(2) 1. CINEMÁTICA ROTACIONAL

Transcripción

1 1. CINEMÁTICA ROTACIONAL Podemos estudiar el movimiento de rotación de un cuerpo haciendo un paralelismo con la cinemática clásica que ya conocemos de traslación. Es decir, cada magnitud traslacional tiene su análoga rotacional. 1.1 Desplazamiento y Desplazamiento Angular Observando la primer imagen, vemos que cuando un cuerpo se traslada en una trayectoria rectilínea desde un punto x0 a otro xf recorre un desplazamiento x =xf x0. En la segunda imagen se muestra la analogía rotacional. Un cuerpo rota de manera que un punto recorre una trayectoria curva s y rota un ángulo θ. Si consideramos un desplazamiento x= s es cierto también que: x = R. θ (1) Una aclaración muy importante es que los ángulos ahora los mediremos en radianes. Es una unidad diferente a la que nos enseñaron en la escuela donde el círculo completo medía 360º. Ahora una circunferencia completa tiene un ángulo de 2 radianes. O sea que un ángulo de 180º es radianes y por ejemplo un ángulo de 60º es /3 radianes. Ejemplo 1. Usted pone a girar una rueda y esta barre un ángulo de /4 radianes mientras rueda por el piso Cuál es el ángulo en grados que rota? Cuál es la distancia que recorre en el piso si el radio de la rueda es de 50cm? 1.2 Velocidad y velocidad angular Ahora vemos en la primer imagen un cuerpo que se traslada con cierta velocidad v. Si suponemos que para cierto desplazamiento x la velocidad se mantuvo constante entonces es cierto que v= x / t. Ahora supongamos que el mismo cuerpo recorre una trayectoria circular s con la misma velocidad anterior. Como vemos la velocidad es tangente a la trayectoria circular, por eso se le denomina en este caso velocidad tangencial, pero desarrollemos un poco la ecuación. v = s = R. θ = R. θ (2) Aparece en la ecuación 2 un nuevo factor que es θ/ muy similar a x/, a esto le denominamos velocidad angular. También vemos aquí que v=r.. ω = θ (3)

2 Ejemplo 2. Un ciclista recorre completamente una pista circular con una velocidad de 40Km/h en 1,0 minutos. Cuál es la velocidad angular del ciclista? Cuál es el radio de la pista? Qué distancia recorrió? 1.3 Aceleración y aceleración angular Por último consideremos la relación que existe entre la aceleración de un objeto al trasladarse y la aceleración angular de un cuerpo al rotar. Si un cuerpo acelera, quiere decir que cambia su velocidad. Por ejemplo si aumenta su velocidad desde un valor v0 a otro vf en un intervalo de tiempo dt, la aceleración será a= v /dt, donde v =vf-v0, lo cual ya conocemos. Pero si consideramos un cuerpo rotando con cierta velocidad angular incial 0 que acelera y pasa a rotar con otra velocidad f. Podríamos sin ningún problema definir la aceleración angular ( ) como : α = ω (4) Donde ω = f- 0. Ahora desarrollemos la aceleración a: Así que aquí vemos que a=r. a = v = v f v 0 = ω f.r ω 0.R = R. ω = R. α (5) Es decir las seis magnitudes que estudiamos están relacionadas de la siguiente manera: x = R. θ (6) v = R. ω (7) a = R. α (8) Cada magnitud rotacional, y se multiplica por el radio de rotación y se obtienen las correspondientes magnitudes traslacionales x, v y a. Ejemplo 3. Un engranaje de 4,0cm de radio rota a 1000 rev/min. En determinado momento se le aplica una fuerza externa que lo frena a 300 rev/min en 3,0s Cuál fue la aceleración angular y la aceleración tangencial que recibió? Cuál es la velocidad tangencial final del engranaje? 1.4 Aceleración centrípeta, frecuencia y período. Hay otras tres magnitudes cinemáticas importantes en las rotaciones. Como una rotación es un movimiento cíclico, es decir cumple ciclos en los cuales las condiciones iniciales suelen repetirse, es conveniente definir magnitudes que cualifiquen esos ciclos. Las dos magnitudes que más describen ese comportamiento son frecuencia (f) y período (T). Definimos frecuencia como el número de vueltas que efectúa un cuerpo en rotación por unidad de tiempo. f = nº de vueltas (9) No podemos asignarle al número de vueltas una unidad en el S.I. es decir es adimensional, no obstante el tiempo sí tiene unidad y en general usamos el segundo. Por lo tanto la unidad de f será s -1 que denominamos Hz.

3 El período por su parte se define como el tiempo que tarda un cuerpo en rotación en dar una sola vuelta. Como vemos es la definición inversa de la frecuencia. De hecho el período se puede calcular como el inverso de la frecuencia: T = 1 f (10) Como es un tiempo lo medimos en segundos. Existe una tercera magnitud asociada a los movimientos de rotación y es la aceleración centrípeta (a c ). Considere un cuerpo recorriendo una trayectoria circular a la misma velocidad tangencial. Si bien es cierto que el módulo de la velocidad no cambia y por lo tanto no hay aceleración angular, el vector velocidad si cambia en dirección y sentido, por lo tanto debe haber aceleración. Para hallarla, estudiemos un pequeño incremento en el desplazamiento angular que experimenta un cuerpo en rotación a velocidad constante, ahora debemos incorporar nuestro conocimiento de vectores. Los vectores v 2 y v 1 tienen el mismo módulo y pueden restarse considerando el vector v que une el extremo de v 1 con el extremo de v 2. Así que aparece un v, y como el cuerpo tarda un tiempo en recorrer desde a hasta b, podemos calcular una aceleración que denominaremos centrípeta ya que como vemos apunta hacia el centro de la trayectoria circular. Calculemos el módulo de a c. a c = v = v 2 v 1 = R 2.ω R 1.ω = ω. R (11) Ahora vemos que el término R se parece mucho a s por eso fue que consideramos un pequeño incremento, porque si consideramos un incremento cada vez mayor, entonces delta R y delta s son cada vez más diferentes. Como s =R. También se puede comprobar que a c = v. ω a c = ω. s R. θ = ω. = ω. R. ω = R. ω 2 a c = R. ω 2 (13) Ejemplo 4. Sabemos que el radio terrestre es de unos 6400Km y que cumple una revolución cada un día. Determine el período, frecuencia y aceleración centrípeta de una persona en el ecuador terrestre? Cuál es la velocidad tangencial de esa persona? 2. DINÁMICA ROTACIONAL Ahora pasemos al estudio de las magnitudes dinámicas asociadas con la rotación. En primer lugar consideremos que si un objeto experimenta un movimiento circular, debe necesariamente actuar sobre él una aceleración centrípeta y en virtud de la segunda ley de Newton F=m.a entonces actuará una fuerza denominada también centrípeta (F c ): F c = m. a c (14)

4 Y como es una relación vectorial significa que la fuerza centrípeta actúa en la misma dirección y sentido que la aceleración centrípeta, o sea hacia el centro de la trayectoria circular. Ejemplo 5. Estime la fuerza centrípeta que una persona experimenta en el ecuador terrestre. 2.1 Cuerpo rígido Un caso interesante se presenta cuando ponemos a rotar cuerpos rígidos, que son cuerpos formados por muchas partículas que preservan la misma distancia al centro de rotación, sin importar las fuerzas aplicadas o el movimiento que ejecute el cuerpo. Si usted se está preguntando que cuerpos sí lo hacen, piense en cualquier objeto no rígido, por ejemplo un fluido. Si usted efectúa una fuerza sobre un fluido, algunas partículas se pondrán en movimiento con cierta velocidad y otras ejecutarán otro movimiento haciendo el estudio mucho más complicado. 2.2 Torque Consideremos lo que sucede con un rígido al aplicarle una fuerza. Para ello consideremos un elemento pequeño j dentro del cuerpo con masa mj y el cual se encuentra a una distancia del eje o centro de rotación rj. Suponga que al elemento j se le aplica una fuerza que llamaremos fj. Esta fuerza forma un ángulo con la dirección que acompaña al radio de giro rj. Si descomponemos fj en la componente fjr que acompaña a al dirección radial y la componente fjt que es perpendicular a esa dirección, veremos que la primera componente no realiza ninguna acción sobre el elemento j. Pero la componente perpendicular fjt acelera al elemento j según la segunda ley de newton. También es cierto que aj=rj. j Si multiplicamos cada término por el factor rj rj. fjt = mj. rj 2. αj (17) fjt = mj. aj (15) fjt = mj. rj. αj (16) Como la componente fjt es simplemente fj.sen nos queda rj. fj. sen = mj. rj 2. αj (18) El primer término se define como el torque j=rj.fj.sen, y puede definirse como una magnitud vectorial de la siguiente manera. Se define producto vectorial al vector A (y lo ponemos en negrita para resaltar que es un vector) formado por los vecores B y C de forma que denota A=B x C y cuyo módulo se calcula A=B.C.sen. Siendo el menor ángulo entre B y C. La dirección y sentido de A estará dada por la regla de la mano derecha (observe el dibujo).

5 Con lo anterior podemos afirmar que el torque puede definirse entonces como: Y para nuestro estudio se cumple que: Sustituyendo en la ecuación 18 nos queda: τ = r F (19) τj = rj Fj (20) τj = mj. rj 2. αj (21) Si el rígido está formado por muchos elementos j podemos sumar todos esos elementos para calcular el torque neto que experimenta. τ neto = τj = mj. rj 2. αj (22) Pero en un rígido la aceleración angular αj es la misma para todos los elementos del cuerpo. Así que lo podemos sacar de factor común y llamarle simplemente. La ecuación 22 nos queda: τ neto = α. mj. rj 2 (23) Ejemplo 6. Considere un rectángulo de 10cm de ancho por 20cm de alto de aristas rígidas pero masa despreciable. En cada vértice, se colocan pequeñas esferas de 100g cada una. Calcule el torque necesario para poner a rotar el conjunto de forma que alcance en 5,0s 50rev/min. Considere el eje de giro paralelo a una de las aristas mayores y que pase por el centro de gravedad. Es el mismo torque si se considera el eje en una de las aristas mayores? 2.3 Momento de Inercia El término que contiene la sumatoria se denomina Momento de Inercia (I) de un cuerpo. Abreviando y usando notación vectorial tenemos: τ neto = I. α (24) Para cuerpos formados por algunas pocas masas o elementos nos conviene usar la expresión anterior para calcular el momento de inercia: I = mj. rj 2 (25) Pero si el cuerpo contiene muchos elementos (de masa dm), por tratarse de un rígido como una esfera o un cilindro por ejemplo, la anterior expresión se convierte en: I = lim mj. rj 2 = r 2. dm (26) N Y el cálculo ya se vuelve más complejo. La anterior expresión se lee: El momento de inercia es la integral de r cuadrado dm. Y hay métodos para calcular la integral dependiendo de la geometría del cuerpo. Como este trabajo está pensado para estudiantes de secundaria, nos salteamos el paso de calcular el

6 momento de inercia para cada rígido y simplemente presentamos los resultados obtenidos para algunos cuerpos importantes: Los siguientes cuatro cuerpos se toman rotando de su centro (ver figuras): Aro de masa M y radio R: I = M. R 2 (27) Disco y Cilindro de masa M y radio R: I = 1 2 M. R2 (28) Esfera maciza de masa M y radio R: I = 2 5 M. R2 (29) Barra delgada de masa M y longitud L: I = 1 12 M. L2 (30) Puede buscar otros momentos de inercia en su libro de texto de física. Ejemplo 7. Calcule el momento de inercia que tiene una polea en forma de disco que tiene una masa de 500g y un radio de 10cm. Suponga que un objeto de 2,0Kg se cuelga de un extremo de la polea. Determine la aceleración del objeto y la tensión en la piola. 2.4 Rodadura Podemos usar lo que hemos aprendido para estudiar los cuerpos que ruedan sin deslizar, como por ejemplo las ruedas de un automóvil o un objeto cilíndrico descendiendo por una rampa. Mientras el cuerpo rota, también se traslada. Consideremos una rueda que recorre una trayectoria circular s mientras gira. Como está trasladándose además entre los puntos x0 y xf, los cuales definen una trayectoria rectilínea x podemos afirmar que el centro de masas también recorre una distancia x. Si calculamos la velocidad del centro obtenemos: v cm = Δx Δt = Δs Δθ = R. = R. ω 31 Δt Δt Es decir que la condición de rodadura exige que el cuerpo rote de manera que su velocidad en el centro de masas y su velocidad tangencial respecto a dicho punto sean las mismas. Si por ejemplo el cuerpo rota más despacio a esa misma velocidad del centro de masas, el cuerpo se deslizará derrapando y frenando su velocidad del centro de masas hasta cumplirse la condición de rodadura.

7 2.5 Energía Cinética de rotación Sabemos que un cuerpo en movimiento (de traslación) tiene energía cinética. Podemos inclusive calcularla si sabemos su velocidad: Ec = 1 2 m. v2 32 Pero si el cuerpo rota en vez de trasladarse, no tendrá también energía? La respuesta es que sí, y se denomina energía cinética de rotación. Para entender esto consideremos como antes que cada elemento j rota respecto al centro de masas con una velocidad angular, la cual es la misma para todos los elementos del rígido de masas mj. La energía cinética de cada elemento será: Ecj = 1 2 mj. vj2 = 1 2 mj. rj. ω 2 = 1 2 mj. rj2. ω 2 33 Pero para calcular la energía cinética de todo el rígido debemos sumar todos los elementos, así que recurrimos una vez más a la notación sigma: E c,rot = 1 2 mj. 1 rj2. ω 2 = 2. 1 ω2 mj. rj 2 = 2. I. ω2 (34) E c,rot = 1 2. I. ω2 35 Note la similitud entre las ecuaciones 32 y 35, el momento de inercia juega ahora el papel que la masa jugaba en la anterior expresión y la velocidad se sustituye por la velocidad angular. La energía cinética total será entonces la energía cinética de traslación del centro de masas más la energía cinética de rotación respecto al centro de masas. Ec = E c,trasl. + E c,rot. 36 Para un cuerpo de masa M y radio R que está rodando con velocidad angular y desplazándose con velocidad v, se cumple que: Ec = 1 2 M. v I. ω2 37 Como v=r. podemos sustituir y sacar algunos factores comunes: Ec = 1 2 M. v I. v R 2 = 1 2 v2 M + I R 2 Ec = 1 2 v2 M + I R 2 38 Para entender cómo funciona esta ecuación, calcularemos la velocidad final de una esfera que rueda colina abajo desde una altura h por un plano inclinado. Como la esfera está rodando, si bien actúa un rozamiento, éste es estático y por lo tanto no efectúa trabajo sobre el cuerpo. Entonces en virtud de la conservación de la energía: Ei = Ef

8 Al descender por la rampa toda la energía potencial gravitatoria inicial se transforma finalmente en cinética: Epg i = Ec f Ahora usando la expresión conocida para la Epg=mgh y la ecuación 38: Mg = 1 2 v2 M + I R 2 Otra cosa que sabemos es el momento de inercia de una esfera que era I=2/5.MR 2. Sustituímos y despejamos v: Mg = 1 2 v2 M + 2 M. R 2 5 R 2 Mg = 1 2 v2 M M = Mv2 g. = v2 v = 10 g. 7 que como vemos es menor que el resultado clásico: v = 2. g. rotación. Podemos incluso calcular que tanto menor: cuando no teníamos en cuenta la v v = 10 7 g. 2. g. = 5 7 0,85 Lo que quiere decir que la esfera tiene una velocidad final del 85% respecto a un cuerpo que no rota y que desliza sin fricción por la misma rampa. Ejemplo 8. Realice el anterior ejemplo pero considerando un aro con el mismo radio y masa que la esfera. Ejemplo 9. Calcule la Energía cinética total que tiene un automóvil que se desplaza a 100Km/h, considerando que la masa de toda la carrocería es de unos 1000Kg. La masa de cada rueda es de unos 30Kg y tienen un diámetro de 45cm. Compare con el resultado clásico sin tomar en cuenta la energía cinética de rotación de las ruedas.