La reordenación aleatoria de un conjunto finito

Transcripción

1 La reordenación aleatoria de un conjunto finito Pérez Cadenas J. I Resumen Al desordenar y, a continuación, reordenar aleatoriamente un conjunto finito es posible que algunos de sus elementos vuelvan a ocupar sus posiciones originales. Se llega a la conclusión de que tanto la esperanza matemática como la desviación cuadrática media de esta variable aleatoria es igual a uno.. Introducción Cuando se reordena aleatoriamente un conjunto finito previamente ordenado, pueden coincidir en sus posiciones algunos de ellos. Concretamente se estudia la probabilidad de que al reordenar un conjunto A de n elementos, previamente ordenado, coincidan m en sus posiciones originales. Obviamente, por aplicación de la ley de Laplace, esto nos proporcionará también el número de permutaciones de A en las que coinciden exactamente m elementos en sus posiciones originales. Veamos un ejemplo. 2. Un caso sencillo Si consideramos el conjunto ordenado: A = {, 2, 3}, se pueden dar las siguientes permutaciones, donde se han subrayado los elementos que coinciden en su posición original: {,2,3} m = N 3 3 = m = 2 N 3 2 = 0 {,3,2},{3,2,} {2,,3} m = 3 N 3 = 3 {2,3,},{3,,2} m = 2 N 3 0 = 2 siendo N n m el número de permutaciones en las que coinciden exactamente m elementos en su lugar original. Para este sencillo, pero ilustrativo, caso se tiene, obviamente:

2 P 3 3 = N33 3! = 6 P 3 2 = N32 3! = 0 6 = 0 P 3 = N3 3! = 3 6 = 2 P 3 0 = N30 3! = 2 6 = 3 donde P n m es la probabilidad de que al reordenar un conjunto de n elementos, coincidan exactamente m en sus posiciones originales. Obviamente, en virtud de la ley de Laplace se tiene: P n m = N nm n! La esperanza matemática y la desviación cuadrática media para la variable aleatoria m son, en este caso, fáciles de calcular Ex o simplemente Ex denota la esperanza matemática de la variable aleatoria x Em = 3 m=0 mp 3 m = = σ 2 = Em Em 2 = Em 2 Em 2 = 3 m 2 P 3 m 2 = = Se observa como se comentó en el resumen, que tanto la esperanza matemática como la desviación cuadrática media son iguales a uno. En las secciones siguientes se abordará el caso general de un conjunto de cardinal n, y se estudiará la variable aleatoria m para este caso. 3. La sucesión P n 0 En esta sección se introducirá la relación existente entre P n m y P n 0. Nuestro punto de partida será un conjunto ordenado de n elementos. La probabilidad de que m elementos previamente seleccionados, coincidan en sus lugares originales es, por el teorema de la probabilidad compuesta m m=0 n = n n n 2 n m = n m! n! n n! Ahora bien, hay = m n m!m! formas posibles de seleccionar estos m elementos. La probabilidad de que al menos de los n m no seleccionados 2

3 también algunos podrían coincidir m coincidan es, por lo tanto n n m! = m n! m! Si además exigimos que coincidan exactamente m, entonces de los no seleccionados no debe coincidir ninguno. La probabilidad de que esto ocurra es, precisamente P n m 0 luego: P n m = P n m0 m! A partir de esta expresión podremos, conociendo P 0 para cualquier calcular P n m. A las cantidades P 0 las llamaremos, para evitar demasiada escritura q, así pues q = P 0 y la ecuación 2 queda entonces P n m = q n m m! Nuestros esfuerzos en posteriores secciones estarán por lo tanto, encaminados a calcular los números q para cualquier natural. Resultará para ello conveniente de cara al cálculo asumir la igualdad: 2 3 P 0 0 = q 0 = 4 aunque, de hecho, no tenga una interpretación precisa. Es de destacar además que P 0 = q = 0, ya que un conjunto de un solo elemento admite tan solo una ordenación, por lo que no es posible que no coincida dicho elemento en su ubicación original. 4. Cálculo de q Comenzaremos la sección con la demostración de un sencillo teorema. TEOREMA 4. DEMOSTRACIÓN q n = = q n Por construcción P n m es una probabilidad definida para 0 m n, por lo tanto se verifica el axioma de completitud P n = 3

4 Teniendo en cuenta 3 esto es equivalente a escribir q n = o, lo que es lo mismo de donde se obtiene q n Que es lo que se quería demostrar. = q n = q n = = q n Obsérvese que se ha hecho uso del convenio q 0 = que se introdujo en la sección anterior. El resultado del teorema es una ecuación recurrente para q n La solución a esta ecuación, sujeta a la condición q = 0 nos la proporciona el siguiente teorema TEOREMA 4.2 Si y q = 0 entonces q n = = q n, n q n =, n DEMOSTRACIÓN Haremos uso de inducción sobre n Es evidente que = 0 0!! = = 0 = q luego para n = se verifica. Supongamos que se verifica para cualquier l n, es decir; si l n entonces: l l q l = l! 4

5 Veamos entonces cuál es el valor de q. Por hipótesis: q = = q l = l! j=0 = l l = l! l! j=0 l=0 donde se extiende el sumatorio a = 0, y para compensar el término extra se ha añadido el último sumatorio. Haciendo el cambio l = j el sumatorio se transforma en q = l=0 = = l=0 l=0 l l! j j! j! j= l l! j= l l! j= j! j j j! j Sería deseable, con objeto de ultimar el cálculo, poder intercambiar los sumatorios de lugar. No obstante, al depender los límites de uno de los del otro no resulta posible. Para salvar la situación se puede actuar de varias formas. Una a de ellas puede ser aceptar, al menos momentáneamente, que = 0 cuando b a < b. Entonces podremos escribir el sumatorio doble de la siguiente forma: j=0 j! j j Lo que nos permitirá, más adelante, intercambiar los sumatorios. Ahora separaremos el término para j = 0, con lo que queda 0! 0 j j! j= j j Obviamente el primer sumatorio solo es diferente de cero si = 0, en cuyo caso vale. En el segundo, los únicos términos no nulos son aquellos para los que j, así pues se obtiene j! j= j j j = j! j = j= 5

6 donde se ha hecho uso de la expresión para el binomio de Newton. Incorporando estos resultados se llega a q = l=0 l luego, si se verifica para l n entonces también se verifica para n. Así pues queda demostrada para cualquier valor n l! 5 5. La función P n m Después de los resultados obtenidos en la sección precedente, es fácil dar, por fin, la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria m. Sea A un conjunto ordenado de n elementos. Desordenemos el conjunto y reordenemoslo aleatoriamente. Sea m la variable aleatoria número de elementos que coinciden en sus posiciones originales. La función de probabilidad para m viene dada, en virtud de 3 y 5, por la expresión P n m = m! n m A partir de esta expresión podremos calcular la esperanza matemática y la desviación cuadrática para cualesquiera n y m. Para ello será de gran utilidad introducir las función característica y la función generatriz de momentos. 6. La función característica y la función generatriz de momentos La función característica de una variable aleatoria que toma valores en un conjunto numerable I, con función de probabilidad p, se define como en el caso continuo sería una integral, y no una suma 6 ϕt = Ee it = I p e it 7 La utilidad de esta función es que nos permite, una vez calculada y si es posible dar una expresión sencilla de la misma calcular los momentos de la distribución E r con r entero no negativo, de la distribución. En efecto, si derivamos r veces ϕt obtenemos: Si ponemos t = 0 se llega a ϕ r t = I p i r e it 6

7 ϕ r 0 = i r I p r = i r E r Así pues: E r = i r ϕ r 0 8 De forma análoga se define la función generatriz de momentos χt = Ee t = I p e t 9 Por un razonamiento análogo al anterior se tiene E r = r χ r 0 0 Apliquemos estos resultados a nuestro caso particular ϕ n t = Ee imt = = = m=0 e imt m! n m m=0 P n me imt m=0 n m e imt m! Para simplificar esta expresión se puede proceder como en el cálculo para las q n, aunque para variar, lo haremos desarrollando los sumatorios y agrupando aquellos cuya suma m sea constante 0 0!0! 0 e it e i0t 0!!!0! n e i0t n!0! = =! 3! e i0t 2!0! n e it n!! e it! 3 e it 3! 2 e it!! 0 e int 0!n!!! e it 2! 3! 3! 3 e it n! 7 2 e it 2! n e it n! 2 0 e 2it 0!2! 2! 2! 2 e it n! n! n e it

8 ! 3! 3 3 e it 2! 3 e it n! 2 2 n 2 e it n e it en esta ultima expresión se reconoce inmediatamente el desarrollo del binomio de Newton en cada uno de los sumatorios, de forma que queda! eit 2! eit 2 3! eit 3 n! eit n = = eit = eit La última igualdad será válida siempre que t 0 De esta manera llegamos a otro importante resultado del trabajo: la función característica para P n m es ϕ n t = = eit = eit Aunque hay que insistir una vez más que la segunda igualdad, aunque más compacta que la primera, será válida solo si t 0 La función generatriz de momentos se obtiene de la función característica haciendo formalmente el cambio t it, de manera que se obtiene χ n t = = e t = e t 2 A partir de estos resultados será fácil demostrar que, tanto el esperanza matemática, como la desviación cuadrática media son, para cualquier n iguales a uno. 7. Esperanza matemática y desviación cuadrática media Después de los esfuerzos realizados en las anteriores secciones será sumamente sencillo demostrar que la esperanza matemática y la desviación cuadrática media son iguales a uno. Para ello, haremos uso de 8 y, y del hecho de que la esperanza matemática de m es el momento de grado, por lo tanto Em = ϕ n0 8

9 por otro lado ϕ n0 = d dt eit d = dt eit = = = ieit e it = ieit e it luego = = =2 =2 i = Em = 3 Para la desviación cuadrática media deberemos calcular el momento de grado 2 de la distribución, ya que σ 2 = Em 2 Em 2, así pues ϕ n0 = d2 dt 2 eit Así que = 2 = = d2 dt 2 e it eit 2 2 =3 lo que significa que 2e 2it d2 dt 2 =3 =3 eit eit e it 2 e 2it e it e it = 2 Em 2 = i 2 ϕ n0 = 2 = 2 σ 2 = Em 2 Em 2 = 2 2 = 2 = 4 con lo que se llega a la conclusión de que, efectivamente, tanto la esperanza matemática como la desviación cuadrática media son iguales a uno. 8. Asintótica Para grandes valores de n en relación con m, la función característica ϕ n t tiende a lím ϕ nt = lím n n eit = 9 eit = e e it

10 que es la función característica para una distribución de Poisson, con esperanza matemática uno. Así pues, la variable aleatoria m tiende a distribuirse, para grandes valores de n, como una distribución de Poisson con estos parámetros. Veámoslo también a partir de P n m. P n m = m! n m para grandes valores de n, y cuando m << n, la suma n m es también grande, por lo que, en el límite n, queda P m = m! = e m! recordando la expresión para la función de probabilidad de la distribución de Poisson de esperanza matemática µ P µ m = µm e µ m! y comparando ambas expresiones se observa que son idénticas cuando µ =. 0