1º ITIS Matemática discreta Relación 5 RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE. ordenado por divisibilidad. Dibujar el diagrama de orden de A.

Transcripción

1 º ITIS Mtmáti isrt Rlión 5 RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE. S A = {,2,3,4,6,8,9,2,8,24} orno por ivisiili. Diujr l irm orn A. 2. S X {,, } =. Diujr l irm orn (inlusión) ( X ). 3. S S = { 2,4,6,2,2} orno por ivisiili. Hllr lmntos mximls, minimls, máximo y mínimo S. 4. S T = { 2,3,4,6} orno por ivisiili. Hllr lmntos mximls, minimls, máximo y mínimo T. 5. Hllr los lmntos mximls y minimls l onjunto P = { 2,3,5,7,, } númros nturls primos, ornor por ivisiili. 6. Hllr los lmntos mximls y minimls l siuint onjunto orno: 7. S F {,,,, } = orno sún l siuint irm. Hllr toos los suonjuntos F n los qu l lmnto s mínimo. 8. Pr l mismo onjunto orno l jriio ntrior, hllr toos los suonjuntso F pr los qu l lmnto s máximo. 9. S V {,,,,,, } supriors inriors, suprmo ínimo X {,, } = orno omo mustr l iur. Hllr ls ots =. Rtíulos y álrs Bool

2 º ITIS Mtmáti isrt Rlión 5. S W {,,,,, } supriors inriors, suprmo ínimo Y {,, } = orno omo mustr l iur. Hllr ls ots =.. S S {,,,,,,, } iur, y s L {,, } = l onjunto orno qu mustr l siuint sup( L ) ín(l). =. Hllr ots supriors inriors L, sí omo 2. Rptir l jriio ntrior pr los suonjuntos M {,, } K = {,,, }. 3. S E = { 2,4,6,8, } = y l onjunto nturls prs, orno por ivisiili. S trt un onjunto in orno? 4. S l rtíulo Dm ( ) los ivisors l nturl m, on ls oprions: =...{, } = [, ] y { } mm Diujr l irm orn pr m = 36. = m..., = (, ) 5. Cuáls los siuints onjuntos ornos son rtíulos? Rtíulos y álrs Bool 2

3 º ITIS Mtmáti isrt Rlión 5 ) ) ) ) ) ) ) h) i) 6. Dtrminr uáls los siuints onjuntos s rtíulo rspto l 2,3,4,2,2,3,9,8 C =,3,4,9. ivisiili: A = { }, B = { } y { } 7. S P {,,,, } = l onjunto orno uyo irm s mustr ontinuión. Es P un rtíulo? Hllr os suonjuntos P qu sn rtíulos on l orn inuio. 8. S l rtíulo L qu s mustr ontinuión. Dtrminr uáls los siuints suonjuntos son surtíulos L: L = { xy,,, }, L2 = { xy,,, }, = { y} y L { x y} L3,,, 4 =,,,. Rtíulos y álrs Bool 3

4 º ITIS Mtmáti isrt Rlión 5 y x 9. S l rtíulo D { vwxyz,,,, } = rprsnto ontinuión. Hllr toos los surtíulos K on trs o más lmntos. x z w y 2. Rzonr si son o no isomoros los os rtíulos siuints: 6 v S onsir l siuint rtíulo: ) Qué lmntos no nulos son isyuntivmnt irruils? ) Qué lmntos son átomos? ) Cuáls los siuints son surtíulos L? L = {,,, } ; L 2 = {,,, } ; L 3 = {,,, } ; L 4 = {,,, } ) Es L istriutivo? ) Enontrr, si xistn, los omplmntrios los lmntos,, y. ) Es L un rtíulo omplmnto? Rtíulos y álrs Bool 4

5 º ITIS Mtmáti isrt Rlión S onsir l siuint rtíulo: ) Enontrr los lmntos isyuntivmnt irruils no nulos y los átomos L. ) Es L istriutivo? ) Es L omplmnto? 23. S onsir l rtíulo rprsnto por l siuint irm: ) Enontrr toos sus surtíulos on ino lmntos. ) Enontrr toos sus átomos y sus lmntos isyuntivmnt irruils. ) Enontrr, si xistn, los omplmntos y. ) Es L istriutivo? ) Es L omplmnto? 24. Do l siuint rtíulo, hllr toos sus lmntos isyuntivmnt irruils: 25. S l rtíulo L rprsnto por l siuint irm: Rtíulos y álrs Bool 5

6 º ITIS Mtmáti isrt Rlión 5 ) Enontrr toos los lmntos isyuntivmnt irruils. ) Enontrr toos los átomos. ) Enontrr, si xistn, los omplmntos y. ) Exprsr lmnto x L omo isyunión irrunnt lmntos isyuntivmnt irruils. ) Es L istriutivo? ) Es L omplmnto? 26. S onsir l rtíulo D (6) los ivisors nturls 6, orno por l rlión ivisiili. ) Qué lmntos son isyuntivmnt irruils? ) Qué lmntos son átomos? ) Enontrr, si xistn, los omplmntos 2 y. ) Exprsr númro x omo isyunión irrunnt un númro mínimo lmntos isyuntivmnt irruils Consirr l rtíulo los ntros positivos ornos por l rlión ivisiili. ) Qué lmntos son isyuntivmnt irruils? ) Qué lmntos son átomos? 28. Hllr los átomos los siuints rtíulos: Rtíulos y álrs Bool 6

7 º ITIS Mtmáti isrt Rlión Dmostrr qu l rtíulo D(m) los ivisors nturls m s un álr Bool si m s lir uros (toos sus ivisors primos son istintos). Es irto l ríproo? 3. Consirr l álr Bool D(2). ) Enumrr sus lmntos y iujr su irm. ) Enontrr l onjunto A átomos. ) Enontrr os suálrs on oho lmntos. ) Es X = {, 2, 6, 2} un surtíulo D(2)? Es un suálr? ) Es Y = {, 2, 3, 6} un surtíulo D(2)? Es un suálr? ) Hllr l númro suálrs D(2). 3. Consirr l álr Bool D(). ) Enumrr sus lmntos y iujr su irm. ) Hllr tos sus suálrs. ) Hllr l onjunto A átomos D(). ) Estlr l isomorismo nónio xistnt ntr D() y P(A). 32. Qué lmntos PX ( ) son átomos? Cuáls son isyuntivmnt irruils? 33. Utilizr l siuint rtíulo pr pror qu, n un rtíulo, l somposiión un lmnto omo isyunión irrunnt lmntos isyuntivmnt irruils no s úni: 34. Hllr un somposiión irrunnt y isyuntivmnt irruil l lmnto h l siuint rtíulo: Rtíulos y álrs Bool 7

8 º ITIS Mtmáti isrt Rlión 5 h 35. Hllr un somposiión irrunnt y isyuntivmnt irruil l lmnto l siuint rtíulo: 36. Dmostrr qu n un rtíulo istriutivo inito, too lmnto s xprs omo isyunión irrunnt lmntos isyuntivmnt irruils, orm úni. 37. Dtrminr uáls los siuints rtíulos son no istriutivos: Rtíulos y álrs Bool 8

9 º ITIS Mtmáti isrt Rlión S onsir l siuint rtíulo. Hllr los átomos y los lmntos isyuntivmnt irruils. Es istriutivo? 39. Hllr omplmntos pr l lmnto n l siuint rtíulo oto: 4. Pror qu n un rtíulo istriutivo y oto, si xistn omplmntos, éstos son únios. Comprorlo on l siuint rtíulo: 4. Conluir qu l siuint rtíulo s no istriutivo, vriino qu xistn lmntos on más un omplmnto. Rtíulos y álrs Bool 9

10 º ITIS Mtmáti isrt Rlión S l rtíulo D (2) = {,2,3,4,6,2} orno por l ivisiili. Hllr omplmntos pr los lmntos 4 y 6. Es D (2) istriutivo? S D (7) = {,2,5,7,,4,35,7}. 2 3 ) Rzonr qu s trt un álr Bool on ls oprions: + = mm...{, } = [, ], = m...{, } = (, ), = 7 ) Hllr + 4, 4,, 35 (2+ 7), y (2+ 7) 4 ) Dtrminr si los onjuntos {,5,,7} suálrs. X = {,2,35,7} Y = son 44. Pror qu ls siuints iuls son quivlnts n un álr Bool: ) + = ) = ) + = ) = 45. Enontrr tos ls suálrs D (2). 46. Trnsormr ls siuints xprsions oolns n sums proutos omplts, utilizno ls propis álr Bool: ) F ( xyz,, ) = xyz ) F2 ( xyz,, ) = zx ( + y ) + y ) F3 ( xyz,, ) = ( x + y ) + xy ) F4 ( xyz,, ) = xxy ( + xy + yz ) ) F5 ( xyz,, ) = ( x + y )( xy ) ) F6 ( xyz,, ) = yz ( + yz ) ) F7 ( xyz,, ) = xxy ( + y + xy ) 47. Esriir un ls siuints xprsions l álr Bool PX ( ) omo unión intrsions omplt: F( ABC,, ) = A B C B ) ( ) ( ) ) GABC (,, ) = ( B C) ( A C) 48. D l xprsión ooln Exyz (,, ) = xy + xyz + xyz, pror; Rtíulos y álrs Bool

11 º ITIS Mtmáti isrt Rlión 5 ) E+ xz = E ) x+ E E ) z + E E 49. Clulr ls tls vlors pr ls siuints unions oolns: ) F( xy, ) = xy ) F( xyz,, ) = xy+ z ) F( xyz,, ) = xy + ( xyz) ) F( xyz,, ) = xyz ( + yz) ) F( xyz,, ) = xy+ yz ) F( xyz,, ) = xyz+ ( xyz) ) F( xyz,, ) = yxz ( + xz ) 5. Clulr, n so qu xistn, los vlors l vril x qu stisn ls siuints uions: ) x = ) x+ x = ) x = x ) x x = 5. Qué vlors ls vrils oolns x y stisn l iul xy = x+ y? 52. Dmostrr qu xy+ yz + xz = xy+ yz+ xz. 53. El opror XOR, rprsnto por l símolo s in sí: =, =, = y =. Dmostrr qu s vriin ls rlions: ) x y = ( x+ y)( xy) ) x y = ( xy) + ( xy) 54. Pror l vri o ls ls siuints rlions: ) x y = y x ) x ( y z) = ( x y) z ) x+ ( y z) = ( x+ y) ( x+ z) ) x ( y+ z) = ( x y) + ( x z) 55. Enontrr ls roms normls onjuntiv y isyuntiv pr un ls unions s por l siuint tl: x y z F G H I Rtíulos y álrs Bool

12 º ITIS Mtmáti isrt Rlión Hllr l orm norml isyuntiv l unión F( xyz,, ) = ( x+ yz ) : ) utilizno ls propis l álr Bool. ) prtir l tl vlors. 57. Dmostrr qu tnto { +, } omo {, } son onjuntos oprors unionlmnt ompltos (to unión ooln s pu rprsntr +, no lo s. utilizno xlusivmnt ihos oprors), mintrs qu { } 58. Dmostrr qu l opror NAND, rprsnto por, y inio omo siu, s n sí mismo, un onjunto unionlmnt omplto: =, = = = (pror qu x = x x y ( xy = ( x y) ( x y) ó x+ y = ( x x) ( y y) )) 59. Dmostrr qu l opror NOR, rprsnto por, y inio omo siu, s n sí mismo, un onjunto unionlmnt omplto: =, = = = (pror qu x = x x y ( xy = ( x x) ( y y) ó x+ y = ( x y) ( x y) )) Rtíulos y álrs Bool 2