 a) Suponemos que la viga tiene sólo una masa puntual para asimilarlo al comportamiento de un muelle de constante elástica: k = (48 EI) / L 3 = N/m donde: E = N/m 2 I = 2 I x = = m 4 L = 1.85 m Masa de la viga = = kg (no despreciable frente a la masa del motor). La masa de viga por unidad de longitud se obtiene de la tabla de perfiles. La masa equivalente total: M eq = m motor + ½ m viga = kg. La frecuencia natural del sistema es: ω n = k / m = s hz Este sistema tiene una excitación exterior producida por el giro del motor a una frecuencia de: ω = 3000 rpm = s hz Según el enunciado el amortiguamiento del sistema es ζ = Con todos estos datos calculamos el factor de amplificación:

2 f.a. = Este factor nos relaciona el desplazamiento dinámico con el estático, por lo tanto si calculamos el estático tendremos también el dinámico. El desplazamiento estático lo calculamos considerando la excitación exterior (motor girando con masa excéntrica) con periodo infinito o frecuencia nula, de esta manera: f 0 = m e ω 2 r e = 20 (314.15) = N La constante elástica del sistema la hemos calculado antes, así pues por analogía con el muelle: f 0 = k u st ; u st = f 0 /k = m El desplazamiento dinámico será: u 0 = u st f.a. = m ; Este es desplazamiento que estamos buscando para posteriormente calcular la tensión debida al efecto dinámico. Vamos a calcular ahora la tensión pero considerando en principio sólo la masa del motor, de esta manera estamos ante un problema estático que aparece resuelto en el prontuario: m motor = 95 kg Del prontuario: M f =P L / 4 = / 4 = kg m = kg cm σ = M f / W ; W = 2 x 60.7 = cm 3 σ estático = / = kg/cm 2 Ahora calculamos el desplazamiento que se produce en este caso estático: P = k u; P = m a = 95 x 9.81 = N u estático = P / k = / = m (esta u estático no tiene nada que ver con la del factor de amplificación u st ) Estas fórmulas que hemos utilizado para el caso estático de considerar sólo la masa del motor, se pueden utilizar de forma aproximada también para el caso dinámico del cual hemos calculado antes el desplazamiento u 0 : P = k u 0 = x = N (necesitamos esto pero en kg para poder llevarlo a la fórmula del prontuario) m = P / a = / 9.81 = kg M f = P L / 4 = kg m = kg cm (donde la P es la carga en kg, no confundir) σ dinámico = M f / W = / = kg/cm 2 Sumando la tensión dinámica y la estática : σ = 2499 kg/cm 2 1 La fórmula está dada en los apuntes de clase.

3 b) Se puede comprobar que la tensión es directamente proporcional al factor de amplificación 2. Hay que alejar ω n de la ω del motor para reducir el factor de amplificación y por tanto la tensión. En el apartado anterior se comprueba que la tensión a la que está sometida la viga se debe mayoritariamente al efecto dinámico pero sólo en el caso anterior y porque tenemos esos perfiles 2 UPN 120. Veamos que pasa con la tensión al aumentar o disminuir los perfiles: 2 UPN 140 k = N/m m eq = 95 + ½ = kg ω n = s hz ω = s hz f.a. = Se reduce mucho el factor de amplificación y por tanto también la tensión: f 0 = m e ω 2 r e = N f 0 = k u st ; u st = f 0 /k = m u 0 = m σ estática = kg/cm 2 σ dinámica = kg/cm 2 Al alejarnos de la frecuencia natural se reduce notablemente el factor de amplificación y por consiguiente la tensión en la viga. 2 UPN 100 k = N/m m eq = 95 + ½ = kg ω n = s hz ω = s hz f.a. = 1.37 Añadiendo un lastre de m = 20 kg M eq = kg ω n = s hz f.a. = 5.11 Con un amortiguador de ζ = 0.2 f.a. = 2.47 c) 2 Se deja al alumno que compruebe esta afirmación.

4 = + Como la masa giratoria es excéntrica, la proyección horizontal del vector rotativo queda separada del centro de gravedad de la viga. Al trasladarlo a la viga tendremos dos efectos dinámicos, uno producido por el momento y otro producido por el axil. Axil Rigidez esfuerzo axil: k = 2 (EA) / (L/2) = 4 E A / L E = 2.1x10-11 N/m 2 A = 2 x 17 = m 2 L = 1.85 m k = N/m, dos órdenes de magnitud por encima de la k de flexión, de donde resultará ω n >> ω y por consiguiente f.a. 1 Momento M/2 L/2 k = (3EI) / (L/2) = Nm/rad El momento de inercia del motor respecto a la fibra neutra es del orden: m h 2 Con h 0.2 m I = 95x0.2 2 = 3.8 kg m 2 ω n = k / I = 1142 s hz Al igual que antes ω n >>ω, entonces f.a. 1 Intercalando 4 muelles que den una k del orden de 1/10 de la de la viga, esto es 10 6 N/m ( N/m cada muelle), el efecto de la k de la viga resulta despreciable, y la única masa a considerar es la del motor. ω n = k/m = 10 6 / 95 =102.6 s hz, que está alejada de la frecuencia del motor.

5 IIND 4º CURSO. ESTRUCTURAS PROBLEMAS PROPUESTOS DE DINÁMICA NOTA: Cuando proceda considerar el factor de amortiguamiento, tómese: ζ= 0,02. D 2. Se ha construido una columna de 10 m de altura, destinada a soportar un depósito de agua elevado, de masa (vacío) 1450 Kg y capacidad de 10 m 3. La columna está formada por angulares, como se indica en la figura. El diseño de la columna se supone correcto para hipótesis de cargas estáticas (peso, viento, etc) Una vez construida la columna, y antes de colocar el depósito, se aprecia que, por efecto de un ferrocarril subterráneo en las proximidades, se produce una pequeña perturbación, sensible al tacto, en la misma al paso de los trenes. Para L cierto sector de la población, surge el temor de que la situación se agrave cuando esté colocado el depósito, y que la columna pueda con ello sufrir daños o, incluso, suponer un peligro. 0,50 Por otra parte, de una campaña de medidas practicadas, sabemos que el efecto de las vibraciones del ferrocarril a nivel del suelo es prácticamente nulo para frecuencias bajas (por debajo de unos 10 hz). También se sabe que, en L este tipo de estructuras, las vibraciones realmente peligrosas son las transversales (las que producen flexión) Se pide: a) Frecuencia natural de la columna, a flexión, 0,50 antes y después de colocar el depósito, considerando éste vacío o lleno. b) Explicar la perturbación apreciada en la columna antes de colocar el depósito y decidir si la instalación proyectada supone peligro alguno. 0,50

6 D 2. La masa por unidad de longitud de los angulares: 4 L a 5.15 kg/m 20.6 kg/m 4 x 2(1+ 2) L a 1.45 kg/m 28 kg/m Total µ = 48.6 kg/m Sección: I = 4 A i 2 = 4 x 6.56 x ( ) 2 =14503 cm 4 = x 10-4 m 4 a) A flexión: ω n = (EI) / (µl 4 ) = 27.8 s -1 = 4.43 hz A deformación longitudinal: k = EA/L = x 10 6 N/m m eq = 1/3 µl = 1/ =162 kg ω n = k/m = 583 s -1 = 92.8 hz Con el depósito se puede despreciar la masa de la columna frente a la masa del mismo. A flexión: k = 3EI/L 3 = N/m ω n = k/m = / = s -1 = 0.45 hz Axial: ω n = k/m = x10 6 / = s -1 = hz b) La perturbación percibida antes de poner el depósito puede deberse a un armónico superior a flexión ω 2 = 27.8 hz o a la deformación longitudinal 92.8 hz. Después de colocado el depósito no hay problema. Las ω n bajan considerablemente. Bajan menos con el depósito vacío, lo que paradójicamente supone un efecto más desfavorable, en especial a deformación axil. No supone peligro en ningún caso.

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