Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos

Transcripción

1 Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O D E P A R T A M E N T O DE M A T E M Á T I C A S P R O F A. Y U I T Z A T. H U M A R Á N M A R T Í N E Z A D A P T A D A P O R P R O F A. C A R O L I N E R O D R Í G U E Z M A R T Í N E Z

2 Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Bien definida se refiere a que para cualquier objeto que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto. Una colección no está bien definida si el criterio que determina si un elemento pertenece o no al conjunto depende de opiniones o preferencias.

3 Ejemplos Conjuntos bien definido El conjunto de las vocales del alfabeto español. El conjunto de los profesores de matemáticas de la UPRA durante el primer semestre del Conjunto que NO está bien definido El conjunto de los mejores sabores de mantecado El conjunto de los actores más guapos de Hollywood

4 Notación de lista para conjuntos Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto. Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves. Esta notación se conoce como forma de listado o lista. Por ejemplo: 1. Los elementos del conjunto de las vocales del alfabeto español son {a, e, i, o, u}. 2. Los elementos del conjunto de los colores primarios se son {azul, rojo, amarillo}.

5 Notación de elementos Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras minúsculas. Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, y C, para representar conjuntos. Para un conjunto A, escribimos a A si a es un elemento de A ( significa pertenece al conjunto ). Para un conjunto A, escribimos a A si a NO es un elemento de A ( significa NO pertenece al conjunto ). Por ejemplo: Sea B = {,,, } entonces, B

6 Conjunto vacío El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que NO contiene elementos. Se denota como {} o Ø. Por ejemplo: El conjunto de los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra llamado la Luna.

7 Subconjunto C es subconjunto de D y escribimos C D si cada elemento de C es un elemento del conjunto D. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. A, es cierto para cualquier conjunto A. Por ejemplo: Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y C = {%, 1} entonces, C D. Cierto o Falso: D D.

8 Ejemplo Si A = {lunes, martes, jueves} y B = {lunes, martes, viernes} entonces B no es subconjunto de A. Por qué? Si B no es subconjunto de A, escribimos B A. Cierto o Falso: ø B.

9 Conjuntos numéricos

10 Naturales Números de conteo {1, 2, 3, 4, 5, 6, } A este conjunto se le asigna la letra N. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }

11 Cardinales Son utilizados para medir el tamaño de los conjuntos, o sea, el número de elementos en un conjunto dado. Se compone de los números naturales + cero En inglés el conjunto se llama Whole Numbers por lo que algunos le designan la letra W. {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, }

12 2 2 0 Opuestos de naturales Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero. Por ejemplo: (-5) + 5 = 0 (-10) + 10 = 0 En general, cualquier número real más su opuesto es igual a cero. Para n un número real, n + ( n ) = n + n = 0.

13 Enteros La unión de los naturales, cero y los opuestos de los naturales {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } es el conjunto de los enteros. A este conjunto se le asigna la letra Z. Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }

14 Sub-conjuntos de los Enteros implica es subconjunto de El conjunto de los naturales es subconjunto del conjunto de los enteros, N Z, ya que todos los elementos de N están en Z. El conjunto de los cardinales es un subconjunto de Z, W Z.

15 Más sub-conjuntos de los Enteros Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, } se le llama el conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos. Al conjunto {, 4, 3, 2, 1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivos pues no contiene enteros positivos. El conjunto de los enteros positivos es {1, 2, 3, 4, } y se denota Z + El conjunto de los enteros negativos es {, 4, 3, 2, 1} y se denota Z.

16 Naturales N={1, 2, 3, 4, } {0} {-1, -2, -3, } Enteros, Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, }

17 Racionales A este conjunto se le asigna la letra Q. Q = p q p Z, q Z y q 0 Este conjunto está compuesto por los enteros, las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.

18 Racionales Ejemplos: Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Enteros

19 Tipos de números racionales Cualquier número racional se puede representar con uno de dos tipos de números decimales: decimal exacto Ejemplo: = decimal periódico Ejemplo: = =

20 Naturales N={1, 2, 3, 4, } {0} {-1, -2, -3, } Enteros, Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Racionales

21 Irracionales Un número que NO se puede representar como el cociente de dos enteros, es irracional. La representación decimal de los números irracionales a) nunca termina (no es exacta) b) nunca se repite (no es periódica).

22 Ejemplos Irracionales

23 Comparación entre un número racional y uno irracional =

24 Reales Es la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales. Básicamente, es el conjunto que contiene todos los números que usamos en nuestro diario vivir para hacer cómputos. Se denota con R.

25 Naturales N={1, 2, 3, 4, } {0} {-1, -2, -3, } Enteros, Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Racionales, Q = {p/q p, q son enteros y q 0} Irracionales Reales, R

26 Otro diagrama, R Reales, R Racionales, Q Enteros, Z Naturales, N 2 Irracionales 2 π 3 4 e Todo número real es un número racional o irracional.

27 Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto? A = 0, π, 4 3, 2 3, 1.414, 2 7 NATURALES:, 12. 3, 7, 23 ENTEROS: RACIONALES: IRRACIONALES: REALES:

28 Notación constructiva o generadora de conjuntos

29 Notación constructiva o generadora para conjuntos Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos. En esta forma se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos. Al igual que en forma de listado se utilizan llaves. Ejemplo: Escriba el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5,, 10} en notación constructiva.

30 Notación constructiva Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5,, 100} en notación constructiva. C = {x N x < 101} C = {x N x 100} C = {x Z 0 < x < 101} C = {x Z 1 x 100} Ejemplo: Escriba el conjunto los naturales entre 5 y 10 en notación constructiva usando notación de conjuntos y en forma de lista:

31 La recta numérica real Los números reales se pueden localizar en una recta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número. A = 2, 0, 2, 1 2, 1 3, π, 11 4, 2, 16

32 Práctica Localice los números reales que se muestran en la recta numérica. 15 4, 5 3, 5. 25, 7 6, 2 3

33 Subconjuntos de reales

34 Subconjuntos de los números reales Subconjuntos de los Reales se pueden representar con notación de intervalo Un intervalo abierto representa un subconjunto de reales que está entre dos números, pero sin incluirlos.

35 Ejemplo Escribir en notación de intervalo el siguiente conjunto: Todos los números entre 3 y 6. Cierto o Falso π 3, , 6 3, 6

36 Intervalo cerrado Un intervalo cerrado representa un subconjunto de reales entre e incluyendo dos números.

37 Ejemplo Escribir en notación de intervalo el conjunto que contiene: todos los números desde -2 hasta 7, incluyéndolos. Cierto o Falso 2π [-2, 7] 3 [-2, 7] 2 0 [-2, 7]

38 Intervalos infinitos Un conjunto de reales mayores que un número dado se expresa: Ej: Escribir en notación de intervalo Todos los números mayores o iguales a negativo 4.

39 Intervalos infinitos Un conjunto de reales menores que un número dado se expresa. Ej: Escribir en notación de intervalo Todos los números menores que 11. (, 11) Como desigualdad: x < 11 Como gráfica:

40 Complete la tabla. Práctica

41 Exprese cada intervalo en notacion generadora y construya la gráfica

42 Práctica a) {x x 5} en notación de intervalo b) y 0 < y 10 en notación de intervalo c) V = naturales menores que 20 pero mayores o iguales a 3, en notación generadora de conjuntos y en forma de listado

43 Operaciones con conjuntos

44 Operación de conjuntos: Unión Para A, B la unión de A y B está dada por: A B = {x x A o x B}. Este conjunto contiene a los elementos en A o en B o en ambos.

45 Ejemplo Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {6, 8, 10, 12, 14} y C = {4, 6, 10}, determine: 1. A B = 2. A C = 3. B C =

46 Operación de conjuntos: Intersección Para A, B la intersección de A y B está dada por: A B = {x x A y x B}. Este conjunto contiene todos los elementos que están en A y en B, simultáneamente.

47 Ejemplo Si A = {1, 3, 5, 8, 10}, B = {1, 6, 8, 10, 12, 14} y C = {14, 16, 18}, determine: 1. A B 2. B C 3. A C 4. C B

48 Conjuntos disyuntos Si A B = Ø entonces A y B son conjuntos disyuntos. Dos conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común. En el ejemplo de la pantalla anterior, A y C son disyuntos. Ejemplo: Cierto o Falso Z Q = Q y el conjunto de los irracionales son conjuntos disyuntos.

49 Determinar cada unión o intersección si: A={2,5}, B={5, 7, 9}, C={x x sea impar y menor que 9} D={x x sea par y menor que 9}

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