TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)
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- Eugenia Velázquez Olivares
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1 TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMA 1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. FUNCIONES ELEMENTALES. SITUACIONES EN QUE APARECE. FUNCION COMPUESTA. 1. Introducción Subconjuntos de. 1.. Cotas de subconjuntos.. Concepto de unción. 3. Operaciones con unciones Suma de unciones. 3.. Producto de unciones Producto de una unción por un número real Composición de unciones. 4. Función Recíproca. 5. Relación de Orden en F(A). 6. Tipos de Funciones Funciones Acotadas. 6.. Funciones Monótonas Funciones Pares e Impares Funciones Periódicas. 7. Funciones Elementales, situaciones reales donde aparecen Funciones Polinómicas de 1 er rado. 7.. Funciones Polinómicas de º rado Funciones Potenciales Funciones Polinómicas Funciones de Proporcionalidad Inversa Funciones Escalonadas Funciones Eponenciales Funciones Loarítmicas Funciones Deinidas a trozos. Biblioraía Recomendada. 1/0
2 TEMA 1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. FUNCIONES ELEMENTALES. SITUACIONES EN QUE APARECE. FUNCION COMPUESTA. 1. INTRODUCCIÓN Subconjuntos de. Los conjuntos de números que conocemos son = Naturales. = Enteros. = Racionales. = Reales. = Complejos. En este tema vamos a trabajar sobre el conjunto de números reales. Los subconjuntos de números reales más simples que no podemos encontrar son los intervalos. Intervalos Abierto ( b) = { Intervalo Cerrado [ b] = { a, / a < < b} a, / a b} Como podemos comprobar ácilmente, un intervalo abierto comprende todos los números reales situados entre los etremos, pero sin incluir a éstos. En cambio, un intervalo cerrado si los incluye. También podemos encontrar intervalos que son mezcla de ambos. Intervalos Semiabiertos y Semicerrados. (a, b] = { / a < b} [a, b) = { / a < b} Otro tipo de intervalo son las semirrectas. Estas, a su vez, pueden ser abiertas o cerradas seún no incluyan o si el etremo, respectivamente. Semirrectas Abiertas a la derecha (a, ) = { / a < } Semirrectas Abiertas a la izquierda (, a) = { / < b} /0
3 Semirrectas Cerradas a la derecha [a, ) ={ / a } Semirrectas Cerradas a la izquierda (, b] = { / b} Podemos observar que las semirrectas cerradas no van entre corchetes. Eso se eplica porque la lecha representa a + ó a - y estos elementos no son números reales (orman parte de la recta real ampliada). El ultimo tipo de intervalos que nos podemos encontrar son los entornos reales. Estos son intervalos con unas características que los dierencian del resto. Son siempre intervalos abiertos y están centrados en un punto. E(a, r) = { / a r < < a + r} Se dice que E(a, r) es un entorno de centro a y radio r. Equivale a E(a, r) = (a r, a + r). También nos podemos encontrar con los subconjuntos de. Estos son entidades menos simples que los intervalos vistos antes. Por ejemplo: A = (-, -1) {0} [, 4] 1.. Cotas de Subconjuntos. DEF a es cota superior de A si A se veriica a. DEF a es cota inerior de A si se veriica a. DEF Si a es cota superior del subconjunto A, entonces, cualquier b con b>a es también cota superior. De orma análoa, si a es cota inerior de A entonces dado b con b < a también es cota inerior. DEF Diremos que un subconjunto A r está acotado superiormente si tiene cota superior. DEF Diremos que un subconjunto A está acotado ineriormente si tiene cota inerior. DEF Diremos que un subconjunto A está acotado si lo está superior e ineriormente. DEF Diremos que a es el Supremo del Subconjunto A si es la más pequeña de las cotas superiores. Se representa por a = Sup A. DEF Diremos que a es el Inimo del Subconjunto A si es la más rande de las cotas Ineriores. Se representa por a = In A. 3/0
4 DEF Diremos que a es el Máimo del subconjunto A si a = Sup A y a A. Se representa por a = Ma A. DEF Diremos que a es el Mínimo del subconjunto A si a = In A y a A. Se representa por a = Min A.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. DEF Una correspondencia entre dos conjuntos A y B cualesquiera es una relación entre los elementos de ambos conjuntos. Ejemplo. Sea A = {Alumnos} y B = {Asinaturas} y deinimos la relación Matriculado en. Es ácil ver que un alumno puede estar matriculado en varias asinaturas y que de una asinatura pueden estar matriculados varios alumnos. Por tanto un elemento de A puede estar relacionado con varios del B y uno del B con varios del A. DEF Una aplicación entre dos conjuntos es una correspondencia entre ambos donde cada elemento del primer conjunto está relacionado con un único elemento del seundo. Ejemplo. Sea A = {alumnos} y B = {sillas} y deinimos la relación sentado en. Es inmediato comprobar que la relación es una aplicación ya que un alumno solo puede estar relacionado con una silla (no puede estar sentado en dos a la vez). DEF Una unción es una aplicación entre conjuntos numéricos. Se puede denotar por : A B donde ( ) es la unción A es el conjunto inicial B es el conjunto inal X es la variable independiente () es al relación entre ambos conjuntos. DEF El Dominio de una unción es el subconjunto del conjunto inicial ormado por todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se representa por Dom, es decir, Dom () = { A/ ()}. 4/0
5 DEF Diremos que y o B es imaen por si o A tal que ( o ) = y o. DEF El Recorrido de una unción es el subconjunto del conjunto inal ormado por todas las imáenes. Se representa por Rec. También se conoce por Rano de la unción, es decir, Rec () = {y B/ A con () = y}. OBS Las unciones cuyo conjunto inicial es el conjunto de los números naturales reciben el nombre de sucesiones. A partir de ahora vamos a tratar las unciones reales de variable real, :. DEF Dada :, llamaremos rao de al conjunto G = {(, y) / y = ()} OBS Conociendo G, tenemos completamente determinada la unción. Si dado disponemos de una órmula que permita calcular (), podemos deinir como y = (). Si lo que tenemos es y = (), entenderemos que el dominio de será el subconjunto A para el que es posible eectuar las operaciones indicadas en la órmula (). A recibiría el nombre de Campo de Eistencia o Dominio de Deinición de (). Al órmula que epresa () puede no tener una epresión analítica. Por ejemplo ()= Mayor número primo menor que. Resumiendo, el conocimiento de G deine la unción, y como G puede representarse en un diarama cartesiano, la unción puede venir dada por una ráica o por una tabla de valores, además de por una órmula. 5. OPERACIONES CON FUNCIONES. DEF Dadas : A y : B con A, B, diremos que = si se veriica que A = B y que () = () A Suma de unciones. DEF Dadas dos unciones : A y : B con A, B se deine la suma, +, como la unción + : Dom () Dom () siendo ( + ) () = () + () A B ( + ) () 5/0
6 PROP La operación suma deinida anteriormente veriica las siuientes propiedades: 1) Conmutativa. ) Asociativa. 3) Elemento Neutro. 4) Elemento Opuesto. Dem. Sean : A y : B con A, B y sea D = Dom () Dom () 1) Dada + : D deinida por ( + ) () = () + () Podemos construir + : D tal que ( + ) () = () + () D Es ácil ver que + y + tienen el mismo dominio, pues Dom ( + ) = Dom ( + ) = D Y D ( + ) () = () + () = Como () y () = () + () = ( + ) () Lueo + = +. ) Sean : A, : B y h: C con A, B, C. Sean A = Dom (), B = Dom () y C = Dom (h). Si ( + ) + h: (A B ) C con [( + ) + h] () = (() + ()) + h() (A B ) C podemos construir. + ( + h): A (B C ) con [ + ( + h)]() = () + (() + h()) A (B C ). Veamos que son iuales. Trivialmente (A B ) C = A (B C ) (A B ) C se veriica [( + ) + h] = (() + ()) + h() = como (), () y h() 6/0
7 = () + (() + h()) = [ + ( + h)] () Por tanto ( + ) + h = + ( + h) 3) Deinimos O: con O() = 0 Se veriica por tanto que + O = = O + A (+O)() = () + O() = () + O = () = O + () = O() + () = (O + )() 4) Dada : A, podemos encontrar (- ): A con (- )() = - () A Así pues, + (- ) = 0 CONCLUSIÓN Si deinimos F(A) = {: A / unción real con Dom = A } podemos airmar que (F(A), +) es un rupo abeliano. 3.. Producto de unciones. DEF Dadas dos unciones : A y : B con A, B se deine el producto,, como la unción: : D ( ) () siendo ( ) () = () () D donde D = Dom () Dom () PROP Las operaciones producto deinida anteriormente veriica las siuientes propiedades: 1) Conmutativa. ) Asociativa. 3) Elemento Neutro. 4) Elemento Inverso. Dem. Sean : A y : B con A, B. 1) Análoamente a la proposición anterior. ) Análoamente a la proposición anterior. 3) Deinimos 1: con 1() = 1 7/0
8 Se veriica que ( 1) () = () 1() = () 1 = () (1 ) () = 1() () = 1 () = () Lueo 1 = = 1 1 4) Podemos deinir = A 1 1 con ( ) = ( ) A Siendo A el subconjunto de A/ A () Se veriica que ( ) = ( ) ( ) = ( ) 1 ( ) = ( ) = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) = 1 Lueo 1 = 1 = 1 La unción 1 tendría dominio A. CONCLUSIÓN (F(A), ) es un semirupo abeliano multiplicativo. PROP Se veriica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Dem. Hemos de demostrar que ( + ) h = h + h siendo : A, : B y h: C y A = Dom (), B = Dom () y C = Dom (h) Deinimos ( + ) h: A B C como [( ) h]( ) = ( ( ) + ( ) ) h( ) deinimos ( h+ h) : A B C como ( h + h)( ) = ( ) h( ) + ( ) h( ) veriicándose: 1) El dominio de ambas es el mismo ) El veriicarse en la propiedad distributiva + y [( + ) h]( ) = ( ( ) + ( ) ) h( ) = ( ) h( ) + ( ) h( ) = ( h+ h)( ) Lueo ( + )h = h + h 8/0
9 CONCLUSIÓN (F(A), +, ) es un anillo conmutativo con unidad Producto de una unción por un número Real. DEF Dada la unción : A y α, se deine el producto de α por, α, como la unción siendo (α)() = α () α : A (α)() PROP La operación anterior veriica las siuientes propiedades: 1) Distributiva respecto de la suma de unciones. ) Distributiva respecto de la suma de números reales. 3) Pseudo asociativa. 4) Elemento Unidad. Dem. Sea : A y : B dos unciones con A, B y sean α, β dos números cualesquiera. 1) Hemos de comprobar que α( + ) = α + α [ α( + ) ]( ) = α ( + )( ) = α( ( ) + ( ) ) = En se veriica la propiedad distributiva ( ) + α ( ) = ( α )( ) + ( α )( ) = ( α + )( ) A B = α α y como ambas unciones tienen por dominio A B, se veriica que α( + ) = α + α ) Hemos de comprobar que ( α + β) = α + β [( α + β) ]( ) = ( α+ β) ( ) = En se veriica la propiedad distributiva ( ) + β ( ) = ( α )( ) + ( β )( ) = ( α + )( ) A = α β Por tanto ( α + β) = α + β 9/0
10 3) α ( β ) = ( αβ) A [ α( β )]( ) = α( β )( ) = α( β ( ) ) = En se veriica la propiedad pseudoasociativa = ( αβ ) ( ) = [( αβ) ]( ) Lueo α ( β ) = ( αβ) 4) 1 = ( 1 )( ) = 1 ( ) = ( ) 1 A = CONCLUSIÓN (F(A), +, ) es un -espacio vectorial Composición de unciones. DEF Dadas las unciones : A y : B con A, B, llamamos unción compuesta de y, y se escribe o, a la unción o : C ( o )( ) siendo ( o )( ) = ( ( ) ) y C = { A / ( ) B} PROP La operación de composición deinida anteriormente veriica las propiedades 1) Asociativa. ) Elemento Neutro. Dem. Sean : C, : B y h: A 1) Comprobemos que ( o ) o h = o ( o h) El dominio de ambas unciones ( ) o h y o ( o h) o es { A h( ) B y ( h( ) ) C} D = / y D [( o ) o h]( ) = ( o )( h( ) ) = ( ( h( ) )) [ o ( o h) ]( ) = (( o )( ) ) = ( ( h( ) )) ) Deinimos I: como I() = 10/0
11 Se veriica que I o = = o I F (A) OBS De esta operación podemos airmar que, en eneral, no es conmutativa. Por ejemplo, sea : deinida por () = y : como () = ( o )( ) = ( ( ) ) = ( + 1) = ( o )( ) = ( ) ( ) = ( ) = FUNCIÓN RECÍPROCA. DEF Dada la unción : A, llamaremos unción recíproca de, -1, a una unción : B que veriica o = o = I OBS De la condición anterior se puede deducir que 1) Rec = Dom ) Rec = Dom La unción recíproca de, que llamaremos -1, si eiste ha de ser inyectiva ya que si () = (y) con y tendremos que ( ( ) ) = ( ( y) ) = y lo que sería una contradicción. La eistencia de la unción recíproca no siniica que su cálculo sea ácil o posible. Veamos una orma de calcular la recíproca de una unción: ( ) 4 1 = 3 1) es inyectiva ya que si ( ) ( ) ) Im = = Dom y = ) y = 3y = 4 1 = ( ) 5. RELACIÓN DE ORDEN EN F (A). DEF como Dadas dos unciones : A y : A deinimos una relación en F(A) ( ) ( ) A 11/0
12 PROP La relación binaria anterior deinida en F(A) veriica las propiedades 1) Releiva. ) Antisimétrica. 3) Transitiva. Dem. Inmediata. CONCLUSIÓN La relación binaria anterior es una relación de orden. Por tanto (F(A), ) es un conjunto ordenado. OBS La relación de orden no es de orden total ya que dadas cualquier par de unciones, F(A) no podemos arantizar que ó DEF Diremos que una unción es positiva si 0 Dom, y estrictamente positiva si > 0. DEF Diremos que una unción es neativa si 0 Dom y estrictamente neativa si < 0. A partir de estas deiniciones podemos dar otras como + 1) ( ) ) ( ) = = ( ) si ( ) 0 si ( ) < 0 si ( ) > ( ) si ( ) DEF Deinimos el Valor Absoluto de, y se representa por, como PROP ( ) = = + ( ) si ( ) ( ) si ( ) 0 < 0 Dem. Inmediata. PROP Se veriican las siuientes propiedades 1) + + 1/0
13 13/0 ) = 3) Dem. 1) Como: ( ) ( ) ( ) ( ) Dom y ( ) ( ) ( ) ( ) Dom Entonces sumando obtenemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C + + siendo ( ) ( ) Dom Dom C = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C + + ) Trivial. 3) Sea ( ) ( ) Dom Dom C = ( ) ( ) ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) que es cierto trivialmente C 6. TIPOS DE FUNCIONES Funciones Acotadas. Dada una unción : A, sabemos que Im es un conjunto de números reales (Im = (A))
14 DEF está. DEF Diremos que : A está acotada ineriormente si el conjunto Im también lo Diremos que : A está acotada si lo está superiormente e ineriormente. Recordemos que todo subconjunto que está acotado superiormente tiene supremo (la más pequeña de las cotas superiores). DEF Si está acotada superiormente, con : A, llamaremos etremo superior de sup. en A al supremo de (A), y se denota por ( ) DEF A Si : A está acotada ineriormente, llamaremos etremo inerior de en A In. al Inimo de (A), y se denota por ( ) DEF Si el Sup ( ) A representa por Ma ( ) A DEF si el In ( ) A representa por ( ) Min A 6.. Funciones Monótonas. A es un elemento de Im, recibe el nombre de Máimo de y se es un elemento Im, recibe el nombre de Mínimo de y se DEF Diremos que : A es una unción monótona creciente si, 1 A con 1 < se veriica que ( 1 ) ( ). Y es estrictamente creciente si ( 1 ) < ( ). DEF Diremos que : A es una unción monótona decreciente si, 1 A con 1 < se veriica que ( 1 ) ( ). Y es estrictamente decreciente si ( 1 ) > ( ) Funciones Pares e Impares. DEF Dada : A diremos que es una unción par si A 1) - A ) () = (- ) OBS Las unciones pares tienen una representación ráica simétrica con respecto al eje y. Si doblamos el plano respecto al eje OY entonces las ráicas de ambos lados coinciden. DEF Dada : A diremos que es una unción impar si A 1) - A ) () = - (- ) 14/0
15 OBS Las unciones impares tienen una representación ráica donde el orien (0, 0) es su centro de simetría. Si doblamos el plano respecto de un eje y después respecto del otro entonces las ráicas coinciden Funciones periódicas. DEF Dada : A diremos que una unción periódica de período P si P es menor número positivo que veriica A. 1) + T A ) ( + T) = () Ejemplo. F() = sen o () = cos que tienen período T = π 7. FUNCIONES ELEMENTALES. SITUACIONES REALES DONDE APARECEN Funciones Polinómicas de 1 er rado. Las unciones polinómicas de primer rado son : (, +) (, +) con () = a + b siendo a, b. El dominio de estas unciones es y su recorrido también. Su representación ráica es una recta de pendiente a y ordenada en el orien b. Seún los valores de a y b podemos distinuir varios casos: 1) b = 0 Son isomorismos continuos entre el rupo (, +) y (, +). Por tanto son aplicaciones biyectivas, continuas y veriican que ( 1 + ) = ( 1 ) + ( ) 1,. Es ácil comprobar que si (1) = a entonces () = a. m 1 L ( Al ser homomorismo ( m) = = m ( 1) = am m = m m = m m ( 1) = a m ( 1 ) ( 1 ) 1 = m a m 15/0
16 ( 0) = ( + ( ) ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) Podemos concluir que m = n m n a m Q n Y como Q es denso y es continua podemos etender la deinición de Q a. Estas aplicaciones reciben el nombre de Lineales. ) b 0 Estas aplicaciones reciben el nombre de Aines, y su ráica no pasa por el orien de coordenadas. 3) a > 0 Son unciones estrictamente crecientes en. 4) a < 0 Son unciones estrictamente decrecientes en. Como aplicaciones en la vida real nos podemos encontrar: 1) La distancia recorrida por un móvil en un movimiento rectilíneo uniorme viene dada por e t = e + v ( ) t o o ) El coste de una determinada cantidad de un producto vendido al peso c(p) = a p 3) La lonitud de una circunerencia es unción lineal del diámetro de la misma L ( d ) = π d 4) Cambio de escala lineal, por ejemplo para pasar de rados Fahrenheit a rados centírados. 7.. Funciones Polinómicas de º rado. Una unción polinómica de seundo rado o cuadrática tiene como epresión eneral () = a + b + c con a, b, c y a 0. Estas unciones tienen como dominio todo, y su representación ráica es una parábola. 16/0
17 Los puntos más característicos de estas unciones son: 1) Los puntos de corte con el eje horizontal. Si eisten son b P1 b a 4ac,0 y b + P b a 4ac,0 ) El punto de corte con el eje vertical P 3 (0, b) 3) El vértice de la parábola b V, a ( b 4ac) 4a Si a > 0 tenemos que el vértice es el mínimo de la unción y si a < 0 el vértice es el máimo de la unción. Aplicaciones: es 1) La distancia recorrida por un móvil es un movimiento uniormemente acelerado e 1 ( t) = e + v t a t o o + o ) El área de un círculo a ( r) = πr 7.3. Funciones Potenciales. Son isomorismos continuos entre ( +, ) y ( +, ). Sus características son 1) Son unciones biyectivas de + en +. ) ( 1 ) = ( 1 ) ( ) 1, + 3) Son continuas. Su epresión es () = α con α - {0} 7.4. Funciones Polinómicas. Las unciones polinómicas son aplicaciones continuas de en donde : 17/0
18 y ( ) = n i= 0 a i Como aplicaciones nos encontramos con 1) El volumen de un cubo es V(l) = l 3 ) Y el de una esera i V 4 r 3 ( r 3 ) = π 7.5. Funciones de Proporcionalidad Inversa. Las unciones homoráicas tienen como epresión ( ) a + b = c + d veriicando que c 0 y ad bc. El dominio de estas unciones es - { d } hipérbola. También las podemos epresar como c y su representación ráica es una ( ) = K p + q donde y = p y = q son las ecuaciones de los ejes de la hipérbola. Si p = 0 y q = 0 obtenemos ( ) proporcionalidad inversa. Aplicaciones: K = que son las llamadas unciones de 1) Relación entre la base y la altura de un rectánulo de área constante. ) Ley de Ohm con V constante. 3) Atracción entre dos cuerpos de masas m 1 y m, siuiendo la ley de Newton: m1 m F = G r 18/0
19 4) Atracción o repulsión entre dos cuerpos con caras Q 1 y Q siuiendo la ley de Coulomb 7.6. Funciones Escalonadas. Q1 Q F = K r Las más conocida es () = E() donde () es la unción parte entera, y tiene como dominio y recorrido. También nos encontramos en inormática con 1) () = Entero más próimo pero mas pequeño que. ) F(X) = X Entero más próimo pero más pequeño rande que Funciones Eponenciales. Son unciones que veriican y () = a con a +. : (, +) ( +, ) 1) Son aplicaciones biyectivas. ) ( 1 + ) = ( 1 ) ( ) 1, 3) Son Continuas. Nos encontramos aplicaciones en 1) Cálculo del interés compuesto y del interés continuo. ) Crecimiento de Poblaciones. 3) Desinteración de Sustancias Radiactivas Funciones Loarítmicas. Son unciones recíprocas de las eponenciales, : ( +, ) (, +) con ( ) lo = y a +. Veriican a 1) Son aplicaciones biyectivas 19/0
20 ) ( 1 ) = ( 1 ) + ( ) 1, 3) Son Continuas. Como aplicaciones tenemos las mismas que para las eponenciales, al ser unas recíprocas de otras. Además tenemos: 1) La escala de Richter que mide la intensidad de los terremotos es loarítmica. ) Los loaritmos son la base de la construcción de la rela de Cálculo Funciones Deinidas a Trozos. Por ejemplo ( ) + 1 = e < 0 0 Como aplicación a la vida real nos podemos encontrar con la unción que nos da la escala de ravemen del Impuesto sobre la Renta de las Personas Físicas (IRPF). Biblioraía Recomendada. Análisis Matemático I. Aut. J.A. Fernández Viña. Ed. Tecnos Lecciones de Cálculo Ininitesimal I. Aut. R. Molina Leaz, M. Franco. Ed. Universidad de Murcia. Principios de Análisis Matemático. Aut. W. Rudin. Ed. McGraw-Hill Curso de Análisis Matemático I. Aut. E.L. Luna. Ed. Edunsa, Calculus. Aut. M. Spivak. Ed. Reverté. Análisis Matemático. Aut. M. de Guzmán, B. Rubio. Ed. Pirámide. Calculus. Aut. Apostol. Ed. Reverté Introducción al Análisis Matemático. Aut. J.M. Ortea. Ed. Labor 0/0
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