UNIDAD. Polígonos. Se dedica este tema al conocimiento de los polígonos y al estudio de sus construcciones, y se inicia haciendo tres consideraciones:
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- Samuel Contreras Ortega
- hace 7 años
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1 UNI Polígonos ÍNIE E ONTENIOS 1. ONEPTOS ÁSIOS SORE TRIÁNGULOS ONSTRUIONES ELEMENTLES E TRIÁNGULOS ritrios igul triángulos onstruión l triángulo os os los y l ángulo qu ormn onstruión l triángulo os un lo y os ángulos onstruión l triángulo os los trs los onstruión l triángulo os os los y l ángulo opusto l myor llos ONSTRUIÓN E TRIÁNGULOS ONOI L SUM O L IFERENI E OS LOS onstruión l triángulo o un lo, l ángulo opusto y l sum los los qu lo ormn 6.2. onstruión l triángulo o un lo, l ángulo opusto y l irni ntr los los qu lo ormn ONEPTOS ÁSIOS SORE URILÁTEROS ONSTRUIÓN E TRPEIOS Y TRPEZOIES onstruión l trpzoi os utro los y un igonl onstruión l trpzoi l sum un igonl y un lo, los otros trs los y un ángulo onstruión l trpzoi l irni un igonl y un lo, los otros trs los y un ángulo onstruión l trpio os trs los y un igonl onstruión l trpio os os ángulos qu no omprtn l mismo lo, un s y un lo onstruión l trpio s ls ss, un lo y uno los ángulos opustos ONSTRUIÓN E PRLELOGRMOS onstruions prllogrmos os os los y un ángulo onstruions prllogrmos os un lo y os igonls onstruions prllogrmos un igonl, un lo y un ángulo ONEPTOS ÁSIOS SORE POLÍGONOS unqu no smos onsints llo, los polígonos stán prsnts n nustro ntorno. En l nturlz, los rzos l strll mr y los pétlos lguns lors inn un pntágono, ls lills un pnl son hxágonos, los ristls niv s orgnizn rno struturs hxgonls,... El homr utiliz los polígonos pr orgnizr y r orm sus iiios, ojtos, spios urnos, prqus,... Los ténios s yun los polígonos pr trzr plnos l suprii trrstr o onstruions y trrnos l iu y l mio rurl... S i st tm l onoiminto los polígonos y l stuio sus onstruions, y s inii hino trs onsirions: 56
2 L rlizión ls onstruions rquir l ominio ls oprions lmntls y ls onstruions unmntls. L sistmtizión ls onstruions s h tuo prtir los ritrios igul triángulos y l tringulión, pr ilitr l orintión ntr un grn númro sos. Estos son los ontnios snils l Uni: T T T onptos ásios y lsiiión triángulos, urilátros y polígonos. sos lmntls onstruión triángulos. onstruión triángulos prtir l sum sus los. Ruión los sos onstruión urilátros y polígonos los onstruión triángulos. 57
3 UNI POLÍGONOS 1. onptos ásios sor triángulos El triángulo s l porión plno limit por trs rts snts. Los puntos intrsión s llmn vértis y los sgmntos omprnios ntr llos, los. Ángulos intriors son los omprnios ntr os los y sus ynts son los ángulos xtriors. L notión qu s v mplr sign los vértis ls myúsuls,,, uno sus los opustos ls minúsuls,,, intii los ángulos mint su vérti (, ˆ, ). Los triángulos pun lsiirs por l vlor sus ángulos o por l númro los iguls qu tinn, omo pu vrs n l Ilust. 1. ˆ, ˆ, ˆ 90º ˆ = 90º ˆ 90º utángulo Rtángulo Otusángulo = = = Equilátro Ilustrión 1 Isósls Eslno Los lmntos l triángulo, o rlionos on él, son: los, ángulos, puntos y rts notls, irunrni insrit y irunsrit, prímtro, sum os los, smjnz on otro,... y toos llos pun sr tos pr onstruirlo. El mínimo númro tos pr onstruir un triángulo son trs. En l so los triángulos isósls, rtángulos o quilátros, pun ruirs os o uno si l to s un lmnto l qu xistn os o trs iguls. Tmién son prisos mnos tos uno l triángulo tin lgún lmnto vlor onoio, omo l ángulo novnt gros l rtángulo. No s pun tnr n unt tos qu s uzn otros, por jmplo, los trs ángulos un triángulo untn omo os tos, y qu l vlor l trr ángulo s u prtir los os primros. 58
4 En lguns onstruions, pr qu xist soluión, los tos n umplir irts oniions. Tmién s posil on unos mismos tos nontrr vris soluions. Por llo, n lguns osions l onstruión s ompñ un txto, n l ul s isutn ls oniions xistni soluión. 2. onstruions lmntls triángulos 2.1. ritrios igul triángulos os triángulos son iguls si tinn iguls toos sus los y ángulos, pro s suiint qu s umpln uns oniions mínims llms ritrios: Primro. os triángulos son iguls si tinn iguls os los y l ángulo qu ormn. Sguno. os triángulos son iguls si tinn iguls os ángulos y l lo omún. Trro. os triángulos son iguls si tinn iguls sus trs los. urto. os triángulos son iguls si tinn iguls os los y l ángulo opusto l myor llos. Los ritrios igul inn utro grupos tos mínimos pr onstruir triángulos, por lo qu son l s ls utro onstruions lmntls triángulos. un lls mit simpliiions pr triángulos isósls, rtángulos o quilátros, uy onstruión s iénti onsirno los tos onoios o rptios, por llo s prsntn ompñno l so gnrl on un txto omún onstruión l triángulo os os los y l ángulo qu ormn Sn y os los un triángulo slno y ˆ 2 rri). l ángulo qu ormn (Ilust. S iuj un smirrt uyo orign srá y prtir ll s trnsport l ángulo ˆ. Sor sus los s trnsportn y, otniénos los vértis y. L onstruión s prtiulriz n los triángulos isósls y rtángulo uro on los títulos l Ilust. 2. Su onstruión sigu los mismos psos qu l l triángulo slno. 59
5 UNI POLÍGONOS ˆ ˆ Eslno os os los y l ángulo qu ormn ˆ ˆ Isósls os un lo y un ángulo Rtángulo os los os ttos Ilustrión onstruión l triángulo os un lo y os ángulos ˆ ˆ Eslno os os ángulos y l lo omún ˆ ˆ ˆ Isósls l s y un ángulo Rtángulo o un tto y un ángulo Ilustrión Siguino lo stlio n l sguno ritrio los tos srán os ángulos ˆ,, y l lo omún (Ilust. ), pro n l título st onstruión lmntl s gnrliz pr os ulsquir, y qu os os ángulos s posil uir l trro. 60
6 Sor un smirrt s trnsport l lo omún. En los vértis y s trnsportn los ángulos ˆ y uyos los irrn l triángulo. L oniión pr qu xist soluión s qu ˆ + < 180º y qu n so ontrrio no s irr l triángulo. L onstruión s prtiulriz n los triángulos isósls y rtángulo uro on los títulos l Ilust.. Su onstruión sigu los mismos psos qu l l triángulo slno onstruión l triángulo os los trs los Eslno os los trs los Isósls l s y un lo Equilátro o un lo Ilustrión 4 Sn,, los los l triángulo (Ilust. 4). Sor un smirrt s trnsport l lo y on ntro n los vértis y s trzn os ros rios y rsptivmnt, qu s ortn n l trr vérti. L onstruión s prtiulriz n los triángulos isósls y quilátro uro on los títulos l Ilust. 4. Su onstruión sigu los mismos psos qu l l triángulo slno. 61
7 UNI POLÍGONOS 2.5. onstruión l triángulo os os los y l ángulo opusto l myor llos ˆ ˆ Eslno os os los y l ángulo opusto l myor llos Rtángulo l hipotnus y un tto Ilustrión 5 Sn, los los l triángulo y ˆ l ángulo opusto l myor llos (Ilust. 5). Sor un smirrt, prtir su orign, s trnsport l lo. En y prtir, s trnsport l ángulo. on ntro n y rio s trz un ro qu ort l lo n l trr vérti. Si h s l ltur l vérti sor l lo, los vlors qu pu tomr trminn l xistni soluión: uno < h no s irr l triángulo. uno > > h xistn os soluions. uno > l soluión s úni. uno = h o = s otin un triángulo rtángulo o isósls. h L onstruión s prtiulriz pr l triángulo rtángulo n l Ilust. 5. jo. Su onstruión sigu los mismos psos qu l l triángulo slno. 62
8 . onstruión triángulos onoi l sum o l irni os los.1. onstruión l triángulo o un lo, l ángulo opusto y l sum los los qu lo ormn Ilustrión 6 + S un lo, (Ilust. 6). l ángulo opusto y + l sum los los qu lo ormn Sor un smirrt, prtir su orign, s trnsport +. Tomno omo vérti, s trnsport l ángulo prtir + y s hll su istriz. S trz un ro on ntro n y rio, qu ortrá l istriz n os posils vértis y. Elgimos uno ulquir y trzmos l mitriz l sgmnto ort + n l trr vérti., qu En l igur nálisis s prt l triángulo soluión, y s trnsport l lo ontinuión, otnino l triángulo isósls. El vlor l ángulo ˆ s otin l xprsión: ( 180 º ) + ˆ + ˆ = 180º on ˆ = 2 Es posil onstruir primro l triángulo l ul onomos os los, + y l ángulo opusto l mnor llos ˆ = 2. L mitriz l s, l triángulo isósls, trminrá sor l lo l vérti. 6
9 UNI POLÍGONOS.2. onstruión l triángulo o un lo, l ángulo opusto y l irni ntr los los qu lo ormn ˆ ˆ 2 - Ilustrión 7 S un lo, ormn (Ilust. 7). l ángulo opusto y - l irni ntr los los qu lo Sor un smirrt, prtir su orign, s trnsport -. Tomno l punto otnio omo vérti, s onstruy un ángulo 90º, prtir -. Yuxtpusto l ángulo 90º s trnsport l ángulo y s hll su istriz. S trz un ro on ntro n y rio, qu ortrá l istriz n l vérti. L mitriz l sgmnto ort l prolongión - n l trr vérti. En l igur nálisis s prt l triángulo soluión y s trnsport sor l lo, prtir, otnino l triángulo isósls, uyos ángulos iguls son 90º 2. Es posil onstruir primro l triángulo, l ul onomos os los, - y l ángulo opusto l myor llos 90º 2. L mitriz l s l triángulo isósls, trminrá sor l prolongión l lo l vérti. 64
10 pliión / = 5/ 5 u E F u tos Figur nálisis onstruión onstruión un triángulo o un lo, l ángulo opusto ntr los los qu lo ormn / = 5 /. y l rzón En l igur nálisis s hn iujo l triángulo soluión los, y otro los 5u y u on u s un nti longitu ulquir. Sgún l Primr ritrio mos son smjnts y qu / 5u = / u y s omún. En l proiminto io s onstruy l triángulo E y s otin su smjnt, suprponino l lo = F sor su orrsponint E y trslánolo mint l prll F. 4. onptos ásios sor urilátros El urilátro s l porión plno limit ntr utro rts snts. Los lmntos l urilátro son los mismos l triángulo, on l xpión ls igonls, qu son los sgmntos uyos xtrmos son vértis opustos l urilátro. En l trpio los los prllos rin l nomr ss y s llm prll mi l sgmnto prllo qu quiist ms, uyos xtrmos son ls intrsions on los los. L notión qu s v mplr sign ls myúsuls,,,, los vértis, y ls minúsuls,,,,,, los los orrltivos y ls igonls y. Los urilátros s lsiin tnino l prllismo ntr sus los y sus propis inn rlions ntr ángulos y los, omo pu vrs n l Ilust
11 UNI POLÍGONOS Trpzoi 4 Los Trpios 2 Los prllos ˆ + ˆ = ˆ + ˆ = 180º Prllogrmos 2 Prs los prllos Los opustos iguls ˆ = ˆ y ˆ = ˆ ˆ + ˆ = ˆ + ˆ = L = 180º T. Eslno T. Isósls 2 Los iguls igonls iguls Romoi Romo Ls igonls s ortn 4 Los iguls n l punto mio igonls prpniulrs T. Rtángulo 2 Ángulos rtos Rtángulo 4 Ángulos rtos igonls iguls uro 4 Los iguls + 4 Ángulos rtos igonls iguls y prpniulrs El númro tos nsrios pr onstruir un urilátro s ino, igul qu n l triángulo s pun ruir hst uno pr los urilátros spils. Ls igonls son, tnto un to, omo un lmnto uxilir qu prmit iviir l urilátro n os o utro triángulos y sí ruir sus onstruions los sos onoios onstruión triángulos. onsuntmnt l xistni soluión stá oniion l los triángulos qu s onstruyn. 5. onstruión trpios y trpzois 5.1. onstruión l trpzoi os utro los y un igonl Ilustrión 8 Ilustrión 9 66
12 Sn,,, los los y l igonl l trpio qu s s onstruir. L onstruión s ru l los triángulos y uyos los son onoios. En l Ilust. 9, s trnsport l igonl sor un smirrt y s trminn los vértis y mint os prs ros ntros y y rios (, ), y (, ) onstruión l trpzoi l sum un igonl y un lo, los otros trs los y un ángulo + E + E + Ilustrión 10 S + l sum l lo y l igonl, (Ilust. 10). l ángulo y,, trs los L onstruión s ru l los triángulos l sum los los y, l lo y l ángulo y os los trs los,,. En l igur nálisis s h trnsporto l lo l triángulo, sor l prolongión l lo, otniénos l triángulo isósls E. L mitriz su s E ort n l lo + l triángulo E qu onstruimos prvimnt, pus onomos sus os los, + y l ángulo qu ormn. En l onstruión s trnsportn primro, +,, otnino E, uy mitriz trmin. Otnio l lo = s trzn ros rios, y ntros, qu s ortn n. 67
13 UNI POLÍGONOS 5.. onstruión l trpzoi l irni un igonl y un lo, los otros trs los y un ángulo - - E - E Ilustrión 11 S - l irni l lo y l igonl, (Ilust. 11) l ángulo y,, trs los. L onstruión s ru l los triángulos l irni los los y, l lo y l ángulo y os los trs los,,. En l igur nálisis s h trnsporto l lo l triángulo sor l lo, otniénos l triángulo isósls E. L mitriz su s E ort n l prolongión l lo - l triángulo E qu onstruimos prvimnt, pus onomos sus os los, - y l ángulo qu ormn. En l onstruión s trnsportn primro, -,, otnino E, uy mitriz trmin. Otnio l lo s trzn ros rios, y ntros, qu s ortn n. 68
14 5.4. onstruión l trpio os trs los y un igonl α α α α Ilustrión 12 Sn,, trs los y l igonl l trpio qu smos onstruir. L onstruión s ru l l triángulo os sus trs los,, y l l triángulo os os los, y l ángulo omprnio α. En l Ilust. 12 s h trslo l lo prtir l orign un smirrt, trzno spués ros rios y, on ntros n y, qu s ortn n l vérti. En l vérti, prtir l igonl, s trnsport l ángulo α. Sor l lo otnio s trnsport, quno trmino l urto vérti onstruión l trpio os os ángulos qu no omprtn l mismo lo, un s y un lo Los ángulos qu omprtn un mismo lo son suplmntrios, sí pus, onoios un ángulo lo, pomos uir los utro ángulos l trpio. Ilustrión1 Sn y un lo y un s, su ángulo omprnio y l opusto. 69
15 UNI POLÍGONOS L onstruión s ru l l triángulo os os los, y l ángulo omprnio y l l triángulo prtir su lo y los ángulos y qu inn l irión sus otros os los. En l Ilust. 1, un vz onstruio l triángulo, s trnsport l ángulo prtir l prolongión l lo y l ángulo prtir l lo, pro on vérti n. plimos sí l igul ntr los ángulos ltrnos intrnos, trminno l vérti n l intrsión los los ihos ángulos onstruión l trpio s ls ss, un lo y uno los ángulos opustos E - E - Ilustrión 14 Mint l prll E l lo por l vérti, s ru l prolm l onstruión l triángulo E os os los, - y l ángulo opusto uno llos y l triángulo os sus trs los,,. En l Ilust. 14 s hn trnsporto los los y sor un smirrt prtir su orign, otniénos - = E. En l vérti E s trnsport l ángulo prtir l lo -. on ntro n y rio s trz un ro qu ortrá l lo n l vérti. on ntro n los puntos y s trzn os ros rios y qu s ortrán n. L soluión srá úni si lo s l l triángulo E, s ir, sí > -. 70
16 6. onstruión prllogrmos 6.1. onstruions prllogrmos os os los y un ángulo = = Romoi os os los y un ángulo Romo os un lo y un ángulo Rtángulo os os los uro o un lo Ilustrión 15 En l Ilust. 15 s prsnt l onstruión l romoi, ompñ ls l romo, rtángulo y uro. L onstruión l romoi os os los, y l ángulo qu ormn, s ru l los triángulos: os los los, y l ángulo qu ormn ; os sus trs los, =, =. L onstruión los más prllogrmos s irni únimnt n qu mos triángulos pun sr isósls o rtángulos. 71
17 UNI POLÍGONOS 6.2. onstruions prllogrmos os un lo y os igonls = = /2 /2 Romoi o un lo y os igonls /2 /2 Romo s os igonls /2 /2 Rtángulo o un lo y un igonl /2 /2 uro un igonl Ilustrión 16 En l Ilust. 16 s prsntn os métoos onstruión irnts sgún qué tipo prllogrmo s trt: El romoi y l rtángulo s onstruyn iviino los los, n os prts iguls, onstruyno l triángulo los, /2, /2 (n l rtángulo /2 = /2) y ompltno ls igonls. Los utro vértis l romo y l uro qun trminos l onstruir sus os igonls, qu son prpniulrs ntr sí y s ortn n l punto mio. Pr llo, s trnsport l igonl, s hll su mitriz y s trnsport sor ll, prtir l punto mio y mos los, /2 (n l uro /2 = /2). 72
18 6.. onstruions prllogrmos un igonl, un lo y un ángulo = = F α α α Romoi un igonl, un lo y un ángulo α α Romo un igonl y un ángulo F Romo un igonl y un lo Ilustrión 17 En l Ilust. 17 s prsnt un onstruión l romoi, os l romo, y ningun l rtángulo y uro, pus l ruirs los tos l lo y l igonl oinin on ls y trts. L onstruión l romoi os l lo, l ángulo, s ru l los triángulos: y l igonl os los los, y l ángulo opusto uno llos. Est onstruión prsnt os soluions, y qu l sr <, l ro ntro y rio ort n os puntos y l lo. Otnrmos pus os romois posils on stos tos. os sus trs los, =, =. L onstruión l romo l igonl y l ángulo prt l l triángulo uxilir F, isósls igul l, omo s u n l igur nálisis l igul los ángulos α. 7
19 UNI POLÍGONOS S trnsport l ángulo sor un smirrt y s hll l istriz l ángulo xtrior l mismo vérti, sor l qu s trnsport prtir. S trz l prll l lo por l punto F qu ortrá l lo n. on ntro n los puntos y s trzn os ros rio, qu ortn l smirrt y su prll n y. L onstruión l romo l igonl y l lo s ru l os triángulos los,,. 7. onptos ásios sor polígonos Lín qur o poligonl s qull orm por sgmntos, ornos tl moo, qu uno intrmio tin un xtrmo omún on l ntrior y otro on l siguint. Los xtrmos lirs son l orign y l xtrmo l qur. Polígono s un lín qur rr, s ir, su xtrmo y su orign oinin. S intiirá un polígono EFG mint sus vértis, qu son los xtrmos los sgmntos qu lo ormn, qu su vz srán los los,,,,,, g l polígono. Ángulos intriors son los ormos por os los onsutivos y rin su nomr l vérti (, ˆ,...). Su sum s 180º (n - 2) on n s l númro los. Ángulos xtriors (α, β, χ, ) son los ynts los ángulos intriors. Su sum s 60º. igonl s uno los sgmntos trminos por os vértis no onsutivos l polígono. En l hptágono rgulr l Ilust. 18 s hn iujo tos ls igonls posils n trzo isontinuo. E F G G F E β χ ˆ α E G F Lin qur o poligonl Polígono no onvxo Polígono onvxo Polígono rgulr Ilustrión 18 74
20 Polígono onvxo s l porión plno limit por un polígono, tl qu l trzr l rt qu ontin uno sus los, ést j toos los vértis l polígono situos l mismo lo. En l hptágono no onvxo l Ilust. 18 s pu vr qu l rt ivi l plno n os smiplnos, quno n uno llos los vértis F, G y n l otro,, E, mintrs qu n l hptágono onvxo qun,, E, F, G n un smiplno y n l otro ninguno. Los polígonos s nomrn tnino l númro sus los, sí tnmos: triángulo, urilátro, pntágono, hxágono, hptágono, otógono, nágono, ágono, unágono, oágono,... Los polígonos onvxos pun sr quilátros si tinn toos sus los iguls, quiángulos si tinn toos sus ángulos iguls, rgulrs si umpln simultánmnt ms oniions irrgulrs n so ontrrio. El númro tos nsrios pr onstruir un polígono n los s 2n -. L tringulión l polígono prmit ruir su onstruión los sos onoios onstruión triángulos. Por llo los tos n sr l mismo tipo qu los mplos pr onstruir triángulos o urilátros. Rur T Tos ls onstruions n iniirs iujno un igur nálisis. T El númro tos nsrios pr onstruir un polígono n los s 2n -, pro si st tin lmntos onoios o iguls, s ru. T Ls 4 onstruions lmntls triángulos prmitn rsolvr l myorí ls onstruions polígonos, mint su tringulión y l mplo l métoo ruión. 75
21 UNI POLÍGONOS tivis 1. onstruir l trpio sino,,, sus utro los. 2. onstruir l triángulo rtángulo sino + l sum l hipotnus y l tto y l otro tto. +. onstruir l triángulo sino / = 6 / 5 l rzón ntr los los y, l trr lo y un ángulo. / = 6/ 5 4. El pntágono iujo trzo gruso sor l roquis l sión un rsturnt miror in l orm su spio intrior. iujrlo sl 1:700 utilizno ls mis ots n mtros º º OTS EN METROS p 5. onstruir l triángulo sino p su prímtro y, ˆ os ángulos. ˆ 76
Capítulo 1. Definición : Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.
pítulo 1 ÁNGULS finiión : Es l figur gométri trmin por l runión os ryos no linos qu tinn l mismo orign. Elmntos 1. Vérti :. Los : y Notión : * Ángulo : ), Ô * i l ángulo : m ) =. gión Intrior un ángulo
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