MATEMÁTICAS 1º DE ESO

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1 MATEMÁTICAS 1º DE ESO LOMCE TEMA III : LOS NÚMEROS ENTEROS Los números negativos. Su necesidad. El conjunto de los números enteros. Valor absoluto de un número entero. Opuesto de un número entero. Suma y resta de enteros. Producto y división de enteros. Prioridad de las operaciones. Ricardo Esteban Alonso Página 1

2 LOS NÚMEROS ENTEROS. SU NECESIDAD Los números naturales (0, 1, 2,...) nos sirven para contar, identificar, ordenar o estimar, pero también nos interesa la situación en relación a un origen: surgen los números enteros. Así cuando decimos que estamos en la planta 2ª del edificio se escribe +2, pero para indicar que el coche lo hemos dejado en el sótano 3º se añade una nueva situación, -3. Otras situaciones nuevas son las temperaturas bajo cero, el saldo negativo de nuestra cuenta bancaria... EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros se representan como Z = {-..., -2, -1, 0, 1, 2...+} y en la recta numérica: Los números enteros son números ordenados, y siempre los podemos relacionar mediante los signos < y >. En la recta y hacia la derecha van aumentando, es decir si comparamos dos números enteros, es mayor el que está más a la derecha. Cualquier número positivo es mayor que otro negativo. De dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto (está más alejado del 0). El número 0 es mayor que cualquier número negativo. De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto (está más cerca del 0). Ricardo Esteban Alonso Página 2

3 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO Llamamos valor absoluto de un número entero al número natural que resulta al quitarle el signo. Se expresa escribiendo el entero entre dos barras verticales: a y se lee valor absoluto de a y siempre vale +a (no hace falta escribir el signo +). -3 = 3 +3 = 3 Otra manera de entender el valor absoluto de un número entero es que se puede definir como la distancia (que siempre es positiva) de ese número al 0. OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO El opuesto de un número entero es otro entero con el mismo valor absoluto, pero de signo contrario. Se expresa escribiendo las letras op(a) y se lee opuesto de a, y vale: op(+5) = -5 SUMA Y RESTA DE ENTEROS Ya sabemos que no se pueden colocar dos signos de operaciones juntos; así empleamos unos separadores, como los paréntesis, entre los dos signos: 3 + (-2) - (-6) - (+5)= (ahora no importa saber ni hacer las operaciones) Ricardo Esteban Alonso Página 3

4 A) SUMA En la suma de dos números enteros se pueden dar los casos siguientes: 1.- Los dos números son positivos: (+3) + (+5) = + 8 = 8 Se suman los valores absolutos y se pone el signo Los dos números son negativos: (-3) + (-5) = - 8 Se suman los valores absolutos y se pone el signo Uno positivo y otro negativo: (+3) + (-5) = -2 (-3) + (+5) = +2 = 2 Se restan los valores absolutos y se pone el signo del entero que tiene mayor valor absoluto Ricardo Esteban Alonso Página 4

5 En resumen: Para sumar números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos y se pone el signo que tenían: (+) + (+) = + Se suman y signo + ( ) + ( ) = Se suman y signo Para sumar enteros de distinto signo se restan los valores absolutos y se pone el signo que corresponda al de mayor valor absoluto de los dos números: (+) + ( ) = ( ) + (+) = Se restan y signo del mayor en valor absoluto A veces podemos confundir el signo positivo de un número entero con el signo de la operación de sumar. En la práctica vemos que: + (+a) = +a = a Siempre que tengamos el signo + delante de un paréntesis es igual que si nos + ( a) = a quedamos con lo que hay en el interior del paréntesis con los mismos signos que lleven. Ejemplos: + (+3) = +3= 3 + (+5) + ( 2) = 5 2 = 3 + ( 3) = 3 + ( 9) + (+8) = = 1 Ricardo Esteban Alonso Página 5

6 Propiedades de la suma de números enteros: Asociativa: se pueden agrupar de distintas formas a los sumandos y el resultado final no cambia. Es útil cuando tenemos bastantes sumandos de distinto signo: (+5) + (-7) + (+3) + (-9) + (-1) + (+4) = (+12) + (-17) = -5 Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma. B) RESTA Para restar dos números enteros se suma al primero (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo); es decir la resta se transforma en una suma: Ejemplos: a) (-2) - (-4) = (-2) + (+4) = 2 b) 5 - (+4) + (-9) = 5 + (-4) + (-9) = = (+8) = 3 + (-8) En general: a - b = a + (-b) Ricardo Esteban Alonso Página 6

7 Es útil, en la mayoría de las ocasiones, quitar paréntesis y así siempre que tengamos delante de un paréntesis el signo de restar (-) equivale a cambiar de signo a todos los términos del interior de dicho paréntesis: - (+6) + (-2) - (-5) + (-1) - (+3) = = -7 En resumen: - (+a) = + (-a) = -a - (-a) = + (+a) = a Ejercicio combinado de sumas y restas y distintas formas de resolverlo: 1) Transformando las restas en sumas: 2) Quitando paréntesis: Calcula (-4) + (-2) - (+5) - (-7) + (+1) - (+10) = (-4) + (-2) + (-5) + (+7) + (+1) + (-10) = y ahora sumando término a término = - 13 o bien sumando los positivos, luego los negativos: (+8) + (-21) = = - 13 Ricardo Esteban Alonso Página 7

8 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE ENTEROS C) MULTIPLICACIÓN Para indicar que se quieren multiplicar dos números enteros se emplean varias abreviaturas o símbolos: x que conocemos como aspa un punto que se escribe en el teclado de ordenador con MAY + tecla del 3 un espacio en blanco entre un número y otro o separados por un paréntesis * asterisco, como en programas de ordenador de matemáticas Los casos que se pueden presentar son: a) Un número positivo por otro positivo: (+a) x (+b) = + a b b) Un número positivo por otro negativo: (+a) x (-b) = - a b c) Un número negativo por otro positivo: (-a) x (+b) = - a b d) Un número negativo por otro negativo: (-a) x (-b) = + a b Ricardo Esteban Alonso Página 8

9 En resumen: Signos iguales cuando se multiplican dan positivo : signos iguales dan más Signos distintos dan negativo : signos distintos dan menos Ejemplos: a) (+3)(+4) = +12 = 12 b) (+3)(-4) = -12 c) (-3)(+4) = -12 d) (-3)(-4) = +12 = 12 En general se pueden multiplicar más de dos factores: (-5)(+2)(+6)(-1)(-4) = (-10)(+6)(-1)(-4) = (-60)(-1)(-4) = (+60)(-4) = -240 o también: primero multiplicamos los signos (que con la práctica vemos que los positivos no van a afectar al resultado y entonces nos olvidamos de ellos y nos fijamos sólo en los negativos), y luego multiplicamos los valores absolutos = -240 Ricardo Esteban Alonso Página 9

10 Propiedades de la multiplicación de números enteros: Asociativa: se pueden agrupar de distintas formas a los factores y el resultado final no cambia. Es útil cuando tenemos bastantes factores de distinto signo: (+5) x (-2) x (+3) x (-4) x (-1) x (+4) = (-10) x (-12) x (-4) = -480 Conmutativa: el orden de los factores no altera el resultado del producto. Propiedad distributiva del producto en relación con la suma de números enteros El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos: a(b + c) = ab + ac (-2) [(+3) + (-4)] = (-2)(+3) + (-2)(-4) (-2)(-1) = (-6) + (+8) +2 = +2 Ricardo Esteban Alonso Página 10

11 D) DIVISIÓN Para dividir dos números enteros se siguen los siguientes pasos: 1. Se dividen sus valores absolutos en el orden en que están colocados. 2. Al resultado de la división se le pone el signo + si los dos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes. Es decir, la regla de los signos es la misma que para la multiplicación. Ejemplos: a) (+24) : (+4) = +6 = 6 b) (+24) : (-4) = -6 c) (-24) : (+4) = -6 d) (-24) : (-4) = +6 = 6 PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Efectuamos las operaciones contenidas entre paréntesis (corchetes y llaves si las hay y en éste orden), y las sustituimos por el resultado. Realizamos las multiplicaciones y las divisiones. Por último las sumas y restas. Cuando las operaciones tienen la misma jerarquía, se empieza por la izquierda. Ricardo Esteban Alonso Página 11