Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 6. Optimización

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1 Apuntes Tema 6 Optimización

2 6.1 Problemas de optimización El cálculo de máximos y mínimos no solo se usa en Matemáticas, sino en muchas otras disciplinas. Precisamente este tipo de problemas fue el que dio pie al cálculo diferencial. Son problemas en los que se trata de obtener una solución óptima dentro de distintas soluciones posibles. Como procedimiento general, podemos recomendar los siguientes pasos: 1º Obtener la función que se desea optimizar. Es muy probable que la función dependa de más de una variable. 2º Si la función que se va a optimizar tiene más de una variable, se buscarán ecuaciones de ligadura, con el fin de que la función dependa de una única variable. 3º Se deriva la función, obteniendo posibles máximos o mínimos. 4º Se analizan los resultados obtenidos descartando aquellos que carezcan de sentido y quedándonos con los que respondan convincentemente al enunciado. 5º Hallar los valores de la función en sus extremos por si es en esos puntos donde se cumplen las condiciones del enunciado (sólo en los ejercicios más complicados). Ejemplo 1: Halla dos números cuya suma sea 20 y cuyo producto sea el mayor posible. Los número serán x e y. 1º f(x, y) = x y 2º x + y = 20 (ecuación de ligadura) f(x) = x (20 x) = 20x x 2 3º f (x) = 20 2x Para optimizar hay que hallar los máximos o mínimos y para obtener los extremos de una función tendremos que igualar la primera derivada a cero y comprobar por cualquiera de los métodos que se trata de un extremo. 20 2x = 0 x = 10 Al tratarse de una parábola abierta hacia abajo sabemos que se trata de un máximo. 4º Conclusión: los números que buscábamos son x = 10 e y = 10. Ejemplo 2: Un pastor quiere vallar un campo rectangular de 3600 m 2 de superficie. Qué dimensiones debería tener para que el coste fuera mínimo? y S = 3600 m 2 1º P(x, y) = 2x + 2 y 2º x y = 3600 (ecuación de ligadura) y = 3600 P(x) = 2x x x 3º P (x) = = 0 x x 2 1 = 60 y x2 = º x2 carece de sentido, puesto que las longitudes tienen que ser positivas. Dado que x = 60, y = 3600 / 60 = 60. Por tanto, el campo rectangular será un cuadrado de 60 m de lado. Ejercicios x 71

3 1. Con un alambre de 1 m se quiere construir el borde de un rectángulo de área máxima. Qué dimensiones hay que dar al rectángulo? 2. Un número más el cuadrado de otro número suman 48. Cómo deben elegirse dichos números para que su producto sea máximo? 3. Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 5 /m y la de los otros lados 2 /m, determina el área del mayor campo que puede cercarse con Un jardinero tiene que construir un parterre con forma de sector circular por 20 m de perímetro. Cuál será el radio que dé el parterre de área máxima? 5. En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea idéntica a la altura y, además, la suma de las tres dimensiones tiene que ser 72 cm. Determina las medidas del paralelepípedo para que el volumen sea máximo. 6. Un depósito abierto de chapa de base cuadrada debe tener capacidad para litros. Cuáles han de ser las dimensiones para que se precise la menor cantidad de chapa? 7. Una empresa tiene alquilados los 40 apartamentos de los que dispone en un complejo por 240 cada uno. Por cada 24 de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino, que se traslada otro complejo más económico. Cuál es el alquiler qué más beneficio produce a la empresa? 8. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso. 9. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de área. Sus márgenes laterales y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor área impresa posible. 10. Un segmento de longitud de 5 cm. apoya sus extremos en los semiejes positivos OX y OY, de tal manera que forma con éstos un triángulo. Halla las dimensiones del triángulo de área máxima así construido. 11. Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máxima. 12. Dividir un segmento de 6 cm. de longitud en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea máxima. 13. Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule 72

4 aproximadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste. 14. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad. 15. Una esmeralda pesa 16 grs. y sabemos que su valor es proporcional al cuadrado de su peso. Si partimos en dos trozos la esmeralda, halla el peso que debe tener cada uno de ellos para que su valor sea mínimo. 16. Determina el punto de la gráfica de la función f(x)= x3 +6x2 7x+5 en el que la pendiente de la recta tangente es máxima. Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto? 17. Una bióloga marina sabe que los ingresos por venta de ejemplares de lubina en una planta de cultivo de peces es I(q)= 2000q 0,04q2 y los costes de alimentación vienen dados por la función C(q)= q +0,001q2, donde q = nº unidades de lubina. Halla: a) La función beneficio. b) Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo? 18. Un médico ha leído que el número de personas afectadas por la enfermedad de las vacas locas viene dado por la función v(x)= x x +84, donde x representa el número de años transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcula: a) el número de años para que dicha enfermedad desaparezca. b) la tasa de propagación de la enfermedad al cabo de 5 años. c) el momento en que la enfermedad deja de crecer. 19. Una bióloga está haciendo un cultivo de Escheritzia coli. Se sabe que el número de bacterias varía con el tiempo en días de acuerdo con la siguiente función N(t) = 50 (2t 3-15t t +2), se pide: a) Cuántas bacterias había al principio? b) Cuál es el número máximo de bacterias? Cuándo? 20. Una tienda vende aceite a 2,10 el litro. Los costes de producción son de 0,3 céntimos el litro y los de transporte son la centésima parte del cubo del número de litros vendidos. Halla cuántos litros deben venderse para obtener una ganancia máxima. 21. Se estima que la ganancia de una empresa en decenas de miles de euros para los 2t 2 t+1 próximos 10 años sigue la función: f(t) = { si 0 t < 4 t+2 Averigua cuándo si 4 t 10. será la ganancia máxima. t+1 73

5 22. Considérese el recinto limitado por la curva y = x 2 y la recta y = 3. De entre todos los rectángulos inscritos entre ambas funciones determina aquel que tiene área máxima 23. Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), de modo que el punto (a, b) tiene coordenadas positivas y está situado en la curva de ecuación: y = 1 x De todos estos rectángulos hallar razonadamente el de área mínima. 24. Un nadador, A, se encuentra a 3 km. De la playa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma playa, a 6 Km. De la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y que anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible. 74

6 Ejercicios PAU 1. La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de 100metros. Calcula las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima. (Junio 2013) 2. La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a cierto proceso de 6 horas de duración, viene dada en función del tiempo t transcurrido en ese proceso por la expresión T = t 15 con 0 t 6. Determina en qué t 2 6t+10 momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza su temperatura mínima. (Sept 2012) 3. Obtén razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes requisitos: (Junio 2012) a) la suma de ambos debe ser 60. b) el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulta de valor máximo. 4. Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de 2 metros. Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima? (Sept 2011) 5. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY, y el otro sobre la recta de ecuación 4x + 3y = 12. (Sept 2011) 6. Determina dos números positivos cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cubo del otro sea máximo. (Junio 2010) 7. Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar operarios y comprar máquinas. El dueño de la fabrica ha estimado que si compra y máquinas y contrata x operarios, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función P = 105 x 2 y. Cada máquina le supone una inversión de 2000 y cada contrato de un operario le cuesta Si el 75

7 empresario sólo dispone de un presupuesto de para este fin, determina el número de operarios que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción. (Sept 2010) 8. Se quiere construir una ventana rectangular de 1 metro cuadrado de área. El coste del marco es de 12,5 por cada metro de altura y de 8 por cada metro de anchura. Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco resulte lo más económico posible? (Sept 2010) 76

8 Ficha de repaso 1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma. (Sol.: x = e/2, la suma es 2-2Ln2) 2. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible? (Sol.: 40 m y 20 m) 3. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo (Sol.: 10 cm y 5cm) 4. Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones de la cerca para que el área encerrada sea máxima. (Sol.: 250 m y 500 m) 5. Se considera una ventana con la parte inferior rectangular y la superior una semicircunferencia. El perímetro de la ventana mide 6 m. Halla las dimensiones x e y del rectángulo para que la superficie de la ventana sea máxima. (Sol.: x = 1.68 m y = 0.84 m) 6. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m. cuál es el que tiene la diagonal menor? Razonar el proceso seguido. (Sol.: 3 m x 3 m) 7. Calcula el área máxima que puede tiene un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de sus dos catetos vale 4 cm. (Sol.: 2 cm x 2 cm) 8. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio. (Sol.: 10 2 cm cada lado) 9. Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesiten exactamente 1248 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. (Sol.: 48, 120 y 144 m) 10. Un aparejador sabe que el rendimiento de los operarios de una constructora varía a medida que avanza la jornada laboral. La función que expresa dicho rendimiento es R(t) = t 2 + t 3, siendo t el número de horas transcurridos desde el inicio de la jornada laboral. Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y el mínimo. (Sol.: Al principio y a las 7 horas) 11. Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes x y x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. Indica razonadamente para qué valor de x se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima. (Sol: 56.5m) 77

9 12. En una carretera a través del desierto un automóvil debe de ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible (Sol.: La ruta a seguir es AMP, de A a M hay 175 km y de M a P hay 375 km, con lo que recorre un total de 550 km a 100 km/h) 78