1. SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA

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1 1. SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE. CUERPOS REDONDOS. 4. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Objetivos: Detemin áes de supeficies. Detemin volúmenes de sólidos. 1

2 1. SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA 1. DEFINICIÓN Supong que se tiene un poligonl d y que se tzn ects plels un ect dd g siguiendo l poligonl; l conjunto de puntos que petenecen ests ects se denomin SUPERFICIE PRISMÁTICA INDEFINIDA. g P d A l ect g se l llm genetiz y l poligonl d diectiz. Obseve que l supeficie pismátic seí l fonte. En cmbio PRISMA seí y no conside l poligonl solmente sino su egión inteio tmbién, es deci l polígono. Po tnto nos estímos efiiendo l sólido. Si considemos l egión limitd ente dos plnos plelos tenemos un PRISMA DEFINIDO. Aquí sugen ls siguientes definiciones. A los polígonos de los plnos se los denomin BASE. Si g es un ect pependicul los plnos que contienen ls bse, tenemos un Pism Recto definido. Cso contio se lo llm Pism Oblicuo. Nos dedicemos l estudio sólo de los Pisms ectos.

3 Bse Supeio C Ltel Aist Bse Infeio Ls definiciones que sugen p este cuepo están ilustds en el dibujo nteio. L distnci ente ls bses se denomin ltu y se l denot con l let. 1.1 ÁREA DE LA SUPERFICIE DE UN PRISMA. El áe de l bse es el áe de un figu pln, po lo genel un polígono, po tnto su clculo se lo eliz igul que en geometí pln. El áe de l supeficie ltel, se l detemind llndo el áe de cd un de ls cs lteles y luego bá que sumls. Si l bse es un polígono entonces ls cs lteles son ectángulos y si el polígono es egul bstá con ll l áe de un c y multiplicl po el númeo de ldos. El áe totl seá igul l sum del áe ltel con el doble del áe de un de ls bses. Es deci: A = A + A 1. VOLUMEN DE UN PRISMA. Totl Ltel Bse El volumen de todo pism está ddo po el poducto del áe de un bse po l ltu. Es deci: V = ABse

4 Ejecicio popuestos Se necesit constui un piscin como se indic en l gáfic. Si el meto cúbico de gu tiene un costo de 1 dól Cuánto gstí en llen l piscin? θ = ctn10 0m 6m 1m m θ Resp. $ 150. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE Se un polígono convexo. Se V un punto tl que no petenece l plno que contiene l polígono. Se denomin SUPERFICIE PIRAMIDAL O ÁNGULO POLIÉDRICO l conjunto de puntos petenecientes semiects que tienen como oigen V y que intesecn l poligonl del polígono. V d 4

5 Si ls semiects intesecn todo el polígono, tenemos un egión sólid que se denomin Piámide Indefinid. Si considemos l egión supeio de l supeficie pimidl limitd infeiomente po un plno que l cot tenemos un Piámide Definid o simplemente un piámide de ltu, y si el pie de l ltu de l piámide equidist de los vétices de l bse tenemos un piámide ect. Ls definiciones se ilustn en l figu. V.1 ÁREA DE LA SUPERFICIE PIRAMIDAL L bse es un polígono, igul que en los pims, po tnto el áe de est supeficie se l detemin de l mism fom como y se menciondo. El áe de l supeficie ltel, se l detemind llndo el áe de cd un de ls cs lteles y luego sumls. Si l bse es un polígono entonces ls cs lteles son tiángulo y si el polígono es egul bstá con ll l áe de un c y multiplicl po el númeo de ldos. El áe totl seá igul l sum del áe ltel con el áe de l bse. Es deci: ATotl = ALtel + ABse.1.1 VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE El volumen de tod piámide está ddo po: 1 V = A Bse 5

6 Ejecicio popuestos 1. Hll el volumen de un piámide tingul en l que todos sus ldos y ists tienen l mism longitud l. Resp. V = 1. Detemine el volumen del sólido que se muest en l figu: l Resp. V = ( + 1). Encuente el áe de l supeficie ltel de un tetedo, cuys cs lteles son conguentes, cuy potem mide el tiple de l ist de l bse y l cicunfeenci cicunscit l bse mide 4π cm. Resp. A = 1944 cm 4. Un ecipiente sin tp tiene l fom de un piámide egul invetid, donde su ltu mide pies y su bse es un exágono inscito de un cicunfeenci de diámeto igul pies. Se dese pint 100 de estos ecipientes po dento y po fue, p lo cul se utilizá pintu donde con un glón se puede pint 470 pies cuddos. Detemine l cntidd de glones de es pintu que se necesitán p pint los 100 ecipientes. 0 Resp. 9 gl. 47. CUERPOS REDONDOS..1 CILINDRO. El cilindo es un pism cicul, es deci sus bses son cículos. Ls dimensiones que lo definen es l medid del dio de su bse y su ltu. 6

7 L supeficie ltel es un ectángulo, obseve l figu: π Entonces, el áe de l supeficie ltel seí: ALtel = π Y su áe totl seí: A = π + π= π( + ) Totl Su volumen seí V = π. CONO. El cono es un piámide cicul, es deci su bse es un cículo Ls dimensiones que l definen es el dio de su bse y su ltu. L supeficie ltel es un secto cicul g θ π 7

8 Llmndo g l GENERATRÍZ del cono, obseve l figu nteio, el áe de l supeficie ltel seí: ALtel = 1 g θ π Peo θ = entonces g 1 π g ALtel = g = π g Su volumen seí: V 1 = π. SUPERFICIE ESFÉRICA Se C un punto del espcio y se un númeo positivo. L supeficie esféic es el conjunto de punto tles que su distnci C es igul. C..1 ESFERA. L esfe, en cmbio, es el conjunto de puntos tles que su distnci l cento es meno o igul. L Esfe entonces es l egión inteio con su fonte. El áe de l supeficie esféic es: Y su volumen es 4 V = π A = 4π 8

9 Ejemplo Un cono ecto está inscito en un esfe de dio R y cento O. Si el volumen y dio del cono es 1π cm y cm espectivmente. Hlle el áe de l esfe. O R SOLUCIÓN: Como el áe de l esfe es función del dio, entonces debemos encontlo. Llmemos l ltu del cono y l dio de l bse del cono. El dio es dto del poblem y l ltu puede se clculd debido que nos popocionn el vlo del volumen del cono. 1 V C = π 1 1π = π Ao obseve l figu: () = 4 R O R R Aplicndo El teoem de Pitágos l tiángulo R R Tenemos Finlmente A E R R = = R = R = ( R) + 5 = ( 4) 8 R + R 5 65π = 4π = cm

10 .4 CONO TRUNCADO Anlicemos un tonco de cono. g H G = H g = G g R Note que: R = H = g G Su volumen es: ( R + R ) V = π + Demuéstelo! El áe de su supeficie ltel es: A L = π R + g Demuéstel! ( ) Ejecicios Popuestos. 1. Un esfe está inscit en un cono y l longitud del diámeto de l bse del cono es igul l longitud de l genetiz del mismo, los cules miden 10 cm. Detemine el volumen de l esfe. 500 π Resp. cm. 7. Un esfe está situd dento de un cilindo de mne que l ltu y el diámeto del cilindo tienen l mism dimensión que el diámeto de l esfe. Detemine l elción ente el áe de l supeficie esféic y el áe de l supeficie ltel del cilindo. Resp. 1.. En un esfe de dio se tiene inscito un cilindo de tl mne que el diámeto del cilindo es conguente con el dio de l esfe. Clcule l elción ente el volumen del cilindo y el volumen de l esfe. Resp

11 4. Sen dos esfes concéntics, con l ccteístic de que l esfe exten se encuent cicunscit un cono cuy genetiz mide cm., y es igul en longitud l diámeto de su bse; l esfe inten está inscit en el mismo cono. Detemine el volumen del espcio ente ls dos esfes. Resp. 7 π cm. π 5. Un globo esféico contiene oiginlmente cm de ie. Luego de infllo más, se ll que su diámeto cecido cm. Detemine el volumen de ie que se incementó. 76 Resp. Δ V = π cm 8 6. Un ecipiente en fom de cono ecto de 15 cm. de ltu y dio tiene sus 7 ptes llens de eldo, detemine l ltu del eldo. Resp. = En un cono cicul ecto donde el diámeto de l bse y su ltu miden m., se inscibe oto cono cuy ltu mide m. de mne que él vétice del cono inscito coincide con el cento de l bse del cono cicunscito. Detemine el volumen del cono inscito. Resp. V π = 6 m 8. Dos esfes tngentes extenmente tienen dios de longitud igul 8 cm. y 1 cm. espectivmente. Ls esfes están situds sobe l supeficie lis de un mes. Detemine l distnci ente los dos puntos de tngenci de ls esfes con l mes. Resp. d = 8 6 cm 9. Si l longitud del dio de un cono ecto ument en un 5 % y l longitud de su genetiz disminuye en un 60 %, detemine en qué pocentje disminuye el áe de l supeficie ltel del cono. Resp. 50 % 10. En un cj cuy supeficie coesponde l de un plelepípedo ecto ectngul cben exctmente seis lts cilíndics de dio. Cuál es l zón ente el volumen de ls seis lts junts y el volumen de l cj? Resp. 4 π 11

12 11. Un empes necesit enlt poductos p expotción. Los equeimientos son los siguientes: el envse debe se cilíndico con un cpcidd de 400 cm y un diámeto de longitud igul 15 cm. Si se dese coloc un etiquet desiv que ecub l supeficie ltel exten, cuánto mteil debeá utiliz en l elboción 0000 de 1000 lts. Resp. cm 1. Se tiene un oden de tbjo de 1000 cojinetes de bonce, los mismos que tienen l siguiente fom: 5 cm 4 cm Sbiendo que en el poceso de fundición del bonce se tiene un pédid del 10% del mteil fundente, qué cntidd de bonce ( cm ) y que conside en l fundición p obtene el númeo de cojinetes que se desen? Resp π cm 1. Un esfe de dio está inscit en un pism ecto de bse exgonl, tl que l esfe es tngencil cd un de ls cs lteles y ls bses. Detemine l zón ente el volumen de l esfe y el volumen del pism Resp. 9 π 14. Detemine el volumen de l piez de ceo que se muest en l figu: 8cm 8cm cm cm 4cm 1cm cm Resp. V = 4( 40 π ) cm 1

13 4 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Ls figus plns conocids, como los tiángulos, ectángulos y cicunfeencis, pueden se gids con especto un eje y se genen los sólidos de evolución. Estos sólidos seán cuepos edondos. Consideemos sólo ejes veticles u oizontles. Ejemplo 1. Hll el volumen del sólido que se gene l gi l egión sombed lededo del eje y. y x SOLUCIÓN: Obseve que l ce gi 60 l egión sombed lededo del eje y, se fom un sólido compuesto de un cono con un cilindo y en su inteio y un vcío de un esfe. y x 1

14 Po tnto: Entonces V = V cono + V cilindo V esfe V = π + π = ( ) ( ) π = π + 8π π 7π Ejemplo Hll el volumen del sólido que se gene l gi l egión sombed lededo del eje indicdo. SOLUCIÓN: El sólido genedo está compuesto po un cilindo y un tonco de cono. Po tnto: 7 10 ( + + ( ) ) = π + π π π V = π + = Ejemplo x 4 x + y 6 Se R un egión de definid po x 0 y 0 Hll el volumen del sólido que se gene l gi R lededo del eje: ) y b) x 14

15 SOLUCIÓN: ) lededo del eje y tenemos: y 6 x + y = 6 x = x El sólido genedo est compuesto po un cono y un cilindo, entonces V = V π 4 4 π 4 cono + Vcilindo = + = b) Alededo del eje x tenemos: ( ) ( ) π y 6 x + y = 6 x = x El sólido genedo es un tonco de cono, entonces: π V = 08 ( ) + ( )( 6) + ( 6) )( 4) = π 15

16 Ejecicios popuestos 4 1. Detemine el volumen del sólido que se gene l gi l egión sombed lededo del eje indicdo. cm 4cm cm 5cm 4cm 44 Resp. V = π cm. En el tpecio de l figu, ls longitudes de los segmentos AC y CE son π espectivmente m. y 1 m., l medid del ángulo CAB es. L figu es otd 4 60 lededo del eje PQ. Clcul el volumen, y el áe ltel del sólido de evolución genedo. Resp. 6 π m.. Al ot un vuelt complet, l pte sombed del gáfico djunto lededo del eje PQ, encuente el volumen del sólido genedo. Resp. 64 π u. 4. Al ot un vuelt complet, l pte sombed del gáfico djunto lededo del eje PQ, encuente su volumen y su áe ltel del sólido genedo. 16

17 Resp. 71 π u Detemine el volumen del sólido genedo l ot l egión limitd po l semicicunfeenci definid po l ecución x + y 4x 6y + 1 = 0, lededo 4 de l ect y =. Resp. V = π y 1 x y x 6. Se R l egión limitd po y 1 y 0 Detemine el volumen del sólido de evolución que se gene l ot R lededo del eje x =. 7. Se R l egión definid po ( x, y) { R / 0 y 5 x 4} R = x. Detemine el volumen del sólido que se gene l ot R lededo de: ) eje x. b) l ect x = Resp. ) V = π b) V = π 8. Se l egión R = {( x, y) R / 0 x 6, y 0, x y+ 4 0, x+ y 1 0}. Detemine el volumen del sólido que se gene l ot R lededo de l ect x = Resp. ) V = π 17