Cinemática de una partícula

Transcripción

1 Cinemáica de una paícula. Inoducción.. El moimieno. a. Ecuación del moimieno. b. Tayecoia. c. La ecuación inínseca del moimieno. 3. El eco Velocidad. 4. El eco Aceleación. a. Componenes inínsecas del eco aceleación. 5. Tipos de moimienos más epesenaios. a. Moimienos ecilíneos. b. Moimienos cuilíneos. 6. Composición de moimienos. 7. Tansfomaciones de Galileo.

2 . Inoducción La CINEMÁTICA es la pae de la FÍSICA que se ocupa del esudio del moimieno de los cuepos sin aende a las causas que lo poduce. Un análisis cinemáico del moimieno es un esudio pacial del moimieno, pues supone considea sólo sus caaceísicas o popiedades. En ese ema esudiaemos la Cinemáica de la Paícula o Puno Maeial. Una PARTÍCULA o PUNT MATERIAL es un ene físico doado de masa peo sin dimensiones. La apoximación del PUNT MATERIAL es sólo álida cuando las dimensiones del cuepo (móil) son despeciables fene a las del moimieno geneal que esamos consideando.

3 . El moimieno Paa da la posición de un puno lo pimeo que necesiamos es deemina desde donde lo esamos obseando. Es deci, necesiamos esablece un sisema de efeencia (S.R.). i k y j P (x, y, z) z x Posición Coodenadas del puno (x, y, z) Veco de posición, = P = x i + y j + z k Si las coodenadas o el eco de posición N CAMBIAN en el anscuso del iempo, decimos que el puno esá en REPS. Si las coodenadas o el eco de posición CAMBIAN en el anscuso del iempo decimos que el puno esá en MVIMIENT especo a ese S.R. 3

4 .a. La ecuación del moimieno. La ecuación del moimieno es una función maemáica que esablece como aía el eco de posición del móil con el iempo. = ( ) Hay, po ano, dos fomas de expesa la ecuación del moimieno: ( ) = x ( ) i + y ( ) j + z ( ) k bien: x = x ( ) y = y ( ) z = z ( ) Ecuaciones paaméicas del moimieno Ejemplo. La ecuación del moimieno de un móil endá dada po una ecuación del ipo: ( ) = i + ( 4 ) j + k bien: x = y = 4 z = 4

5 .b. La ayecoia del moimieno geoméico de los punos que ocupa el exemo del eco de posición en el anscuso del La ayecoia del moimieno es el luga iempo. Tayecoia Es posible conoce la ecuación de la ayecoia que descibe un móil? x = y = 4 z = y, po ano Supongamos, po ejemplo, el caso del moimieno aneio: de donde = x x y = 4 = x bséese que el moimieno iene luga en el plano z =, y la ecuación de la ayecoia esula se una línea eca de pendiene y odenada en el oigen -. Plano z = Tayecoia del móil 5

6 .c. La ecuación inínseca del moimieno. Alenaiamene, puede descibise el moimieno dando la posición del móil medida sobe la ayecoia, s, con especo a un oigen de efeencia omado sobe la popia ayecoia del móil,. s En al caso puede expesase el moimieno del móil mediane una ecuación del ipo: s = s( ) que expesa la posición sobe la ayecoia en función del iempo y, que se conoce como la ecuación inínseca del moimieno. Es posible esablece alguna elación ene la ecuación inínseca del moimieno y la ecuación = ( )? No, a menos que omemos ambos oígenes de efeencia, y, en el mismo puno sobe la ayecoia y, además, dicha ayecoia sea una línea eca. En al caso, s coincide con el módulo del eco de posición. = = s En ese caso, es eidene que: = s i 6

7 3. El eco elocidad. Consideemos un móil que, a aés de una deeminada ayecoia (línea azul) pasa de una posición, dada po el eco de posición, a oa, dada po, en un inealo de iempo. El eco, que deemina el cambio de la posición del móil en el inealo de iempo, se llama Veco Desplazamieno y iene dado po: = x y z Velocidad Media: = = i + j + k m d Velocidad Insanánea: = lim = d dx dy dz = = + + i j k = + + xi y j zk Cuyo módulo, endá dado po: = + + x y z 7

8 Qué epesena y cómo es el eco elocidad de un móil? () Consideemos un inealo de iempo muy pequeño ( ), es deci, un inealo infiniesimal de iempo, que expesamos como. ds d ds ds d Según la egla de la cadena, enemos que: De acuedo con la definición de elocidad insanánea, enemos que: d = Ahoa ambién epesenamos en la figua el cambio de posición medido sobe la ayecoia que epesenamos po ds. d ds d = = ds Repesena el cambio de posición, medido sobe la ayecoia, en el anscuso del iempo, y se conoce como apidez () del móil. τ Repesena un eco uniaio,, angene a la ayecoia en cada puno y senido el del moimieno. bséese que en el límie (cuando ) ds es el módulo de d. 8

9 Qué epesena y cómo es el eco elocidad de un móil? () Resula, po ano, que el eco elocidad pude expesase mediane el poduco de dos éminos ds d ayecoia 3 = τ es el módulo de la elocidad y se denomina apidez del móil. Repesena el cambio de la posición medido sobe la ayecoia en el anscuso del iempo. El eco uniaio es angene a la ayecoia y su senido es el del moimieno. Deemina la diección y senido del eco elocidad. τ bséese que la apidez, que es el módulo del eco elocidad, puede deeminase mediane la expesión: = + + x y z 9

10 4. El eco aceleación. La aceleación es la magniud física que nos indica cómo cambia la elocidad en el anscuso del iempo. Consideando la siuación que enimos analizando el cambio que expeimena el eco elocidad en el inealo de iempo es. ds d Aceleación Media: Se emplean dos definiciones: y x z a = = i + j + k m d a = lim = d d d = = + + = + + x y dz a i j k a i a j a k x y z Aceleación Insanánea: Cuyo módulo, endá dado po: a = a + a + a x y z

11 4a. Componenes inínsecas del eco aceleación. De acuedo con la definición de aceleación enemos que: ( τ d d ) d d τ a = { ya que = τ } a = = τ + a = a + a n Es deci, la aceleación puede considease como la conibución de dos componenes: La aceleación angencial, a, que es angene a la ayecoia en cada puno,mide el cambio de la apidez (módulo de la elocidad) con el iempo. La aceleación nomal, a n, pependicula en cada puno a la ayecoia y que mide el cambio de diección que expeimena la elocidad con el iempo. a a n a n a a diección angene Puede demosase que: d τ a = = n n R Donde R y n son el adio de cuaua y un eco uniaio nomal a la ayecoia en cada puno, especiamene. diección nomal a = + a a n

12 4a. Componenes inínsecas del eco aceleación. a foma Consideemos, po ejemplo, un móil que descibe una ayecoia cicula de foma que en un inealo de iempo,, su elocidad cambia de a, como indica la figua. n Si elegimos un sisema de efeencia ligado a la popia ayecoia y consiuido po dos ejes, uno angene y oo pependicula a dicha ayecoia en cada puno (Sisema de Refeencia Inínseco) y descomponemos el cambio del eco elocidad según esos ejes, enemos que: = + De acuedo con la definición de aceleación, enemos que: + n a = lim = lim = n = lim + lim = a + an n

13 Ejemplo. Una paícula se muee en el plano de al manea que las componenes de su elocidad ienen dadas po: = + y = 4 3 x 4 4 Si en el insane inicial la paícula se encuena en la posición (, ), deemina la ecuación de la ayecoia del moimieno. Paa obene la ecuación de la ayecoia del móil es necesaio conoce la ecuación del moimieno. Po ano: = dx dx = = ( 4 + 4) dx ( 4 4) x 4 4 C = + = dy y = dy = y = 4 dy 4 y 4 Cy = = + x x x Donde C x y C y son dos consanes de inegación. Paa ealua esas consanes debemos ene en cuena que en el insane inicial la paícula se encuena el la posición (, ). = + + = = + = 4 Cx Cx Cy Cy Po ano: x 4 = + + y = + Eliminando, se obiene y y x y = = + + y = x 3

14 5. Tipos de moimienos más epesenaios. En función de la componene angencial de la aceleación. Si a = υ = ce, moimieno unifome (MU) Si a = ce a a > <, moimieno, moimieno unifomemene aceleado (MUA) unifomemene desaceleado (MUD) Si a ce moimieno aiado o no unifome (MV ó MNU) En función de la componene nomal de la aceleación. ( ) Si R = a n = moimieno ecilíneo (MR) Si R = ce moimieno cicula (MC) Si R ce moimieno cuilíneo 4

15 5a. Moimienos ecilíneos. Se caaceizan poque: Moimieno Recilíneo Unifome (MRU): R = a = a = Tayecoia ecilínea n n R d Se caaceiza poque: a = = = ce Si hacemos coincidi la ayecoia con el eje x, la ecuación del moimieno es: = x i dx x = dx = dx x x x = = + Moimieno Recilíneo Unifomemene Aceleado (MRUA): Se caaceiza poque: y como a = ce a = a = a n d a = d = a d = a = + a dx x = dx = dx ( a ) x x a x = + = + + 5

16 5b. Moimienos cuilíneos. Se caaceizan, en geneal, poque a n, o en oas palabas, el adio de cuaua de la ayecoia es finio. Moimienos Ciculaes: R = ce ω α Magniudes angulaes Desplazamieno angula: s θ = [ θ ] = R R θ s Velocidad angula: dθ ω =, ω = ωk [ ω] = ϕ Aceleación angula: dω dω α, α = k = d θ k α = = [ ] 6

17 Relaciones ene magniudes lineales y angulaes. = ω ω α R θ ( a ) ( = α + ω ) = a + a s a = ω a n MCU a = mo. peiódico α = n Peiodo T Fecuencia f = ω = π /T = ce θ = θ + ω T ϕ MCUA a = ce α = ce ω = ω + α θ = θ + ω + α 7

18 Ejemplo. La apidez de una paícula que descibe una ayecoia ecilínea iene dada po: ( ) = 8 4 S.I. Si empezamos a cona el iempo cuando la paícula se encuena en el oigen de coodenadas, deemina: a) la ecuación de la posición en función del iempo, b) el espacio ecoido en los seis pimeos segundos, c) la elocidad media en dicho inealo de iempo. a) De acuedo con la definición de la apidez,, enemos que: dx = dx = dx = x = x ( 8 4 ) ( 8 4 ) 8 ( S.I. ) b) Paa deemina el espacio ecoido po el móil es necesaio analiza el moimieno, pues es posible, como ocue en ese caso, que se poduzca un cambio en el senido del moimieno y, en consecuencia, el espacio ecoido N coincide con la posición en ese insane. x (m) 5 (, 8) De acuedo con la gáfica, el espacio ecoido po el móil seá: = 4 m (s) -5 c) Haciendo uso de la definición de elocidad media: m x x x 4 6 = = = = 4 m/s -5 8

19 6. Composición de moimienos Cuando un móil descibe un moimieno que puede considease el esulado de dos moimienos simuláneos e independienes, el moimieno esulane se obiene sumando ecoialmene los moimienos componenes. Tio hoizonal: Es el ípico moimieno que descibe un objeo que se lanza hoizonalmene con una deeminada elocidad. En ese caso el móil esá someido a un moimieno ecilíneo y unifome y oo eical y unifomemene aceleado, debido a la acción del campo gaiaoio. h = y y y x = g Paa escibi las ecuaciones del moimieno omamos, en pime luga, un sisema de efeencia apopiado y, a coninuación, planeamos la ecuación coespondiene a cada eje como si no exisiea la conibución del oo. Es deci: Eje x ( MRU) x = Eje y ( MRUA) y = h g dx = = x = g x + y = + dy x = = g y ( ) Es necesaio desaca que el cieio de signo de las magniudes ecoiales debe se coheene con el sisema de efeencia elegido. Po ejemplo, la aceleación de la gaedad es negaia en la ecuación del eje y poque iene senido conaio al de dicho eje en nueso sisema de efeencia. Po el conaio la elocidad inicial iene un alo posiio ya que iene el senido de las x posiias. 9

20 Ejemplo 3. Se dispaa un poyecil desde la cima de una monaña que se encuena a m po encima de una exensa llanua. La apidez inicial del poyecil es de 6 m/s y el dispao se ealiza fomando un ángulo de 6º sobe la hoizonal. Despeciando la esisencia del aie, deemina donde caeá el poyecil sobe la llanua omando como efeencia la eical del puno donde se efecuó el dispao. y x Elijamos, en pime luga, un sisema de efeencia apopiado. En nueso caso una opción acepable es siua el oigen de coodenadas como se indica en la figua. A coninuación planeamos las ecuaciones del moimieno, de acuedo con nueso sisema de efeencia. x cosθ = y = y + senθ g Susiuyendo aloes enemos que: Alcance (x max ) x = 6cos 6º y = + 6sen 6º Qué condición podemos esablece paa deemina el alcance del io? Es clao que cuando el poyecil choque cona el suelo su coodenada y aldá. Po ano: 5,96 5 = 3,38 s =,989 s = + Ecuación de segundo gado y, en consecuencia, con dos soluciones: Susiuyendo el único alo con senido físico en la ecuación del eje x: x max = 6 cos 6º 3,38 = 4,43 m

21 7. Tansfomaciones de Galileo. Consideemos un obseado que se muee con moimieno ecilíneo y unifome y apidez con especo a oo obseado que se encuena en eposo, como indica la figua. P Las coodenadas de un puno P paa uno u oo obseado (sisema de efeencia) son: x = x y = y + Tansfomaciones de Galileo z = z o Qué elocidad mediía cada obseado? a que: = + Tendemos: es la elocidad de P especo a d d ( ) d = + = + donde es la elocidad de P especo a es la elocidad de especo a Igualmene, paa la aceleación: d d d Es deci, la aceleación de la paícula P es la misma = + a = a paa los dos obseadoes, y seía la misma paa cualquie oo que se muea con especo a esos con un MRU SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES.