Fundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica.

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1 INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Fudmetos mtemátos Los Postuldos de l Meá Cuát

2 FUNDMENTOS MTEMÁTICOS L Meá Cuát se desrroll e espos etorles deomdos espos de Hlert Pr omezr, repsremos reemete ls des fudmetles relts l espo eulídeo trdmesol E

3 OPERCIONES BÁSICS OPERCIONES BÁSICS ) SUM DE VECTORES E E Dd E SUM l E y E Ddos, E y R r Ddo ) MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR, E r y E r r COMBINCIONES LINELES E r r

4 ) PRODUCTO ESCLR os ( omutto) ( r s) r s ( leldd) 0 ( desg Cuhy Shwrz ) 4

5 BSE ORTONORML e e e e r e r r e e e r sedo e e e e e e e 5

6 ESPCIOS DE HILBERT Estudremos espos etorles leles ompleos de dmesó ft (pr el desrrollo de l formó uát) Los eslres so úmeros ompleos Usremos l otó r-ket de Dr Cd etor estrá represetdo por u ket : 6

7 SUM DE VECTORES V propeddes V V ( ) ( ) MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR V C úmero V ompleo propeddes ( ) ( d) d ( d ) ( d ) 7

8 PRODUCTO ESCLR y Ddos C Propeddes leldd d d skew symmetry ) ( postdd 0 ) ( Norm de u etor Vetor ormlzdo r o dul etor " " C V d r o dul etor 8 C V d

9 prtr de ls propeddes del produto eslr, se puede demostrr que: Demostró: ] [ DESIGULDD DE CUCHY SCHWRZ DESIGULDD DE CUCHY-SCHWRZ 9

10 INDEPENDENCI LINEL,, m V m m 0 m 0 DIMENSIÓN DEL ESPCIO VECTORIL = úmero máxmo () de etores lelmete depedetes BSE DEL ESPCIO VECTORIL: etores lelmete depedetes (outo ompleto de etores) Culquer etor puede expresrse omo omó lel de los etores de l se BSE ORTONORML,,,, ;,,, ; 0

11 Expresó del produto eslr y l orm prtr de ls ompoetes y ; Demostró: Demostró:,,

12 OPERDORES LINELES leldd Operdor ( ) operdor detdd I operdor ulo N 0 sum de operdores C B C ( B) B produto de operdores es C B ; B OJO B B! ( B )

13 REPRESENTCIÓN MTRICIL U operdor está represetdo e ert se prtr de u mtrz udrd Operdor Bse,,,? ;

14 PROYECTORES Propeddes ) P ) S 0 ) P P P etor utro V P P 0 PROYECTORES SOBRE ESPCIOS MULTIDIMENSIONLES P k l l l P P RELCIÓN DE CIERRE l sum de los proyetores sodos los etores de u se ortoorml es gul l detdd: d Bse,,, I 4

15 UTOVLORES Y UTOVECTORES Vetor propo o utoetor Vlor propo p o utolor L euó de utolores sempre tee soluó Los utolores de u operdor o depede de su represetó mtrl Los utoetores de u operdor lel, orrespodetes utolores dsttos, so lelmete depedetes Euó rteríst t det 0 Tee ríes omples (utolores),,, 5

16 OPERDOR DJUNTO O HERMÍTICO CONJUGDO Â PROPIEDDES Â ( B ) B ( B ) ( ) B Represetó mtrl: trspuest ougd OPERDOR UTODJUNTO (O HERMÍTICO) PROPIEDDES DE LOS OPERDORES UTODJUNTOS: ª Sus utolores so úmeros reles Demostró: ; R R 6

17 ª Los etores propos orrespodetes utolores dsttos so ortogoles etre sí so ortogoles etre sí Demostró: 0 0 ) ( Sempre es posle eotrr, prtr de los etores propos de 7 7 u operdor hermíto, u se ortoorml del espo de Hlert

18 OPERDOR INVERSO B B B I OPERDOR UNITRIO U UU U U I Es der: U U U operdor es utro udo su duto es gul su erso Propeddes: ) El produto de dos operdores utros es utro B) El produto eslr es rte o trsformoes utrs 8

19 REPSO DE LOS FUNDMENTOS MTEMÁTICOS (o gráfos o rguroso- pr meor ompresó) Bses ortoormles e el espo de Hlert u u u u ; u u 0 u ; 0 Ls ompoetes de u ket depede de l se ortoorml e l que se exprese Tomdo =: Eemplo gráfo e el espo E u u u ' ' NÚMEROS Supodremos que el ket está ormlzdo COMPLEJOS! 9

20 Operdores e H : mtres X  ' ' ' u ' Vlores propos y etores propos  u S el operdor es hermíto: Sus lores propos so úmeros reles (supodremos que o hy degeeró):, R, Los orrespodetes etores propos, l ser ortogoles, osttuye u se ortoorml de H 0

21 Eeros Eotrr l odó pr que el etor (os os) 0 ( se se) esté ormlzdo do 0, es l se omputol (espo de Hlert de dmesó ) Demostrr l desguldd de Cuhy-Shwrz yud: Úsese que el produto eslr de u etor por sí msmo es defdo posto, y defíse el etor ; sedo

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