Supremo e ínfimo. Números irracionales

Transcripción

1 Tema 4 Supremo e ífimo. Números irracioales Completamos e este tema la presetació de los úmeros reales, estudiado las propiedades más importates de R, las que se deduce del axioma del cotiuo. Para aplicar cómodamete dicho axioma usaremos las ocioes de supremo e ífimo, imprescidibles e Aálisis. La existecia de úmeros irracioales será uestro primer objetivo. Después itetaremos eteder la distribució de los úmeros racioales e irracioales sobre la recta real. Fialmete haremos u breve estudio de los subcojutos de R que más utilidad tedrá e lo que sigue, los itervalos, y cocluiremos probado que R o es umerable, co lo que quedará claro que los úmeros irracioales abuda mucho más que los racioales Supremo e ífimo El axioma del cotiuo tiee u sigificado ituitivo muy claro pero casi uca se usa tal como lo hemos euciado. Para aplicarlo co más comodidad sirve las ocioes que ahora vamos a presetar. Dado u cojuto o vacío A R, se dice que A está mayorado cuado existe y R tal que y a para todo a A. E tal caso decimos tambié que y es u mayorate de A, así que A está mayorado cuado admite u mayorate. Aálogamete decimos que A está miorado cuado admite u miorate, esto es, u x R tal que x a para todo a A. Cuado A está a la vez mayorado y miorado decimos que está acotado. Resaltamos la relació etre las ocioes de mayorate y máximo o de miorate y míimo. La diferecia esecial estriba e que u mayorate o miorate de u cojuto o tiee por qué perteecer al cojuto. De hecho, si u cojuto A de úmeros reales tiee máximo, etoces máx A es el úico elemeto de A que es mayorate de A. Aálogamete, el míimo de u cojuto, si existe, es el úico miorate de dicho cojuto que perteece al mismo. 24

2 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 25 Veamos alguos ejemplos secillos de las ocioes recié itroducidas. El cojuto R o está mayorado i miorado. El cojuto R o está miorado, pero sí está mayorado, el cojuto de sus mayorates es R + 0 y iguo de ellos perteece a R, de ahí que R o tega máximo. El cojuto R + 0 o está mayorado, el cojuto de sus miorates es R 0, 0 = mí R+ 0 y todos los elemetos de R so miorates de R + 0 que o le perteece. Fialmete, el cojuto A = {a R : 0 a < 1} está acotado, R 0 es el cojuto de los miorates de A y 0 = mí A. El cojuto de los mayorates de A es {y R : y 1} y A o tiee máximo. Es obvio que si y es u mayorate de u cojuto A y tomamos z R co z > y, tambié z es mayorate de A, pero al sustituir y por z hemos perdido iformació. Podríamos decir que u mayorate es tato más útil cuato más pequeño sea, lo que os lleva a pregutaros si el cojuto de los mayorates tiee míimo. Aálogamete, para u cojuto miorado, podemos pregutaros si el cojuto de sus miorates tiee máximo. El axioma del cotiuo os permitirá cotestar afirmativamete ambas pregutas: Teorema (Existecia de supremo e ífimo). Si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y mayorado, etoces el cojuto de los mayorates de A tiee míimo, que recibe el ombre de supremo del cojuto A y se represeta por sup A. Aálogamete, si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y miorado, etoces el cojuto de los miorates de A tiee máximo, que recibe el ombre de ífimo del cojuto A y se represeta por íf A. Demostració. E efecto, sea A u cojuto o vacío y mayorado de úmeros reales, y sea B el cojuto de todos los mayorates de A. Por defiició de mayorate teemos a b para cualesquiera a A y b B. El axioma del cotiuo os proporcioa u x R verificado que a x b, tambié para todo a A y todo b B. Pero etoces está claro que x es mayorate de A y es meor o igual que cualquier otro mayorate de A, luego es el míimo del cojuto de los mayorates de A, como queríamos. Para la existecia del ífimo se razoa de maera aáloga, usado u cojuto miorado y el cojuto de sus miorates. Naturalmete, si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y acotado, etoces A tiee supremo e ífimo, siedo evidete que: íf A sup A. La siguiete observació ayuda a compreder rápidamete la utilidad de las ocioes de supremo e ífimo. Para u cojuto mayorado A, está claro que u úmero real y es mayorate de A si, y sólo si, y sup A. Así pues, el cojuto de los mayorates de A es {y R : y sup A}. Segú la defiició de mayorate, lo que teemos es la siguiete equivalecia: a y a A sup A y Obsérvese que a la izquierda de esta equivalecia teemos tatas desigualdades como elemetos de A, pero mirado a la derecha, la oció de supremo os ha permitido reducir todas esas desigualdades a ua sola.

3 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 26 Por supuesto, para el ífimo teemos ua situació aáloga: x a a A x íf A Comparemos ahora las ocioes de máximo y supremo o de míimo e ífimo, que guarda ua estrecha relació. E primer lugar, está claro que si u cojuto A R tiee máximo, etoces A está mayorado y sup A = máx A. E efecto, máx A es u mayorate de A pero, como máx A A, todo mayorate de A será mayor o igual que máx A. Recíprocamete, para u cojuto A R o vacío y mayorado, podrá darse dos casos. Si sup A A, etoces sup A es u mayorate de A que perteece al cojuto A, luego es el máximo de A. Si por el cotrario sup A / A etoces A o puede teer máximo, pues si lo tuviera, sería sup A = máx A A, como hemos visto ates. E resume, u cojuto A R o vacío y mayorado, tiee máximo si, y sólo si, sup A A, e cuyo caso máx A = sup A. Aálogamete, u cojuto o vacío y miorado A R, tiee míimo si, y sólo si, íf A A, e cuyo caso, mí A = íf A. La relació recié cometada explica que usemos el supremo o el ífimo de u cojuto como sucedáeo de u máximo o míimo que o existe, o al meos o sabemos si existe. A este respecto puede ser útil u paralelismo que vamos a establecer etre la defiició del máximo de u cojuto y ua caracterizació del supremo que se comprueba si dificultad. Cocretamete, dado u cojuto o vacío A R y u α R, se tiee { { a α a A a α a A α = máx A α = sup A α A ε R + a A : α ε < a Ituitivamete, la diferecia es que, mietras el máximo de u cojuto ha de perteecer al cojuto, el supremo sólo ha de teer elemetos del cojuto ta cerca como se quiera. Naturalmete, aáloga comparació se puede hacer etre míimo e ífimo: { { a α a A a α a A α = mí A α = íf A α A ε R + a A : a < α + ε U ejemplo que ya hemos usado ateriormete sirve para ilustrar las ocioes de supremo e ífimo y su relació co las de máximo y míimo. Para el cojuto A = {a R : 0 a < 1} se tiee que mí A = íf A = 0, sup A = 1 / A y A o tiee máximo Raíz -ésima Como primera aplicació de la existecia de supremo, vamos a probar ua importate propiedad de los úmeros reales positivos: Teorema (Existecia de raíz -ésima). Dado N, para cada x R + existe u úico y R + tal que y = x. Se dice que y es la raíz -ésima de x, simbólicamete: y = x.

4 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 27 Demostració. Empezamos probado la uicidad de y, que es bie secilla. Si y,z R +, de y < z deducimos que y < z y por la misma razó, de z < y se obtiee z < y, luego la igualdad z = y = x sólo es posible cuado z = y. Resaltamos para uso posterior que, para y,z R + y N, se tiee y z y z. Para probar la existecia de y empezamos co dos observacioes secillas. La primera es la siguiete: δ R, 0 δ 1 = (1 + δ) δ N (1) dode se etiede, como ya hemos hecho ates, que 3 0 = 1. Esta desigualdad se comprueba fácilmete por iducció. Para = 1 es evidete, de hecho teemos la igualdad. Supoiedo que la desigualdad es cierta para u N, teemos (1 + δ) +1 = (1 + δ) (1 + δ) ( δ)(1 + δ) = δ + δ δ δ δ δ = δ dode hemos usado que y que δ 2 δ, por ser 0 δ 1. Teemos así la desigualdad buscada para el úmero atural + 1. Vamos co la seguda observació: ρ R, ρ > 1 = δ R + : (1 + δ) ρ (2) E efecto, si ρ , basta tomar δ = 1 y aplicar la desigualdad (1). Si ρ < tomamos δ = (ρ 1)/3 1, co lo que 0 < δ < 1 y aplicado tambié la desigualdad (1) teemos: (1 + δ) δ = ρ. Etramos ya e la demostració propiamete dicha. Dado x R +, supogamos de mometo que x 1, lo que hace que el cojuto A = {z R + : z x} o sea vacío, pues 1 A. Además, x es u mayorate de A, ya que si algú z A verificase z > x, se tedría x z > x x, lo cual es absurdo. Podemos pues defiir y = sup A 1 y veremos que y = x, comprobado que, tato si y < x como si y > x, se llega a cotradicció. Supoiedo y < x podemos aplicar (2) co ρ = x/y > 1, obteiedo u δ R + tal que (1 + δ) x/y, es decir ( (1 + δ)y ) x. Pero etoces la defiició del cojuto A os dice que (1 + δ)y A, de dode (1 + δ)y y, lo cual es ua cotradicció, porque δ R +. Supoiedo y > x aplicamos tambié (2) pero co ρ = y /x > 1, obteiedo u δ R + que ahora verifica (1+δ) y /x. Escribiedo para simplificar w = y/(1+δ), teemos x w. Para z A se tedrá z x w, luego z w. Pero etoces w es u mayorate del cojuto A y por tato w sup A = y, es decir, otra vez y (1 + δ)y, la misma cotradicció. Así pues, teemos y = x lo que acaba la demostració e el caso x 1. Si 0 < x < 1 tomamos v = 1/x > 1, por lo ya demostrado podemos ecotrar u R + tal que u = v, y basta tomar y = 1/u R + para teer y = x. Ni que decir tiee, para = 1 la afirmació del teorema aterior es perfectamete obvia: 1 x = x. Para = 2 teemos la raíz cuadrada y escribimos x e lugar de 2 x. Para = 3 teemos la raíz cúbica 3 x, para = 4 la raíz cuarta 4 x, etc. Recordemos que los úmeros reales que o so racioales se deomia irracioales. No se usa ua otació especial para el cojuto de los úmeros irracioales, es simplemete el cojuto R \ Q. El teorema aterior permitirá ecotrar bastates úmeros irracioales.

5 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 28 Empezamos co u caso muy secillo, probado que o existe r Q tal que r 2 = 2, co lo que obligadamete 2 R \ Q. El siguiete razoamieto se atribuye a Hipaso de Metapoto, miembro de la escuela pitagórica (siglo V a.c.): Supogamos por el cotrario que existiese r Q tal que r 2 = 2 para llegar a cotradicció. Podemos etoces escribir r = p/q dode p,q Z so primos etre sí, de forma que la fracció p/q sea irreducible. Puesto que p 2 = 2q 2, observamos que p 2 es u úmero par y, por tato, p tambié es par. Escribiedo etoces p = 2h co h Z, tedremos 2q 2 = p 2 = 4h 2 de dode q 2 = 2h 2. Etoces q 2 es par, luego q es par y hemos llegado a ua cotradicció: p y q so pares, luego o so primos etre sí. Usado esecialmete el mismo razoamieto, podemos llegar mucho más lejos: Dados,m N, m es u úmero atural o u úmero irracioal. Bastará probar que si m Q, etoces m N. Siguiedo la pista del razoamieto aterior, es atural expresar m como ua fracció irreducible, lo cual es bastate fácil, basta pesar que ua fracció es irreducible cuado su deomiador es el más pequeño posible. Por hipótesis, el cojuto {k N : k m N} o es vacío, lo que os permite defiir q = mí{k N : k m N} Teemos etoces que p = q m N y obviamete m = p/q. La demostració se cocluirá probado que q = 1, co lo que m = p N. Supogamos por el cotrario que q > 1, e cuyo caso ha de existir u úmero primo s > 1 que divide a q (si el propio q fuese primo tomaríamos s = q). Puesto que p = mq vemos que s divide a p, pero al ser s u úmero primo, esto implica que s divide a p. Escribiedo p = sh y q = sk co h,k N teemos evidetemete m = h/k, luego k m = h N, es decir, k perteece al cojuto cuyo míimo es q, ua cotradicció: k q = sk > k. Podemos ya poer e marcha toda ua fábrica de úmeros irracioales. Fijados, k N, para cualquier m N que verifique k < m < (k+1) tedremos k < m < k+1 luego m / N, así que m R\Q. Por ejemplo, tomado = 2 y k = 1 obteemos que 2 y 3 so úmeros irracioales, co k = 2 obteemos que m R\Q para m = 5,6,7,8, y así sucesivamete. Pero tambié podemos usar raíces cúbicas: 3 m R \ Q para todo m N que verifique 1 < m < 8, o bie 8 < m < 27, etc. Aú podemos icremetar uestra colecció de úmeros irracioales si pesamos que, tomado α R \ Q (por ejemplo α = 2) y r,s Q co s 0, se tiee que r + sα R \ Q. E efecto, si fuese r +sα = t Q tedríamos α = (t r)/s Q, ua cotradicció. Tomado s = 1, vemos que la suma de u racioal co u irracioal es irracioal. Quizá coviee aclarar que la suma de dos úmeros irracioales puede ser racioal o irracioal. Por ejemplo 1+ 2 y 1 2 so irracioales, pero su suma es 2. Por otra parte, es fácil ver que R \ Q. Tambié hemos visto que el producto de u úmero irracioal por u racioal o ulo es irracioal, pero el producto de dos irracioales puede obviamete ser racioal o irracioal.

6 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Propiedad arquimediaa Es atural pregutarse cómo podemos situar los úmeros irracioales sobre la recta real. La preguta o es ada fácil, como se puede probablemete adiviar, pero vamos a obteer bastate iformació al respecto. Empezaremos co la que se cooce como propiedad arquimediaa del orde de R: el cojuto N o está mayorado, es decir, todo úmero real es meor que algú úmero atural. Para los úmeros racioales esto es evidete: si r Q, o bie r 0 < 1 o bie r = m/ co m, N, e cuyo caso r < m+1. Para los irracioales el resultado o es ta obvio, pero tambié es cierto: Teorema. Sea A u cojuto o vacío de úmeros eteros. (i) Si A está mayorado, etoces A tiee máximo. E particular, N o está mayorado, es decir, para cada x R existe N tal que x <. (ii) Si A está miorado, etoces A tiee míimo. (iii) Si A está acotado, etoces A es fiito. Demostració. (i) es secillo, usado la existecia de supremo: sea z = sup A. Etoces z 1 o puede ser mayorate de A, luego existe k A tal que z 1 < k. Para cualquier a A se tiee etoces a z < k + 1 de dode, por ser a y k úmeros eteros, deducimos que a k. Por tato, k = máx A, como se quería. Está claro ahora que N o puede estar mayorado, puesto que o tiee máximo. La demostració de (ii), usado la existecia de ífimo, es aáloga a la de (i). Fialmete, si A está acotado, podemos tomar p = mí A y defiir f (a) = a p + 1 para todo a A, obteiedo ua aplicació f : A N que claramete es iyectiva, así que A es equipotete a f (A) y bastará ver que f (A) es fiito. Ahora bie, tomado q = máx A teemos claramete f (a) q p + 1 para todo a A, luego f (A) es fiito por estar coteido e el cojuto fiito { N : q p + 1}. Veamos ua cosecuecia útil del teorema aterior: fijado x R, el cojuto {k Z : k x} o es vacío, pues tomado N tal que x <, es claro que perteece a dicho cojuto. Teemos así u cojuto de úmeros eteros o vacío y claramete mayorado, luego tiee máximo, que recibe el ombre de parte etera de x, y se deota por E(x). Así pues: E(x) = máx{k Z : k x} x R Es evidete, por ejemplo que E(p) = p para todo p Z. E geeral, para todo x R teemos claramete E(x) Z y E(x) x < E(x) + 1 De hecho E(x) se caracteriza por las dos codicioes ateriores, es decir: si k Z verifica que k x < k + 1, etoces k = E(x). Alguas propiedades secillas de la parte etera se deduce de esta caracterizació. Por ejemplo, si x R y p Z se tiee claramete E(x) + p x + p < E(x) + p + 1, de dode deducimos que E(x + p) = E(x) + p. E geeral, la defiició de la parte etera os dice que E(x + y) E(x) + E(y) x,y R puesto que E(x) + E(y) Z y E(x) + E(y) x + y. La última desigualdad puede ser estricta: tomado x = y = 1/2 teemos claramete E(x) + E(y) = 0 < 1 = E(x + y).

7 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Desidad de Q e R Para x R \ Q, ya teemos cierta iformació sobre la situació de x e la recta real: debe ser u puto del segmeto de extremos E(x) y E(x) + 1. Para afiar mucho mejor, usaremos la pricipal cosecuecia de la propiedad arquimediaa de R: etre cada dos úmeros reales distitos, siempre existe u úmero racioal. Es costumbre referirse a esta propiedad diciedo que Q es deso e R. Más cocretamete, dado u cojuto D R, se dice que D es deso e R cuado para cualesquiera x,y R co x < y, existe d D tal que x < d < y. Pues bie, vamos a comprobar que Q es deso e R y, co poco esfuerzo adicioal, probaremos que tambié R \ Q es deso e R. Teorema (Desidad de Q y de R \ Q e R). Para cualesquiera x,y R co x < y, existe r Q verificado que x < r < y. Tambié existe β R \ Q tal que x < β < y. Demostració. Empezamos co la existecia de r, supoiedo de mometo que x 0. La propiedad arquimediaa os proporcioa primeramete u N verificado que > 1/(y x), equivaletemete que 1/ < y x. Usado de uevo la propiedad arquimediaa, ecotramos k N tal que k > x. El pricipio de buea ordeació de los úmeros aturales os permite etoces tomar m = mí{k N : k > x}. Si se quiere ua defiició más explícita de y m, se puede tomar = E ( 1/(y x) ) + 1 y etoces m = E(x) + 1. Es claro que m > x, es decir, x < m/, y queda comprobar que m/ < y. Si m > 1 tedremos m 1 N y la defiició de m os dice que m 1 / {k N : k > x}, luego m 1 x, cosa que es evidete cuado m = 1. Así pues, teemos m x + 1, co lo cual y basta tomar r = m/. x < m x + 1 = x + 1 < x + (y x) = y Si x < 0, puede ocurrir que y > 0, co lo que basta tomar r = 0. E otro caso teemos x < y 0, es decir, 0 y < x. La primera parte de la demostració os proporcioa s Q tal que y < s < x y basta tomar r = s. Fialmete, para probar la existecia de β, aplicamos dos veces lo ya demostrado para teer r,s Q tales que x < r < s < y. Basta etoces tomar β = r + s r 2 Por ser 2 > 1 se tiee claramete r < β < s, luego tambié x < β < y. Fialmete, si fuese β Q tedríamos que 2 = (s r)/(β r) Q, lo cual es falso. E la demostració aterior hemos visto que la desidad de Q e R es cosecuecia directa de la propiedad arquimediaa. Merece la pea resaltar que ambos resultados so equivaletes, de la desidad de Q e R se deduce claramete la propiedad arquimediaa, pues dado x R podemos tomar r Q tal que r > x y etoces ecotrar fácilmete N tal que > r > x.

8 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 31 La siguiete cosecuecia imediata de la desidad de Q e R es importate, pues poe de maifiesto cómo podemos obteer todos los úmeros reales a partir de los racioales: Para todo x R se tiee: sup{r Q : r < x} = x = íf{s Q : s > x}. Veamos co detalle la demostració de la primera igualdad, pues la seguda se prueba de forma aáloga. Poiedo A = {r Q : r < x}, es evidete que x es mayorate de A. Además, si z R y z < x, la desidad de Q e R os asegura que existe r Q tal que z < r < x, luego r A y z o es mayorate de A. Así pues, todo mayorate de A es mayor o igual que x y hemos probado que x = sup A. Podemos ya coveceros de que cada úmero real se correspode co u puto de la recta real. Mediate la costrucció geométrica que vimos e su mometo, habíamos situado sobre la recta los úmeros racioales. Para mayor claridad, distigamos por u mometo etre u úmero r Q y el correspodiete puto de la recta, que deotaremos por P r. Dado ahora x R \ Q, veamos cual es el puto P x de la recta que le debe correspoder. Para ello podemos cosiderar los cojutos A x = {r Q : r < x}, B x = {s Q : s > x} y los correspodietes cojutos de putos de la recta. Es claro que para r A x y s B x el puto P r está situado a la izquierda de P s, ya que r < s. Admitiedo como es lógico, que la recta o tiee huecos, debe existir u puto P x de la recta situado a la derecha de P r para todo r A x y a la izquierda de P s para todo s B x. Si admitimos, como tambié es lógico, que la recta tiee la propiedad arquimediaa, es decir que etre cada dos putos distitos de la recta debe existir putos de la forma P t co t Q, deducimos que el puto P x es úico. E efecto, si Q x fuese otro puto e la misma situació, etre P x y Q x existiría u puto P t co t Q, pero esto es imposible, pues o puede ser t < x, i t > x, i t = x. Así pues, P x es el puto de la recta que correspode al úmero real x. La idetificació de R co la recta real se completa observado que hemos establecido ua correspodecia biuívoca etre úmeros reales y putos de la recta. Dados x,y R co x < y, podemos tomar r,s Q tales que x < r < s < y para cocluir que P x está estrictamete a la izquierda de P y. Deducimos que, para x,y R, la igualdad P x = P y sólo es posible cuado x = y. Sólo queda covecerse de que todo puto de la recta es de la forma P x para algú x R pero esto es ua clara cosecuecia del axioma del cotiuo. E lo sucesivo, como habíamos hecho hasta ahora, o distiguiremos etre u úmero real x y el puto P x que le correspode e la recta real. Como quiera que es atural eteder que, para x R +, el segmeto de extremos 0 y x tiee logitud x, queda claro que, a diferecia de los úmeros racioales, los úmeros reales permite medir la logitud de cualquier segmeto. De maera más geeral, e lugar de la logitud, podemos cosiderar muchas otras magitudes físicas: área, volume, tiempo, masa, eergía, temperatura, carga eléctrica, etc. Los úmeros reales permite medir cualquier catidad de esas magitudes físicas, es decir, cuatificar la relació etre dicha catidad y ua fija que se toma como uidad. Teemos así la iterpretació física de los úmeros reales.

9 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Itervalos Vamos a presetar varios tipos de subcojutos destacados de R, que se usa co mucha frecuecia, recibe el ombre geérico de itervalos y tiee ua iterpretació geométrica muy ituitiva. Además de R y el cojuto vacío, que ambos so itervalos, teemos: Los segmetos, o itervalos acotados, de extremos a,b R, co a b, coteiedo o o dichos extremos, por lo que puede ser de cuatro tipos: Cerrado: [a,b] = {x R : a x b} Abierto: ]a,b[= {x R : a < x < b} Semiabierto por la izquierda: ]a,b] = {x R : a < x b} Semiabierto por la derecha: [a,b[= {x R : a x < b} Las semirrectas, que tambié puede ser de cuatro tipos: A la derecha, cerrada: [a,+ [= {x R : a x} A la derecha, abierta: ]a,+ [= {x R : a < x} A la izquierda, cerrada: ],b] = {x R : x b} A la izquierda abierta: ],b[= {x R : x < b} Obsérvese que, para a R, el itervalo cerrado y acotado [a,a] se reduce al puto a, mietras que ]a,a[= [a,a[=]a,a] = /0. Se etiede por itervalo o trivial u itervalo que o es vacío i se reduce a u puto, es decir, que tiee al meos dos putos distitos. Como es la primera vez que aparece, debe quedar claro que los símbolos, y + so exactamete eso, símbolos, si más sigificado que el que les demos e cada mometo. Teemos pues e total diez tipos de itervalos: /0, R, cuatro tipos de itervalos acotados y cuatro tipos de semirrectas. Mediate los coceptos de supremo e ífimo vamos a obteer ahora ua útil caracterizació de los itervalos, es decir, u criterio que os permite decidir si u subcojuto de R es o o u itervalo, idepedietemete del tipo de itervalo de que se trate. La caracterizació es la siguiete: Para u cojuto I R, las siguietes afirmacioes so equivaletes: (i) I es u itervalo (ii) Para cualesquiera x,y I co x < y, si z R verifica x < z < y, etoces z I. Dicho de forma ituitiva, u subcojuto de R es u itervalo cuado, siempre que cotega dos putos distitos, ha de coteer todos los itermedios. La afirmació (i) (ii) se comprueba de forma rutiaria para cada uo de los tipos de itervalo. Supogamos por ejemplo, que I = [a,b[ co a,b R, a < b. Para x,y I co x < y, si z R verifica x < z < y, se tiee obviamete a x < z < y < b, de dode z I. Co cualquier otro tipo de itervalo el razoamieto es aálogo o icluso más secillo. Veamos ahora la otra implicació, que es la más importate.

10 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 33 (ii) (i). Supogamos que I R verifica la codició (ii) para probar que I es u itervalo, cosa que obviamete ocurre cuado I = /0. Para I /0 puede darse cuatro casos, segú I esté o o mayorado y miorado: (a) I o está mayorado i miorado. Dado z R, puesto que z o puede ser miorate i mayorate de I, existirá u x I tal que x < z, así como u y I tal que z < y. Deducimos de (ii) que z I, pero z R era arbitrario, luego I = R es u itervalo. (b) I está miorado pero o mayorado. Tomamos a = íf I siedo claro que I [a,+ [. Por otra parte, para z ]a,+ [ se tiee que z o puede ser miorate de I, luego existe x I tal que x < z. Pero z tampoco puede ser mayorate de I luego existe y I tal que z < y. La codició (ii) os dice que z I, co lo que teemos ]a,+ [ I [a,+ [. Ahora sólo puede darse dos casos: o bie a I, co lo que I = [a,+ [, o bie a / I, e cuyo caso I =]a,+ [. E cualquier caso, I es ua semirrecta a la derecha. (c) I está mayorado pero o miorado. U razoamieto aálogo al caso aterior, tomado b = sup I permite probar que I es ua semirrecta a la izquierda: I =],b[ o I =],b]. (d) I está acotado. Tomamos a = íf I y b = sup I para probar que I es u itervalo acotado co extremos a y b. Si z ]a,b[, z o podrá ser mayorate i miorate de I, luego existirá x,y I tales que x < z < y; pero etoces z I, luego ]a,b[ I [a,b]. Esa doble iclusió os deja solamete cuatro posibilidades: I =]a,b[, I = [a,b[, I =]a,b] o I = [a,b]. Como ejemplo que ilustra bie la utilidad de la caracterizació recié obteida, podemos probar fácilmete lo siguiete La itersecció de dos itervalos es u itervalo. E efecto, supogamos que I, J R so itervalos, para probar que I J tambié lo es. Dados x,y I J co x < y, si z R verifica x < z < y, debemos ver que z I J. Pero esto es evidete, pues por ser tato I como J itervalos teemos tato z I como z J. Lo iteresate es que o hemos teido que discutir de qué tipo era los itervalos I,J, cosa que os hubiera llevado a ua larga disyució de casos. E realidad, exactamete co el mismo razoamieto usado para dos itervalos se prueba que la itersecció de cualquier familia de itervalos es u itervalo: si Λ es u cojuto o vacío y, para cada λ Λ teemos u itervalo I λ R, etoces el cojuto λ ΛI λ es u itervalo Itervalos ecajados El isige matemático alemá Georg Cator ( ) descubrió ua útil propiedad de la recta real que eseguida vamos a demostrar, y la usó para probar que R o es umerable. Pricipio de los itervalos ecajados. Supogamos que, para cada N, teemos u itervalo cerrado y acotado J = [a,b ], co a b, y cada uo de estos itervalos cotiee al siguiete: J +1 J para todo N. Etoces la itersecció J o es vacía, es decir, existe x R tal que x J para todo N. N

11 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 34 Demostració. Empezamos observado, mediate ua obvia iducció, que J +k J para cualesquiera,k N. Usado etoces que a +k,b +k J, teemos a b +k, a +k b,k N de dode se deduce claramete que a i b j para cualesquiera i, j N. Equivaletemete, si cosideramos los cojutos A = {a : N} y B = {b : N}, teemos que a b para cualesquiera a A y b B. El axioma del cotiuo os asegura que existe u x R verificado que a x b para cualesquiera a A y b B. Es claro etoces que x J, para todo N. Veamos ahora cómo usó Cator el pricipio aterior para probar que R o es umerable: Teorema. Todo itervalo o trivial es u cojuto o umerable. E particular, R o es umerable. Demostració. Se basará e costruir por iducció itervalos ecajados, iterado u proceso secillo: dados u itervalo I = [a,b] co a < b y u z R, existe otro itervalo J = [c,d] I co c < d, tal que z / J. Esto es evidete: si z / I se puede tomar J = I, si z = a se toma a < c < b y d = b, mietras que si a < z b basta tomar c = a y a < d < z. E cualquier caso es c < d y tomado J = [c,d], se tiee z / J I. Pues bie, fijados a,b R co a < b, para probar que [a,b] o es umerable, veremos que ua aplicació f : N [a,b] uca puede ser sobreyectiva, es decir, siempre podemos ecotrar x [a,b] tal que x / f (N). Empezamos tomado u itervalo J 1 [a,b] de la siguiete forma J 1 = [a 1,b 1 ], a 1 < b 1, f (1) / J 1 Supoiedo que para N hemos ecotrado u itervalo J de forma que J = [a,b ], a < b, f () / J defiimos el itervalo J +1 = [a +1,b +1 ] co a +1 < b +1, de maera que J +1 J, f ( + 1) / J +1 Teemos así ua familia {J : N} de itervalos ecajados, verificado que f () / J para todo N. El pricipio de los itervalos ecajados os proporcioa u x R tal que x J para todo N. Etoces x J 1 [a,b] y para cualquier N se tiee x f (), ya que x J mietras f () / J. Así pues, x [a,b] \ f (N) y f o es sobreyectiva. Fialmete, si H es u itervalo o trivial, existe a,b H tales que a < b. Puesto que [a,b] H y sabemos ya que [a,b] o es umerable, H tampoco puede serlo. Resaltamos que el cojuto R \ Q de los úmeros irracioales o es umerable, pues si lo fuese, tambié lo sería R = Q (R \ Q). Ituitivamete, podríamos decir que la imesa mayoría de los úmeros reales so irracioales. Coviee resaltar que e realidad, para probar que R \ Q o es umerable, o hemos usado que R \ Q /0. Teemos así ua demostració alterativa, o sólo de la existecia, sio de la abudacia de úmeros irracioales.

12 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 35 Auque parezca sorpredete, a veces podemos probar que u cojuto o es umerable, luego ituitivamete muy grade, si saber a priori que dicho cojuto o es vacío. E lo que sigue, vamos a ilustrar este procedimieto viedo que la imesa mayoría de los úmeros irracioales o se parece e ada a los que ya coocemos. Se dice que u úmero real es algebraico cuado se puede obteer como solució de ua ecuació algebraica co coeficietes eteros. Expliquemos co más detalle lo que esto sigifica: Por poliomio co coeficietes eteros etederemos ua fució P : R R de la forma P(z) = a 0 + a 1 z a z z R (3) dode N y a 0,a 1,...,a Z. Cuado a 0 decimos que el poliomio P tiee grado. Para cada N, deotaremos por P al cojuto de los poliomios co coeficietes eteros de grado y P será el cojuto de todos los poliomios co coeficietes eteros que o sea costates, es decir, P = P N Pues bie, se dice que x R es u úmero algebraico, cuado existe u poliomio P P tal que P(x) = 0. Deotaremos por A al cojuto de los úmeros algebraicos. Por ejemplo, es evidete que todo úmero racioal es algebraico: Q A. Dados,m N, tambié es claro que x = m es u úmero algebraico, pues se verifica evidetemete que m x = 0. A partir de aquí, o es difícil adiviar que todos los úmeros irracioales que hasta ahora coocemos so algebraicos. Se dice que u úmero real es trascedete cuado o es algebraico. Auque por el mometo o podamos asegurar que exista úmeros trascedetes, vamos a probar que la imesa mayoría de los úmeros reales so trascedetes: El cojuto de los úmeros algebraicos es umerable. Por tato, el cojuto de los úmeros trascedetes o es umerable. Para demostrarlo, empezamos probado por iducció que el cojuto P es umerable. Para mayor comodidad, coviee cosiderar el cojuto Q de los poliomios de la forma (3), si exigir que sea a 0. Así pues Q está formado por poliomios de grado meor o igual que, icluyedo los poliomios costates. Puesto que evidetemete P Q, bastará ver que Q es umerable para todo N. Para = 1 basta pesar que Z Z es umerable y que si a cada (a,b) Z Z asociamos el poliomio defiido por P(z) = a + bz para todo z R, obteemos ua aplicació sobreyectiva de Z Z e Q 1. Supoiedo que Q es umerable, se tedrá tambié que Q Z es umerable. Etoces, si a cada par (Q,c) Q Z asociamos el poliomio defiido por P(z) = Q(z) + cz +1 para todo z R, obteemos evidetemete ua aplicació sobreyectiva de Q Z e Q +1, luego Q +1 es umerable. Sabiedo que P es umerable para todo N, deducimos que P es umerable, por ser ua uió umerable de cojutos umerables. Fialmete, basta teer e cueta u hecho bie coocido: para cada P P, el cojuto C(P) = {x R : P(x) = 0} es fiito. Por tato, escribiedo A = P PC(P), observamos que A es ua uió umerable de cojutos fiitos, luego es umerable. Naturalmete, deducimos que el cojuto R \ A o puede ser umerable, pues si lo fuera, R = A (R \ A) tambié lo sería.

13 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Ejercicios 1. Sea A u cojuto o vacío de úmeros reales. E cada uo de los siguietes casos, decidir si el cojuto dado puede ser el cojuto de todos los mayorates de A: a) R; b) /0; c) R + ; d) {x R : 0 x < 1}; e) {x R : 2 x} 2. Para A R, A /0, cosideremos el cojuto A = { a : a A}. Probar que A está mayorado si, y sólo si, A está miorado, e cuyo caso: sup A = íf( A). Deducir que A está miorado si, y sólo si, A está mayorado, e cuyo caso: íf A = sup( A). 3. Sea /0 A R y cosideremos el cojuto A = { a : a A}. (i) Probar que A está mayorado si, y sólo si, A está acotado, e cuyo caso se tiee: sup A = máx{sup A, íf A} (ii) Probar tambié que, si A R + 0 /0 A R 0, se tiee: íf A = mí{íf(a R + 0 ), sup(a R 0 )} Qué ocurre si A R + 0 = /0 o A R 0 = /0? 4. Sea A y B cojutos de úmeros reales tales que /0 B A. Probar que: (i) Si A está mayorado, etoces B está mayorado co sup B sup A. (ii) Si A está miorado, etoces B está miorado co íf B íf A. 5. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales. Probar las siguietes afirmacioes: (i) A B está mayorado si, y sólo si, A y B está mayorados, e cuyo caso: sup(a B) = máx{sup A, sup B} (ii) A B está miorado si, y sólo si, A y B está miorados, e cuyo caso: íf(a B) = mí{íf A, íf B} 6. Sea I u cojuto o vacío, supogamos que, para cada i I, A i es u cojuto o vacío de úmeros reales y sea A = i I A i. (i) Supoiedo que A está mayorado, probar que A i está mayorado para todo i I, que el cojuto S = {sup A i : i I} está mayorado y que sup A = sup S. (ii) Probar que si A está miorado, etoces A i está miorado para todo i I, el cojuto T = {íf A i : i I} está miorado y se verifica que ífa = íft. (iii) Mostrar co u ejemplo que puede ocurrir que A i esté acotado para todo i I y A o esté mayorado i miorado. 7. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales verificado que a b para cualesquiera a A y b B. Cuádo se puede asegurar que existe u úico x R verificado que a x b para cualesquiera a A y b B?

14 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Sea A y B cojutos de úmeros reales tales que A B /0. (i) Mostrar co u ejemplo que A B puede estar acotado, o estado A y B mayorados i miorados. (ii) Supoiedo que A y B está mayorados, probar que sup(a B) mí{sup A, sup B} (iii) Probar que, si A y B está miorados, etoces íf(a B) máx{íf A, íf B} (iv) Probar que, si A y B está acotados, las dos desigualdades obteidas e (ii) y (iii) puede ser estrictas. 9. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales y cosideremos el cojuto A + B = {a + b : a A, b B} (i) Probar que A + B está mayorado si, y sólo si, A y B está mayorados, e cuyo caso: sup(a + B) = sup A + sup B (ii) Probar que A + B está miorado si, y sólo si, A y B está miorados, e cuyo caso: íf(a + B) = íf A + íf B 10. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales positivos, y cosideremos el cojuto: AB = {ab : a A, b B} (i) Probar que AB está mayorado si, y sólo si, A y B está mayorados, e cuyo caso: sup(ab) = sup A sup B (ii) Probar tambié que íf(ab) = íf A íf B 11. Sea A u cojuto o vacío de úmeros reales positivos y cosideremos el cojuto: A 1 = {a 1 : a A} Probar que A 1 está mayorado si, y sólo si íf A > 0, e cuyo caso: sup ( A 1) = (íf A) Dados x R y N, cuátos elemetos tiee el cojuto {y R : y = x}? 13. Probar que el cojuto A = {x R : x 2 2x 1 < 2 x 2 } está acotado y calcular su supremo y su ífimo. Tiee A máximo y míimo? 14. Probar que: k=1 1 k 2 N 15. Probar que: ab a + b Probar que para a,b R + se verifica que: a,b R +. Cuádo se da la igualdad? a 2(a + b) b < 1 b 1 a + b

15 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Probar por iducció que para y 1,y 2,...,y R + se tiee k=1 y k = 1 = y k k=1 dádose la igualdad si, y sólo si, y 1 = y 2 =... = y = 1. Deducir la llamada desigualdad de las medias : para x 1,x 2,...,x R +, se tiee Cuádo se da la igualdad? k=1x k 1 x k k=1 18. Probar que, para N co > 1, se tiee: (2k 1) < y ( + 1! < 2 k= Probar que 3 es u úmero irracioal Probar que Q o verifica el axioma del cotiuo, es decir, mostrar dos cojutos A,B Q tales que a b para cualesquiera A A y b B, pero o existe x Q verificado que a x b para todo a A y todo b B. 21. E cada uo de los siguietes casos, comprobar que el cojuto que se idica está acotado, calcular su supremo e ífimo, y dilucidar si tiee máximo y míimo: A = {x R : x 2 + x < 2}; B = {x Q : x 2 3}; C = {x R + \ Q : x 2 2} 22. Comprobar las siguietes igualdades: sup {1 1 } : N = 1; íf ) { 1 m + 1 } 2 : m, N = Probar que si I,J so itervalos verificado que I J /0, etoces I J es u itervalo. 24. Sea A,B itervalos o vacíos y acotados. Probar que íf(a B) = máx{íf A, íf B} y sup(a B) = mí{sup A, sup B} Comparar este resultado co el ejercicio Para cada N se cosidera los itervalos I =]0,1/] y J = [,+ [. Obsérvese que I +1 I y J +1 J para todo N. Probar que, si embargo, I = J = /0 N Qué relació guarda estos ejemplos co el pricipio de los itervalos ecajados? N