Licenciatura en Matemáticas. Primer semestre. Introducción al pensamiento matemático. Unidad 3. Teoría de conjuntos. Clave: /

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1 Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas Primer semestre Introducción al pensamiento matemático Clave: /

2 Índice... 3 Presentación de la unidad... 3 Concepto de conjunto... 3 Conjunto vacío... 6 Cardinalidad... 7 Subconjuntos... 7 Igualdad de conjuntos... 8 Conjuntos disjuntos... 9 Conjunto universal Diagramas de Venn Euler Operaciones de conjuntos Unión Intersección Complemento Diferencia Producto cartesiano Cierre de la unidad Para saber más Fuentes de consulta

3 Presentación de la unidad La mayoría de las personas utilizan indistintamente la palabra conjunto para referirse a una colección de objetos, por ejemplo, el conjunto de lápices, bolígrafos, libros, libretas, televisiones, videojuegos, refrigeradores, por mencionar algunos. Es decir, agrupas por medio de una característica común, en este caso, sabes que todos se llaman lápices, bolígrafos y demás, pero hay diferencias entre ellos y pueden llegar a ser muy grandes. Si eres más estricto, los lápices pueden ser de madera o de otro material, los bolígrafos pueden ser de gel o de diferentes colores. Por lo tanto, no basta con que tengan una característica común, aunque te estés refiriendo a números, personas, figuras, ideas y conceptos. Lo esencial de un conjunto es estar bien definido, es decir, a partir de una característica particular, debes determinar si un elemento pertenece o no al conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales pares; -2 es un número entero y aunque es par no pertenece al conjunto porque no cumple con la característica que se está pidiendo. Por otro lado, si te refieres al conjunto de las personas altas, para empezar debes preguntarte qué tan alto es alto, qué estatura estás pidiendo, de qué lugar son las personas, el color de piel, el color de ojos, la nacionalidad, entre muchos más. En esta unidad trabajarás el concepto de conjunto y las operaciones que puedes realizar con ellos, siempre y cuando estén bien definidos. Concepto de conjunto 3

4 Conjuntos Conjunto es una palabra familiar, que conoces de cursos anteriores. Una constelación es un conjunto de estrellas; una circunferencia es un conjunto de puntos que verifican equidistar de otro punto llamado centro; el abecedario es el conjunto de todas las letras. Sin embargo, si quieres contestar a la pregunta: qué es un conjunto? responderías: una colección de objetos, una agrupación? Tendrías a su vez que conocer la definición de los conceptos colección, agrupación, y otros similares, y entrarías en un círculo vicioso. Si afirmas que toda reunión de objetos es un conjunto, el concepto participa circularmente de su propia definición. En matemáticas eludes estos problemas, eligiendo algunos conceptos que se llaman conceptos primitivos, aceptándolos sin definición. Los eliges como punto de partida, suponiendo que todos tienen una noción intuitiva de lo que quieren decir. Entonces, para los efectos del desarrollo de este tema, vas a partir de los siguientes conceptos primitivos: Conjunto Elemento Pertenece Aproximadamente a la mitad del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor creaba la primera teoría de conjuntos. Hasta fines de ese siglo nadie se había preocupado por una definición rigurosa de conjunto, hasta que en 1895 Cantor expresa: Un conjunto es la agrupación en un todo, de objetos definidos y distintos de nuestra intuición o de nuestro pensamiento. Esta definición no clarifica el concepto de conjunto. Al hablar de objetos definidos Cantor quería expresar la idea que dado un conjunto siempre es posible, ante un objeto cualquiera, decidir si dicho objeto pertenece o no al conjunto. Al exigir que estos elementos fuesen distintos, Cantor quería significar que todos los elementos del mismo conjunto debían ser diferentes; es decir, un conjunto no debía tener elementos repetidos. Cantor nunca llegó a utilizar esta definición. Él mismo hizo una fuerte crítica a su teoría en 1897 y En 1901, Bertrand Russell descubrió la Paradoja de Russell, que agudizó algunos problemas de la teoría de conjuntos y provocó una de las mayores crisis de la lógica. Qué dice la Paradoja de Russell? Es claro que un conjunto A de lápices no es un lápiz, y puesto que A contiene sólo lápices, es inmediato que A no es elemento de A. Análogamente, el conjunto N de los números naturales no es un número natural. 4

5 Dado que en N sólo encuentras números naturales, N no se pertenece a sí mismo. Según la definición de Cantor, parecería acertado afirmar que si agrupas todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, como A y N, obtendrías un conjunto. Russell probó que no es cierto. Esto proviene de una definición ingenua del concepto de conjunto. Dentro de esa ingenuidad con la que Cantor elaboró y desarrolló su teoría, estaba planteada la llamada crisis de los fundamentos de la matemática de comienzos del siglo XX. En 1908, el matemático Ernst Zermelo ( ) desarrolla un enfoque axiomático que elimina lo del conjunto de los elementos que no se pertenecen a sí mismos, y busca retener la riqueza operativa de la teoría de Cantor. Escande A. (2008). Conjuntos. Uruguay. Recuperado de: Lipschutz (1991) explica que el concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente, un conjunto es una lista o clase de objetos bien definidos, objetos que, como se verá en los ejemplos, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto (p. 1). Un conjunto es una colección de objetos que pueden o no tener alguna característica en común y se representa por medio de letras mayúsculas: U, V, W, R, S, T, por decir algunos. Ejemplos de conjuntos: El conjunto de los números naturales se representa con la letra N y sus elementos son: N = {1, 2, 3, } El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y sus elementos son: Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } El conjunto de los números racionales se representa por Q y sus elementos son de la forma p donde p y q son números enteros. q Q = { p, donde p y q son números enteros y q 0 } q El conjunto de los números irracionales se denota por I y sus elementos son: I = { p, donde p es un entero positivo} 5

6 El conjunto de los números reales que se denota por R está formado por los números racionales e irracionales. Para definir un conjunto es necesario describir de una manera precisa, cuáles son los elementos de dicho conjunto. Los objetos o elementos que forman un conjunto se representan por medio de letras minúsculas encerrados entre un par de llaves. Cuando un objeto pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia, por ejemplo, si a es un elemento del conjunto A, se representa por a A y significa que a pertenece a A. Ejemplo 1. El conjunto de los enteros positivos incluido el 0, cuyo símbolo es Z +, tiene los siguientes elementos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4, } Los puntos suspensivos indican que la serie o secuencia de números continúa, en este caso no hay ningún número después de los puntos suspensivos lo cual significa que la serie continua infinitamente. Ejemplo 2. El conjunto de los números enteros del 1 al 100. Sea A el conjunto, entonces: A = {1, 2, 3,, 100} Como puedes observar en este ejemplo, el conjunto está muy bien definido. El 0, 1, 2, 1/2, 1/4 y otros no pertenecen al conjunto. Conjunto vacío Se le llama conjunto vacío a aquel que no posee ningún elemento. Siempre que utilices este conjunto debes recordar el porqué de su nombre, ya que esto ofrece una herramienta de demostración muy importante, más adelante se detallará esta situación. El conjunto vacío se representa por el símbolo o un par de corchetes vacíos { }. Puedes encontrar el conjunto vacío en muchas partes, por ejemplo: El conjunto de todos los dragones que habitan en el Distrito Federal. Si representas al conjunto con la letra D, entonces tienes que; D = 6

7 Ya que no existe ningún dragón en el mundo y por ende en el Distrito Federal. El conjunto de todas las panteras que habitan en el fondo del mar. Si representas a este conjunto por P, tienes: P = Puesto que ninguna pantera habita en el fondo del mar. Cardinalidad La cardinalidad se refiere a la cantidad de elementos que tiene un conjunto. De esta manera, si un conjunto A tiene una cantidad finita de elementos, entonces A es un conjunto finito y su cardinalidad se representará por el número de elementos que posee. Si un conjunto B tiene una cantidad infinita de elementos, entonces, dices que el conjunto es infinito y que tiene una cardinalidad infinita. Representarás la cardinalidad de un conjunto, como el conjunto delimitado por un par de barritas, por ejemplo: si A es un conjunto, su cardinalidad la representarás por A. El conjunto vacío tiene cardinalidad 0, por lo cual puedes decir que = 0. Ejemplos: Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h} La cardinalidad del conjunto A es: A = 8 Sea B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,, 500} La cardinalidad del conjunto B es: B = 500 Subconjuntos Para explicar en qué consiste un subconjunto analiza el siguiente ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea B = {2, 4, 6} 7

8 En este ejemplo puedes notar que los elementos del conjunto B, los cuales son: 2, 4 y 6, también son elementos del conjunto A, por esta razón, puedes decir que B es un subconjunto de A. Definición de subconjuntos Un conjunto B es subconjunto de un conjunto A si todo elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A. Lo representas por B A, y lo lees B es un subconjunto de A, también lo puedes representar por A B, lo cual significa que A contiene a B. Para cualquier conjunto C tienes que C C, es decir, que cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo. Ejemplos: Si Z es el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números naturales N, entonces N Z. Si R es el conjunto de los números reales y Z el conjunto de todos los números enteros, entonces Z R. El conjunto vacío es un subconjunto propio de todo conjunto. El conjunto de los números naturales N es un subconjunto propio de los números reales R, esto es, N R. Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, los conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es un elemento de B y viceversa, cada elemento de B es un elemento de A. Simbólicamente, la igualdad de dos conjuntos A y B ocurre cuando A B y B A, entonces dices que A = B. Si A y B son dos conjuntos distintos, y A B, dices que A es un subconjunto propio de B. Este subconjunto lo denotas de igual manera que cuando se denota un subconjunto normal, es decir, como A B. Por otra parte, si tienes que A B y B A, dices que A es un subconjunto impropio de B o bien, que B es un subconjunto impropio de A. Esta clase de subconjunto lo denotas con el símbolo, de esta manera estableces que A B. 8

9 Con lo anterior puedes decir que si C es un conjunto, entonces C es un subconjunto impropio de sí mismo, es decir, C C. Para que dos conjuntos A y B sean distintos basta con que exista un elemento en A que no esté en B o viceversa. Hasta este momento, conoces los conjuntos y subconjuntos, una manera de representar a los conjuntos es la siguiente: A = {x x tiene cierta propiedad} Lo anterior significa: el conjunto A que consta de todos los x, tales que x tiene cierta propiedad, como puedes observar, el símbolo significa tal que. Esta es una forma abreviada de representar un conjunto, por ejemplo: Si A es el conjunto de todos los números cuyo cuadrado es un entero positivo. Este conjunto lo puedes representar de la siguiente manera: A = {x x 2 Z + } Si B es el conjunto de todos los números naturales comprendidos entre el 0 y el 100, incluyendo el 0 y el 100. Este conjunto lo puedes representar como: B = { x 1 x 100} Si C es el conjunto de todas las pelotas contenidas en un enorme costal. Este conjunto lo representas de la siguiente manera: C = {x x es una pelota del costal} Conjuntos disjuntos Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, es decir, para cualquier elemento x de A se tiene que x no está en B y para cualquier elemento y de B se tiene que y no está en A. Puedes representarloasí: A y B son disjuntos si x A, entonces x B y si y B, entonces y A. Para comprender cuando los conjuntos son disjuntos, analiza lo siguiente. 9

10 Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = { 1, 0, 10, 15} Los conjuntos A y B son disjuntos, ya que ninguno de ellos tiene elementos en común, es decir, si tomas algún elemento de A, éste no se encuentra en B y si tomas un elemento de B, éste no se encuentra en A. Conjunto universal Se le llama conjunto universal al conjunto que contiene a todos los conjuntos, es decir, un conjunto es universal si contiene a todos los conjuntos con los que estás trabajando. Por ejemplo, si tienes los conjuntos A, B y C, los cuales son: A = {1, 2, 3, 4}; B = {a, b, c, d} y C = {x x > 4} Si construyes el conjunto D de la siguiente manera: D = {a, b, c, d, x x > 0} Entonces tienes que de entre los conjuntos A, B, C y D, el conjunto D es el conjunto universal de los cuatro ya mencionados, esto se debe a que todos son subconjuntos de D. Todo conjunto puede considerarse como un subconjunto de sí mismo, por esta razón, puedes decir que un conjunto puede considerarse como el conjunto universal de sí mismo. Generalmente representas al conjunto universal por U. Ejemplo: Si A = {x x N}, entonces el conjunto B = {y y R} es un conjunto universal de A. Si A = {a, b, c, e, m, z}, entonces el conjunto B = {x x es una letra del abecedario} es un conjunto universal de A. Diagramas de Venn Euler En muchas ocasiones se tiende a confundir los diagramas de Venn con los diagramas de Euler. Los diagramas que utilizas en la teoría de conjuntos son representaciones graficas de los conjuntos por medio de círculos, en el sentido que un círculo representa a cierto conjunto. 10

11 El diagrama de Euler es un diagrama que se utiliza para representar la inclusión de conjuntos, es decir, cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro. También se utiliza para representar a conjuntos disjuntos, esto los verás más adelante en la sección de complemento. Se ha dicho anteriormente que en el diagrama de Euler utilizas círculos para representar conjuntos, para completar el diagrama, éstos van encerrados dentro de un rectángulo al cual le colocas la letra U, debido a que se le considera como un conjunto universal que contiene aquéllos que se están representando dentro de él. Para comprender mejor el diagrama de Euler se darán algunos ejemplos. Sean A y B dos conjuntos. Si N es el conjunto de los números naturales y R el de los números reales, el diagrama de Euler que representa estos conjuntos es el siguiente: Figura 1. Los números naturales son un subconjunto de los números reales. Si A = {1, 5, 10, 15}, B = {1, 15} y C = {2, 4, 6, 8}, el diagrama de Euler que representa estos conjuntos es: Figura 2. El conjunto B es un subconjunto de A y C es un conjunto ajeno a A y B. 11

12 Puedes decir que el diagrama de Venn es el perfeccionamiento del diagrama de Euler y se desarrolló para poder representar de manera esquemática muchas situaciones más que se presentan con los conjuntos. Por ejemplo, cuando dos conjuntos tienen elementos en común sin que ocurra necesariamente que uno este contenido dentro de otro. Este tipo de diagrama es el que vas a utilizar para desarrollar algunos de los conceptos más importantes que se presentarán a lo largo de esta sección, con el objeto de identificarlos y para comprenderlos a fondo. Operaciones de conjuntos Si tienes dos conjuntos A y B, puedes realizar diferentes operaciones entre ellos a partir de sus elementos, ya sea que los conjuntos sean finitos o infinitos. Esto generalmente se realiza para construir nuevos conjuntos más complejos, descomponerlos en otros más simples, encontrar sus características en común y deshacerse de ellas o reutilizarlas, por mencionar algunos. En esta sección se definirán las operaciones entre conjuntos, así como su representación gráfica. Unión Sean A y B dos conjuntos, se define a la unión de A y B como un nuevo conjunto, denotado por A B. Dicho conjunto está formado por todos los elementos contenidos en A y todos los elementos contenidos en B. La unión de conjuntos la representas de la siguiente manera: A B = {x x A x B} Por medio de los diagramas de Venn puedes representar la unión de conjuntos de la siguiente manera: Figura 3. La región sombreada representa la unión de los conjuntos A y B. 12

13 Como puedes observar en el diagrama anterior, la unión representa la fusión de los elementos de los conjuntos A y B. Cuando se efectúa la unión de dos conjuntos, digase A y B, el resultado es un conjunto que contiene tanto a A como a B. Esta afirmación es demasiado obvia, pero para no omitir casos, vas a demostrarlo. Ejemplo.: Si A y B son dos conjuntos, entonces A A B y B A B Primero identifica las hipótesis: A es un conjunto B es un conjunto Debes llegar a la conclusión de que A A B y que B A B. Demostración: Sea x A, esto implica que x A x B, esto es posible por la ley de la adición para operadores lógicos. Como tienes que x A x B, significa que x A B. Como esto ocurre con un elemento x cualquiera de A, lo mismo ocurrirá para cualquier otro elemento de A, por lo tanto, puedes concluir que todo elemento de A es un elemento de A B, es decir, que A A B. Ahora, sea y B, esto implica que y B y A, esto es posible por la ley de la adición para operadores lógicos. Como y B y A, entonces y A y B. Esto se puede realizar debido a la regla de inferencia ley conmutativa del operador lógico o ( ). Tienes que y A y B, lo cual significa que y A B. Como esto ocurre con un elemento y cualquiera de B, lo mismo ocurrirá para cualquier otro elemento de B, por lo tanto, puedes concluir que todo elemento de B es un elemento de A B, es decir, que B A B. Por lo tanto, para cualquier par de conjuntos A y B, se verifica que A A B y B A B. 13

14 Ejemplo: Sean A, B y C tres conjuntos, donde: A = {x x > 0}, B = {y y < 0} y C = {0} Tienes que: A B C = {x x Z}, donde Z es el conjunto de los números enteros. Es obvio que A, B y C son subconjuntos de A B C, o bien del conjunto de los números enteros Z. El siguiente diagrama de Venn representa la unión de los conjuntos A, B y C. Figura 4. La unión de los conjuntos A, B y C es la región representada por cada uno de ellos. Demuestra el siguiente enunciado: Sea A un conjunto, entonces A A = A. La hipótesis es que A es un conjunto. Si A = { }, es obvio que la unión de conjuntos vacíos es el vacío, por lo que, supón que A es no vacío. Sea x A, esto significa que x A x A, es decir que x A A. Lo anterior expone que A A A. Ahora bien, sea x A A, esto significa que x A x A, es decir que x A, lo cual es A A A. Has obtenido entonces que para cualquier conjunto A se verifica que: A A A y 14

15 A A A Significa que A = A A. Esto demuestra que el enunciado establecido es verdadero. Para finalizar esta sección vas a demostrar otra de las propiedades que tiene la unión de conjuntos. Sea A un conjunto cualquiera, entonces A = A. Demostración: La hipótesis es que A es un conjunto vacío. Si A es un conjunto vacío, entonces la unión sería un conjunto vacío y la igualdad se cumple. Supón que A es no vacío. Sea x A, esto significa que x A x, por supuesto que x ya que el vacío no tiene elementos, esto quiere decir que x A, lo cual muestra que A A. Sabes que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo, en particular, A A, por lo tanto, A A B, para cualquier conjunto B. Si tomas el caso particular de B =, tienes que: A A B, es decir, que A A. Entonces tienes que: 1. A = A y 2. A A. Por lo tanto, puedes concluir de 1 y 2 que: A = A. Intersección Sean A y B dos conjuntos, se le llama intersección de A y B, al conjunto de todos los elementos de A que pertenecen a B, es decir, que la intersección de dos conjuntos es un 15

16 nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B. La intersección de dos conjuntos A y B la representas como: A B = {x x A x B} El diagrama de Venn que representa la intersección es el siguiente: Figura 5. La región sombreada representa la intersección de los conjuntos cuando tienen elementos en común. Para comprender mejor el concepto de intersección de conjuntos, realiza la demostración de algunas propiedades particulares que posee ésta. Ejemplo: 1. Sean A y B dos conjuntos, entonces A B A y A B B. Sea x A B, esto indica por definición que x A x B, es decir, que x A, por lo que A B A. Sea y A B, por definición de intersección y A y B, es decir que y B, por lo que A B B. Entonces, el enunciado es verdadero. Vas a finalizar esta sección demostrando el siguiente ejemplo. 2. Sea A un conjunto, entonces A =. Supón que A. Entonces, sea x A, esto significa que x A x. Aquí tienes una contradicción, ya que no existe ningún elemento en el, entonces x no existe, es decir, que no existe ninguna x A tal que x, por lo tanto, A no tiene ningún elemento, lo cual significa que A =. 16

17 Complemento Para comprender el complemento de un conjunto A, se debe tomar en cuenta el conjunto universal U, que en este caso sería aquel conjunto que contiene a A. Definición de complemento Se le llama complemento de A con respecto a U, denotado por A c, al conjunto formado por todos aquellos elementos de U que no pertenecen al conjunto A. La representación simbólica del complemento de A con respecto de U es: A c = {x U (x A)} Dado que (x A), tiene el mismo significado que x A, utiliza esta última representación para indicar que x no está en A. Así, la representación anterior de A c es la que se presenta a continuación: A c = {x U x A)} El siguiente diagrama de Venn representa el complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U. A c Figura 6. La región de color rosa es el complemento del conjunto A. A continuación, demuestra una de las propiedades del complemento: Si A es un conjunto, entonces (A c ) c = A. La hipótesis es que A es un conjunto. Sea x A, esto significa que x A c, de lo contrario, x no estaría en A. 17

18 Como x A c, entonces x (A c ) c. Lo anterior quiere decir que A (A c ) c. Sea y (A c ) c. Entonces, y A c, porque y está en el complemento de A c. Como y A c, significa que y A, porque que y no está en el complemento de A. Lo anterior expone que (A c ) c A. Por lo tanto, (A c ) c = A. Antes de desarrollar otro ejemplo, recuerda los cuantificadores que viste en la Unidad 1. Los cuantificadores permiten representar de manera particular o general alguna proposición que se utiliza para demostrar un enunciado, en este caso, verás cómo se utilizan cuando se trabaja con conjuntos. Cuantificador universal Este cuantificador se utiliza para generalizar alguna proposición, se representa por el símbolo que significa para todo. Ejemplo: Sean A y B dos conjuntos. Si x A, entonces x B. Se trata de una proposición compuesta cuyo conectivo principal es una implicación lógica, utilizando cuantificadores, puedes escribirla de la siguiente manera: x A, x B Significa: Para todo x que pertenece a A, x pertenece a B. Cuantificador existencial Este cuantificador se utiliza para particularizar alguna proposición, se representa por el símbolo que significa existe un. Ejemplo: Sean A y B conjuntos. Si x A, entonces x B 18

19 Esta proposición es una implicación lógica, por medio del cuantificador existencial, puedes escribirla de la siguiente manera: x A, tal que x B Lo que significa: Existe un x en A, tal que x B. Los cuantificadores universal y existencial pueden obtenerse negándose uno o el otro. Ejemplo: x A, x B, Significa: Existe un x en A, tal que x B. Negar esta afirmación quiere decir: No existe un x en A, tal que x B. Para finalizar la sección vas a demostrar el siguiente enunciado, el cual relaciona al conjunto universal con el conjunto vacío. Sea el conjunto vacío, entonces c = U. Es obvio que c U, porque U contiene a todos los conjuntos. Sea x U, entonces x, puesto que el vacío no contiene elementos, entonces debe pertenecer a su complemento, es decir, x c. Como tomaste un elemento cualquiera x de U, tienes que U c. Por lo tanto, el enunciado es verdadero. Diferencia Sean A y B dos conjuntos. Se define la diferencia de los conjuntos A y B, y se denota por A B, como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen a B. La diferencia de los conjuntos A y B la representas simbólicamente como: A B = {x x A x B} El diagrama de Venn que representa la diferencia entre los conjuntos A y B es: 19

20 A B Figura 7. La parte naranja del diagrama es la que representa la diferencia de conjuntos A B. Al conjunto A B también se le conoce como complemento relativo de B con respecto de A. La diferencia de conjuntos tiene algunas propiedades muy interesantes, las cuales se presentan a continuación. Sean A, B y C conjuntos, sus propiedades son: 1. Propiedad conmutativa A B = B A A B = B A 2. Propiedad asociativa A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 3. Propiedad distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4. Leyes de Morgan (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Las cuatro propiedades anteriores, las utilizarás muy a menudo al realizar algunas demostraciones sobre la teoría de conjuntos, por esta razón, se presentan. En el siguiente ejemplo verás el uso de algunas de las propiedades anteriores. Ejemplo: Sean A, B, C, y D conjuntos. Si C = D, entonces (A B) c (A C) = D C c. 20

21 Por hipótesis tienes que C = D. La conclusión es: (A B) c (A C) = D C c. Para realizar esta demostración existen dos métodos: el primero consiste en demostrar que el primer miembro es un subconjunto del segundo y viceversa, de esta manera tendrías que son iguales, aplicando la definición de igualdad de conjuntos. El segundo consiste en trabajar el primer miembro y llegar al segundo o viceversa. En este caso, vas a realizar la demostración por el segundo método. Trabajando progresivamente sobre el primer miembro, tienes que: (A B) c (A C) = (A c B c ) (A C) por las leyes de Morgan Entonces: (A B) c (A C) = U. Ahora, trabaja con el segundo miembro. D C c = C C c, por hipótesis, porque C = D = (B c A c ) (A C) por la propiedad conmutativa = B c (A c A) C por la propiedad asociativa = B c (U) C es el resultado de la unión de un conjunto y su complemento = U por la unión del conjunto universal con cualquier otro conjunto = U, porque la unión de un conjunto y su complemento es el conjunto universal. En ambos miembros, has llegado a que U = U, por esta razón, el enunciado: Si C = D, entonces (A B) c (A C) = D C c, es verdadero. Ejemplo: Sean A, B y C conjuntos. Si B = C, entonces ((A B) (A C c )) A =. De igual manera, trabaja con los miembros de la igualdad para encontrar un resultado que te aproxime o lleve a la conclusión. 21

22 ((A B) (A C c )) A = [((A B) A) ((A B) C c )] A por la propiedad asociativa = [(A (A B)) (C c (A B))] A por la propiedad conmutativa = [((A A) (A B)) ((C c A) (C c B))] A = [((A) (A B)) ((C c A) (C c B))] A por la propiedad distributiva por la unión de conjuntos = [(A (A B)) ((B c A) (B c B))] A por hipótesis de B = C = [ A ((B c A) (B c B))] A por intersección de conjuntos Por lo tanto, el enunciado es verdadero. = [ A ((B c A) (U))] A porque la unión de un conjunto y su complemento es el conjunto universal = [A (B c A)] A porque la intersección de cualquier conjunto P con el conjunto universal da como resultado P = [A] A por intersección de conjuntos = por diferencia de conjuntos La mayoría de las ocasiones, trabajar con conjuntos puede llevar a desarrollar un proceso complicado, el cual puede simplificarse al utilizar las propiedades de los conjuntos y algunos resultados previos, ya que algunas operaciones aparecen repetidamente en diferentes procesos. Producto cartesiano 22

23 El producto cartesiano surge básicamente de la necesidad de establecer relaciones entre diferentes tipos de conjuntos. Por ejemplo, relacionar un conjunto de personas por su apellido con otro que represente las diferentes edades que una persona pueda tener y a su vez, se relacione con otro que represente los diferentes sexos, es algo que con las operaciones de unión, intersección, diferencia o complemento no se puede realizar. Sin embargo, el producto cartesiano permite construir un conjunto tal, que si permite la relación, los resultados de sus elementos para los conjuntos mencionados serían de la siguiente manera. A = (apellido, edad, sexo) Tal y como se observa, el producto cartesiano permite establecer una relación entre los elementos de los conjuntos mencionados. Definición de producto cartesiano Sean A y B conjuntos no vacíos. Se define al producto cartesiano de A y B, representado por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b), tales que a A y b B. La representación del producto cartesiano de A y B es: Ejemplo: A x B = {(a, b) a A y b B} 1.-Sean A y B conjuntos. Si A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4}, entonces, cuál es el producto cartesiano de A y B? Para contestar la pregunta, únicamente utiliza la definición de producto cartesiano. Para este caso tienes que: A x B = {(a, b) a A y b B} A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (d, 1), (d, 2), (d, 3), (d, 4)}. Una de las características del producto cartesiano que puedes encontrar a simple vista, es, si tienes el producto cartesiano de dos conjuntos A x B, donde A y B tienen una cantidad finita de elementos, entonces, puedes encontrar la cantidad de elementos del producto 23

24 cartesiano. Esto puedes hacerlo multiplicando la cardinalidad de A por la cardinalidad de B y el resultado será la cardinalidad de A x B. Otra de las características que puede obtenerse del producto cartesiano es la siguiente: 2. Sean A y B dos conjuntos tales que A = {a, b, c} y B = {camarón, pollo, verdura}. Encontrar A x B y B x A. Comienza con A x B A x B = {(a, camarón), (a, pollo), (a, verdura), (b, camarón), (b, pollo), (b, verdura), (c, camarón), (c, pollo), (c, verdura)} Ahora encuentra a B x A B x A = {(camarón, a), (camarón, b), (camarón, c), (pollo, a), (pollo, b), (pollo, c), (verdura, a), (verdura, b), (verdura, c)} El ejemplo anterior se desarrolló para que observes que el producto cartesiano no es conmutativo, es decir, que A x B B x A, aunque los pares ordenados tienen la misma cantidad en ambos productos, los obtenidos difieren uno del otro. Con esto, has finalizado la sección que comprende al producto cartesiano y realizarás algunos ejemplos que muestren los usos que tienen los elementos de la teoría de conjuntos en relación con otras áreas. Ejemplo: Sea A un conjunto, donde A = {x x N}. Demuestra que: Si x es par, entonces x no es impar. Hipótesis: x es un número natural x es par Conclusión: x no es impar Como x es par, entonces k Z tal que x = 2k. Supón que x es impar, entonces c Z tal que x = 2c + 1. Igualando ambos resultados tienes que: x = x, sustituyendo los dos valores de x 24

25 2k = 2c + 1 2k 2c = 1 2(k c) = 1 k c = 1 2 Has llegado a una contradicción, ya que k c representa la diferencia de dos números enteros, pero la diferencia de dos enteros es un número entero, esto significa que lo que supusiste verdadero, c Z, x = 2c + 1, es falso. Entonces, tienes que c Z, x 2c + 1. Por lo tanto, si x es par, no puede ser impar, tal y como lo querías demostrar. En este ejemplo, utilizas el conjunto A, N y Z, los cuantificadores existencial y universal y el método de demostración por reducción al absurdo, es decir, utilizas elementos que has estudiado en las diferentes unidades de este curso. Antes de trabajar con el siguiente ejemplo, necesitas las siguientes definiciones para realizar una demostración. Definición de punto límite Un punto p es un punto límite del conjunto E si toda vecindad de p contiene un punto q, con q p, tal que q E. Definición de vecindad Una vecindad de un punto p es un conjunto V r (p) formado por todos los puntos q, tales que d(p, q) < r, donde r es el radio de V r (p). Con las definiciones anteriores demuestra el siguiente enunciado: Si p es un punto límite de un conjunto A, entonces toda vecindad de p contiene infinitos puntos de A. Hipótesis: p es un punto límite de A Conclusión: Toda vecindad de p contiene infinitos puntos de A 25

26 Demuestra este enunciado por reducción al absurdo. En la conclusión tienes que toda vecindad de p contiene infinitos puntos de A, al negarla queda: No toda vecindad de p contiene una cantidad infinita de puntos de A. Es decir, existe una vecindad de p que contiene una cantidad finita de puntos de A. Supón que dicha vecindad es V r (p) Ahora, toma aquel punto que se encuentra más cerca de p, distinto de p y llámalo q, esto es posible gracias a que dentro de la vecindad V r (p) hay una cantidad finita de puntos. Ahora como p q, puedes formar la vecindad W r (p), con radio r = d(p, q). Es obvio que dentro de W r (p) no existe ningún c p, de lo contrario, q no hubiera sido el punto más cercano a p, entonces: Existe W r (p), tal que p W r (p), pero W no tiene ningún otro elemento distinto de p. Por definición, tienes que p es un punto límite de A si toda vecindad de p contiene un punto q p, tal que q A. Pero p tiene una vecindad W r (p) que no contiene un punto q p, lo cual es una contradicción. Esto significa que la suposición: Existe una vecindad de p que contiene una cantidad finita de puntos de A, es falsa. Como la suposición anterior proviene de negar la conclusión, significa que ésta es verdadera, es decir, que el enunciado es verdadero. El ejemplo anterior generalmente es utilizado en topología y análisis, sin embargo, utiliza elementos de la teoría de conjuntos, métodos de demostración y por supuesto la equivalencia lógica. Tal y como puedes apreciar, este curso puede ser de gran ayuda para poder comprender las diferentes ramas de la matemática. De igual manera, se puede utilizar de ayuda en ramas como el álgebra lineal, el cálculo y en el álgebra moderna, entre otras. Cierre de la unidad La lógica, las demostraciones y los conjuntos los encontrarás en varias de las asignaturas que llevarás a lo largo de tu carrera. Son las bases necesarias para comprender la teoría y aplicaciones de asignaturas como Álgebra lineal, Cálculo diferencial, integral y 26

27 Topología. En dichas asignaturas se trabaja con conjuntos y demostraciones, y para dar una demostración como verdadera lo haces con la lupa de la lógica. Para saber más Para comprender mejor la teoría de conjuntos, puedes ver los siguientes video tutoriales. Fuentes de consulta Lipschutz, S. (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. México: Editorial McGraw-Hill. Kisbye P. (2008). Elementos de lógica y teoría de conjuntos. Colombia. Recuperado de: 27