Introducción al cálculo vectorial

Transcripción

1 GRADUADO EN INGENIERÍA Y CIENCIA AGRONÓMICA GRADUADO EN INGENIERIA ALIMENTARIA GRADUADO EN INGENIERÍA AGROAMBIENTAL Intoducción al cálculo vectoial

2 Magnitudes escalaes y vectoiales Tipos de vectoes Opeaciones con vectoes libes Momento de un vecto deslizante especto a un punto Momento de un vecto deslizante especto a un eje

3 Magnitudes escalaes Magnitudes escalaes y vectoiales Magnitud pefectamente definida po su valo numéico Abstactas. No tienen unidades: índice de efacción, endimiento Concetas. Tienen unidades:masa (kg), tempeatua (K)

4 Magnitudes vectoiales Magnitud pefectamente definida cuando se conoce, además de su valo numéico, la diección sobe la que actúa y sentido: velocidad (m/s), fueza (N), momento de una fueza (N m),...

5 Tipos de vectoes Libes: Se conoce módulo, diección y sentido. Punto de aplicación es cualquiea en el espacio. Dos vectoes libes son iguales si son supeponibles mediante una taslación en el espacio

6 Tipos de vectoes Deslizantes: Se conoce módulo, diección, sentido y ecta sopote. El punto de aplicación es cualquiea sobe la ecta sopote. Dos vectoes deslizantes son iguales si son supeponibles mediante un deslizamiento a lo lago de la ecta sopote

7 Tipos de vectoes Localizados: Se conoce módulo, diección, sentido y punto de aplicación. Dos vectoes localizados sólo pueden se iguales a sí mismos

8 Repesentación vectoial 2D Y v v cos β β α X v cos α

9 Repesentación vectoial 3D Z v cos γ v γ β v cos β Y v cos α X

10 Componentes de un vecto Poyección del vecto sobe un eje v α v cos α

11 Vectoes unitaios Un vecto unitaio es un vecto sin unidades de módulo unidad; se utilizan paa especifica la diección y sentido El vecto unitaio que especifica la diección y sentido de un vecto se calcula mediante el cociente ente dicho vecto y su módulo

12 Vectoes unitaios Los vectoes unitaios, sobe los ejes catesianos se expesan po i, j, k

13 Opeaciones con vectoes libes

14 Suma gáfica de vectoes Regla del paalelogamo (2 vectoes) A C A + B = C B El vecto suma es la diagonal del paalelogamo fomado po los dos vectoes

15 Suma gáfica de vectoes A + B = C A En el extemo del pimeo se sitúa el oigen del segundo B La suma es un vecto cuyo oigen es el oigen del pimeo y su extemo es el extemo del segundo

16 Suma gáfica de vectoes Cuando se tienen muchos vectoes se epite el poceso hasta que se incluyen todos los vectoes A + B + C + D D C A B

17 Suma de vectoes. Componentes La poyección del vecto suma sobe un eje, es la suma de las poyecciones de los vectoes sobe dicho eje Cx = Ax + Bx A y B y A B C Cy = Ay + By A x B x

18 Popiedades de la suma. Conmutativa A + B = B + A Repesentación gáfica B A A B

19 Popiedades de la suma. Asociativa A + ( B + C) = ( A + B) + C C A + ( B + C) B + C ( A+ B) + C B A+ B A A Repesentación gáfica C B

20 Multiplicación de un vecto po un escala El esultado es un vecto cuyo módulo es el poducto del escala po el módulo del vecto Si el escala es positivo, la diección y sentido son los mismos que los del vecto oiginal Si el escala es negativo, la diección del esultado es la misma que la del vecto oiginal, peo su sentido es opuesto

21 Multiplicación de un vecto po un escala n v nv n>0 A n>0 nv n<0 O

22 Poducto escala de dos vectoes Es un escala El valo del poducto escala de dos vectoes es el poducto de los módulos po el coseno del ángulo que foman los vectoes v 1 v α v 2 v v = v v cosα

23 Popiedades del poducto escala 1. Conmutativa 1. Conmutativa v v = v v v 1 v 2 = v 2 v 1 2. Asociativa especto al poducto po un escala n v v = nv v = nv v ( ) ( ) ( ) n( v ) ( ) ( ) 1 v2 = nv1 v2 = nv2 v1

24 Popiedades del poducto escala 3. Distibutiva especto a la suma de vectoes v v + v = v v + v v ( ) No asociativa especto a poductos escalaes sucesivos v v v v v v ( ) ( )

25 Popiedades del poducto escala i i = i j = 1 0 j j = 1 i k = 0 k k = j k = 1 0 v v = v i + v j + v k v i + v j + v k = ( ) ( ) x y z x y z = v v + v v + v v 1x 2 y 1y 2 y 1z 2z

26 Poducto vectoial de dos vectoes v 1 v 2 v 1 Es un vecto: Módulo es el poducto de los módulos po el seno del ángulo que deteminan; la diección, v pependicula a ambos 2 vectoes y el sentido se detemina po la egla de la mano deecha

27 Poducto vectoial. Módulo El módulo epesenta el áea del paalelogamo que deteminan v 1 d d 2 d 1 v 2 Aea = v v = v v senϕ = v d = v d

28 Popiedades del poducto vectoial 1. No conmutativa v v = v v ( ) Asociativa especto al poducto po un escala n v v = nv v = nv v ( ) ( ) ( )

29 Popiedades del poducto vectoial 3. Distibutiva especto a la suma de vectoes v v + v = v v + v v ( ) No asociativa especto a poductos vectoiales sucesivos v v v v v v ( ) ( )

30 Popiedades del poducto vectoial i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k j i = k j k = i k j = i k i = j i k = j

31 Popiedades del poducto vectoial v v = v i + v j + v k v i + v j + v k = ( ) ( ) x y z x y z = i ( v v v v ) j( v v v v ) + k ( v v v v ) = 1y 2z 2 y 1z 1x 2z 2x 1z 1x 2 y 2x 1y = i j k v v v 1x 1y 1z v v v 2x 2 y 2z

32 Poducto mixto: Volumen del paalelepípedo v 1 v 3 v v2 v3 2 v ( v v ) v cosϕ = 1 h v 1 v v 3 2 v v 2 3

33 Poducto mixto v1 v2 v3 = v1 i + v1 j + v1 k v2 i + v2 j + v2 k v3 i + v3 j + v3 k ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z i j k v v v v v v cosϕ = v i + v j + v k v v v = v v v ( ) 1x 1y 1z x y1 1z 2x 2 y 2z 2x 2 y 2z v v v v v v 3x 3 y 3z 3x 3 y 3z

34 Doble poducto vectoial v1 v2 v3 = v1 i + v1 j + v1 k v2 i + v2 j + v2 k v3 i + v3 j + v3 k ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z v v v = v v v v v v ( ) ( ) ( )

35 Momento de un vecto deslizante especto a un punto Momento del vecto deslizante v especto a O O A v uuu M = OA v O

36 Momento de un vecto deslizante especto a un punto Vecto localizado en O O A v Pependicula uuu al plano que deteminan los vectoes y OA Módulo: el áea que deteminan los vectoes v uuu M = OA v O Sentido, el de avance de un tonillo que gia del pimeo al segundo

37 Momento de un vecto deslizante especto a un punto 1. El momento de un vecto especto a un punto es único es independiente de la posición del vecto a lo lago de la ecta sopote 2. El momento de un vecto especto a un punto de la ecta sopote es nulo 3. Conociendo el momento especto a un punto se puede conoce especto a oto (ec. Cambio de momentos

38 Momento de un vecto deslizante especto a un punto O 1. Independiente de la posición del vecto deslizante sobe la ecta sopote C B A v uuu uuu uuu M = OA v = OB v = OC v O uuu uuu uuu uuu uuu OB v = OA + AB v = OA v + AB v ( ) uuu uuu uuu uuu uuu OC v = OA + AC v = OA v + AC v ( )

39 Momento de un vecto deslizante especto a un punto O A v 2. El momento especto a un punto de la ecta sopote es nulo B C M = BA v = 0 B uuu El poducto vectoial de dos vectoes paalelos es nulo

40 Momento de un vecto deslizante especto a un punto 3. Ecuación del cambio de momento O A B C v uuu M = OA v ( ) uuu uuu uuu M ( ) uuu uuu C v = OA v = OC + CA v = OC v + CA v uuu M ( v) = M ( v) + CA v C O O

41 Momento de una fueza especto a un punto El momento de una fueza especto a un punto es el poducto vectoial del vecto que une el cento de momentos y el oigen de la fueza y el vecto fueza aplicada. Es pependicula al plano fomado po los dos vectoes

42 Momento de un vecto deslizante especto a un eje M O Poyección sobe un eje del momento de un vecto especto a un punto de la ecta O A v M ax = M cos ϕ = O M O u ecta