TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 6

Transcripción

1 TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 6 EL NÚMERO REAL. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL. 1. Itroducció.. El Cuerpo de los úmeros reales..1. Costrucció de R Sucesioes fudametales o de Cauchy e Q..1.. Relació de equivalecia e S c... El grupo aditivo de úmeros reales..3. El grupo multiplicativo de úmeros reales..4. El Cuerpo de úmeros reales. 3. Orde de R. 4. Propiedades de R Q es deso e R. 4.. R es Arquimediao Valor absoluto e R R es completo. 5. Topología de la recta real Subcojutos cerrados de R. 5.. Subcojutos abiertos de R Etoros Putos especiales Cojutos compactos. Bibliografía Recomedada. 1/3

2 1. INTRODUCCIÓN. TEMA 6 EL NÚMERO REAL. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL. Dibujemos ua recta de putos. Situemos e algú lugar de ella el úmero cero como u puto cualquiera de la recta real. A partir de la logitud del segmeto limitado por los putos 0 y 1 podemos situar los demás úmeros aturales. El úmero estará situado a la derecha del 1 y el segmeto limitado por 1 y coicide e logitud co el segmeto limitado por el 0 y 1. Por tato, el segmeto de σ(), verificará que está situado a la derecha de y el segmeto etre y σ() coicide co el que hay etre 0 y 1. De forma similar, podemos situar los úmeros eteros e la recta. Para idetificar putos de la recta co úmeros racioales podemos utilizar el teorema de Thales, que se basa e el uso de rectas paralelas. Como etre cada dos úmeros racioales, al meos hay otro (Q es deso) se pesó que todos los putos de la recta se podía idetificar co úmeros racioales. Hasta que llegó Pitágoras. Pitágoras idicó que e la recta debía haber u puto que se idetificase co u úmero, tal que el cuadrado de dicho úmero fuese. Al comprobar que ese úmero (que represetaremos como ) o era racioal, demostró que e la recta había más putos que úmeros racioales (o existía por tato ua biyecció). La ecesidad de costruir u cojuto más grade que Q tambié se puede motivar plateado el siguiete problema. Dada la ecuació x =, el úmero x o es racioal. Sea A Q tal que A={p Q / p <} y sea B Q tal que B={q Q / q >} El cojuto A está acotado superiormete, por ejemplo B, >p p A, y aálogamete B está acotado iferiormete ya que 1 A y 1<q q B. Pero el sup A y el if B o existe e Q. Es por ello que ecesitamos costruir u cojuto mayor que Q que llamaremos cojuto de los úmeros reales y deotaremos por R. Vamos a seguir la misma idea que utilizó Cator para ampliar de Q a R.. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES..1. Costrucció de R Sucesioes fudametales o de Cauchy e Q. DEF Ua sucesió de úmeros racioales es ua aplicació de N e Q. Notació Dada ϕ: N Q, deotaremos a ϕ() por a. La sucesió será (a ), auque tambié se puede represetar por a 0, a 1, a,... /3

3 PROP Sea S= {(a ) / (a ) es ua sucesió de úmeros racioales}. Si defiimos e S la suma como (a )+(b ) = (a +b ) y el producto como (a ) (b )=(a b), etoces S tiee estructura de aillo comutativo co elemetos uidad.. A Realizar por el Lector. DEF Diremos que ua sucesió (a ) S es acotada si existe r Q + tal que N se verifica a <r. PROP El cojuto A de sucesioes acotadas de úmeros racioales es u subaillo de S.. 1) A S. Dada (a ) A sucesió acotada de úmeros racioales (a ) es ua sucesió de úmeros racioales (a ) S. ) La suma es itera. Sea ( a) A r1 Q ( b ) A r Q + + / a / b < r1 ( a ) + ( b ) = ( a < r + b ) co (1) a +b a + b <r 1 +r Tegamos e cueta que a, b Q (a +b ) A 3) El producto es itero. (a ) (b )= (a b ) y a b = a b < r 1 r y r 1 r Q. Luego A es u subaillo de S. OBS A o es u ideal de S ya que si (a ) S y (b ) A (a b) A. Por ejemplo: Sea a = N y b =1/ y N. Etoces a b = N y o es acotada. DEF Diremos que L Q es límite de la sucesió (a ) S si ε>0 (co ε Q) 0 N / si > 0 a -L <ε. Notació Diremos Lima =L o (a ) L. DEF Diremos que (a ) es covergete si tiee límite. PROP El límite de ua sucesió covergete es úico. 3/3

4 . Sea (a ) ua sucesió covergete. Lim a =L. Supogamos que Lim a =L, co L L L-L =d. Lim a =L ε>0 (ε Q) 0 N / > 0 a -L <ε (1) Lim a =L ε >0 (ε Q) 0 N / > 0 a -L <ε () Tomemos ε, ε < d/ a - L < d/ y a - L < d/. Es claro que (L-d/, L+d/) y (L -d/, L+d/) o tiee putos e comú. Segú (1) > 0 a (L-d/, L+d/) y segú () > 0 a (L -d/, L +d/) Sea N=max{ 0, 0 } si N a (L-d/, L+d/) (L -d/, L +d/)=, lo cual es imposible. Al llegar a ua cotradicció, la suposició es falsa y L=L. PROP Toda sucesió covergete es acotada. Sea (a ) covergete. Etoces Lim a =L. Lim a =L ε>0 (ε Q) 0 N / > 0 a -L <ε > 0 a (L-ε, Lε). Sea m=mi{a 1,..,a o, L-ε}y =max{a 1,..,a o, L+ε}, etoces N m a PROP El cojuto C de sucesioes covergetes es subaillo de S. i) Sea a C ua sucesió covergete a es ua sucesió de úmeros racioales a S. ii) Sea a C y b C dos sucesioes de úmeros racioales covergetes, es decir: ε>0 0 N / si 0 a -L <ε y ε>0 0 N / si 0 b -L <ε etoces si tomamos 0 =max{ 0, 0 } se tiee que: ε>0 0 N / si 0 a +b -(L+L ) = (a -L)+(b -L ) a -L + b -L <ε+ε= ε 4/3

5 Por lo tato si defiimos ε =ε se tiee que: ε >0 0 N / si 0 (a +b )-(L+L ) <ε (a +b ) C iii) Sea a C y b C dos sucesioes de úmeros racioales covergetes, es decir: y ε>0 0 N / si 0 a -L <ε ε>0 0 N / si 0 b -L <ε etoces si tomamos 0 =max{ 0, 0 } y como b es acotada por ser covergete ( K Q + / b <k) se tiee que: a b -LL = a b -b L+b L-LL = b (a -L)+L(b -L ) b (a -L) + L(b -L ) = b a -L + L b -L < kε + L ε= ε(k+ L ). Por lo tato si defiimos ε = ε(k+ L ) se tiee que: ε >0 0 N / si o a b -LL <ε (a b ) C C es u subaillo de S. DEF Diremos que ua sucesió (a ) de úmeros racioales es de Cauchy si ε>0 (ε Q) 0 N /, m 0 a -a m <ε. PROP Toda sucesió de Cauchy es acotada. Sea a ua sucesió de Cauchy. ε>0 ( ε Q) 0 N /, m 0 a -a m <ε. Ua vez localizado 0, fijemos ε y m. Etoces a m -ε < a < a m +ε 0. Sea K=max{ a 1, a,..., a o-1, a m +ε, a m -ε }. Se verifica a <k N luego (a ) está acotada. PROP Toda sucesió covergete es de Cauchy. Sea (a ) ua sucesió covergete Lim a =L. Etoces ε>0 0 N / 0 a -L <ε/. Luego a -a m = a -L+L-a m < a -L + a m -L < ε/ +ε/= ε,m 0. Por tato (a ) es de Cauchy. 5/3

6 OBS El recíproco o es cierto, ya que la sucesió 1, 1 4, 1 41, se aproxima a, es de Cauchy pero o es covergete al o ser u úmero racioal. PROP El cojuto S c de sucesioes de Cauchy racioales es u subaillo de S. i) Sea a Sc ua sucesió de Cauchy de úmeros racioales a es ua sucesió de úmeros racioales a S. ii) Sea a S c y b Sc dos sucesioes de Cauchy de úmeros racioales y ε>0 0 N / si,m 0 a -a m <ε ε>0 0 N / si,m 0 b -a m <ε si tomamos o =max{ 0, 0 } etoces ε>0 0 N / si,m 0 (a +b )-(a m +b m ) = (a +a m )+(b m +b ) a -a m + b -b m ε+ε=ε Tomado etoces ε =ε tedremos: ε >0 0 N / si,m 0 (a +b )- (a m +b m ) <ε (a +b ) es de Cauchy (a +b ) S c. iii)sea a S c y b S c dos sucesioes de Cauchy de úmeros racioales ε>0 0 N / si,m 0 (a -a m <ε y ε>0 0 N / si,m 0 (b -b m <ε Si tomamos o =max{ 0, 0 } y como a y b está acotadas al ser de Cauchy ( K,K Q + / a <K y b <K ) etoces: ε>0 0 N / si,m 0 a b -a m b m = a b -a b m +a b m - a m b m = a (b -b m )+b m (a -a m ) a (b -b m ) + b m (a -a m ) a b -b m + b m a -a m < kε+k ε =ε(k+k ) Si tomamos ε =ε(k+k ) etoces: ε >0 0 N / si,m 0 (a b -a m b m <ε (a b ) es de Cauchy (a b ) S c 6/3

7 S c es u subaillo de S. DEF Llamamos sucesió ula a ua sucesió que tiee por límite 0. El cojuto de las sucesioes ulas lo deotaremos por S 0. PROP La suma de sucesioes ulas es ua sucesió ula. Sea a S 0 y b S 0 etoces: ε>0 0 N / si 0 a <ε y ε>0 0 N / si 0 b <ε Si tomamos o =max{ 0, 0 } etoces: ε>0 0 N / si 0 a +b a + b <ε+ε=ε Por lo tato si llamamos ε =ε se tiee que: ε >0 0 N / a +b <ε (a +b ) S 0 OBS E cocreto podemos decir que S 0 es u subaillo de S. PROP El producto de ua sucesió ula por otra de Cauchy es ua sucesió ula. Sea (a ) ua sucesió de Cauchy y (b ) ua sucesió ula. (a ) es de Cauchy (a ) es acotada M>0 / a <M N (b ) es ula ε>0 0 N / 0 b <ε Etoces (a b )= a b < M ε Si tomamos ε=ε /M ε >0 0 N / 0 a b <ε (a b ) es ula COROLARIO S o es u ideal de S c. OBS Se verifica que S 0 S c S. 7/3

8 .1.. Relació de equivalecia e S c DEF Defiimos la siguiete relació e S c (a b ) S c (a )R(b ) (a -b ) S 0 PROP La relació R defiida e S c es ua relació de equivalecia. i) Reflexiva: (a ) S c (a -a )=0 S 0 a Ra ii) Simétrica: (a ) S c y (b ) S c, si a Rb (a -b ) S 0 (b -a ) S 0 b Ra iii)trasitiva: (a ), (b ) y (c ) S c co a b Rb Rc ( a ( b b ) S c ) S 0 0 ( a b ) + ( b c ) = ( a c ) S 0 a Rc R es ua relació de equivalecia DEF Llamaremos a cada clase de equivalecia úmero real y S c /R es el cojuto de los úmeros reales, y se represeta por R. Notació: de aquí e adelate, otaremos los úmeros reales por letras como x, y ó z e lugar de [a ], [b ] y [c ]... El grupo aditivo de los Números Reales. DEF Defiimos la suma e R como: Dados x=[a ] e y=[b ] x+y=[a +b ] PROP La defiició de suma o depede del represetate elegido.. Sea (a ), (a ) [a ] y (b ), (b ) [b ]. Etoces se verifica que (a )-(a ) S 0 y (b )-(b ) S 0. Como S 0 es u ideal, la suma es itera ((a )-(a ))+((b )-(b )) y es lo mismo que ((a )+(b ))-((a )+(b )) S 0 y aplicado la suma (a +b )-(a +b ) S 0, siedo equivalete a (a +b )R(a +b ) [a +b ]=[a +b ], luego o depede del represetate elegido. 8/3

9 PROP La suma e R verifica las siguietes propiedades: i) Comutativa. ii) Asociativa. iii) Elemeto eutro. iv) Elemeto simétrico. 1) Comutativa: )Asociativa: Sea x,y R etoces x=[a ] e y=[b ] x+y=[a +b ]=[b +a ]=y+x x+y=y+x Sea x,y,z R etoces x=[a ], y=[b ], z=[c ] x+(y+z)=x+[b +c ]=[a +(b +c )]= [(a +b )+c ]= [a +b ]+z=(x+y)+z= =x+(y+z) 3)Elemeto eutro: Sea x R defiido por x=[a ]. Si defiimos 0=[0] etoces x+0=[a +0]= [a ]=x 0 es el elemeto eutro de la suma. 4)Elemeto simétrico: Sea x R defiido por x=[a ], si deotamos por (-x)== [-a ]: x+(-x)= =[a +(-a )]=[0]=0 (-x) es el elemeto simétrico de la suma. OBS Por tato (R,+) es u grupo abeliao. PROP El grupo abeliao (R,+) cotiee al grupo aditivo (Q,+). Sea ϕ: Q R q [q] La defiició tiee setido ya que si por ejemplo a [q] a =q N que trivialmete es de Cauchy. ϕ es homomorfismo: 9/3

10 ϕ es iyectiva: ϕ(p+q)=[p+q]=[p]+[q]=ϕ(p)+ϕ(q) Si ϕ(p)=ϕ(q) [p]=[q] (p)-(q) S 0 (p-q) S 0 p-q=0 ya que el límite de (p-q) es el úmero racioal p-q p=q DEF Defiimos el valor absoluto de u úmero real x, que deotaremos por x, como x x 0 x = x x < 0.3 El grupo multiplicativo de los úmeros reales. DEF Defiimos el producto e R como : dados x=[a ] e y=[b ] x y=[a b ] PROP La defiició del producto o depede del represetate elegido.. Sea (a ), (a ) [a ] y (b ), (b ) [b ]. se verifica que (a -a ) S 0 y (b -b ) S 0. Para ver que [a b ]= [a b ] hemos de comprobar que su diferecia es ua sucesió ula. a b - a b = a b - a b + a b - a b = (a -a )b +(b -b ) a -a b + + b -b a. Como a, b S c a, b so acotadas MM / a <M y b <M N. Por hipótesis (a -a ) S 0 ε 1 >0 (ε Q) 1 N / 1 a -a ε 1 y (b -b ) S 0 ε >0 (ε Q) N / b -b ε ε 1 M+ε M=ε Etoces (a b -a b ) S 0 [a b ]= [a b ] Luego el producto o depede del represetate elegido. PROP El producto e R verifica las siguietes propiedades: 1) Comutativa. ) Asociativa. 3) Elemeto eutro. 4) Elemeto simétrico (sólo para R-{0}). 10/3

11 Se deja como ejercicio al lector. OBS (R-{0}, ) es u grupo multiplicativo abeliao. PROP Dados a, b R co a 0, la ecuació ax=b admite solucioes e R. Como a 0 y (R-{0, }) es grupo abeliao a -1 iverso de a. a -1 (ax)=a -1 b (a -1 a)x = a -1 b x=b a -1 DEF El úmero ba -1 recibe el ombre de cociete del úmero real b por el úmero real a y se represeta por b a o b:a. PROP El grupo abeliao (R-{0}, ) cotiee al grupo abeliao (Q-{0}, ). Sea ϕ: Q R q [q] ϕ(p q)=[pq]= [p] [q]=ϕ(p) ϕ(q) Luego es homomorfismo. ϕ es iyectiva (ya visto)..4 El Cuerpo de los Números Reales. Ua vez visto que (R,+) y (R*, ) tiee estructura de grupo abeliao respecto de sus operacioes, veamos como podemos relacioar la suma y el producto de úmeros reales. PROP E R se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Sea x,y,z R co x=[a ], y=[b ] y z=[c ] x(y+z)= [a ]([b ]+[c ])= [a ] [b +c ] = [a (b +c )] = [a b +a c ] = =[a b ]+ [a c ]= [a ] [b ]+ [a ] [c ]= xy + xz 11/3

12 Podemos afirmar que (R,+, ) tiee estructura de cuerpo comutativo co elemeto de uidad. PROP El cuerpo (R,+, ) cotiee a (Q,+, ). Sea ϕ: Q R q [q] Ya sabemos que ϕ es homomorfismo iyectivo. 3. ORDEN EN R. Vamos a defiir e el cojuto R ua relació de orde total que sea compatible co su estructura. Ates de poder defiir u orde e R, ecesitamos coocer cuál es el cojuto de úmeros reales positivos. Para ello, os vamos a apoyar e Q. PROP Sea (a ) ua sucesió de Cauchy o ula. Etoces existe u elemeto e la sucesió tal que a partir de él so todos del mismo sigo. Sea (a ) S c y (a ) S 0.Como (a ) S c ε>0 (ε Q) 0 N /,m 0 a -a m <ε. Supogamos que la tesis es falsa: siempre podemos ecotrar m N co a m >0 y u N co a <0. Etoces ε> a -a m = a + a m (a ) S 0 y eso es ua cotradicció. Luego 0 N / 0 a >0 (ó a <0). Por tato, e S c podemos distiguir: Sucesioes de Cauchy positivas 0 N / 0 a >0. Sucesioes de Cauchy egativas 0 N / 0 a <0. Sucesioes de Cauchy i positivas i egativas. PROP Dos sucesioes de Cauchy equivaletes y o ulas so ambas positivas o ambas egativas. Sea (a ), (b ) S c Como (a ) S 0 0 N / 0 a >k (b ) S 0 0 N / 0 b >k 1/3

13 Supogamos que (a ) es positiva y (b ) es egativa. Etoces max{ 0, 0 } a -b = a + b >k+k Lo cual o puede ser ya que (a ) y (b ) so equivaletes ( (a -b ) S 0 ). La suposició es falsa y por tato (a ) y (b ) so del mismo sigo. DEF Defiimos el cojuto de los úmeros reales positivos y lo deotamos por R +, a R + ={x R / x=[a ] y (a ) es positiva}. Aálogamete DEF Defiimos el cojuto de los úmeros reales egativos y lo deotamos por R -, a R - ={y R / y=[b ] y (b ) es egativa}. Tambié como R - ={y R / -y R + }. Co estas defiicioes teemos que R = R - {0} R +. PROP La suma y el producto e R + so operacioes iteras. Co todas estas cosideracioes, ya podemos defiir ua relació e R y comprobar que es de orde. DEF Defiimos e R la relació como: a,b R a b b-a R + {0}. PROP La relació defiida e R es de orde. : Para comprobarlo hemos de demostrar que verifica las propiedades reflexiva, atisimétrica y trasitiva: 1)Reflexiva: 0 R + {0} a-a R + {0} a a )Atisimétrica: si a b b-a R + {0} si b-a=0 b=a si b-a R + a-b R - luego o se verifica que b a co b a. 3) Trasitiva: si a b b-a R + {0} si b c c-b R + {0} (c-b)+(b-a) R + {0} c-a R + {0} c-a R + {0} a c 13/3

14 PROP La relació es de orde total. a,b R, b-a {0} a=b R + a b R - b a PROP El orde defiido e R es compatible e las operacioes de suma y producto. i) a,b R co a b b-a R + (b+c-c-a) R + (b+c)-(c+a) R + a+c b+c c R. ii) a,b R co a b y co c R + {0} b-a R c( b a) R cb ca R ac bc c( b a) {0} cb ca = 0 ac = bc Coclusió: (R, ) es u cuerpo ordeado. PROP (R, ) amplia a (Q, ). Sea ϕ: Q R q [q] ac bc Ya sabemos que ϕ es homomorfismo iyectivo. Sea p,q Q co p q q-p Q + {0} ϕ(q-p) R + {0} ϕ(q)-ϕ(p) R + {0} ϕ(q) ϕ(p) El cojuto ϕ(q) R es u subcuerpo ordeado de R, y es isomorfo a Q. Como Q ϕ(q) por coveio se toma ϕ(q) Q y por tato los úmeros reales so ua ampliació de los úmeros racioales. 14/3

15 4. PROPIEDADES DE R. 4.1 Q es deso e R. PROP Dados x,y R co x y y x y, q Q / x<q<y. Sea (a ) y (b ) S c tales que x=[a ] e y=[b ] verificado que [b -a ] R + (ya que x<y) Si [b -a ] R + (b -a ) es o ula ε>0 0 N / 0 b -a > ε Además como (a ), (b ) S c ε 1 >0 1 N /,m 1 a -a m <ε 1 ε >0 N /,m b -b m <ε Tomemos ε 1 =ε =ε/ y sea 3 =max{ 0, 1, }. Defiiedo q Q como a + 3 b q 3 a3 + b3 a3 + b3 b3 a = teemos que 3 q a = a = + ε/ ε ε > + = 4 q-a > ε/4 x<q (tegamos e cueta que a 3 -a <ε/ a 3 -a >-ε/). Aálogamete a 3 b -q=b - + b b = a b + b b -q>ε/4 q<y Uiedo ambas partes obteemos x<q<y, cqd. > ε ε/ ε = 4 4. R es arquimediao. PROP Sea x, y R co y R + N / y>x Vamos a distiguir varios casos: - Si x 0 basta tomar =1 y y<x. 15/3

16 - Si x>0 como Q es deso q Q / 0 < p < y. Como p,q Q + y Q es q Q / x < q 0 < p < y arquimediao N / p>q 0<p<y y>p>q>x y>x. x < q 4.3 Valor absoluto e R. Para defiir el valor absoluto e R os vamos a apoyar e Q dode ya lo teemos defiido. PROP El valor absoluto e R verifica las siguietes propiedades: 1) x =0 x=0 x R. ) x 0 x R 3) x+y x + y x,y R 4) x - y x-y x,y R 5) xy = x y 1) Trivial, por defiició. ) Idem. 3) x,y R se tiee que - x x x y - y y y etoces teemos que: - x x x + - y y y - x - y x+y x + y etoces -( x + y ) x+y ( x + y ) x+y x + y. Esta desigualdad es la llamada desigua ldad triagular. 4) x - y x-y x - y x-y ( x - y ) (x-y) x + y - x y x +y - -xy - x y -xy xy x y xy x y y esto es cierto obviamete x,y R. 5) - Si x>0 e y >0 xy= x y xy = x y -Si x>0 e y>0 xy= x (- y ) xy = x y -Si x<0 e y <0 xy=(- x )(- y ) xy = x y 16/3

17 -Si x<0 e y>0 xy=(- x ) y xy = x y Luego xy = x y x,y R 4.4 R es completo. DEF Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales. Diremos que (x ) coverge hacia a y se deota por limx =a, si ε>0 (ε R) 0 N / 0 x -a <ε PROP Todo úmero x R es límite de algua sucesió de Cauchy de racioales. Sea x=[a ] y (a ) ua sucesió racioal de Cauchy ((a ) S c ). Vamos a comprobar que lim a =x. (a ) S c ε>0 0 N / m, 0 a m -a ε Si fijamos 0 el úmero real x-a viee determiado por la sucesió ( a m -a ) que es de Cauchy. Supogamos que lim a x ε>0 1 N / 1 a -x >ε Como Q es deso e R, q Q / ε<q< a -x. Etoces a -x -q R + la sucesió de Cauchy que determia este úmero real positivo es positiva. Luego k>0 / m a - a m -q > k a -a m > q+k Si elegimos 3 =max{ 1, } (a ) o es de Cauchy. CONTRADICCIÓN. La suposició es falsa y por tato lim a =x, cqd. PROP Toda sucesió de Cauchy de úmeros reales es covergete. Sea (x ) ua sucesió de Cauchy de úmeros reales. ε>0 0 /,m 0 x -x m <ε N q Q / x -1/ < q < x +1/ ya que Q es deso e R. Coseguimos ua sucesió (q ) de úmeros racioales que verifica: 17/3

18 m, 0 q m -q = q m -x m + x m + x - x +- q q m -x m + x m -x + x -q < 1/m + ε + 1/ < ε Etoces (q m ) es de Cauchy. Sea x=[(q )] x -x x -q + q -x < 1/ + ε < ε (x ) es covergete y su límite es x lim x =x. PRINCIPIO DE LOS INTERVALOS ENCAJADOS Sea (I ) ua sucesió de itervalos ecajados (I =[a,b ] co I +1 I ) cerrados y acotados. Etoces I. Si además I =b -a co lim I = 0 etoces existe x R / {} I Como I +1 I N y I =[a,b ] (a ) es ua sucesió de úmeros reales creciete y acotada superiormete por b 1 lim (a ) = a. Fijamos m N / m a b b m a b m m N. (b ) es ua sucesió de úmeros reales decreciete y acotada iferiormete por a 1 lim b = b. Como b m a m N b a Sea I=[a,b]. Como b a I Es más, podemos afirmar que I I N ya que a a b b,m. Etoces I I y como I etoces I. Como caso particular, si a=b I={a} y si x,y I a x b x = a = b a y b y = a = b La itersecció por tato está costruida por u sólo puto. TEOREMA DEL EXTREMO Todo subcojuto o vacío de R acotado superiormete tiee supremo. 18/3

19 Sea C R co C. Como C está acotado superiormete, b 1 R / b 1 es cota superior de C. Podemos ecotrar u º a 1 R tal que el itervalo [a 1,b 1 ] verifica: a) Cotiee putos de C. b) b 1 es cota superior de C. Dividimos [a 1,b 1 ] e dos uevos itervalos por su puto medio. A aquella mitad que verifique a) y b) la llamamos [a,b ]. a 1 + b (Es claro que si 1 es cota superior de C a =a 1 y b = a 1 + b cota superior a = 1 y b =b 1 ). a 1 + b 1 y si o es Se verifica que b -a = 1 (b1 -a 1 ) y a -a 1 1 (b1 -a 1 ). Repitiedo el proceso, obteemos ua sucesió de úmeros reales (a ) que verifica 1 a m -a (b 1 1 -a 1 ) (a ) es ua sucesió de Cauchy. Como toda sucesió de úmeros reales de Cauchy es covergete teemos que R / lim a = x. Supogamos que x Sup C. Como tambié lim b = x y C / x< b <y para algú N. Cotradicció, ya que b N so cota superior de C. Por tato, x=sup C. 5. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL. DEF Ua topología sobre u cojuto X es ua colecció τ de subcojutos de X que verifica tres propiedades: 1),X está e τ. )La uió de los elemetos de cualquier subcolecció de τ está e τ. 3) La itersecció de elemetos de cualquier colecció fiita de τ está e τ. 19/3

20 DEF U espacio topológico es u par ordeado (X,τ) formado por u cojuto y ua topología sobre él Subcojutos Cerrados de. DEF Dado A R subcojuto co A, diremos que A es cerrado si para cada sucesió (x ) covergete coteida e A tambié cotiee su límite. OBS El cojuto [a, b) defiido como [a,b)={x R / a x<b} o es cerrado ya que si b a x =b x es covergete ylim x =, se verifica que x [ a, b) N, y e cambio b [a,b). b Aálogamete para (a,b) = {x R / a<x<b} (x ) covergete co (x ) A y A cerrado lim x = x A PROP El cojuto [a,b]={x R / a x b} es cerrado. Supogamos que [a,b] o es cerrado. Etoces existe ua sucesió {x } [a,b] covergete tal que su límite x [a,b]. Sea x>b (Aálogamete si x<a) etoces sea d= x-b, como x es covergete se tiee que: ε>0 0 N / x -x <ε si 0, etoces si tomamos ε= d/ 0 N / x (x-ε, x+ε) si 0 x >b si 0 x [a,b] si 0!! (cotradicció) [a,b] es cerrado. PROP La uió de dos subcojutos cerrados es u subcojuto cerrado. Sea A 1 y A subcojutos de R cerrados, y sea A=A 1 A. Sea (x ) A ua sucesió covergete, y sea x= lim x. -Si (x ) A 1 x A 1 A -Si (x ) A x A A E caso cotrario, sea (x k ) ua subsucesió de(x ) coteida e A 1. Sabemos que x = lim k x k. Como (x k ) A 1 covergete y A 1 es cerrado x A 1 x A, y al ser lim x k = x = lim x (x ) A verifica que x A. Por tato A es cerrado. 0/3

21 Nota: hemos usado que si x x etoces x k x la demostració se deja como ejercicio al lector. COROLARIO La uió de ua familia fiita de subcojutos cerrados es tambié cerrado. Sea A 1, A A subcojutos de R cerrados y sea A= U Sea (x ) A ua sucesió covergete y sea x= lim x : -Si (x ) A, para algú i x A i por ser cerrado x A A es cerrado. -E caso cotrario, sea x k ua sucesió de x tal que x k A i para algú i como lim x k =x y A i es cerrado x A i x A A es cerrado. OBS La uió ifiita de cerrados o es cerrada. Por ejemplo, sea A =[+1/, 4-1/] N. Etoces A i =[3,3] A =[ 5,3 5]... Como lim(+1/)= y lim (4-1/)=4 A =(,4). Como (,4) es u itervalo abierto, el cojuto uió o es cerrado. PROP Sea {A i / i I} ua familia (fiita o ifiita) de cojutos cerrados e R. Etoces A= A i es cerrado. Sea (x ) A ua sucesió covergete co x=limx. Etoces (x ) A i i N x A i i N ya que los A i so todos cerrados x A A es cerrado. 5. Subcojutos abiertos de R. DEF U subcojuto V de la recta real V R diremos que es abierto si su complemetario, R-V, es cerrado. PROP (a,b)={x R / a<x<b}es abierto. R-(a,b) = (,a] [b, ) es cerrado. PROP La itersecció de ua familia fiita {v 1,..,v } de cojutos abiertos es otro cojuto abierto. i=1 A i. 1/3

22 Sea V= I V k V k k=1 k=1. Como R-V= R-I siedo R-V= U k= 1 ( R ) uió de cojutos V k cerrados R-V es cerrado V es abierto PROP La uió de ua familia de cojutos abiertos (fiita o ifiita) es u cojuto abierto. Sea V= V i R-V = R- V i = (R-V i ). Como la itersecció de cerrados es cerrada R-V es cerrado V es abierto. OBS El cojuto R y el vacío so abiertos y cerrados, y so los úicos que so de los dos tipos. R es abierto porque es cerrado y es abierto porque R es cerrado. Esto o es cotradictorio ya que existe cojutos que o so i abiertos i cerrados. COROLARIO Dado τ={a R / a es abierto} es ua topología para R. TEOREMA A es abierto x A ε>0 / (x-ε,x+ε) A. " " Supogamos que la tesis o es cierta ε>0 / (x-ε,x+ε) A.. Tomemos ε=1 x 1 (x-1,x+1) tal que x 1 A. Reiterado el proceso para ε= 1/ x (x-1/, x+1/) co x A. La sucesió (x ) R-A. El cojuto R-A es cerrado. (x ) es covergete ya que x -x < 1/ N Etoces x R-A lo cual es ua cotradicció y por tato uestra suposició es falsa. " " Supogamos que a o es abierto. Etoces R-A o es cerrado (x ) R-A covergete hacia x R-A x A. Por hipótesis ε>0 / (x-ε, x+ε) A. Por ser (x ) covergete, dado ese ε>0 /3

23 0 N / 0 x -x <ε, pero x -x <ε es lo mismo que -ε<x -x<ε, y eso es igual que (x ) R-A. La suposició es falsa y por tato A es abierto. 5.3 Etoros. DEF Se dice que U R es etoro del puto x R si ε>0 / (x-ε, x+ε) U. PROP Dado x R, sea U x ua familia formada por los etoros U del puto x. Se verifica: 1) (x-ε, x+ε) U x ) [x-ε, x+ε] U x 3) (x-ε, x+ε] U x 4) [x-ε, x+ε) U x Sabemos que U x ={U / U es etoro de x R} 1) Si e la defiició tomamos U=(x-ε, x+ε) se verifica, luego (x-ε, x+ε) U x ) Sea U[x-ε, x+ε] U R y (x-ε, x+ε) U x (x-ε, x+ε) U x 3) Aálogo a ). 4) Aálogo a ). PROP Si U 1 y U so dos etoros x R, etoces U 1 U es otro etoro de x R. Como U 1 y U so dos eteros de x R ε ε 1 > 0 / ( x ε, x + ε 1 > 0 / ( x ε 1, x + ε ) U 1 ) U Si tomamos ε=mi{ε 1,ε } se tiee que ( x ε, x + ε) ( x ε1, x + ε1 ) U1 ( x ε, x + ε) ( x ε, x + ε ) U (x-ε,x+ε) U 1 U ε>0 / (x-ε,x+ε) U 1 U U 1 U es u etoro de x R. La defiició de límite de ua sucesió covergete se puede escribir e fució de etoros. 3/3

24 TEOREMA ( U U x 0 N / 0 x U) (x ) coverge hacia x. " " ε>0 (x-ε, x+ε)=u U x 0 N / 0 x U = (x-ε, x+ε) y que x (x-ε,x+ε) es lo mismo que x -x <ε. Luego (x ) es covergete y tiee por límite x. " " ( U U x ε>0 (x-ε,x+ε) U y 0 N / 0 x -x <ε y x -x <ε es x (x -ε,x+ε) U. DEF Llamamos etoro de cetro a y radio r>0 al cojuto E(a,r)={x R / a-r<x<a+r} OBS La defiició es cosistete co la aterior, ya que E(a,r)= (a-r,a+r) U a tomado ε=r. PROP Si b E(a,r) E(b,s) / E(b,s) E(a,r) Si b E(a,r) b-a <r r- b-a > 0. Sea s<r- b-a co s>0. Para ver la iclusió: x E(b,s) x-a = x-b+b-a x-b + b-a < s + b-a < r x E(a,r) Luego E(b,s) E(a,r). 5.4 Putos Especiales. DEF Sea A R u subcojuto y x A. Diremos que x es u puto iterior a A si existe u etoro de x, U U x, coteido e A, U A. El cojuto de los putos iteriores de a se deota por A o It(A). DEF Sea A R y y R. Diremos que y es u puto exterior A si y es iterior a R-A. DEF Sea A R y y R. Diremos que z es u puto frotera de A si U Uz, U cotiee putos de A y de R-A. 4/3

25 PROP El cojuto V R es abierto V=It(V). " " Por la propia defiició de It(V) se cumple que x It(V) x V It(V) V Como V es abierto R-V es cerrado, esto quiere decir que cualquier sucesió {x } R-V que sea covergete cumple que su límite está coteido e R-V. Por lo tato si x V se cumple que ε>0 / (x-ε,x+ε) V, porque de o ser así podríamos establecer ua sucesió {x } R-V covergete cuyo límite fuese x R-V, pero esto es cotradictorio co lo ateriormete expuesto, por lo tato x es u puto iterior de V x It(V) V It(V) It(V)=V. " " Sea {x } R-V ua sucesió covergete a x. Supogamos que x V = It(V) U x etoro de x tal que U x V x U x N!! (porque el límite de x es x) x R-V R-V es cerrado V es abierto. DEF Sea A R. Diremos que x R es adherete al cojuto A si x es límite de algua sucesió coteida e A. DEF Llamaremos A al cojuto formado por todos los putos adheretes de a. A ={x R / x es adherete a A} PROP Dado A R se verifica que A A. Dado x A sea (x ) co x =x N. Trivialmete (x ) es covergete, lim x = x y (x ) A. Etoces x A x A. PROP A es cerrado A= A. 5/3

26 " " Como ya sabemos, por la proposició aterior, que A A. Veamos el recíproco: Sea x A {x } A sucesió covergete a x, pero como A es cerrado x A A A, etoces A= A " " Sea {x } A ua sucesió covergete a x. Como x es el límite de ua sucesió de térmios de A x A =A x A A es cerrado. PROP Dados A,B, R, se verifica 1) A B = A B ) A B = A B 1) " " Sea x A B {x } A B que coverge a x. a) Si {x } A N x A b) Si {x } B N x B c) Si {x } A B {x k } A (por ejemplo) tal que el límite de {x k } es x x A A B A B " " Sea x A B etoces a) Si x A {x } A que coverge a x {x } A B x A B b) Si x B {x } B que coverge a x {x } A B x A B A B A B A B = A B ) Sea x etoces A B {x } A B que coverge a x, etoces: { x { x } A x A x A B } B x B A B A B 6/3

27 OBS La iclusió A B A B o se verifica. Veámoslo co u ejemplo. Sea A=(1,) y B=(,3) A =[1,] y B =[,3] A B ={}, pero A B= luego A B =. Por tato, o se puede hablar de igualdad. OBS Los putos adheretes tambié recibe el ombre de putos de aglomeració. DEF Sea A R y x R. Diremos que x es u puto de acumulació de A si ε>0 el cojuto {a A / x-a <ε} es ifiito. Cometario: el cojuto {a A / x-a <ε} es fiito si y sólo si ε>0 a A / x a y x-a <ε PROP Todo puto de acumulació es adherete. Sea x A u puto de acumulació de A ε>0 {a A / x-a < ε co x a} es ifiito. Sea ε= 1/ y sea x A u elemeto distito de x y tal que x-x <ε N {x } A y coverge a x x es u puto adherete a A. El recíproco o es cierto. Sea A={1}. Si x =1 N (x ) A y lim x =1 1 A. Pero 1 o es puto de acumulació ya que el cojuto {a A / 1-a <ε}={1} y o es ifiito. DEF Llamaremos putos aislados a los úmeros reales que so adheretes a u cojuto A R y o so de acumulació e A. DEF Llamaremos cojuto derivado de A R y lo deotaremos por A, al cojuto A R de los putos de acumulació de A. PROP El supremo de u cojuto es adherete al cojuto. Sea A R acotado superiormete y x=supa. -Si x A x A -Si x A Como x=sup A por defiició de supremo, podemos ecotrar elemetos e A ta próximos a x como queramos. Sea x A / x -x < 1/ y se verifica que x <x. Etoces (x ) es covergete y lim x = x x A. 7/3

28 TEOREMA DE BOLZANO WEIERSTRASS Todo subcojuto A R, ifiito y acotado posee al meos u puto de acumulació. A es acotado A [a,b] A partir de [a,b] y dividiedo por la mitad, de forma reiterada formamos ua sucesió I =[a,b ] de itervalos ecajados que tiee como característica que todos ellos cotiee ifiitos putos. ([a 1,b 1 ] es aquella mitad de [a,b] que cotiee ifiitos putos). La sucesió (a ) es de Cauchy y lim a =a a es u puto de acumulació de a, a A, ya que dado ε>0 0 N / 0 se verifica {a A / a -a <ε} es ifiito (está todos a partir de 0 ). 5.5 Cojutos compactos. DEF Sea K R u subcojuto. Diremos que K es compacto si toda sucesió (x ) K posee ua subsucesió covergete hacia u x K. TEOREMA FUNDAMENTAL Sea K R. K es compacto K es cerrado y acotado. Probemos que K compacto K acotado. Supogamos que K o es acotado. Etoces N se verifica que K [-,]. Etoces x K /x [-,+] x N. Teemos por tato ua sucesió (x ) de K. Por defiició de compacto (x k ) (x ) co (x k ) covergete siedo x K su límite. Pero eso es falso ya que como x k k resulta que (x k ) o es acotada. 8/3

29 CONTRADICCIÓN. Por tato, la supresió es falsa y K es acotado. Probemos ahora que K compacto K cerrado. Supogamos que K o es cerrado. Etoces (x ) K covergete co lim x = x y x K. Como K es compacto (x k ) (x ) covergete, lim x = y, y K. Sabemos que y=x porque cualquier subsucesió de ua sucesió covergete es covergete y co el mismo límite. Luego x = y, x K, y K. CONTRADICCIÓN. Por tato la suposició es falsa y K es cerrado. Sea (x ) K ua sucesió cualquiera. Como K es acotado (x ) es ua sucesió acotada. Sea el cojuto A={x / N}. Sabemos que A K. (A={(x )}). Como A tiee ifiitos elemetos y es acotado, por el teorema de Bolzao-Weierstrass, A posee al meos u puto de acumulació. Sea x A. Por defiició de puto de acumulació (x k ) A covergete hacia x. Como (x k ) (x ) =A K y K es cerrado x K. Luego de ua sucesió cualquiera hemos podido extraer ua subsucesió covergete a u puto del cojuto K es compacto. DEF Sea A R. Llamamos a {V i : i I}, familia de subcojutos de R, recubrimieto de A si a U{ V i : i I }. Es decir a A i I / a V i. Si cada V i es u cojuto abierto, diremos que el recubrimieto es abierto. DEF Llamaremos subrecubrimieto de A, extraído del recubrimieto {V i : i I}, al recubrimieto de A {V j : j H} y H I. Ejemplo: {(-,): N} es u recubrimieto de R. TEOREMA DEL RECUBRIMIENTO Sea K R. K es compacto. De todo recubrimieto abierto de K es posible extraer u subrecubrimieto fiito. 9/3

30 Sea {V i : i I}recubrimieto abierto de K. Como K es compacto K es acotado K [a,b]. Supogamos que o es posible extraer u subrecubrimieto fiito de K (demostració por reducció al absurdo). Como K [a,b] [a,b] tampoco se puede recubrir co u recubrimieto fiito de {V i : i I}. Al dividir [a,b] e dos mitades iguales, al meos ua de las dos o se puede recubrir co u recubrimieto fiito. (Si ambas mitades tuviera u recubrimieto fiito, la uió de ambos os daría u recubrimieto fiito para [a,b], lo que o puede ser). Llamemos [a 1,b 1 ] a la mitad que o dispoe de recubrimieto fiito, tal que [a 1,b 1 ] K=. Repitiedo el proceso obteemos ua sucesió (I ) co I =[a,b ], b -a = 1 ( b a 1 1 ), I K N y igú I tiee u recubrimieto fiito. Por el pricipio de los itervalos ecajados x R / x= I. Como I K N, sea x I K. Como x,x I x -x (b -a ) 0 Pero (x ) K que es compacto (x ) K cerrado x K. 1 (b-a) x = lim x. Si x K i 0 I / x V io Vi0 es abierto ε > 0 / ( x ε, x + ε) Vio I o V io, lo cual es ua Dado ese ε > 0 0 N / I o ( x ε, x + ε) cotradicció ya que hemos demostrado que I o está recubierto por u abierto (y por tato u fiito) y por hipótesis o podrá ser. Luego la suposició es falsa y existe u subrecubrimieto abierto y fiito K. 30/3

31 -K es acotado. Supogamos que K o es acotado. {V =(-,) / N} es u recubrimieto de R y por tato de K. Si existiera u recubrimieto fiito de K, sea {V o, V 1,..., V k } dicho recubrimieto. Tomamos m=max{ 0, 1,..., k } k V m = (-m,m) K es acotado. Cotradicció co uestra suposició. Etoces es falsa y K es acotado. -K es cerrado. Supogamos que K o es cerrado. (x ) K covergete y x = lim x tal que x K. 1 1 Tomamos F =[ x, x + ] y defiimos V =R- F. Los F so cerrados V so abiertos co V = R {x} para cada x i x / x i V. Como x K K R-{x} {V : N} es u recubrimieto abierto de K. Por hipótesis V 1,V,..., V k / K U k V j = V m co m=max{ 1,..., k }. j= 1 Como x = lim x 0 N / 0 x -x < 1/ x (x 1/,x+1/) F. Tomado =max{ 0,m} teemos que dado > x V x V m x K. Cotradicció, ya que (x ) K. La suposició es falsa y K cerrado. Por ser K cerrado y acotado K es compacto Teiedo e cueta este teorema podríamos haber dado como defiició de cojuto compacto la siguiete: DEF U cojuto K R es compacto si dado u recubrimieto abierto de K puede obteerse u recubrimieto fiito. 31/3

32 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA. Aálisis Matemático I. Aut. J.A. Ferádez Viña. Ed. Tecos. Aálisis Matemático. Aut. M. de Guzmá B. Rubio. Ed. Pirámide. Pricipios de Aálisis Matemático. Aut. W. Rudi. Ed. McGraw-Hill. Itroducció al Aálisis Matemático. Aut. J. M. Ortega. Ed. Labor. Curso de Aálisis Matemático I. Aut. E.L. Lima. Ed. Edusa. Calculus. Aut. M. Spivak. Ed. Reverté. 3/3