4. DINÁMICA. 4. Dinámica

Transcripción

1 4. DINÁMICA Hasta aquí analizamos el movimiento sin preocuparnos por sus causas. Estudiaremos ahora las causas y el tipo de movimiento a que dan lugar. Es intuitivo que para poner en movimiento un objeto (o para detenerlo si se mueve) hace falta ejercer una fuerza, lo que lleva a pensar que los cambios del estado de movimiento se deben a fuerzas que actúan sobre el móvil. Como todo objeto se puede analizar como un conjunto de puntos materiales (en número suficiente) consideraremos por ahora objetos puntiformes; oportunamente veremos como se generalizan los conceptos que introduciremos a casos más complicados. Sistemas inerciales y Principio de Inercia El movimiento aparece en forma diferente a distintos observadores 1. Por lo tanto al discutir la Dinámica debemos elegir un sistema de referencia oportuno. Ahora bien, la experiencia indica que hay una clase de referenciales llamados inerciales en los que un objeto libre de fuerzas queda en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. No todo sistema de referencia es inercial: un referencial acelerado no lo es pues al discutir el movimiento relativo vimos que en un sistema cuya aceleración es a los objetos están sometidos a una aceleración a, de modo que un objeto en reposo se pone en movimiento aunque no actúen fuerzas sobre él. Un sistema rotante tampoco es inercial ya que los cuerpos están sometidos a la aceleración centrífuga y la aceleración de Coriolis. La existencia de sistemas inerciales se infiere (pero no se demuestra) de las experiencias de Galileo, que observó que el movimiento uniforme y el reposo no necesitan causa. Si lanzamos una bocha sobre una superficie plana y horizontal se moverá en línea recta y luego de recorrer cierta distancia se detendrá. Si la superficie es rugosa la distancia es modesta porque la fricción frena la bocha. Cuanto más pulida es la superficie menor es el roce y mayor la distancia recorrida. Si el objeto se desplaza sobre un colchón de aire (lo que se consigue con dispositivos adecuados) el roce es insignificante y el movimiento es rectilíneo y uniforme con excelente aproximación. De esto se infiere que en el caso ideal que no hubiera rozamiento el movimiento de la bocha sería exactamente rectilíneo y uniforme. La conclusión de lo dicho es que en un sistema inercial los cuerpos tienden a mantener su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Esta tendencia es una propiedad de los objetos materiales y se llama inercia. Es por la inercia que cuando vamos en un automóvil que frena bruscamente somos despedidos hacia adelante (es decir tendemos a mantener el estado de movimiento que teníamos). La generalización de estas observaciones lleva a postular una ley o principio fundamental de la Dinámica de validez universal: I Ley: En un sistema de referencia inercial, cuando no actúan fuerzas sobre un punto material, éste mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme. Este postulado recibe el nombre de Primera Ley (o Principio) de la Dinámica, Primera Ley (o Principio) de Newton y Ley (o Principio) de Inercia. 1 Recordar el caso de un movimiento rectilíneo visto por un observador en reposo y por un observador en rotación. La Tierra no es un sistema inercial y aún eliminando el rozamiento el movimiento de la bocha no será rectilíneo y uniforme debido a la aceleración de Coriolis y a la componente horizontal de la aceleración centrífuga. Luego las experiencias que se acaban de describir se tendrían que hacer en un laboratorio ideal que esté en reposo. 57

2 Fuerzas y Segundo Principio La noción de fuerza viene de la experiencia del esfuerzo muscular que se ejerce para desplazar objetos, levantarlos, etc. (Fig. 4.1). Un resorte ejerce una fuerza que se opone a que se lo estire, por eso se tiene que realizar un esfuerzo para estirarlo. Todo objeto tiene peso: por eso tenemos que hacer un esfuerzo para levantarlo. FRAGIL F P (a) (b) Fig Fuerzas: (a) para estirar un resorte hay que realizar un esfuerzo, (b) para levantar un objeto hace falta un esfuerzo muscular. Los atributos de una fuerza son su magnitud, su dirección y su sentido y por lo tanto se representa por medio de un vector. Cabe aclarar que la fuerza no es un vector libre pues como todo el mundo sabe por experiencia su efecto depende del punto del cuerpo donde está aplicada. Volveremos sobre esta cuestión más adelante. Como por ahora tratamos objetos puntiformes vamos a suponer que las fuerzas están aplicadas en el punto mismo. Si (como ocurre a veces) sobre un punto material actúan varias fuerzas F 1, F, (Fig. 4.), su efecto equivale al de una única fuerza llamada resultante, igual a la suma vectorial de las mismas: F = F1+ F + (4.1) Siempre que sobre un punto material actúen varias fuerzas las reemplazaremos por su resultante. F 1 P F F Fig. 4.. Cuando varias fuerzas actúan sobre un punto material su efecto equivale al de su resultante. Una vez establecido el sistema de referencia que se debe emplear, es decir el sistema inercial, queda claro que toda vez que un cuerpo se desvía del reposo o del movimiento rectilíneo y uniforme, la causa de esa desviación, o sea del cambio de velocidad, es una fuerza. Debemos buscar entonces la relación entre las aceleraciones y las fuerzas. Cuando un objeto cae por efecto de la gravedad (Fig. 4.3a) la aceleración está dirigida en la misma dirección (indicada por la plomada) de la fuerza (el peso) que la produce. Si se hace girar con movimiento circular uniforme un objeto atado por un cordel, la fuerza que el cordel ejerce 58

3 sobre el objeto está dirigida en la dirección radial y la aceleración que le imprime (la aceleración centrípeta) es también radial (Fig. 4.3b). Podemos considerar más ejemplos y veremos siempre que cuando un cuerpo tiene una aceleración a existe también una fuerza F que tiene igual dirección y sentido que a. w FRAGIL P a O a F P v (a) (b) Fig La aceleración tiene igual dirección y sentido que la fuerza que la produce: (a) la aceleración de un cuerpo que cae por efecto de su peso está dirigida verticalmente hacia abajo, (b) un objeto realiza un movimiento circular uniforme atado por un cordel que ejerce una fuerza en la dirección radial, la cual produce la aceleración centrípeta necesaria. Para averiguar más sobre la relación entre fuerza y aceleración conviene recordar los experimentos de Galileo con el plano inclinado. Sea un dispositivo (ver la Fig. 4.4a) consistente en dos planos inclinados separados por un plano horizontal (las superficies deben ser pulidas para que no influya el rozamiento o mejor aún, se debe usar un colchón de aire). Estudiando el movimiento de un cuerpo que se suelta en el extremo A del plano inclinado se ve lo siguiente: En el tramo AB el movimiento es uniformemente acelerado. La aceleración depende de la pendiente α del plano, más precisamente a ~ senα, y no depende del material de que está hecho el cuerpo ni de su tamaño. En el tramo horizontal BC el movimiento es rectilíneo y uniforme. En el tramo CD el móvil se acelera como en AB, pero en el sentido de reducir su velocidad. A a ~ sena a B a = 0 C a D P A a P P a (a) (b) Fig Relación entre fuerza y aceleración: (a) cuando un cuerpo desliza sin rozamiento su movimiento es uniformemente acelerado en los tramos AB y CD y es rectilíneo y uniforme en el tramo BC; (b) las partes paralela y perpendicular a un plano inclinado del peso de un cuerpo. 59

4 La fuerza que actúa es el peso P del cuerpo y lo podemos imaginar (Fig. 4.4b) como la suma de una parte P perpendicular a la superficie del plano inclinado y una parte P paralela al mismo: P = P + P, P = Pcos α, P = Psenα (4.) La componente P mantiene el cuerpo en contacto con el plano y no produce aceleración dado que el plano no se deja penetrar por el cuerpo (es un vínculo, en el sentido que estudiamos en el Capítulo 3). La componente tangencial es la que produce la aceleración. Lo observado en el tramo horizontal es consecuencia de la Primera Ley: como P = 0, no hay aceleración y tenemos un movimiento rectilíneo uniforme. Lo observado en el tramo inclinado, o sea a ~ senα, junto con la (4.) indica que la aceleración es proporcional a la fuerza: P a = K = cte. P = Ka (4.3) Al experimentar con diferentes cuerpos se encuentra que la aceleración no depende del material ni del tamaño de los mismos, sino sólo de la pendiente α. Por otra parte P es proporcional al peso del cuerpo. Por lo tanto se concluye que el factor de proporcionalidad K entre aceleración y fuerza depende del cuerpo. Para investigar esta dependencia podemos realizar otras experiencias. Por ejemplo si tiramos de un carro con una fuerza F fija, se observa que cuanto más se carga el carro tanto menor es la aceleración (Fig. 4.5). Luego K es proporcional a la carga del carro. La constante de proporcionalidad está pues relacionada con la cantidad de materia del cuerpo que está siendo acelerado 3, esto es, con la masa del cuerpo que es la medida de la cantidad de materia del mismo. Por lo tanto si con m indicamos la masa podemos escribir F = Cma (4.4) donde C es una constante a determinar, que depende de las unidades en que se miden las fuerzas. FRAGIL F FRAGIL FRAGIL F a a (a) (b) Fig Si tiramos de un carro con una fuerza F fija, la aceleración es tanto menor cuanto más se carga el carro. Si definimos la unidad de fuerza como aquella fuerza que aplicada a la unidad de masa le imparte una unidad de aceleración, tendremos que C = 1 y la (4.4) queda F = ma (4.5) Recordando que la dirección y el sentido de la fuerza y de la aceleración coinciden se tiene que 3 En realidad la experiencia del plano inclinado, al mostrar que K es proporcional al peso, muestra también que el peso es proporcional a la cantidad de materia. 60

5 F 4. Dinámica = m a (4.6) En base al resultado que hemos inferido podemos postular con validez general una nueva ley o principio fundamental de la Dinámica: II Ley: La aceleración de un punto material es directamente proporcional a la resultante de las fuerzas que actúan sobre él, e inversamente proporcional a su masa: F = m a Este enunciado recibe el nombre de Segunda Ley (o Principio) de la Dinámica, Segunda Ley (o Principio) de Newton o Ley (o Principio) de Masa. Corresponde aclarar que nuestras consideraciones dan por implícita una definición rigurosa del concepto de masa, que todavía no dimos. Tal definición se puede lograr por medio de la Tercera Ley de la Dinámica, que introduciremos en breve. Pero no entraremos ahora en ese tema dado que el concepto de masa como medida de la cantidad de materia, aunque no riguroso es bastante intuitivo y preferimos evitar por el momento una disquisición epistemológica que antes que aclarar las cosas puede producir confusión. Más adelante volveremos sobre la cuestión. Dimensiones y unidades de masa y fuerza La masa se toma habitualmente como magnitud fundamental. Sus unidades son el kilogramo (kg) en el sistema MKS y el gramo (g) en el sistema cgs. Por definición el kilogramo es la masa de un bloque patrón de metal que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de Sévres (Francia) y equivale muy aproximadamente a la masa de un litro de agua. De acuerdo con la (4.6) las dimensiones de fuerza derivan de las de la masa y la aceleración: [ F] = [ m][ a] = [ mlt ] (4.7) En el sistema MKS la unidad de fuerza es elkg m/s = Newton = N y en el sistema cgs el gcm/s = dina = dy. Se verifica que 1N = 10 5 dy. También se suele medir la fuerza en kilogramos fuerza (kgf); esta unidad es el peso de una masa de 1 kg, de modo que 1kgf = 9. 8N. Interacciones y Tercer Principio Las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo se deben a la acción de otros cuerpos. Estas acciones mutuas de los cuerpos se denominan interacciones. En ausencia de interacciones no actúan fuerzas sobre el cuerpo, y éste se mueve de acuerdo con la Primera Ley. La observación muestra que si aplicamos una fuerza a un cuerpo soportamos una reacción, es decir una fuerza que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Esta reacción es tanto mayor cuanto mayor es la fuerza aplicada. Todos sentimos sobre nuestra mano la reacción de la mesa si descargamos un puñetazo sobre la misma: no hay que dar un golpe demasiado fuerte, no sea cosa que la reacción nos lastime. Si tiramos de un carro con una cuerda (Fig. 4.6) ejerciendo una fuerza sobre el carro, la cuerda soporta una reacción que la pone tensa. Se pueden dar más ejemplos y se encuentra siempre que a toda fuerza le corresponde una fuerza de reacción, que actúa sobre aquello que está ejerciendo la primera fuerza, o sea la acción. Por eso la acción no ocurre nunca sola: en toda interacción entre cuerpos a cada acción le corresponde una reacción. Las fuerzas se presentan siempre de a pares: una sobre cada uno de los cuerpos que interactúan. 61

6 FRAGIL R F Fig Cuando al tirar con una cuerda ejercemos una fuerza sobre el carro, la cuerda soporta una reacción que la pone tensa. Los ejemplos mencionados muestran que en toda interacción se cumple que la magnitud de la fuerza de reacción es igual a la magnitud de la fuerza de acción, ambas fuerzas tienen la misma recta de acción, ambas fuerzas tienen sentido opuesto. Estas observaciones permitieron a Newton postular una ley o principio de la Dinámica de validez universal (Fig. 4.7): III Ley: En toda interacción entre dos puntos materiales A y B en que el primero ejerce una fuerza F AB sobre el segundo, éste ejerce sobre el primero una reacción F BA. La fuerza de reacción es de igual magnitud y sentido contrario a la fuerza de acción y ambas se ejercen a lo largo de la recta que une los dos puntos: F BA = F (4.8) Este enunciado se conoce como Tercera Ley (o Principio) de la Dinámica, Tercera Ley (o Principio) de Newton, o Ley (o Principio) de Acción y Reacción. AB B F AB A F BA Fig La Ley de Acción y Reacción: si A ejerce una fuerza F AB sobre B, éste ejerce sobre A una reacción F = F ; ambas fuerzas se ejercen a lo largo de la recta AB. BA AB Cantidad de movimiento e impulso Sea un objeto puntiforme de masa m que se desplaza con velocidad v. La magnitud p = m v (4.9) se denomina cantidad de movimiento del móvil. En términos de la cantidad de movimiento, la Segunda Ley de la Dinámica se escribe como F p = d dt (4.10) 6

7 donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el móvil. Notar que esta formulación de la Segunda Ley es más general que la ec. (4.6) pues incluye el caso en que la masa del sistema es variable, como ocurre con un cohete que pierde masa a medida que quema combustible. La Segunda Ley se escribe en forma diferencial como dp = Fdt. En general F es una función del tiempo y la variación de la cantidad de movimiento en el intervalo t t se expresa como: La cantidad p p( t ) p( t ) dp Fdt = 1 = = t t 1 t t 1 1 (4.11) I 1 t = Fdt t 1 (4.1) se denomina impulso de la fuerza F. Para evaluar el impulso es preciso, naturalmente, conocer cómo dependen del tiempo las fuerzas. La expresión (4.11) no es otra cosa que la expresión integral de la Segunda Ley, que se puede enunciar como: II Ley: La variación de la cantidad de movimiento de un móvil es igual al impulso de la resultante de las fuerzas que actúan sobre él. Conservación de la cantidad de movimiento La cantidad de movimiento es una magnitud extensiva: si S es un sistema compuesto por varios móviles S 1, S,... cuyas cantidades de movimiento son p 1, p,..., respectivamente, la cantidad de movimiento p de S es igual a la suma de las cantidades de movimiento de sus partes: p = p1+ p + K (4.13) Sea ahora S un sistema aislado (es decir que no interactúa con el resto del universo) que comprende los subsistemas S 1 y S. No hay fuerzas de origen externo sobre S 1 y S y por lo tanto la única fuerza que actúa sobre S 1 es F 1, que proviene de su interacción con S. Análogamente la única fuerza que actúa sobre S es F 1, que proviene de su interacción con S 1. Como F 1 y F 1 son un par de acción y reacción, por la Tercera Ley F = F. Además, por la Segunda Ley dp dt Luego dp / dt + dp / dt = y por lo tanto = F y dp dt = F (4.14) 1 p = p1+ p = cte. (4,15) Luego la cantidad de movimiento de S se conserva si no hay fuerzas externas. Usando la (4.11) la conservación de la cantidad de movimiento de S se expresa en la forma p = p + p = 0, o sea p = p (4.16) 1 1

8 Esta fórmula pone de manifiesto que en toda interacción entre dos cuerpos hay una transferencia de cantidad de movimiento de uno a otro. Pero la cantidad de movimiento total se mantiene constante, porque por la Ley de Acción y Reacción la cantidad de movimiento que gana una parte se compensa exactamente con la que pierde la otra. Conviene aquí hacer un comentario acerca del concepto de sistema aislado. En sentido estricto ningún sistema es aislado, es decir no interactúa con el resto del universo. Cabe entonces preguntarse para qué sirven en la práctica las anteriores consideraciones. Para aclarar la cuestión veamos como se modifican nuestros resultados cuando S interactúa con el resto del universo. En tal caso la fuerza que actúa sobre S 1 es la resultante de F 1 y F e1, la fuerza de origen externo resultante de las interacciones de S 1 con el resto del universo. Análogamente la fuerza que actúa sobre S es la resultante de F 1 y F e. Por lo tanto dp dt 1 = F + F, 1 e1 dp dt = F + F (4.17) 1 e Al sumar ambas ecuaciones obtenemos dp dt = Fe1+ Fe = Fe (4.18) donde F e es la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre S. Por lo tanto p = Fe dt t t1 (4.19) Este resultado indica que la variación de la cantidad de movimiento de un sistema proviene exclusivamente del impulso de las fuerzas de origen externo. Ahora bien, en muchas situaciones de interés puede ocurrir que la variación de la cantidad de movimiento del sistema (debida como vimos a las fuerzas externas) sea despreciable. Eso sucede si F e es muy pequeña, o si el intervalo de tiempo t=t t 1 que estamos considerando es muy breve (como ocurre en el choque entre dos cuerpos). En tales casos tendremos p 0 (4.0) Si δp es la magnitud de la transferencia de cantidad de movimiento entre las partes del sistema ( δp F int t, donde F int es el valor típico de las fuerzas internas), la condición para que a los fines prácticos el sistema se pueda considerar aislado se puede expresar como p Fe t Fe ae = = <<1 (4.1) δp F t F a int donde a e y a int son las magnitudes de las aceleraciones de una parte cualquiera del sistema debidas a las fuerzas externas e internas, respectivamente. Entonces un sistema se puede considerar aislado si la aceleración de una cualquiera de sus partes debida a las fuerzas externas es despreciable frente a la aceleración producida por las fuerzas que las demás partes del sistema ejercen sobre ella. int int 64

9 Amortiguamiento de una caída Como aplicación de estos conceptos estimemos desde que altura puede caer un hombre sin lastimarse, suponiendo que cae de pie y amortigua el impacto sobre el piso doblando las piernas. Estudiaremos el impacto, es decir el proceso desde que los pies tocan el suelo con las piernas estiradas y con velocidad v, hasta que el movimiento se detiene y las piernas están flexionadas. El problema parece complicado porque sobre el hombre actúan el peso P = mg (m es la masa y g la aceleración de la gravedad) y la fuerza normal de contacto N debida a la impenetrabilidad del piso 4, cuyo valor no conocemos de antemano. Pero no queremos un resultado exacto, sólo una estimación. Para resolver el problema vamos a suponer que el sistema hombre-piso se puede tratar como aislado, sujeto a verificar a posteriori que esta hipótesis se cumpla satisfactoriamente. Nuestra hipótesis implica que durante el intervalo t que dura el frenado podemos despreciar el impulso del peso. Si h es la altura de la caída, al llegar al suelo la velocidad es v = gh. Supongamos que durante el impacto la desaceleración es constante e igual a G; entonces v = Gl, donde l es la longitud de las piernas ( l 075. m); luego h/ l = G/ g. Para que el hombre no se rompa los huesos N debe ser menor que el valor límite F* dado por la resistencia mecánica del esqueleto, cuyo valor aproximado es: Entonces el máximo valor admisible de la desaceleración es G F* 10P = 10 mg (4.) = 10 g. De aquí resulta h Gl/ g = 10l 7. 5 m (4.3) Luego la máxima altura desde la cual se puede caer sobre un piso rígido sin lastimarse es unas 10 veces la longitud de las piernas: unos 7.5 m, más o menos la altura de un segundo piso 5. Falta verificar que se cumple nuestra hipótesis. El tiempo de frenado es t = l / G, durante el cual ocurre una variación δp= mv de la cantidad de movimiento. Durante ese lapso la variación de cantidad de movimiento debida al impulso del peso es p= mg t, por lo tanto p g δ p = G 1 10 (4.4) Luego se justifica considerar el sistema hombre-suelo como aislado. Ley de escala de los esqueletos El concepto de la fuerza límite (4.) permite formular una ley de escala para el esqueleto de los vertebrados terrestres. Si l es la dimensión lineal típica del cuerpo y ρ la densidad del mismo tenemos que m ~ ρ l 3. Por otra parte F ~ kd donde d es la dimensión transversal de los huesos y k es una constante que depende del material y estructura de los mismos y que podemos suponer que tiene el mismo valor para todos los vertebrados. De esto resulta que d l 3 g ~ ρ = K (4.5) k 4 Más adelante se tratan las fuerzas de contacto. 5 La (4.) en que se basa nuestra estimación no se debe tomar al pie de la letra, sino sólo con carácter indicativo. No aconsejo a nadie que haga la prueba de saltar desde un segundo piso, salvo en caso de extrema necesidad. 65

10 donde K es (aproximadamente) constante para animales terrestres del mismo tipo de estructura. De esto se desprende la siguiente ley de escala: d l ~ l 1/ (4.6) que implica que los animales de mayor tamaño tienen huesos proporcionalmente más gruesos. Lógicamente estos argumentos no se aplican si se comparan animales que viven en el agua con animales terrestres. Problemas de Dinámica Como dijimos al comienzo de este Capítulo el problema de la Dinámica es establecer la relación entre el movimiento y sus causas. Concretamente: dado un móvil y dadas las fuerzas que actúan sobre el mismo, determinar su movimiento. O bien resolver el problema inverso: conociendo como se mueve un cuerpo, deducir las fuerzas a las que está sometido. Para eso contamos con la tres leyes fundamentales de la Dinámica: la Ley de Inercia, la Ley de Masa y la Ley de Acción y Reacción. Estas tres leyes contienen en principio todo lo necesario para resolver estos problemas. Pero su aplicación a casos concretos requiere superar dos escollos: conocer las fuerzas que están actuando y dadas las fuerzas, encontrar las ecuaciones del movimiento. Muchos piensan que la parte más difícil del problema es la segunda, tal vez influidos por el gran desarrollo que se da en los textos a las técnicas y formalismos matemáticos, así como por la introducción de importantes conceptos que ayudan a plantear y resolver las ecuaciones. Sin embargo la primera parte es tanto o más difícil. En los casos prácticos no es siempre sencillo reconocer correctamente qué fuerzas están actuando. Más aún, cuando actúan varias fuerzas (y es así en la mayoría de los problemas de la realidad) no es fácil saber cuales son las más importantes (porque determinan las principales características de la dinámica), cuales producen efectos secundarios (o sea pequeñas correcciones) y cuales finalmente se pueden despreciar dentro de la precisión con que estudiamos el problema. Conviene entonces que el lector se familiarice con las fuerzas que va a encontrar en la práctica. Aquí describiremos algunas de ellas y otras más se presentarán en los Capítulos siguientes. El peso Ya hemos mencionado esta fuerza. El peso es la fuerza que hace caer los cuerpos. Proviene de una de las interacciones fundamentales: la interacción gravitatoria, que trataremos en el Capítulo 9. Concretamente, el peso de todo objeto material proviene de la atracción que la Tierra ejerce sobre él. Su dirección define la vertical del lugar (que con buena aproximación coincide con la recta que pasa por el centro de la Tierra y por el lugar de que se trate 6 ) y su sentido es hacia el interior de la Tierra. La magnitud del peso es proporcional a la masa del cuerpo, de modo que P = m g (4.7) Cuando se considera un cuerpo extenso, su peso es la resultante de los pesos de cada uno de los elementos materiales que lo componen. Esta resultante se puede considerar aplicada en un punto 6 Pasaría exactamente por el centro de la Tierra si ésta fuera una esfera perfecta y si no girara sobre sí misma. 66

11 que se llama baricentro o centro de masa, o centro de gravedad del cuerpo. Veremos más adelante como se determina la posición del baricentro de un cuerpo extenso o de un sistema de puntos materiales. Cuando el cuerpo tiene una forma simple y es homogéneo, el baricentro coincide con el centro geométrico del mismo. En virtud de la Tercera Ley a toda acción le corresponde una reacción. Por lo tanto si la Tierra ejerce una acción gravitatoria sobre el cuerpo, de modo que sobre el cuerpo actúa el peso, hay una reacción ejercida por el cuerpo sobre la Tierra. Esta reacción es la resultante de todas las fuerzas que ejerce el cuerpo sobre cada uno de los elementos materiales que componen la Tierra y se puede considerar aplicada en el baricentro de la Tierra, que coincide prácticamente con el centro geométrico de nuestro Planeta. La situación se muestra en la Fig. 4.8, donde P = P designa la reacción del peso de un cuerpo de masa m. En realidad tanto P como P son las resultantes de las fuerzas de interacción gravitatoria que se ejercen sobre cada una de las partículas que componen, respectivamente, el cuerpo y la Tierra, pero a los fines de sus efectos dinámicos es equivalente reemplazar esos conjuntos de fuerzas por sus resultantes, si suponemos que tanto la Tierra como el cuerpo son rígidos (lo cual es razonable en muchas situaciones). P P' Fig La Tierra ejerce una atracción gravitatoria sobre todo cuerpo, que se manifiesta en el peso. El cuerpo ejerce una reacción que se puede considerar aplicada en el baricentro de la Tierra, que coincide prácticamente con el centro geométrico del Planeta. La masa de la Tierra es de kg, luego la aceleración que sufre debido a la reacción P provocada por un cuerpo de escala humana es despreciable. No es así, sin embargo, cuando se consideran las reacciones debidas a la interacción gravitatoria con otros cuerpos celestes como la Luna, el Sol, etc. La relación entre el peso y la masa Para un objeto que cae acelerado por su peso la Segunda Ley establece que a = P/ m. Pero es un hecho experimental (observado por Galileo) que todos los cuerpos que caen bajo la acción de su propio peso sufren la misma aceleración a = g = cte. Resulta entonces que el peso de un cuerpo es proporcional a su masa, pues P = m g. Este hecho no es una consecuencia de la Segunda Ley, sino que es un resultado experimental independiente que proviene de la particular naturaleza de 67

12 la gravitación. Recordemos que la masa es una característica dinámica de los cuerpos que mide la inercia de los mismos, es decir la resistencia que oponen al cambio en su estado de movimiento. Que la inercia esté vinculada con la gravitación es, lo repetimos, un hecho experimental y no una consecuencia de las leyes de la Dinámica Newtoniana. Volveremos más adelante sobre esta cuestión y sus implicancias. Fuerzas de contacto entre cuerpos sólidos Estas fuerzas son muy importantes en nuestra vida cotidiana y se deben a la presencia de cuerpos que actúan como vínculos. En la Fig. 4.9 se muestra un libro que descansa sobre una mesa. Debido a la presencia de la mesa el libro no cae al suelo. Lo que ocurre es que sobre la tapa del libro que está en contacto con la superficie de la mesa está actuando una fuerza, que indicaremos con N, que equilibra el peso del libro de modo que la fuerza resultante es nula: P+ N = 0. Por este motivo el libro no cae atravesando la mesa. Esta fuerza actúa sólo cuando el libro está en contacto con la mesa y por eso se denomina fuerza de contacto. Otra fuerza de contacto es la que da lugar al rozamiento, que se opone a que un cuerpo deslice sobre otro. N P (a) (b) Fig Fuerza de contacto: (a) un libro apoyado sobre una mesa no cae al suelo atravesando la mesa porque (b) la mesa ejerce una fuerza de contacto que equilibra el peso del libro. Las fuerzas de contacto no son fuerzas fundamentales. Son una manifestación a escala macroscópica de las interacciones entre los átomos y moléculas que componen los cuerpos y que hacen que éstos no se interpenetran y tienden a adherirse entre sí. Su origen, en última instancia, se debe a las interacciones electrostáticas entre las nubes electrónicas y a ciertos efectos cuánticos que no vamos a discutir aquí. La teoría detallada de las fuerzas de contacto es muy difícil y no nos ocuparemos de ella, aunque más adelante presentaremos una discusión cualitativa. Afortunadamente en la mayoría de los casos que nos pueden interesar no importa conocer el detalle de cómo actúan en escala microscópica las fuerzas de contacto, pues basta saber cual es su efecto general. Eso es lo que vamos a tratar ahora. Toda fuerza de contacto se puede imaginar como la suma de una fuerza de contacto normal N, perpendicular a la superficie de contacto, más una fuerza tangencial R paralela a dicha superficie (Fig. 4.10). La fuerza N es la que se opone a la penetración de los cuerpos. La fuerza R da lugar al rozamiento (o fricción). 68

13 N F c FRAGIL R Fig Toda fuerza de contacto es la suma de una fuerza normal N, perpendicular a la superficie de contacto y que se opone a la penetración de los cuerpos, más una fuerza tangencial R paralela a dicha superficie y que da lugar al rozamiento. Fuerza normal de contacto La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie y su valor no depende de las características de los cuerpos en contacto, sino que es exactamente el necesario para impedir la penetración. En el ejemplo del libro sobre la mesa N = P de modo que la resultante de las fuerzas que actúan sobre el libro es nula: el libro no cae porque está sostenido por la mesa que ejerce la fuerza N. Si apoyamos un segundo libro sobre el primero N se ajusta de modo de balancear el peso de ambos libros. En realidad no es estrictamente correcto decir que N toma siempre el valor necesario para equilibrar las fuerzas que tienden a producir la penetración. Se debe notar que estamos tratando las fuerzas de contacto de manera fenomenológica, mediante el modelo de cuerpo sólido, rígido e impenetrable. En realidad no existen sólidos perfectamente rígidos e impenetrables: nuestro modelo tiene límites dados por la resistencia de los materiales. Todo el mundo sabe, en efecto, que si se coloca sobre una mesa un objeto demasiado pesado la mesa se rompe. En nuestro lenguaje esto se describe así: por la Tercera Ley cuando la mesa ejerce la fuerza N sobre el objeto que se apoya sobre ella, el objeto ejerce una reacción N sobre la mesa. Si el valor de N necesario para sostener el objeto es tal que N y/o N superan, respectivamente, el límite de resistencia del objeto y/o de la mesa, éstos se rompen (antes de llegar a eso se deforman apreciablemente y entonces la descripción del fenómeno se complica considerablemente). Pero mientras esto no ocurra podemos aplicar con confianza nuestro modelo simple. La fuerza normal de contacto explica lo que ocurre cuando un objeto está apoyado sobre un plano inclinado (Fig. 4.11). Como P = P + P donde P = Psenα y P = Pcosα son las partes de P paralela y perpendicular al plano y puesto que N = P resulta que N = Pcosα. Dejando de lado por un momento el rozamiento, la resultante sobre el cuerpo es F = P+ N = P + P + N = P (4.8) Luego el cuerpo no atraviesa el plano sino que tiende a deslizarse sobre el mismo bajo la acción de P. En ausencia de rozamiento el movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado, con la aceleración P a = m = gsenα (4.9) 69

14 N P P a P a Fig Cuando un objeto está apoyado sobre un plano inclinado la fuerza normal de contacto equilibra la componente del peso perpendicular al plano. Fuerza de rozamiento Cuando un cuerpo está en contacto con otro hay, además de N, una fuerza de contacto tangencial R que se llama rozamiento y se opone a que el cuerpo deslice sobre el otro. Su comportamiento es diferente al de N. Para discutir el rozamiento hay que distinguir si los cuerpos que están en contacto tienen o no movimiento relativo. En el primer caso se habla de rozamiento dinámico, en el segundo de rozamiento estático. Rozamiento dinámico Cuando un cuerpo desliza sobre un plano inclinado se observa (si no se toman recaudos para evitar el rozamiento, como usar un colchón de aire) que a gsenα. Esto se debe a la fuerza R. Si se hacen mediciones cuidadosas se encuentra que R tiene las siguientes propiedades: tiene igual dirección y sentido opuesto que la velocidad v del móvil (ver Fig. 4.1a), su magnitud es proporcional al módulo de la fuerza de contacto normal. Podemos escribir entonces R= µ d Nvˆ (4.30) donde µ d es una constante adimensional que se denomina coeficiente de rozamiento dinámico. El valor de µ d depende de los materiales de los cuerpos y de las características de las superficies en contacto (su rugosidad o grado de pulimento, la presencia o no de sustancias como grasas o aceites lubricantes sobre las mismas, etc.). Algunos valores se dan en la Tabla 4.1. Tabla 4.1. Coeficientes de fricción para superficies limpias y secas. Superficies en contacto µ d µ e acero duro/acero duro acero blando/acero blando plomo/acero blando cobre/acero blando cobre/hierro fundido níquel/níquel hierro fundido/hierro fundido teflón/teflón

15 Consideremos un cuerpo que desliza hacia abajo sobre un plano inclinado con la velocidad v. Tendremos entonces que m a = P R y recordando las (4.) y (4.30) resulta a = v µ ˆ gsenα 1 d (4.31) tanα Existe pues un valor crítico α d de la pendiente del plano (llamado ángulo de rozamiento dinámico) dado por la condición tanα d = µ d, que permite distinguir tres posibilidades distintas: si α < α d tendremos a ~ vˆ, luego el rozamiento frena al móvil, que acabará por detenerse, si α = α d se tiene que a = 0 y el móvil desliza hacia abajo con velocidad constante, si α > α d tendremos que a ~ vˆ y el móvil se acelera al descender, pero su aceleración es menor que la que tendría en ausencia de rozamiento ( a< gsenα ). v FRAGIL R R FRAGIL P (a) (b) Fig Fuerza de rozamiento: (a) el rozamiento dinámico tiene igual dirección y sentido opuesto que la velocidad del móvil, (b) el rozamiento estático tiene igual dirección y sentido opuesto que la fuerza que tiende a desplazar el móvil. Rozamiento estático Si no hay movimiento relativo el rozamiento tiende a mantener los cuerpos en ese estado. Sea un libro apoyado sobre una mesa. Si lo empujamos para ponerlo en movimiento veremos que hace falta una fuerza apreciable para lograr nuestro objetivo. Se puede determinar que la fuerza F necesaria para poner en movimiento al móvil debe superar una cota dada por µ e N, de modo que F µ e N (4.3) El número µ e se denomina coeficiente de rozamiento estático (algunos valores se dan en la Tabla 4.1) y se cumple que 7 µ e µ. El resultado de las observaciones indica que: en tanto que F < µ e N no hay movimiento, por lo tanto R= F (Fig. 4.1b), cuando F µ e N el rozamiento estático no logra impedir el movimiento: estamos en presencia de rozamiento dinámico y R está dado por la (4.30). El comportamiento de R como función de F se representa en la Fig Volveremos sobre el tema del rozamiento en los Capítulos 11 y 1. 7 El rozamiento estático juega un rol muy importante en el comportamiento de un automóvil. En condiciones normales de marcha, las partes de las cubiertas en contacto con el pavimento están (instantáneamente) en reposo. Es el rozamiento estático lo que permite que las ruedas motrices tengan tracción, y que el vehículo mantenga adherencia al piso cuando acelera o frena. Si por cualquier causa las ruedas deslizan sobre el pavimento, entra en juego el rozamiento dinámico cuyo valor es menor, el vehículo patina y el conductor puede perder el control del mismo. Por eso jamás hay que frenar bloqueando las ruedas. 71

16 R/N m e m d m e F/N Fig Comportamiento de R como función de F. Fuerzas sobre un cuerpo en el seno de un fluido Los fluidos ejercen fuerzas sobre los cuerpos que están en su seno. Puesto que todo objeto terrestre está rodeado por un ambiente fluido sea gaseoso (la atmósfera), sea líquido (mares, lagos o ríos), es importante conocerlas. Su tratamiento riguroso requiere estudiar la Mecánica de los Fluidos, pero por su gran importancia práctica las presentaremos aquí, aunque algunos aspectos se aclararán recién al estudiar los Capítulos 13 y 14. Estas fuerzas se dividen en tres grupos: El empuje de Arquímedes, que actúa sobre todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido, cualquiera sea de su estado de movimiento. Fuerzas que dependen de la velocidad del cuerpo, que a su vez se dividen en fuerzas de arrastre, que tienen la dirección de la velocidad relativa del cuerpo respecto del fluido y sentido opuesto, y fuerzas de sustentación, que son ortogonales a dicha velocidad relativa. Fuerzas que dependen de la aceleración del cuerpo respecto del fluido que lo rodea. A continuación pasaremos revista a estas fuerzas. El empuje Es la fuerza más sencilla y se tratará en detalle en el Capítulo 13. Se la conoce desde la antigüedad (Arquímedes) y es la que permite que los barcos floten y que los objetos sumergidos en un líquido sean más livianos. Proviene de la presión 8 ejercida por el fluido sobre la parte sumergida del cuerpo; su magnitud no depende del estado de movimiento del cuerpo y está dada por E = gρ f V (4.33) Aquí ρ f es la densidad del fluido, V el volumen de la parte sumergida del cuerpo y g la aceleración de la gravedad. Luego la magnitud del empuje es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo. Su dirección es la misma del peso y su sentido es opuesto (Fig. 4.14), entonces: E = gρ f V (4.34) 8 La presión es la magnitud de la fuerza que se ejerce por unidad de área. 7

17 E Fig El empuje tiene igual dirección y sentido opuesto que el peso. P El empuje se puede considerar aplicado en el baricentro de la masa de fluido que ocuparía el lugar del cuerpo si éste no estuviera presente. Notar que en general este punto no coincide con el baricentro del cuerpo, hecho que como veremos más adelante tiene gran importancia en lo que hace a la estabilidad de una embarcación. Solamente si el cuerpo es homogéneo y está completamente sumergido el punto de aplicación del empuje coincide con el del peso. Para tomar en cuenta el empuje en la dinámica de un cuerpo homogéneo y completamente sumergido basta reemplazar el peso P del mismo por el peso aparente P a dado por f Pa = P+ E = P 1 ρ ρ (4.35) donde ρ es la densidad del cuerpo. La densidad del aire es de unos 10 3 g/cm 3, mientras que la densidad de la materia condensada es típicamente del orden de 1 g/cm 3. Por lo tanto al tratar cuerpos en el aire podremos casi siempre despreciar el empuje. En cambio para objetos en el agua el empuje se debe tener en cuenta siempre. Fuerzas de arrastre Fuerzas de arrastre y de sustentación Los fluidos se oponen al avance de los cuerpos que se mueven en su seno. De igual modo una corriente de un fluido tiende a arrastrar consigo los objetos que están dentro de ella. Las fuerzas de arrastre junto con las de sustentación (que trataremos a continuación) son fundamentales para comprender el transporte de materiales por los fluidos, la sedimentación, la locomoción acuática y aérea, etc. Son fuerzas que dependen de la velocidad relativa del objeto respecto del fluido y su expresión exacta es muy difícil de obtener, por lo cual sólo las trataremos en forma aproximada, justificando cualitativamente su origen y dando estimaciones de su magnitud. La fenomenología de las fuerzas de arrastre es muy compleja y se deben considerar varios casos, cada uno de los cuales es apropiado sólo para determinadas situaciones. Trataremos ahora de describirlas en términos sencillos. Arrastre viscoso Cuando la velocidad relativa del objeto respecto del fluido es baja (más adelante veremos qué se entiende por baja) la resistencia al movimiento se debe a la viscosidad del fluido. La viscosidad 73

18 es una propiedad de los fluidos que se estudiará en el Capítulo 1, en virtud de la cual éstos se oponen con fuerzas toda vez que se intenta hacer deslizar una capa de fluido sobre otra. La magnitud del efecto es proporcional a un parámetro que se llama coeficiente de viscosidad, que indicaremos con η, cuyo valor depende de la naturaleza del fluido y de su estado (básicamente de su temperatura). Para fijar ideas supongamos tener dos capas planas 1 y de fluido (Fig. 4.15) separadas por una distancia d, que se mueven paralelamente a sí mismas con las velocidades v 1 y v = v1+ v, respectivamente. En esas condiciones se encuentra experimentalmente que la capa ejerce sobre la capa 1 una fuerza F η que tiene las siguientes propiedades: es proporcional a la diferencia de velocidades v, es inversamente proporcional a la distancia d entre las capas, es proporcional al área de contacto S entre las capas, se opone al movimiento relativo, es decir, tiende a aumentar la velocidad de la capa 1. En resumidas cuentas F η = v η S d (4.36) En virtud de la Tercera Ley la capa 1 ejerce sobre la capa una fuerza F η, que tiende a disminuir la velocidad de la capa. v = + v v 1 d 1 v 1 F h Fig Cuando dos capas de un fluido deslizan la una sobre la otra, debido a la viscosidad se ejercen fuerzas entre ambas que tienden a disminuir la velocidad relativa. De la ec. (4.36) obtenemos las dimensiones de η: [ η ] = m tl (4.37) La unidad de viscosidad en el sistema cgs es el poise (p), cuyo valor es 1poise = 1p = 1g/cm s (4.38) En las tablas se suele dar el coeficiente de viscosidad en centésimas de poise (centipoise), abreviado cp. Valores típicos que conviene que el lector recuerde son: η agua 1cp, η 00. cp (4.39) aire El coeficiente de viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura, por ejemplo 74

19 η agua 4. Dinámica ( 0 C) 1. 1 cp, η ( 100 C) 0. 5 cp (4.40) agua Por el contrario la viscosidad de los gases crece con la temperatura: η aire ( 0 C) cp, η ( 100 C) cp (4.41) Imaginemos una gota microscópica de aerosol que cae en el aire por efecto de su peso (o una partícula de limo que se está asentando en el agua). Las capas del fluido en contacto con la partícula tienden a adherirse a ella y ser arrastradas en su movimiento, pero las capas más lejanas quedarán, naturalmente, en reposo. Por lo tanto habrá capas que deslizan la una sobre la otra (Fig. 4.16a). Para calcular la fuerza de origen viscoso que actúa sobre la partícula es necesario conocer como se mueven las capas de fluido que lo rodean y éste es un problema muy difícil que nosotros no resolveremos. En realidad el cálculo exacto sólo se puede hacer en casos muy sencillos (como partículas esféricas, elipsoidales o cilíndricas que se mueven con velocidad uniforme). Para formas más complicadas o partículas de forma irregular el cálculo teórico es imposible. Lo que vamos a hacer nosotros es una estimación, sin pretensión de mucha exactitud. aire (a) (b) Fig Flujo alrededor de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido, visto desde el referencial del cuerpo. Los diagramas son cualitativos. (a) Cuando la velocidad es baja el flujo es laminar. (b) Cuando la velocidad es alta detrás del cuerpo aparece una estela turbulenta. Sea l el tamaño lineal de la partícula (el diámetro de la misma si es esférica o una longitud característica de su tamaño si su forma es más complicada). Es razonable suponer que las capas de fluido que tienden a ser arrastradas por la partícula se extienden hasta una distancia de la misma del orden de l, o sea que d l. El orden de magnitud del área de contacto es entonces S l, y si u es la velocidad de la partícula tendremos que v u. Sustituyendo en la (4.36) obtenemos que la magnitud de la fuerza de arrastre viscoso sobre la partícula es F = g 1 ηul (4.4) η donde g 1 es un factor numérico del orden de la unidad; su valor depende de la forma de la partícula y de su orientación respecto de la dirección de su movimiento, que son los factores que determinan como se mueven las capas fluidas que la rodean. Podemos comparar nuestra estimación con los resultados del cálculo exacto cuando éste se conoce. Para una partícula esférica de diámetro l que se mueve con velocidad constante el resultado exacto es g 1 = 3π, de modo que 75

20 F η 4. Dinámica = 3πηul (4.43) una expresión que se conoce como ley de Stokes. Para un disco plano de diámetro l que se mueve perpendicularmente a su plano se obtiene g 1 = 8, mientras que si se mueve paralelamente a él g 1 = 16 / 3 = Como se ve g 1 es siempre un número cercano a la unidad (más precisamente g 1 10). Pero lo que en definitiva interesa para nuestras estimaciones es que la fuerza de arrastre viscoso es proporcional al coeficiente de viscosidad del fluido, proporcional a la velocidad y proporcional a una longitud que caracteriza el tamaño del cuerpo. Velocidad límite Sea una partícula que cae por efecto de su peso en un fluido. Describiremos su posición mediante una coordenada vertical x, positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley la aceleración es a = F g η m = g 1 m g 1η u l (4.44) Si la partícula parte del reposo en x = 0 su velocidad inicial es nula y por lo tanto su aceleración inicial es igual a g. Pero al aumentar la velocidad disminuye la aceleración de acuerdo con la (4.44). La aceleración se anula cuando u alcanza la velocidad límite v * dada por v* = mg g1ηl (4.45) A partir de ese momento la partícula cae con la velocidad constante v *. La (4.44) se integra fácilmente. Poniendo u = Vv* y t = t* T ( t* = m/ g1ηl) la (4.44) se escribe 9 dv dt De aquí obtenemos dt = dv /( 1 V) de modo que y por lo tanto T = VT ( ) = 1 V (4.46) dv = ln( 1 V) (4.47) 1 V 0 V = 1 e T (4.48) La velocidad límite se alcanza para t t*, luego t * es el tiempo característico del fenómeno. Para integrar la (4.48) ponemos x = x* X donde x* = v* / g y obtenemos X = T 1 + e T (4.49) 9 Conviene siempre escribir las ecuaciones en términos de invariantes porque así las expresiones que se obtienen (que se representan en la Fig. 4.17) son universales, esto es, valen para todo caso que se pudiera presentar. 76

21 Cuando T << 1 (es decir si t << t*) la (4.49) nos da x ( 1/ ) gt mientras que si T >> 1 (o sea t >> t*) obtenemos x v* t, como debe ser. La distancia recorrida por la partícula en t * es x xt (*) * v * 1 = = = e eg e gt * (4.50) Con esto queda resuelto nuestro problema. En la Fig se muestran V( T) y XT ( ). V T X T Fig Caída libre de una partícula con arrastre viscoso. Veamos el caso de una gota de aerosol acuoso de 0 µm de diámetro que cae en el aire: usando nuestras fórmulas 10 resulta v* 1 cm/s, t* 10 3 s y x* 11 µm, luego el régimen de caída con velocidad constante se establece casi de inmediato y v * es, efectivamente, muy pequeña. Consideremos una gota de lluvia de mm de diámetro. En este caso se obtiene v* 109 m/s, t* 11 s y x* 10 m. Claramente en este caso algo anda mal con nuestras fórmulas, pues predicen una velocidad límite absurdamente alta: todos hemos visto llover y sabemos que la velocidad de las gotas es, cuanto mucho, de algunos metros por segundo. Arrastre turbulento El modelo en que se basa nuestro análisis del arrastre viscoso se funda en suponer que el flujo es laminar, esto es que el fluido se puede describir como un conjunto de capas o láminas que des- 10 Hemos supuesto que la gota es esférica lo cual es cierto con buena aproximación, y hemos ignorado el efecto del movimiento interno de la gota que se induce por efecto de la viscosidad. 77

22 lizan las unas sobre las otras. A velocidades altas esto no es cierto pues la presencia del móvil produce turbulencia, que es un movimiento desordenado de las parcelas del fluido (Fig b). Quién no ha visto un automóvil corriendo por un camino de tierra? Detrás del vehículo se observa una estela turbulenta en la cual el movimiento del aire es arremolinado y arrastra consigo una nube de polvo Quién no oyó hablar del efecto de chupada, por el cual un vehículo que se desplaza detrás de otro y muy cerca de él experimenta menos resistencia a su avance? Todos estos son efectos de la turbulencia provocada por un móvil que se desplaza velozmente. Está claro que en estos casos el movimiento del aire no es laminar en absoluto. Podemos entender cualitativamente lo que pasa si analizamos el proceso desde el sistema de referencia del móvil que se mueve con la velocidad u respecto del fluido cuya densidad es ρ f. Desde este referencial cada parcela del fluido que viene hacia el móvil trae una cantidad de movimiento por unidad de volumen dada por ρ f u, y al entrar en contacto con el móvil se desvía hacia los costados del mismo. Término medio las parcelas pierden (por unidad de volumen) la cantidad de movimiento ρ f u que es transferida al móvil 11. De resultas de esto, en la unidad de tiempo y por cada unidad de área de su sección transversal (a la dirección del movimiento), el fluido transfiere al móvil una cantidad de movimiento ρ f u û. Si l es la dimensión lineal característica del móvil transversal a su dirección de movimiento, la cantidad de movimiento que adquiere por unidad de tiempo es ρ f u l û. Por lo tanto la magnitud de la fuerza de arrastre turbulento 1 es Ft 1 Caρ f u l (4.51) Aquí el factor 1/ se introdujo por conveniencia, y C a es un número puro que se llama coeficiente de arrastre, cuyo valor depende de la forma del cuerpo, de su orientación con respecto de la dirección del movimiento y también de la velocidad del mismo, que determina el detalle del movimiento de las parcelas del fluido. Volveremos en breve sobre este tema. Detrás del móvil queda, como ya dijimos, una estela turbulenta y cerca de la parte posterior del mismo, dentro de la estela, el movimiento arremolinado del fluido hace que otro móvil que sigue de cerca al primero experimente un arrastre menor, de ahí el efecto de chupada que mencionamos antes. Velocidad límite Usando la (4.51) podemos escribir la aceleración de una partícula que cae en régimen turbulento. Como antes usamos una coordenada vertical x positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley: Ft a = g = m g 1 m C aρ f u l (4.5) Si la partícula parte del reposo en x = 0, t = 0 tenemos u( 0) = 0, a( 0 ) = g. A medida que aumenta u disminuye a, que se anula cuando u alcanza la velocidad límite v * dada ahora por 11 Las componentes transversales de la cantidad de movimiento que adquieren las parcelas del fluido tienden a compensarse entre sí, de modo que la cantidad de movimiento neta perpendicular a u que adquiere el móvil es en general pequeña. De todos modos por definición su efecto no es producir arrastre sino dar lugar a la fuerza de sustentación, que consideraremos más adelante. 1 Esta fuerza de arrastre es la que experimentamos cuando sacamos la mano por la ventanilla de un automóvil en movimiento. 78