PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO

Transcripción

1 º de Bachilleato. Electomagnetismo POBLEMAS DE ELECTOMAGNETISMO 1- Un ion de litio Li +, que tiene una masa de 1,16 Α 1-6 kg, se acelea mediante una difeencia de potencial de V y enta pependiculamente en un campo magnético de,6 T. Calcula el adio de su tayectoia. Aplicando la ley de la consevación de la enegía mecánica dento del campo eléctico aceleado esulta que el aumento de la enegía cinética que expeimentan los iones es: 1/ m v q V q. V v m Sustituyendo y como la caga del ion es la misma que la del electón, esulta que: -19 1,6 1 C V v 1,5.1 5 m/s -6 1,16 1 kg A continuación el ion peneta pependicula en un campo magnético, po que sobe él actúa la fueza de Loentz que le obliga a descibi una tayectoia cicula. Aplicando la segunda ley de Newton: ΣF m ; q v B sen 9 m v an m v m q V m V Despejando y opeando: q B q B m q B Sustituyendo: -6 1,16 1 kg V - 1, ,6 1 C (,6 T ) m Cuso 8 / 9 1

2 º de Bachilleato. Electomagnetismo. Calcula la fueza que actúa sobe un potón que tiene una enegía cinética de 1 ev y se mueve pependiculamente a un campo magnético de 1,5 T. Aplicando la definición de enegía cinética, esulta que: E c 1/ m v ; 1 ev 1, J/eV 1/ 1, kg v ; v 1, 1 m/s Sobe el potón actúa la fueza de Loentz, cuyo módulo es: F m q v B sen ν 1, C. 1, 1 m/s. 1,5 T. sen 91 3, N Su diección es pependicula al plano que contiene al vecto campo magnético y al vecto velocidad y su sentido es el que indica la egla de Maxwell, que coincide con el avance de un sacacochos al voltea el vecto velocidad sobe el vecto campo magnético po el camino más coto. 3. Una patícula tiene una caga de + Α 1-9 C. Cuando se mueve con una velocidad: v1 [1 j +1 k] m/s, un campo magnético unifome ejece sobe ella una fueza F 1, en la diección del eje OX y en su sentido negativo. Cuando la patícula se mueve con una velocidad v 1 i m/s - 5 sufe, po ese campo magnético, una fueza F. 1 j N. Detemine el campo magnético. Considéese en pime luga cuando la patícula lleva una velocidad de: v. 1 i m/s. El campo magnético B es un vecto pependicula a v y a F. Como se tiene que cumpli que: F q _ (v B), entonces el campo magnético es un vecto de diección el eje Z y sentido hacia su pate negativa. F En módulo: F q. v. B. sen ν ; B q v sen v N 1 Sustituyendo: B 1. 1 T C.. 1 m/s. sen 9 1 Su expesión vectoial, en el sistema de efeencia elegido, es: B - 1. k T A continuación se compueba si este valo del campo magnético está de acuedo con el pime movimiento. El vecto velocidad v1, tiene dos componentes: v1 ( 1 j +1 k) m/s La componente en el eje Z es paalela al campo magnético, po lo que no inteacciona con él. La componente de la velocidad en el eje Y es lo que hace que la patícula inteaccione con el campo magnético. En el sistema de efeencia de la figua Cuso 8 / 9

3 º de Bachilleato. Electomagnetismo adjunta y aplicando las eglas del poducto vectoial, sobe la patícula actúa una fueza de diección la del eje de abscisas y sentido negativo del mismo. j (- k) - i.. Un potón, un electón y una patícula alfa, aceleados po la misma difeencia de potencial, entan en una egión del espacio donde el campo magnético es unifome y se mueven pependiculaes a dicho campo. Detemina la elación ente sus enegías cinéticas y ente sus velocidades en el momento de peneta en el campo magnético. Si el adio de la tayectoia del potón es,1m, )cuáles son los adios de las tayectoias del electón y de la patícula alfa? Datos: m e 5,5 Α 1 - u; m p 1 u; m α u; q e - e; q p e; q α Α e Supóngase que las tes patículas son aceleadas ente las mismas placas y que cuando se acelea el electón se inviete la polaidad ente ellas paa que las tes patículas enten en la misma egión del campo magnético con velocidades de la misma diección y sentido. Una vez que las patículas entan en el campo magnético, el potón y la patícula α gian en el mismo sentido y el electón en sentido contaio. a) La enegía cinética de las patículas se calcula aplicando la ley de consevación de la enegía mecánica, consideando que la velocidad inicial de las patículas es igual a ceo, esulta que: E c q. V Paa cada patícula: E c, e e. V; E c, p e. V; E c, α. e. V Po lo que: E c, e E c, p. E c, α b) Aplicando la definición de enegía cinética, esulta que: 1/. m e. v e 1/. m e. v p 1/.. m e. v α Simplificando y sustituyendo: 5, v e 1. v p. v α Po lo que: v p, v e 1,. v α c) Aplicando la ley de la consevación de la enegía mecánica dento del campo eléctico aceleado esulta que la velocidad de una patícula aceleada po una difeencia de potencial V es: 1/. m. v q. V ; v q V m Cuso 8 / 9 3

4 º de Bachilleato. Electomagnetismo A continuación las patículas penetan en el campo magnético, po que sobe ellas actúa la fueza de Loentz que les obliga a descibi una tayectoia cicula. Aplicando la segunda ley de Newton: ΣF m. ; q v B sen 9 m v an... Despejando y opeando: m v m q B q B q V m m V q B Sustituyendo, esulta que los coespondientes adios de las patículas son:. 1. V. V p,1 m e B e. B. 5, V -. V,3. 1 e. B e. B,3. - e. 1 p,3 Α 1-3 m α.. V. V 1,.. e. B e. B 1,. p,1 m 5. El campo magnético del filto de velocidades de un espectómeto es 1 T. Calcula el campo eléctico, si los iones que tienen una velocidad de 1 m/s pasan sin desviase. En un filto de velocidades los campos eléctico y magnético son pependiculaes ente sí y, a su vez, pependiculaes a la velocidad de los iones. Como los iones no se desvían, la fueza magnética y la fueza eléctica tienen el mismo módulo la misma diección y sentidos opuestos. F magn + F el ; q. v. B q. E ; E v B Sustituyendo: E 1 m/s. 1 T 1 N/C Cuso 8 / 9

5 º de Bachilleato. Electomagnetismo 6. Calcula la velocidad de un potón que es aceleado po un ciclotón cuyo campo magnético es 1,5 T y cuyo adio es,5 m. El campo magnético del ciclotón actúa sobe la patícula obligándole a descibi una tayectoia cicula. Cada media vuelta, la patícula es aceleada po el campo eléctico que actúa ente las Des po lo que el adio de la tayectoia es cada vez mayo. Cuando el adio de óbita es mayo que el del apaato, la patícula se escapa siguiendo la tangente a la tayectoia. Aplicando la segunda ley de Newton, esulta que: v ΣF m _ an ; q _ v _ B _ sen 9 m La velocidad con la sale expulsado depende del adio de la última óbita: -19 q _ ciclot n _ B 1,6 _ 1 C _,5 m _ 1,5 T 7 vm xima 7, _ 1 m/s -7 m 1,67 _ 1 kg 7. Las cajas, en foma de D, de un ciclotón están colocadas en el inteio de un campo magnético unifome de,3 T. Si se intoduce dento del ciclotón una fuente de potones, detemina la fecuencia con la que tiene que vaia el sentido del campo eléctico aplicado ente las cajas. )Con qué velocidad sale el potón, si el adio de la última vuelta es de 6 cm? )Con qué difeencia de potencial hay que acelea al potón paa que alcance la misma velocidad? a) Dento de las Des de un ciclotón las patículas desciben óbitas cuyo adio depende de la velocidad de las mismas. Aplicando la segunda ley de Newton, esulta que: ΣF m. ; q v B sen 9 m v a n... m. v Despejando: q. B El campo eléctico aceleado que actúa dento de las Des cambia de polaidad en un tiempo igual al que la patícula tada en ecoe una semicicunfeencia dento de cada una de las Des. Cuso 8 / 9 5

6 1 f T I.E.S. Castilla º de Bachilleato. Electomagnetismo Po tanto, el peíodo y po consiguiente la fecuencia, denominada fecuencia ciclotónica, con la que debe cambia de polaidad el campo eléctico es igual a la fecuencia de las patículas dento del apaato. v q B. π. π m Sustituyendo: -19 1,6.1 C.,3 T, Hz - π. 1,67.1 kg f 7 d) La velocidad con la sale expulsado depende del adio de la última óbita: -19 q. ciclot. B 1,6. 1 C.,6 m.,3 T vm 1, m 1,67. 1 kg 7 m/s c) La difeencia de potencial que había que aplica ente los extemos de aun aceleado lineal se detemina aplicando la ley de la consevación de la enegía mecánica. 1/. m. v -7 7 m. kg (1,7 m ) q. V ; v 1, V 1 1, V -19. q. 1,6. 1 C 8. Po qué se contae un muelle cuando se hace pasa una coiente continua po él? El sentido de la intensidad de la coiente eléctica es el mismo en todas las espias. Como las fuezas ente conductoes ecoidos po coiente del mismo sentido son atactivas, el muelle se contae. 1. Un hilo de 5 cm de longitud está sobe el eje Y y tanspota una coiente de 1 A en la diección positiva de dicho eje. Si el hilo se encuenta en una zona donde existe un campo magnético B,. i -,. j +,5. k T, detemina la fueza que actúa sobe el hilo. La fueza que la que actúa un campo magnético sobe un conducto de coiente ectilíneo se detemina aplicando la segunda ley de La Place. F I (L B) La expesión vectoial del conducto es: L,5. j m Aplicando las eglas del poducto vectoial esulta que: F 1 A.(,5 j m [(, i -, j +,5 k ) T] [,1 (- k) +,5 i ] N (,5 i -,1 k ) N Cuyo módulo es: F (,5 N ) + (,1 N ),7 N Cuso 8 / 9 6

7 º de Bachilleato. Electomagnetismo 11. Una vailla conductoa de longitud L cm y masa m 1 g puede desliza sin ozamiento ente dos aíles veticales tal como muesta la figua adjunta. Este cicuito está inmeso en un campo magnético unifome B pependicula a su plano. Si hacemos cicula una coiente de intensidad I 1 A, calcula el valo del campo magnético B paa que la vailla se mantenga en eposo. Indica cuál debe se la diección y el sentido de dicho campo paa que esto suceda. Paa que la vailla se mantenga en eposo, debe actua sobe ella una fueza que equilibe a su popio peso. Esta fueza debe tene la diección de la vetical y sentido hacia aiba. ΣF ; F magn m. g Si esta fueza es debida a la acción de un campo magnético, se detemina aplicando la segunda ley de La place: F I (L B) Aplicando las eglas del poducto vectoial se deduce que el campo magnético es pependicula al plano que deteminan la vailla conductoa y el vecto fueza, luego es pependicula al plano del papel. Su sentido es hacia dento paa así actua con una fueza de la diección y sentido indicados. Despejando en la ecuación anteio de foma escala, se tiene que: -3 F m. g 1. 1 kg. 9,8 m/ s B,5 T I. L I. L 1 A., m Cuso 8 / 9 7

8 º de Bachilleato. Electomagnetismo I l 1. Una bobina de 1 espias de 5 cm de diámeto se coloca en el seno de un campo magnético de,5 T. Si la bobina es ecoida po una intensidad de la coiente de 1,5 A, detemina el momento magnético de la bobina y el momento del pa de fuezas cuando el campo y el momento magnético de la bobina foman un ángulo de 3º. Cuál es el valo máximo del momento del pa de fuezas?. En qué posición es máximo y mínimo este momento? a) El momento magnético de una espia, m,es un vecto pependicula al plano de la espia y su sentido coincide con el del avance de un sacacochos que gia según lo hace la intensidad de la coiente eléctica po el cicuito. Su módulo es: m N. I. S 1 espias. 1,5 A. π. (,5 1 - m), Α m b) El momento del pa de fuezas que actúa sobe la espia es: M N. I. (S B) m B Y su módulo: M m. B. sen ν, A m.,5 T sen 3º 7, N. m c) El valo máximo del pa es: M m. B. sen 9º, Α m.,5 T 1,51 - N m Cuso 8 / 9 8

9 º de Bachilleato. Electomagnetismo d) El módulo del pa de fuezas es máximo cuando el plano de la espia es paalelo al campo magnético, es deci cuando el vecto campo magnético y el vecto supeficie son pependiculaes, φ 9º. Y este módulo es mínimo cuando el plano de la espia es pependicula al campo magnético, es deci, cuando el vecto supeficie es paalelo al vecto campo magnético. φ º. 13 Se tienen dos hilos conductoes muy lagos, ectilíneos y paalelos, sepaados 75 cm. Po el hilo conducto 1 cicula una coiente de intensidad A diigida hacia el lecto, tal y como se indica en la figua. Calcula la intensidad que cicula po el hilo y su sentido sabiendo que en el punto P el campo magnético esultante es nulo. Con la intensidad calculada en el apatado anteio, detemine la fueza po unidad de longitud (módulo, diección y sentido) que ejecen los dos hilos ente sí. a) Cada conducto genea un campo magnético, cuyas líneas de campo son cicunfeencias concénticas en ellos y cuyo sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que avanza según la intensidad de la coiente eléctica. Paa que campo magnético se anule en el punto P, la intensidad de la coiente eléctica que pasa po el hilo dos tiene que tene sentido contaio a la que pasa po el hilo 1, es deci pependicula al plano del papel y hacia adento. Aplicando la ley de Biot y Savat, y como los módulos de los dos campos magnéticos tienen que se iguales, esulta que: µ. I 1 µ. I A I B1 B ; ; I,5 A. π. a1. π. a 1 cm 5 cm Cuso 8 / 9 9

10 º de Bachilleato. Electomagnetismo b) El conducto I 1 cea un campo magnético B 1, cuyas líneas de campo son cicunfeencias concénticas en el conducto y cuyo sentido está indicado po el gio de un tonillo que avanza con la coiente. En los puntos en los que se localiza el conducto I tiene sentido indicado en la figua adjunta y cuyo módulo es: µ I 1 B1 π a Este campo magnético actúa sobe el conducto I, mediante una fueza magnética de diección la de la pependicula a los conductoes y cuyo sentido es de epulsión ente los hilos. El módulo es esta fueza es: µ L F L. I. B 1. sen ν I 1. I π a De igual foma y aplicando el pincipio de acción y eacción el conducto I epele al conducto I 1 con una fueza F 1 del mismo módulo, la misma diección y sentido opuesto. Sustituyendo, y si los conductoes están situados en el vacío, el módulo de la fueza es: -7 µ L. π N/ L F 1 F 1 A -7 I 1. I A.,5 A,7. 1 L N/m π a. π,75 m. Con lo que la fueza con que se epelen po unidad de longitud es: F 1 F -, N/m L L 1. Po un conducto ectilíneo de gan longitud pasa una intensidad de la coiente I A y po la espia una intensidad I 1 A, en los sentidos que se indican en la figua adjunta. Calcula el módulo de las fuezas que actúan sobe cada lado de la espia y epesenta sus diecciones y sentidos en un diagama. El campo magnético ceado po un conducto ectilíneo indefinido en un punto P a una distancia a del conducto, se detemina aplicando la ley de Biot y Savat: µ. I B. π a Las líneas de campo son cicunfeencias concénticas en el conducto y situadas en planos pependiculaes al mismo. El vecto campo magnético es tangente a las líneas de campo y su sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que avanza según el sentido de la intensidad de la coiente eléctica. Cuso 8 / 9 1

11 º de Bachilleato. Electomagnetismo En la egión en la que está situada la espia, el conducto indefinido genea un campo magnético pependicula al plano de la espia y su sentido es hacia dento. a) Lados de la espia paalelos al hilo indefinido. La distancia es constante ente el hilo indefinido y los lados de la espia paalelos a este hilo, po lo que el campo magnético es constante en la posición de estos lados. Este campo magnético actúa sobe cada lado del cicuito con una fueza que se detemina aplicando la segunda ley de La Place: F I _ (L B), de diección la de la pependicula al campo magnético y al lado del cicuito en cuestión y de sentido el que indica la egla de Maxwell, que coincide con el avance de un sacacochos al voltea el vecto intensidad sobe el vecto campo magnético po el camino más coto. µ L En módulo: F I. I. π Sobe el lado de la espia situado más ceca del hilo la fueza, F 1, tiene la diección de la pependicula a los dos hilos y su sentido hacia el hilo indefinido. -7. π. 1 N/ A,1 m -7 F 1 A. 1 A 8. 1 N. π,5 m Sobe el lado de la espia más alejado del hilo la fueza, F, tiene la diección de la pependicula a los dos hilos y su sentido es el contaio de la fueza anteio. -7. π 1 N/ A F. π,1 m A. 1 A,1 m N b) El campo magnético que actúa sobe los lados de la espia que son pependiculaes al hilo indefinido no es constante, ya que la distancia de éstos al hilo tampoco lo es. La fueza sobe estos segmentos cotos de la espia se detemina aplicando la segunda ley de La Place paa un elemento de coiente: df I. (dl B). Estas fuezas tienen el mismo módulo, la misma diección, paalelas al hilo indefinido, y sentidos opuestos, hacia el exteio de la espia. Como el ángulo que foman los vectoes es de 91, y como la fueza sobe un elemento de coiente es: df I B. d dl d, esulta que Cuso 8 / 9 11

12 º de Bachilleato. Electomagnetismo Sustituyendo el campo magnético po su valo a una distancia del hilo, esulta que: µ. I df I. d. π. Como estos lados de la espia están situados ente las distancias 5 cm y 1 cm del hilo indefinido, integando la expesión anteio ente estos valoes, esulta que: µ. I. I F. π F,8 Α 1-7 N,1-7,1 d µ. I. I. π. 1 N/ A. A. 1 A ln ln,5. π,5. π,1,5 Cuso 8 / 9 1