Si una onda senoidal se propaga por una cuerda, si tomamos una foto de la cuerda en un instante, la onda tendrá la forma

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1 Onda periódica Si una onda senoidal se propaga por una cuerda, si tomamos una foto de la cuerda en un instante, la onda tendrá la forma longitud de onda si miramos el movimiento del medio en algún punto durante un intervalo de tiempo largo, la onda tendrá la forma período FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

2 Onda periódica Una onda senoidal viajando a lo largo del eje X, y(x, t) = y m sin(k x ± ω t) La amplitud, y m, es la magnitud del máximo desplazamiento desde su posición de equilibrio. La fase, k x ω t, es el argumento de la función seno. Número de onda Frecuencia angular k = 2 π λ ω = 2 π f = 2 π T FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

3 Velocidad de onda La velocidad de propagación de la onda es la velocidad con que se mueve la onda. Está relacionada con λ y f de la onda. v onda = v = ω k = λ T = λ f La velocidad de propagación de una onda mecánica está determinada por el medio por el cual se propaga la onda (masa y propiedades elásticas). v onda v partícula FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

4 Velocidad de onda en una cuerda estirada Velocidad de cualquier onda sobre la misma cuerda bajo la misma tensión. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17 Consideremos un pulso moviéndose hacia la derecha por una cuerda con velocidad v. F = 2 τ sin θ 2 τ θ = τ l R La masa del elemento l está dada por δm = µ l. En el sistema de referencia que se mueve con el pulso, τ l R = (µ l) (v2 R ) v = τ µ

5 Ejercicios 1 La función que describe una onda en una cuerda (µ = 0,1 kg/m) es ( 2 π t Ψ(x, t) = 2 sin 3 0,01 x ) 2 Ψ se mide en centímetros, x en metros, y t en segundos. Cuánto valen la frecuencia, amplitud, longitud y velocidad de onda?. Qué valor tiene la tensión de la cuerda?. 2 El desplazamiento de las partículas de una cuerda, en x = 9.60 cm, varía con el tiempo, durante el paso de una onda senoidal, según la ecuación Y(t) = 5,12 sin (1,16 4,08 t) Si Y está en centímetros y t en segundos, determinar la frecuencia, longitud y velocidad de onda. Escribir la función de onda. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

6 Tarea para la casa Un helicótero intenta rescatar a un explorador de 80 kg atrapado en una tormenta. Para ello, el helicóptero se ubica encima del explorador y baja un cable con una silla de 70 kg hasta él. La masa del cable es 8 kg y la longitud es 15 m. El explorador se ata a la silla y le envía una señal al piloto tirando del cable. El pulso llega 0.25 s después al piloto. Cuál es la aceleración del helicóptero?. Rta.: 3 m/s 2 FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

7 Principio de superposición de ondas Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma de las funciones de onda de las ondas individuales. Las ondas pasan, una a través de la otra, sin alterarse mutuamente. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

8 Reflexión y transmisión de ondas en una cuerda Cuando una onda que viaja por una cuerda llega a un extremo de la misma, la onda se refleja sin cambiar de amplitud. Si el extremo está fijo, la onda se invierte. Si el extremo es móvil, la onda NO se invierte. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

9 Reflexión y transmisión de ondas en una cuerda Cuando una onda que viaja por una cuerda llega a una unión con otra cuerda, parte de la onda se refleja y parte se transmite. Las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida son menores que la amplitud de la onda original. v A > v B la onda reflejada se invierte v A < v B la onda reflejada no se invierte FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

10 Interferencia de ondas armónicas Supongamos que se mandan dos ondas senoidales a lo largo de una cuerda y en la misma dirección; las ondas son de igual longitud de onda y amplitud. Al fenómeno de combinar ondas se le llama interferencia interferencia constructiva y destructiva FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

11 Ondas estacionarias Qué pasa si dos ondas senoidales de igual longitud de onda y amplitud viajan por una cuerda en sentidos contrarios? Nuevamente podemos usar el principio de superposición La interferencia entre las dos ondas viajando en sentidos contrarios produce una onda estacionaria. Se llama onda estacionaria porque el patrón de onda no se mueve; las posiciones de los máximos y los mínimos no cambian en el tiempo. La característica principal de la onda resultante es que hay lugares a lo largo de la cuerda que nunca se mueven (nodos). FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

12 Ondas estacionarias En qué se diferencian una onda viajera y una onda estacionaria? En una onda viajera, la amplitud de la onda es la misma para todos los elementos de la cuerda. En una onda estacionaria, la amplitud depende de la posición. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

13 Cuerda con los dos extremos fijos Pensemos en una cuerda de guitarra y supongamos que generamos una onda senoidal de cierta frecuencia, digamos hacia la derecha. Poco tiempo después, tendremos muchas ondas, algunas viajando a la derecha y otras a la izquierda, superponiéndose e interfiriendo. Para ciertas frecuencias, la interferencia produce un patrón de onda estacionaria y se dice que el sistema está en resonancia. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

14 Cuerda con los dos extremos fijos Para determinar las frecuencias de resonancia de la cuerda fija en ambos extremos lo primero que debemos considerar es que cada extremo es un nodo. Además entre dos nodos siempre hay un antinodo. La onda estacionaria más simple es la que tiene nodos en los extremos y un antinodo en el centro (modo fundamental o primer armónico). λ = 2 L n El segundo patrón simple que podemos imaginar sería el que tiene tres nodos (extremos y centro) y dos antinodos (segundo armónico). Así, la onda original tiene que tener λ o f igual a f = v λ = n v 2 L n = 1, 2, 3,... FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

15 Comentarios Un guitarista cambia L de la cuerda al presionarla con sus dedos contra el cuello del instrumento. Patrones de resonancia de una guitarra 268 Hz 553 Hz Cuerdas con distintas τ, µ y L permite a un piano producir variedad de sonidos. 672 Hz 1010 Hz FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

16 Ejercicio Un cuerda está unida a un oscilador senoidal en un extremo y pasa por un soporte Q para luego ser estirada por un bloque de masa m en el otro extremo. La separación entre P y Q es 1.2 m, la densidad de masa lineal de la cuerda es 1.6 g/m y la frecuencia del oscilador es 120 Hz. La amplitud del movimiento en P es pequeña tal que podemos considerarlo un nodo. Otro nodo existe en Q. Qué masa m permite que el oscilador establezca el cuarto armónico en la cuerda? Qué onda estacionaria se establece si m =1 kg?. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

17 Tarea para la casa Una cuerda de 3 m de longitud y kg/m de densidad de masa lineal está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252 Hz. La próxima frecuencia de resonancia es 336 Hz. Qué armónico es 252 Hz? Cuál es la frecuencia fundamental? Cuál es la tensión en la cuerda? Rta.: tercero, 84 Hz y 635 N. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 17

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