Elementos de Análisis Matemático

Transcripción

1 Elemetos de Aálisis Matemático Curso , grupo A, Pedro López Rodríguez Pla de la asigatura TEMARIO Tema. El úmero real. Los úmeros aturales, eteros, racioales y reales. Pricipio de iducció. Itroducció aiomática de los úmeros reales, aioma del supremo. Propiedad arquimediaa. Itervalos e R. Tema. Fucioes elemetales reales. Cocepto de fució. Composició de fucioes. Valor absoluto. Poliomios. Fucioes racioales. Fució logaritmo, fució epoecial. Fucioes trigoométricas. Fucioes iversas. Fucioes hiperbólicas. Tema 3. Topología e R. Cojutos abiertos y cerrados. Cojutos compactos. Teorema de Cator de los itervalos ecajados. Teorema de Heie-Borel. Teorema de Bolzao- Weierstrass. Tema 4. Límites y cotiuidad. Límites de fucioes. Cotiuidad. Cotiuidad de las fucioes elemetales. Discotiuidades. Cotiuidad de las fucioes moótoas. Tema 5. Propiedades de las fucioes cotiuas. Fucioes cotiuas e itervalos cerrados. Teorema de Bolzao. Fucioes moótoas. Cotiuidad uiforme: teorema de Heie. Tema 6. Derivabilidad. Derivada de ua fució e u puto. Derivadas de las fucioes elemetales. Regla de la cadea. Derivada de la fució iversa. Teoremas de Rolle. Teoremas del valor medio. Regla de L Hôpital. Tema 7. Sucesioes uméricas. Defiicioes y propiedades geerales. Subsucesioes. Límites y sucesioes. Sucesioes moótoas. El úmero e. Criterios de covergecia. Sucesioes de medias aritméticas y geométricas. Criterio de Cauchy. Sucesioes de úmeros complejos. Tema 8. Derivadas de orde superior. Fórmula de Taylor. Ifiitésimos. Epresioes del térmio complemetario de Cauchy y de Lagrage. Aplicació al estudio de etremos relativos. BIBLIOGRAFIA Es posible seguir el curso si hacer uso de referecias eteras. Todo lo ecesario para el mismo se epoe o etrega a los alumos durate las clases. Eiste umerosos libros que puede ser cosultados si así se desea, etre ellos: APOSTOL, T. M., Calculus. Ed. Reverté. APOSTOL, T. M., Aálisis Matemático. Ed. Reverté. DEMIDOVICH, B. P., 5000 problemas de Aálisis Matemático. Ed. Paraifo. DURAN, ANTONIO J. Historia, co persoajes, de los coceptos del cálculo Ed. Aliaza, 996 FERNANDEZ VIÑA, J.A., Aálisis Matemático I. Ed. Tecos. REY PASTOR, J., CASTRO, A., Elemetos de Matemática. Ed. SAETA. RUDIN, W., Pricipios de Aálisis Matemático. Ed. Mc Graw Hill. SPIVAK, M., Calculus. Ed. Reverté. WHITE, A. J., Itroducció al Aálisis Real. Ed. Promoció Cultural. HORARIO DE CLASES Lues de.00 a 4.00, miércoles de 3.00 a 4.00 y jueves de.00 a 4.00 e el aula L.. HORARIO DE CONSULTAS Lues de.00 a 4.00 y de 6.00 a Miércoles de 6.00 a El despacho se ecuetra (de mometo) e el módulo 38, e la tercera plata de la facultad de matemáticas, etrado a la derecha. Se ruega avise co atelació. plopez@us.es. METODOLOGIA Las horas teóricas se dedicará a la eplicació del programa, mostrado a los alumos los resultados fudametales co sus demostracioes y ejemplos que facilite su asimilació, itetado auar u desarrollo riguroso de los temas co ua eposició compresible para el alumo. Las horas prácticas se dedicará a propoer y resolver ejercicios de ilustració de los coceptos, métodos y resultados teóricos de la asigatura. EVALUACION. Se efectuará u úico eame fial que versará sobre cuestioes de tipo teórico y práctico ajustadas al programa y al desarrollo de este efectuado e clase. E la hoja de eame se especificará el valor de cada preguta. La calificació se obtedrá sumado las de cada preguta, ecesitado alcazar cico putos sobre diez posibles para aprobar. Pedro López Rodríguez Sevilla, 0 de octubre de 005

2 Tema. El úmero real.. Sea A, B subcojutos de R acotados y o vacíos. Si A B, probar que sup A sup B. Demostrar que sup(a B) = másup A, sup B}. Si λ < 0, probar que = ( ) m + m + + m m+, m N sup(λa) = λ if A.. Sea A, B subcojutos de R acotados y o vacíos. Demostrar que if(a B) = míif A, if B}. Si λ > 0, probar que sup(λa) = λ sup A. 3. Dar ua codició ecesaria y suficiete sobre u subcojutoa de los reales para para que se verifique sup A = if A. 4. Decir, razoado la respuesta, si puede ser racioal: La suma de u racioal y u irracioal. El opuesto, o el iverso, de u irracioal. La suma, o el producto, de dos irracioales. El producto de u racioal y u irracioal. a + b co a, b, c, d eteros, c 0, y u irracioal. c + d 5. Si a y b so úmeros reales tales que a b + ε para todo ε > 0, probar que a b. 6. Demostrar las siguietes epresioes para N: = ( + y) = k= k=0 ( + ) ( ) k y k,, y R k a k = a a+ a, a 7. Demostrar que si a es el epoete de e la descomposició e factores primos de ()!, etoces a para todo de N. 8. Hallar el supremo y el ífimo, si lo tiee, de los siguietes cojutos: Q : < } Z : < } R : < 0} : N} 9. Hallar el supremo y el ífimo, si lo tiee, de los siguietes cojutos: R \ Q : < } R : ( ( ( ( < 0} dode a < b < c < d Q : <, + a < 0} + : m, N}. m 0. Sea a,, y umeros reales. Probar que si para todo de N es a a + y, etoces a =.. Sea, y R. Demostrar: má, y} = + y + y + y = + y y 0.. Sea, y R. Demostrar: mí, y} = + y y y = y y 0, y. 3. Describir, e cada caso, el cojuto de umeros reales que verifica la codició: + 3 < 6 + > 5 ( + ) +, > = ( + )( + ) 6 5 < < =.

3 4. Describir, e cada caso, el cojuto de umeros reales que verifica la codició: = + 5 = 5 3 = > = 4 = 3 h) i) + =. 5. Decir razoadamete si so ciertas las siguietes afirmacioes: < 5 implica < 5. < 5 implica < 5. 5 < si y sólo si 3 < < implica 3. No eiste u R verificado =. > 0, y > 0 tal que + y = Hallar la itersecció de las siguietes familias de itervalos y decir si so ecajados: [a, b] : a, b Q, a b} [a y, a + y] : y R, y > 0} [, ( + ) ] : N} [ +, + ] : N}. Tema. Fucioes elemetales reales.. Sea a, b, > 0,a, b e y R, demostrar: log b = (log b (log a ) log b ( y ) = y log b. log b a = log a b + log a b = log a, si ab,. log ab. Describir, e cada caso, el cojuto de los úmeros reales que verifica: < < Demostrar: se(π/4) = cos(π/4) = /. se(π/3) = 3/; cos(π/3) = /. 4. Calcular se(π/) y cos( 5π/). 5. Demostrar que se( + π) = se, cos( + π) = cos, para todo R. 6. Demostrar que se() se, N, R. 7. Determiar los [0, π] tales que : cos + se se. Tema 3. Topología e R.. Sea A R acotado superiormete y o vacío: Si A es cerrado, probar que sup A A. Si sup A A, demostrar que sup A es puto de acumulació de A. Es siempre sup A u puto de acumulació de A?. Si A es abierto, demostrar que sup A A. Puede ser abierto u compacto o vacío de R?.. Estudiar topológicamete (iterior, putos de acumulació, putos adheretes, compacidad,...) los siguietes cojutos: / : N}. Z + m :, m N} Los divisores de Estudiar topológicamete (iterior, putos de acumulació, putos adheretes, compacidad,...) los siguietes cojutos: / : N} 0} (0, ) \ / : N} R : se 0}.

4 4. Hallar la itersecció de las siguietes familias de itervalos y decir si está ecajados: [, + ] : N} [a, b] : a, b Q, a < < b} [ y, y] : y R, y > 0}. 5. Ecotrar ejemplos de cojutos A que verifique cada ua de las codicioes siguietes: A A = A A pero A A A A pero A A A = A A es acotado y tiee tres putos de acumulació. 6. Demuestra las propiedades siguietes: Ā = A A (A B) = A B A = A A A. Dar u ejemplo de que e geeral A A. 7. Probar que la familia de itervalos abiertos (, ) : } costituye u recubrimieto del itervalo (0, ) del cual o puede etraerse igú recubrimieto fiito. 8. Demostrar que la uió de ua familia fiita de cojutos compactos e R es u cojuto compacto. comprobar co u ejemplo que esta propiedad o se matiee para familias ifiitas. Demostrar que toda itersecció de subcojutos compactos de R es compacto. 9. Demostrar que todo cojuto compacto formado eclusivamete por putos aislados tiee que ser fiito. 0. Demostrar que la frotera de u cojuto abierto o cerrado tiee iterior vacío. Calcular la frotera de Q. Eplica si hay cotradicció e el resultado.. Ecotrar el meor subcojuto compacto de R que cotiee a cada uo de los siguietes cojutos: (, 3) 3 + : N} + : N}. Si A y B so dos subcojutos de R, defiimos A + B = + y : A, B}. Demostrar que si A y B so cojutos abiertos, A + B tambié lo es. Demostrar que si uo de ellos es cerrado y el otro compacto, etoces A + B es cerrado. Demostrar que si A y B so compactos etoces A + B es compacto. Tema 4. Límites y cotiuidad.. Demostrar, aplicado la defiició de ite: = 0 0 = se( 0 ) = = 3 + =. Demostrar que cuado + so equivaletes log(e ) y ; es decir, que log(e ) =. Demostrar que cuado 0, se tiee que: se tg cos log( + ) a log a. 3. Estudiar la eistecia de los siguietes ites, y calcularlos cuado eista: + cuado tiede a +,,, +, se( 0 ) 0 se( ) e +

5 4. Estudiar la eistecia de los siguietes ites, y calcularlos cuado eista: h) i) j) ( + a ) ( ) π 4 e 0 + se( ) tg π tg cos. 5. Estudiar la eistecia de los siguietes ites, y calcularlos cuado eista: 0 (e + ) ( + 3 )+ (cos a) 0 6. Estudiar la eistecia de los siguietes ites, y calcularlos cuado eista: h) 0 + ( + a ) ( ) e 0 + se( ) 7. Sea f, g dos fucioes reales de ua variable real: Si e u puto o eiste el ite de f, i el de g, puede eistir el ite de f + g o de f.g? Si eiste a f() y a (f() + g()), debe eistir a g()?, y si e lugar de suma es producto? Si eiste a f() y o eiste a g(), puede eistir a (f() + g())? 8. Sea f : [0, + ) R ua fució cotiua que verifica las siguietes codicioes: f() > 0 para todo [0, + ), f() = 0. Demostrar: ( Como máimo eiste u catidad fiita de úmeros aturales tales que f() =. ( Como máimo eiste ua catidad fiita de pares de úmeros aturales y m que sea solució de la ecuació f() + f(m) =. 9. Probar que el valor absoluto de ua fució cotiua es cotiua; lo es la parte etera?. Si f y g so dos fucioes cotiuas, lo so má(f, y mí(f,? 0. Estudiar los putos de cotiuidad y las discotiuidades de las siguietes fucioes (dode A, p R): f() = p se( ), si 0; f(0) = A f() = f() = cos, si π ( + p), si < π., si Q 0, si / Q.

6 . Estudiar los putos de cotiuidad y las discotiuidades de las siguietes fucioes (dode E(t) es la parte etera de t y A, p R): f() = tg f() = p si 0; f(0) = A f() =, si Q; 0, si / Q. f() = se cos, si [ π, π ]\0}; f(0) = f() = ( ) E( ), si 0; f(0) = 0. Sea f : R R defiida como f() = 0, si R \ Q; f(0) = ; f() =, si = m co N, m Z, y mcd (m, ) =. Demostrar que f es cotiua solamete e los irracioales. 3. Sea f, g : R R las fucioes f() = ; g() = + 5. Defiir f g y g f, y estudiar la cotiuidad de f, g, f g, g f. 4. Sea f, g : R R; defiir f g y g f, y estudiar la cotiuidad de f, g, f g, g f e los casos: f() =, g() = f() =, si Q,, si R \ Q., si > 0, 0, si 0, g() =, si 0, 3, e otro caso. 5. Sea f, g : R R fucioes cotiuas. Probar que si f(q) = g(q), q Q ; etoces f = g. 6. Sea f : [0, ] Q R defiida como Demostrar: f(r) = (r ) se( π r ). f está bie defiida y es cotiua e [0, ] Q No eiste g : [0, ] R cotiua que etieda a f. 7. Sea f : R R tal que f( + y) = f() + f(y),, y R. Demostrar: f() = f(), N, R ; f(q) = qf(), q Q Si eiste 0 R co f cotiua e 0, etoces f es cotiua e todo R. Si f es cotiua, eiste a R tal que f() = a, R. Si f es acotada e [0, ], etoces f es cotiua e R. Tema 5. Propiedades de las fucioes cotiuas.. Sea f, g : [a, b] R cotiuas. Demostrar: Si f() Q, [a, b] ; etoces f es costate. Si f( > g(, g( > f( ; etoces eiste [a, b] tal que f() = g(). Si,,, [a, b] ; etoces eiste y [a, b] tal que f(y) = k= f( k).. Demostrar que todo poliomio co coeficietes reales y de grado impar tiee al meos ua raíz real. 3. Probar que la ecuació se = tiee al meos ua raíz real. 4. Probar que las siguietes ecuacioes tiee al meos ua raíz real: se = 5 e + se = 0 arc tg + e + = Probar que la ecuació tg = tiee ifiitas raíces reales. 6. Sea f : (0, ) R cotiua tal que f()( ) = = 0 + f(). Probar que eiste u z (0, ) tal que f(z) = Sea f : [a, b] R cotiua co máimos relativos e c y d (c <. Probar que eiste u z (c, que es míimo relativo de f. 8. Sea f : [a, b] R cotiua. Para cada [a, b], sea g() = sup t [a,] f(t)}. Demostrar que g : [a, b] R es ua fució cotiua. 9. Demostrar que eiste M > 0, tal que cos M, R Demostrar que eiste C > 0, tal que (π ) C se, [0, π] 0. Sea f : R R cotiua, tal que para todo a > 0 la ecuació f() = a tiee eactamete dos raíces. Probar que eiste al meos u puto b dode f( = 0; y que f() = +.

7 . Sea f : [0, ] R cotiua, tal que f()+f(y) = f( +y ),, y [0, ]. Probar que si f(0) = f(), etoces f es costate.. Sea f ua fució cotiua e u itervalo I y sea,.., putos de I. Probar que eiste c I tal que f( = f( ) f( ). U coche recorre 00 kilómetros e 50 miutos. Probar que hubo u miuto e el que recorrió km. 3. Sea f : (a, R cotiua. Probar que f es uiformemete cotiua si y sólo si eiste y so fiitos a + f() y b f(). Para que valores de α es uiformemete cotiua e (0, ) la fució f() = α se + ( )3α α? 4. Estudiar si so uiformemete cotiuas las fucioes: f() = se e (0, ] g() = e e R 5. Sea f : [0, + ) R cotiua y tal que eiste y es fiito + f() = l. Probar que f es acotada y uiformemete cotiua. Sea M = sup t [0,+ ) f(t)}; demostrar que M = l, o eiste [0, + ) tal que M = f(). Tema 6. Derivabilidad.. Derivar las siguietes fucioes: p ( ) q e se ( + + ) /3 e log(se ) h) e i) e se j) log( + se ) k) se(cos ) l) tg( + e ) arc tg m) ( + tg ) ) arc se( cos ) o) arc tg( + + ) log se p) (arc tg ) q) e arc tg(/) se( + ). Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de las siguietes fucioes, calculado las derivadas cuado eista (a R, Z): f() = f() = arc tg( ), si 0 a, si = 0. f() = +e /, si < 0; + 3, si Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de las siguietes fucioes, calculado las derivadas cuado eista (a, b R): f() = 3 + f() = log h) i) f() = log( + + ) + f() = f() = f() = f() = f() = p, si 0; A, si = 0., si ; a + b, si <. cos, si > 0; +, si 0. (cos )π f() = (tg ) cos(π b ), si (0, ); a, si / (0, ). se, si Q;, si / Q.

8 4. Sea f() = se( ), si 0 ; f(0) = 0. Determiar los Z, que hace que: f sea cotiua e el cero. f sea derivable e el cero. f sea derivable y f sea cotiua e el cero. 5. Estudiar si f verifica las hipótesis del teorema de Lagrage e [a, b]; y comprobar si se verifica la tesis e los casos: f() = ( ) a = 0, b = f() = + se a = 0, b = π f() = ( ) a =, b = f() = 3 ( ) a = 0, b = 6. Sea f (a, R derivable. Demostrar que si f está acotada; etoces f es uiformemete cotiua. 4. Estudiado los etremos absolutos de la fució f() = log, Demostrar que e e, para todo > 0. Ecotrar el meor b para que se tega: e b,. 5. Calcular, si eiste, los siguietes ites (α R, β R \ 0}): 0 α log 0 7. Si f (a, R es derivable y b f() =, probar que o bie b f () =, o bie o eiste b f (). 8. Demostrar las siguietes desigualdades: Si, > 0: log <. Si (0, ): < log( + (e )) <. 9. Demostrar las siguietes desigualdades: Si 0: e > +. Si (0, ): log( + ) < arc tg < arc se. Si (0, π) log( + cos ) < log() Demostrar que la ecuació arc tg = log( ) tiee ua úica raíz real. + α log + α β log + α e e log 0 log(se ) log( cos ). Demostrar que las siguietes ecuacioes tiee ua úica raíz real: = se = cos = 0. Determiar los etremos absolutos de la fució, si (, /); f() =, si [ /, 3]. 3. Determiar los etremos absolutos de las siguietes fucioes: f() = se, [ π, π]. f() =, + [, 3]. f() = +, si 0; se, si 0 < π. h) ( ( + α e + ) ) 6. Sea f ua fució cotiua y derivable e (a, + ) para algú a R. Demostrar que si eiste + f () y es fiito etoces eiste (f( + ) f()) = f (). + + Dar u ejemplo e el que eista + (f(+ ) f()) pero o eista + f (). Calcular ( 3 ( + ) ). +

9 7. Calcular, si eiste, los siguietes ites (α, β, a, b R ; β 0 ; a, b > 0): h) i) a b 0 α β tg π π sec ( se ( se ( se ( a + b ) ) ) ) [tg( ( )]cos( ) π )+ + se + se 8. Cosideremos las fucioes f() = + se cos y g() = e se ( + se cos ). Calcula f() y + g(). + f() Eiste?. E caso afirmativo, + g() calcúlalo. Eiste + calcúlalo. f () g?. E caso afirmativo, () Cometa los resultados obteidos e relació co la regla de L Hôpital. arc tg 9. Sea f() =, y g() = má e, arc tg }. Demostrar que arc tg >, para todo + > 0. Deducir que f es decreciete e (0, + ). Probar que eiste u úico α > 0 tal que f(α) = e α, y que además α <. Calcular los etremos absolutos de g e los itervalos (, 0], y (, ]. 0. Sea f() = log( + ) + arc tg(/), si 0, y f(0) = π : Estudiar la cotiuidad y la derivabilidad de f e R.. Sea Estudiar el crecimieto y decrecimieto de f e (, 0), y e (0, + ). Utilizado el estudio aterior y calculado los ites e + y e, determiar razoadamete los valores de a para que la ecuació f() = a tega ua úica solució., si > 0; f() = + ( log ) + +, si 0. Estudiar la cotiuidad y derivabilidad, el crecimieto, máimos y míimos relativos, y los ites e + y de f. Probar que la ecuació f() = e /(e +) tiee eactamete tres raíces reales.. Determiar el segmeto míimo etre todos los que pasa por u puto (a, y está limitados por los ejes. Calcular la logitud máima que puede teer ua viga para que pueda pasar horizotalmete de ua calle de achura a a otra perpedicular de achura b. Este problema de máimo es equivalete al aterior problema de míimo. 3. Determiar las medidas de u barril de petróleo de superficie costate C para que su volume sea máimo. 4. Determiar las medidas de u coo de de superficie costate C para que su volume sea máimo. 5. Se cosidera la fució f() dada por ( cos ) α ( π f() = )β, si (0, π ), 0, si = 0 ó = π. Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de f e fució de α y β reales y calcular f () cuado sea posible, así como f () ó f +(). 6. Se cosidera la fució f() dada por ( π f() = ) tg, si [0, π ) ( π, π], A, si = π. Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de f e fució de α real y calcular f () cuado sea posible. 7. Se cosidera la fució f() dada por ( cos ) α, si > 0, f() = 0, si = 0, arc tg β, si < 0. Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de f e fució de α y β reales y calcular f () cuado sea posible. 8. Estudiar la cotiuidad y derivabilidad e R de ( f() = + α ), f(0) = 0, e fució de α real.

10 Tema 7. Sucesioes uméricas.. Calcular los ites de las siguietes sucesioes: h) i) j) ( ) + 3 ( ) log( ) log( + 0) + ( ) log( + ) q) r) /3 se(!) + se( ). Estudiar la covergecia de la sucesió co p N. = ( + )p ( ) p p, 3. Sea (a ) ua sucesió covergete co ifiitos térmios positivos e ifiitos térmios egativos. Hallar su ite. Poer u ejemplo. 4. Probar que si ( ) es ua sucesió de úmeros reales o ulos tales que = 0, etoces: se( ) =. Calcular el ite de las siguietes sucesioes: se(3/) ( cos(/)) 5. Probar que si (a ) es ua sucesió de úmeros reales o ulos y a = 0, etoces: log( + a ) =. a Demostrar que ( ) y e a, si ( ), (y ) so dos sucesioes de úmeros reales verificado:, 0 ;, k) l) m) a, a > 0 y, y ( ) a. Calcular el ite de la sucesió ( + ). 6. Calcular los ites de las siguietes sucesioes: ( + se( ) ) ) o) log(e + 4) log[(e + )(4 + )] ( + + ) ( ) + log p) log(5 3 + ) log( ) ( + )

11 7. Sea (a ) ua sucesió de úmeros positivos tal que a+ a. Probar que, si >, etoces a = + ; y que si <, etoces a = 0. Calcular el ite de y, co a, y R, a >. a 8. Calcular los ites de las siguietes sucesioes: log( + ) se(π/) + se(π/) + + se(π/) log h) i) j)! log(!) log ( ) +log + ( + ) + ( k + ) k log k k= Sea ( ) ua sucesió de úmeros positivos. Demostrar que si +, etoces. Calcular los ites de : (3! )( 0. Sea a y b dos úmeros reales positivos; calcular el ite de la sucesió ( ) a + b =.. Calcular los ites de las siguietes sucesioes: ) tg(a ) a, a < log( + ) ( + ) +log log! k) l) m) ) o) p) q) r) s) t) u) v) ( + ) ( a log + a + + a ), dode a a ( ) a +, a R a + + k= k k + ((3 + )(3 + ) (3 + )) / (! +! + 3! + +!)! ( ) log( + ) log( + ) ( + ) log a!, a R (8 + 4 ) se 3 ( ) ()!!

12 . Sea (a ) de úmeros reales positivos tal que a a, R. Demostrar que el ite de (b ) es ae si b = (a a... a ) /. 3. Sea (a ) de úmeros reales positivos. Probar que si eiste d > 0, y 0 N tales que a + a da para todo 0, etoces: 3 a = Sea (a ) ua sucesió tal que las subsucesioes (a ), (a + ), (a 3 ) so covergetes. Probar que (a ) coverge. 5. Sea ( ) ua sucesió covergete a. Demostrar que el cojuto : N} } es compacto. 6. Sea p } y q } dos sucesioes de úmeros eteros positivos co p q covergete a u úmero real. Probar que: Si p } y q } so acotadas, etoces es racioal. Si es irracioal, etoces + p = + q = + 7. Se defie la sucesió ( ), por recurrecia, como: =, + = 6 + = a, + = ( + p ), co a, p (0, + ) Demostrar, utilizado argumetos de mootoía, que ( ) es covergete, y calcular su ite. 8. Sea a > 0; defiimos ( ) como: = a; + = +. Probar: ( + )( + + ) >, N +, N ( ) es ua sucesió de Cauchy. Calcular su ite. 9. Demostrar que + = defie, por recurrecia, ua sucesió de úmeros reales ( ), siempre que tomemos R \ 0, }. Probar que ( ) es oscilate. 0. Sea a R, a > 0. Se defie (a ) como: a = a, a + = a + a. Demostrar que (a ) es divergete. a 3 Probar que = 3. Calcular ( α ) a +, segú α R. α. Estudiar la covergecia de las siguietes sucesioes defiidas por recurrecia: = β, + = + α, α, β R = 3, + = = 0, + = = a, + =, a > = a, + = +, a > 0 = 3, + = ( ). Sea a, b R Se defie ( ) por recurrecia como: = a, = b, + = + + N Demostrar que ( ) es de Cauchy, calculado + Calcular el ite de ( ). (Usar la sucesió y = + + ) Deducir que (a ) es covergete y calcular su ite, si (a ) es la sucesió defiida como: a = 3, a = 4, a + = a a Sea ( ) defiida como: = 4, + = ( ). Probar que ( ) es creciete y divergete. Probar que + = ; log =. Calcular el ite de ( ). 4. Sea b (0, π) y α. Defiimos (a ) como a = b, a + = αa + se(a ). Probar que (a ) es creciete. (Recordar: > y y > se se y ) Si α >, demostrar que (a ) diverge, y calcular a Si α =, demostrar que (a ) coverge y calcular su ite. 5. Se cosidera la sucesió } dada por = α, + = ( + ),. Estudiar el carácter de } segú el valor de α real. 6. Demostrar que la ecuació = e tiee ua úica solució e (0, ). Estudiar el carácter de la sucesió dada por recurrecia como = a > 0, + = + e.

13 Tema 8. Derivadas de orde superior.. Calcular las derivadas -ésimas de la fució f() = log( 3 + ).. Calcular las derivadas -ésimas de la fució f() = se (a) (a R). 3. Obteer la fórmula de Taylor de orde e 0 de las siguietes fucioes co los térmios complemetario de Cauchy y de Lagrage: f() = tg, = 3 f() = log(cos ), = 4 f() = 5 + 4, = 8 4. Sea f co derivadas sucesivas de todos los órdees e R, tal que f(0) = 0, y f (0) =. Probar que la fució g() = 5 f() tiee u míimo relativo estricto e el cero. 5. Demuestra que si u móvil recorre e la uidad de tiempo la uidad de espacio empezado y termiado co velocidad ula, etoces, e algú mometo su aceleració tuvo que ser e valor absoluto mayor o igual que cuatro. 6. Usado poliomios de Taylor, calcular arc tg 0 se. 7. Usado poliomios de Taylor, calcular cos e 0 se. 8. Usado poliomios de Taylor, calcular 0 se cos. 9. Usado poliomios de Taylor, calcular ( ) se cos Usado poliomios de Taylor, calcular ( ) se( cos ) cos 6 0 (se ).. Usado poliomios de Taylor, calcular ( + ) p ( ) p p.. Usado poliomios de Taylor, calcular ( ) Utilizado poliomios de Taylor, calcular ( ( + α e + ) ), ( + α e + e ( + ) ), segú los valores de α real. 4. Demostrar que Calcular a = + log a + o( ). ( ) a + b, ( a + + ) a p, p siedo a, b y a i úmeros positivos. Demostrar que Calcular Calcular 5. Calcular log a a = log a + o( ). ( ( ) log a a. ) a + b log(a. α [arc tg(log( + 5 )) 5 ] 0 + segú los valores de α real. 6. Calcular el poliomio de Taylor e 0 de grado de la fució f() = (9 + ). Calcular 6 (9 + ) 8 0 usado el poliomio calculado e. Calcular segú los valores de α real. ( ) α, 6

14 7. Calcular α para que cos + α se 0 = 0. Para ese valor de α calcular e fució de β real. cos + α se 0 β, 8. Calcular ua aproimació racioal de e co u error meor que Calcular ua aproimació racioal de se( 0 ) co u error meor que Calcular ua aproimació racioal de 0 co u error meor que 00.. Usado poliomios de Taylor, calcular a a se 0 3, a > 0.. Usado poliomios de Taylor, calcular cos(se ) cos Usado poliomios de Taylor, calcular ( arc se ) Usado poliomios de Taylor, calcular cos(se ) cos(tg ) 0 α, segú los valores de α real. 5. Estudiar el carácter de la sucesió dada por recurrecia como = a > 0, + = +. Calcular el desarrollo de Taylor e 0 de grado de f() = ( + ) 3. Calcular 3. Calcular α e fució de α real. 6. Dada f : R R dos veces derivable e 0 de la cual se sabe que f() =, 0 calcular f(0), f (0) y f (0). 7. Calcular el meor desarrollo o ulo e 0 de Calcular se ( ) 0 α se segú los valores de α real. 8. Utilizado el desarrollo de Taylor de e e 0 co resto de Lagrage deducir que e es irracioal. 9. Calcular (cos ) α ( )α 0 β e fució de α y β reales. 30. Calcular el desarrollo de Taylor e 0 de orde de las fucioes seo hiperbólico Sh y coseo hiperbólico Ch, Sh = e e Calcular, Ch = e + e. ( ( )) 0 α Sh Ch + 3 segú los valores de α real. 3. Calcular el desarrollo de Taylor de f() = (cos ) a de grado 4 e 0. Calcular (cos ) a (cos ) b 0 p e fució de a, b > 0 y p real.