13. FACTORIZACIÓN GAUSSIANA Y CUERPOS CUADRÁTICOS

Transcripción

1 .. Teoría de los úmeros algebraicos. Teoría de los úmeros algebraicos. La teoría algebraica de los úmeros es la rama de la teoría de los úmeros e la cual el cocepto de úmero se expade a los úmeros algebraicos, los cuales so las raíces de los poliomios co coeficiete racioal. U campo de úmeros algebraicos es ua extesió fiita, algebraica, del campo de los úmeros racioales. El aillo de eteros de u campo de úmeros algebraicos es la cerrazó de los eteros e dicho campo, es decir, el subcojuto del campo que cosiste e los elemetos que so raíces de poliomios co coeficietes eteros. Se puede ver, y tratar, a u campo de úmeros algebraicos como u aálogo de los racioales, y a su aillo de eteros como aálogo de sus eteros, ahora bie, la aalogía o es perfecta: alguas de las propiedades familiares de los racioales y los eteros o se coserva, por ejemplo la factorizació úica. Los campos de úmeros algebraicos, así como los campos de fucioes, so llamados campos globales. Gra parte de la teoría se puede desarrollar de maera paralela para ambos tipos de objetos. La localizació cosiste e el pasaje de u campo global a u campo local: e el caso de los campos de fucioes, este procedimieto cosiste simplemete e dirigir la mirada a u puto e particular de la superficie o variedad estudiada, y cocetrarse e cómo las fucioes se comporta e su vecidad imediata.. Aillos y cuerpos. U aillo es ua tera ( A, +i, ) e la que A es el cojuto y +, i so las leyes iteras e A, de modo que se cumpla las siguietes propiedades:. ( a + b) + c = a + ( b + c), para todos los a, b, c de A. Ley asociativa de la suma.. a + b = b + a, para todos los a, b de A. Ley comutativa de la suma.. Existe u elemeto 0 e A tal que a + 0 = a, para todo a de A. Es el elemeto eutro o ulo del aillo. 4. todo a de A, existe u a e A tal que a + ( a) = 0. Es el elemeto simétrico u opuesto. 5. ( ab) c = a( bc), para todos los a, b, c de A. Ley asociativa de la multiplicació. 6. a( b + c) = ab + ac, ( a + b) c = ac + bc, para todos los a, b, c de A. Leyes distributivas. U aillo es comutativo si y sólo si ab = ba, para todos los elemetos a, b de A. U aillo es uitario si existe u elemeto e A tal que a = a = a, para todo elemeto de a e A. U domiio es u aillo comutativo y uitario e el que 0, luego Z es u domiio. U elemeto a de u domiio A, es u divisor de cero si es o ulo y existe u b e A o ulo tal, que ab = 0. U domiio ítegro es u domiio si divisores de cero. dotar a Z x Z de estructura de domiio que o sea itegro, plateamos lo siguiete: Sea D y d úmeros eteros co d o ulo. Etoces, existe uos úicos eteros c y r tales que D = dc + r y 0 c r < d, dode d es igual a d si d es positivo y a d si es egativo. Esta propiedad de los úmeros eteros cofiere propiedades muy importates al aillo Z y es poseída por otros aillos de iterés.

2 U domiio euclídeo es u domiio ítegro A tal que existe ua fució φ : A { 0} N que cumpla lo siguiete: Si a, b so elemetos de φ( a) cφ( ab). A o ulos. Si D, d so elemetos de A co d 0, etoces existe c y r e A de maera que D = dc + r co r = 0 o bie 0 c φ( r) < φ( d). La fució φ se llama orma euclidea. Es obvio que Z es u domiio euclídeo co la orma φ dada por φ ( a) = a. Ahora bie, observemos que el cociete y el resto o so úicos. Por ejemplo, para dividir 8 etre podemos hacer 8 = + o bie 8 =, e ambos casos, r < d. U elemeto a de u domiio A es ua uidad si existe u elemeto b e A tal que ab =. Dicho elemeto b está determiado por a, ya que si ab = = ac, etoces b = b = bac = ac = c. Este úico elemeto lo llamaremos iversos de a y lo represetaremos por a. Obviamete es ua uidad y =. E cambio 0 o puede ser ua uidad. Ua uidad o puede ser divisor de cero, pues si a es ua uidad y ab = 0, etoces b = b = a 0 = 0. Las uidades de Z so exactamete y. U aillo de divisió es u aillo uitario co 0 e el que todo elemeto o ulo es ua uidad. U cuerpo es u aillo de divisió comutativo. E particular todo cuerpo es u domiio ítegro. Observemos tambié que todo cuerpo Κ es u domiio euclídeo tomado como orma la aplicació costate, pues la divisió euclidea puede realizarse siempre co resto 0, es decir, D = d( D d) + 0. Las operacioes etre úmeros eteros y los elemetos de u aillo, puede ser defiidas de la siguiete forma: Sea A u aillo uitario y a, b elemetos de A. Sea m y úmeros eteros. Se cumple:. m( a + b) = ma + mb.. ( m + ) a = ma + a.. ( ma) = ( ma) = m( a). 4. m( a) = ( m) a. 5. Si ab = ba, etoces ( ab) m = a m b m. m+ m 6. a = a a 7. ( a m ) = a m. 8. a a a m m m = ( ) = ( ). Además, si A =Z, ma es lo mismo e el setido de la defiició aterior que e el setido del producto usual e Z.. Números algebraicos. U úmero algebraico es cualquier úmero real o complejo que es solució de ua ecuació poliómica de la forma a x a x a x a x a = 0 dode > 0( a 0), es el grado del poliomio y ai Z, so úmeros eteros coeficietes del poliomio.

3 Todos los úmeros racioales so algebraicos, porque toda fracció de la forma a b es solució de bx a = 0. Alguos úmeros irracioales como, raíz cuadrada de, y /, la mitad de la raíz cúbi- ca de, tambié so algebraicos porque so solucioes de x = 0 y 8x = 0, respectivamete. No todos los úmeros reales so algebraicos. Los casos más coocidos so π y e. Si u úmero real o complejo o es algebraico, se dice que es u úmero trascedete. Si u úmero algebraico es solució de ua ecuació poliómica de grado, pero o puede serlo de ua ecuació poliómica de grado meor, etoces se dice que es u úmero algebraico del grado. Teiedo e cueta esta circustacia, los úmeros racioales o puede ser úmeros algebraicos de primer grado, pues o existe por ejemplo, ua ecuació poliómica de grado uo co coeficietes eteros, cuya solució sea la raíz cuadrada de. Las propiedades de la clausura podemos defiirlas:. La suma, diferecia, producto o cociete de dos úmeros algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tato los úmeros algebraicos costituye u cuerpo matemático.. Como cosecuecia de lo aterior, todos los úmeros que puede escribirse a partir de los racioales empleado solamete las operacioes aritméticas +,,,/, potecias y raíces, so algebraicos. Si embargo, existe úmeros algebraicos que o puede escribirse de esta forma, y so todos de grado > 5. Ésta es ua cosecuecia de la Teoría de Galois.. Puede demostrarse que si los coeficietes a i so úmeros algebraicos cualesquiera, la solució de la ecuació volverá a ser úmero algebraico. E otras palabras, el campo de los úmeros algebraicos es algebraicamete cerrado. De hecho, los úmeros algebraicos so el campo algebraicamete cerrado más pequeño que cotiee los racioales. U úmero algebraico que satisface ua ecuació poliómica de grado co a = se deomia etero algebraico. Alguos ejemplos de eteros algebraicos so: + 5 ó 6i. La suma, diferecia y producto de eteros algebraicos vuelve a ser u etero algebraico, lo que sigifica que los eteros algebraicos forma u aillo. El ombre de etero algebraico proviee del hecho de que los úicos úmeros racioales que so eteros algebraicos, so los eteros..4 Números complejos. El úmero complejo es u úmero de la forma a + bi, siedo a y b úmeros reales e i = la uidad de los úmeros imagiarios. E el úmero complejo a + bi, a recibe el ombre de parte real y bi el de la parte imagiaria. Si a = 0, el úmero complejo se llama imagiario puro. Si b = 0, el úmero complejo se reduce al úmero real a. Por cosiguiete, e los úmeros complejos está icluidos todos los úmeros reales y todos los úmeros imagiarios puros. La codició ecesaria y suficiete para que los úmeros complejos a + bi y c + di sea iguales, es que a = c y b = d. Así que a + bi = 0 si y sólo si a = 0 y b = 0. Si c + di =, se tedrá que c = y d = 0. El úmero complejo a + bi es cojugado de a bi, y recíprocamete. Por ejemplo, 5 + i es el cojugado de 5 i. Si efectuamos el producto, (5 + i)(5 i) = 5 + = 9. E el aillo Z [ i] es ua orma y geera los llamados eteros de Gauss. El reciproco del úmero complejo a + bi es el b + ai, y recíprocamete. Por ejemplo, 4 i tiee como recíproco el 4 i.

4 Las operacioes algebraicas co úmeros complejos so: Suma: sumar dos úmeros complejos se suma, por ua parte las partes reales y, por otra, las imagiarias. Por ejemplo: ( a + bi) + ( c + di) = ( a + c) + ( b + d) i (5 + 4 i) + ( + i) = (5 + ) + (4 + ) i = 8 + 6i Resta: restar dos úmeros complejos se resta, por ua parte las parte reales y, por otra, las imagiarias. Por ejemplo: ( a + bi) ( c + di) = ( a c) + ( b d) i (5 + 4 i) ( + i) = (5 ) + (4 ) i = + i Multiplicació: multiplicar dos úmeros complejos, se realiza la multiplicació como si fuera dos biomios, y e el producto se sustituye i por. Por ejemplo: ( + )( + ) = = + ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) a bi c di ac adi bci bdi ac ad bc i bd ac bd ad bc i (5 + 4 )( + ) = = ( ) = 7 + i i i i i i i Dividir: dividir dos úmeros complejos, se multiplica el umerador y el deomiador por el cojugado del deomiador y se sustituye i por. Por ejemplo: a + bi ac bd ad bc = + i + c di c + d c + d c + d c + d + i ( + i)(4 + i) 8 + 6i + 4i + i 5 + 0i 5( + i) i = = = = = + 4 i (4 i)(4 + i) 6 9i Como i =, teemos: i = i = i i = ( ) i = i i = ( i ) = ( ) = i = i i = i = i 6 4 i = i i = ( ) =, y así sucesivamete. Ua raíz -ésima de la uidad es cualquiera de los úmeros complejos z que satisface a la ik ecuació z =. Las raíces de la uidad so los úmeros e π, dode k y so coprimos y represeta a la raíz y k umerado las correspodietes solucioes para los eteros compredidos etre k = 0 y k =. El úmero de raíces primitivas diferetes viee determiado por la fució Euler, ϕ ( ). Por ejemplo, para z = sólo hay ua raíz primera de la uidad, igual a. tres raíces: z e πi / = =, z = hay dos raíces: i = = y i/ + z e π z = e πi = y z = e πi = / i/ z = e π = /. i. z = hay 4

5 Las raíces de la uidad de la ecuació cúbica correspode a los llamados eteros de Eisestei, e hoor a Ferdiad Gotthold Eisestei (8-85), y se represeta como ±, ± ω, ± ω. Como los ceros del poliomio p( z) = z so precisamete las raíces -ésima de la uidad, cada uo co multiplicidad, el poliomio ciclotómico -ésimo está defiido por el hecho de que sus ceros so, precisamete, las raíces primitivas -ésima de la uidad, cada ua co multiplicidad.. Factores y divisores gaussiaos. Factorizar el úmero 0. La factorizació caóica del úmero 0 es 0 = 5, dos factores primos. La factorizació gaussiaa puede ser represetada de algua de las siguietes formas:. Como 0 = 5 = ( + i)( i )( + i )( i). Como 0 = 5 = ( + i)( + i)( + i)( + i)( ) = ( + i) ( + i)( + i )( ). Como 0 = 5 = ( i) ( + i)( i) ( i ) 4. Como 0 = 5 = ( + i ) ( + i)( i)( i) 5. Como 0 = 5 = ( + i) ( i ) 6. Como 0 = 5 = ( + i)( + i)( i ) lo que os demuestra la factorizació o úica de los eteros de Gauss, auque co divisores fiitos e el aillo Z[ i ]. Efectivamete, los divisores de 0 viee represetados e el cojuto: {, + i, + i, + i,, + i, + 4 i, + i, 4 + i, 5, i, 0} Veamos cómo se cosigue todo esto. Partimos de dos úmeros algebraicos a los que llamaremos z = + i y w = + i cuyos cojugados so z = ( + i)( i ) = + = y w = + i i = + = ( )( ) 5 e dode el producto de ambos resulta zw = + i i + i i = + = = ( )( )( )( ) 5 0 Esto se cooce como factorizació cojugada e el aillo Z[ i]. Si z = ( + i )( + i)( i) = ( + i) ( i) = + = ó z = i i i i i ( )( )( ) = ( ) ( ) = + = y w = ( + i)( + i )( i) = + = 5 ó w = i i + ( )( )( i) = = 5 etoces 5

6 zw = = + = ( + i)( + i)( + i)( + i)( ) = ( + i) ( + i)( + i)( ) 0 o bie zw = = + = ( i)( i)( i)( i)( ) = ( i) ( i)( i)( ) 0 Si se cambia el sigo de los úmeros algebraicos, tambié cambia el sigo de la uidad. zw = ( + i) ( i)( i)() = ( i) ( + i)( + i)() = 0 Esto se cooce como factorizació opuesta o simétrica co uidad e el aillo Z[ i ]. Sea etoces ( + i)( i) = ( + i ) y ( i)( + i) = ( i ) zw = + i i = + = ( )( ) 0 Es ua factorizació cojugada e el aillo Z[ i ]. ( + i)( + i) = ( + i ) y ( + i)( i) = ( + i ), teemos ( + i)( + i)( i ) = + = 0 que es ua factorizació opuesta o simétrica co uidad e el aillo Z[ i]. Sabemos que todo elemeto irreducible del aillo Z[ i ] es de la forma ± p ó ± pi co p etero positivo primo de la forma p = 4k +, o bie de la forma a + b = a + bi, primo co Z. p = 4k + = a + b dode E las siguietes tablas recogemos alguos de los primos a los que se hace referecia e este apartado: Eteros Gaussiaos de la forma Primos Gaussiaos de la forma calcular los divisores gaussiaos de 0, operamos del siguiete modo: Por la exposició aterior el 0 es divisible por 0 = 5 5i = 5( i), + i 0 = 4 i = ( i), + i 0 = i + i 6

7 Ahora establecemos los siguietes grupos de divisores, salvo asociados: + i i + i i ( + i)( i ) = ( + i)( + i) = + i ( + i)( i) = + i ( i)( + i) = i ( i)( i) = i ( + i)( i ) = 5 ( + i) = 4 + i ( i) = 4 i 5( + i) = 5+ 5i 5( i) = 5 5i 0 E resume, los divisores gaussiaos de 0 so:, + i, + i, + i,, + i, + 4 i, + i, 4 + i, 5, i, 0 El aillo Z[ ] = { + :, Z} i a bi a b es u domiio euclídeo co la aplicació N( a + bi) = a + b defiida para todo a + bi Z. Aquí N es la orma o cojugado del úmero real o complejo.. Factorizar el úmero algebraico z = i. Supogamos que el úmero tiee factorizació cojugada, etoces z = (9 + 5 i)(9-5 i) = 86 = Cómo 86 = 9 y 9 = 4 + = = + 7, k ambos úmeros ( y 9) so eteros de Gauss y, por tato, perteece al aillo Z[ i ]. Así que teemos co lo que ( + i)( i ) = y ( + 7 i)( 7 i ) = 9 ( + i)( i)( + 7 i)( 7 i ) = 86 Esto os lleva a que, los divisores gaussiaos de 86, so, +i,, 5+9i, 7+i, +7i, 4+4i, 9+5i, 4+4i, 9, 9+9i, 86 Pero 86 es distito a z = i, por tato o es esto lo que se os pide. Sabemos que z = 9 + 5i puede ser divisible por ( + i ) ó ( i ). Veamos: Si 9 + 5i = 7i + i ó i = 7 + i i etoces 9 + 5i = + i 7i ó 9 + 5i 6 7i = - + 7i 9 9 7

8 Pero e el segudo caso el resultado es distito a ( i ), por lo que z = 9 + 5i o es divisible por + 7 i, luego ( + i)(7 + i) = 9 + 5i o lo que es lo mismo y sus divisores z = 9 + 5i = ( + i)(7 + i) ( i), + i, 7 + i, 9 + 5i. Factorizar el úmero algebraico z = + 4 i. El úmero algebraico z = + 4i es reducible e el aillo Z [ i], ya que N( + 4 i ) = 5 es compuesto e Z. Como 5 5 = y 5 = ( + i)( i ), teemos que ( + 4 i)( 4 i) = 5 = 5 = ( + i)( i)( + i)( i ) por tato, ( + i) y ( - i ) divide a ( + 4 i)( 4 i ) y como ( + i) y ( - i ) so irreducibles e Z[ i ], alguo de ellos debe ser divisor de, al meos, uo de los factores de la izquierda de la igualdad aterior. E este caso ( + 4 i) = ( + i)( i ) es la factorizació gaussiaa del úmero propuesto. E cuato a los divisores de z = + 4 i, resulta, + i, + 4i Hacemos otar que aquí N es la orma que se defie como N( w) = c + d re- y w = c + di se verifica que N( zw) = N( z) N( w ) ya que si sulta para zw = ( ac bd) + ( ad + bc) i..4 Factorizar el úmero algebraico z = i. Empecemos por calcular la orma o cojugado de z = i. z a bi N( a + bi) = a + b. Si = + N( z) = a + b y ( i)( i ) = 050 = 5 9 El úmero es de la forma = 4k + = 4 0 +, por tato u primo irreducible de Gauss. Si elimiamos el y calculamos otra ueva orma, obteemos de dode i = 5 + 5i ( )( ) i -5-5i = 450 = 5 9 que so todos eteros de Gauss y, por tato, alguo de ellos debe ser divisor de i. 8

9 Probamos co ( ± i) : ( i) ( + i) = + 7i y ( i) ( - i) = - + i Divisioes exactas lo que demuestra que ( + i ), ( + 7 i ) y (- + i ) so divisores de i. Probamos co (5 ± i ) ya que N (5 ± i) = 5 + = 9: 5 05i ( i) (5 + i ) = - + y ( i) (5 i) = 5 + 5i 9 9 Aquí los divisores de ( i ) so (5 + i ) y ( i ). Este último es u asociado co factorizació simétrica co uidad, por lo que los divisores sería ( + 5 i ) y (5 + 5 i ). Como el producto de los divisores coocidos es ( )( )( ) + i + i + 5i = -9 + i y el cociete co ( i ) es ( i) ( 9 + i) = i, la factorizació de z = i resulta z = i = ( + i)( + i)( + 5 i)( i ) E cuato a los divisores gaussiaos, + i, + i, + i, + 7 i, + i, + 5 i,, + i, + i, + 6 i, + 9 i, + 5 i, 5, i, 6 + i, i, 7 + i, 9 + i, i, i, + i, + i,5, i, + 9 i, i, i, + 9 i, i, 6 + i, i dejamos e sus maos la demostració de todos o alguos de ellos..5 Factorizar el úmero 6. La factorizació caóica es 6 = 7, dos factores primos pricipales que so eteros gaussiaos, ya que z = ( + i)( i ) = + = y w = (4 + i)(4 i ) = 4 + = 7, luego la factorizació gaussiaa de 6 vedrá determiada por (( )( )) zw = + i i (4 + i)(4 i) = = 6 Ahora bie, si teemos e cueta que z = ( + i)( + i)( i) = ( + i ) = + = y w = + i + i i = + = (4 )( 4 )( ) 4 7 es la factorizació simétrica co uidad y que ( ) ( )( )( ) + i 4 + i + 4i - = 4, para la factorizació gaussiaa del 6 resulta ( i) ( i)( i)( i)( i) ( ) 6 6 zw = = + i (4 + i)( + 4 i) = 6 = Co u poco de paciecia se puede ecotrar los divisores gaussiaos del úmero 6, que so 9

10 , + i, + 4 i,, + i, + 8 i, + 5 i, 4, 4 + i, i, i, 5 + i, i, 8, 8 + i, 8 + i, i, + 0 i, i, 7, i, 0 + i, + 8 i, 4, i, 68, i, 6.6 Factorizar el úmero algebraico z = i. El cojugado de z = i es ( i)( i ) = 7 = 7 5. La estructura de cada uo de estos factores es la siguiete: = 4k + = 4 + = + = ( + i)( i) = ( + i)( + i)( i ) 7 = 4k + = = 4 + = (4 + i)(4 i) = (4 + i)( + 4 i)( i ) 5 = 4k + = 4 + = 7 + = (7 + i)(7 i) = (7 + i)( + 7 i)( i ) Todos los factores primos so eteros de Gauss, por lo que la factorizació gaussiaa resulta ( + i)( + i )( 4 + i)( + 4i)( 7 + i)( + 7i)( i ) = 7 = Pero osotros o buscamos esta factorizació si o la de z = i. La presecia del asociado positivo ( i ) poe de maifiesto que alguos de los divisores de z = i so simétricos luego, vamos a probar co ( + 4 i ) y co ( + 7 i ) : ( i) ( + 4 i) = 0 + 7i y para (0 + 7 i) ( + 7 i) = - i dode el último es el cojugado de ( + i ) y que es ( i)( i) = + i. De acuerdo co lo expuesto, la factorizació gaussiaa es o bie ( )( )( ) z = + 4i - i + 7i = i ( )( )( )( ) z = + 4i + i + 7i -i = i Esta última como factorizació simétrica co uidad o elemeto asociado. Los elemetos z = a + bi y z = a bi so asociados e Z [ i], si y sólo si, z es cualquiera de los cuatro elemetos ±, ± i, dode a, b Z, a 0, b 0 y z = a + bi irreducible e Z[ i]. Se puede dar cuatro casos: z = z : es el caso e dode b = 0. Por ejemplo, z = + i i = + = ( 0 )( 0 ) 0 4. z = z : es el caso e dode a = 0. Por ejemplo, z = (0 + i)(0 i ) = 0 + = 9. z = zi : es el caso e dode a = b y por tato z = a + ai = a( + i ). Como z es irreducible y ( + i ) o es ivertible e Z[ i ], a = ±, y por tato, los elemetos + + i y i. z = zi : es el caso que produce + i y + i. Es fácil deducir los recíprocos a partir de las igualdades i(- i) = + i, i( + i) = - + i, i(- + i) = -- i, i(-- i) = - i 0

11 E el úmero algebraico z = i o existe factores primos, por lo que sus divisores so todos gaussiaos, a saber, + 4 i, + i, + 7 i, + 0 i, i, i, i.7 Factorizar el úmero algebraico z = i. Observamos que el Máximo Comú Divisor de 84 y 6 es mcd (84, 6) =, luego el úmero algebraico plateado tiee ua primera represetació como z = ( 4 + i), u úmero asociado. Cómo ( i)( i) ( i)( i)( i) = = 5 y el úmero 5 admite tambié como factorizació gaussiaa (( i)( i) ) ( ) 5 = podemos establecer que 4 + i = ( + i) ( i) y, por tato z = + i = + i i ( ) ( ) E cuado a los divisores de z = i, teemos, + i,, + 6 i, 4 + i, 7, i, + 9 i,, + 4 i, 8 + i, i Teiedo e cueta lo cometado sobre los úmeros asociados e el supuesto aterior, observe que etre los divisores de z = i hayamos alguos, como por ejemplo + 6i = ( + i); 7 + 4i = 7( + i); + 9i = (4 + i);... Localice los que falta.. Factorizació gaussiaa co elemetos del aillo Z [ i].. Sea z = i y w = 7 - i dos úmeros algebraicos. Calcular el mcd( z, w) = d = zs + wt. Sea a y b dos úmeros eteros o algebraicos tales que al meos uo de ellos sea distito de cero. El Máximo Comú Divisor de a y b, que deotaremos como mcd( a, b) = d, dode d es el úico etero positivo que satisface a las dos codicioes siguietes:. d a y d b, es decir, d es divisor comú de a y de b.. Si c a y c b, etoces c d, es decir, d es el mayor de los divisores comues.

12 A partir de este Algoritmo de Euclides, el Teorema de Bézout, descubierto por Etiee Bézout (70-78), asegura que existe otros dos eteros s y t tales que el mcd( a, b) = d = as + bt. Este teorema o idetidad os proporcioa ua forma lieal detro del aillo. La factorizació de los úmeros algebraico es la siguiete: z = i : w 7 i : z = ( + i) ( + i)( i) = 4 + 6i = ( )( ) ( ) w = + i + i - = 7 - i El máximo divisor que divide a ambos úmeros es el ( + i ), por tato mcd(4 + 6 i,7 i) = + i Sabemos que N(4 + 6 i) = (4 + 6 i)(4 6 i) = 5 y que N(7 i) = (7 i)(7 + i) = 50. El Máximo Comú Divisor de ambos úmeros es mcd (5,50) =. Cómo N( + i) = ( + i)( i) =, obteemos el mismo resultado que co la factorizació gaussiaa. La forma lieal de z = 4 + 6i y w = 7 i resulta mcd (5,50) = = 5() + 50( ) para úmeros eteros, dode s = y t = ( 4 + 6,7 - ) = + = ( )(-) + ( 7 - )( + ) mcd i i i i i i para los úmeros algebraicos, dode s = y t = + i.. Sea z = 0 + i y w = 8 + i dos úmeros algebraicos. Calcular mcd( z, w) = d = zs + wt. Empecemos por factorizar los dos úmeros algebraicos. A saber z = 0 + i : z = ( + i)(4 + i) = 0 + i w = 8 + i : w = ( + i)( + i)(- i) = 8 + i Claramete podemos observar que el úmero que divide a ambos algebraicos es el (+ i). Comprobamos: 0 + i = 4 + i 0 + i = ( + i)(4 + i) + i 8 + i = i 8 + i = ( + i)( i) + i luego, el Máximo Comú Divisor de ambos úmeros es mcd(0 + i,8 + i) = + i E cuato a la forma lieal, si s = y t = i, teemos

13 mcd(0 + i,8 + i) = + i = (0 + i)() + ( 8 + i)(-- i) Si los úmeros algebraicos los trasformamos e úmeros eteros, teemos etoces N(0 + i) = y N(8 + i) = 65 ( ) ( ) mcd (, 65) = = Sea z = + i y w = i dos elemetos de [ i]. z = cw + r co r = 0 ó N( r) < N( w). Z Ecotrar c, r [ i] Z tales que U domiio de itegridad comutativo y co uidad D es u domiio euclídeo si existe ua D* = D 0 co valores e los eteros o egativos tal que aplicació N defiida { } I. N( r) N( rs) para todo r, s D *. II. todo t, s D, s 0, existe c, r D tales que t = cs + r, co r = 0 ó N( r) < N( s). Sea z = a + bi y w c di u puto del plao complejo de [ i] Si aotamos = + dos elemetos de Z [ i], co w 0. El cociete z w = r + si, será Z tal que r m y s. [ ] z = ( z w) w = cw + ( r m) + ( s ) i w de tal forma que etoces [( r m) + ( s ) i] w = z cw Z [ i] ( ) ( ) N ( r m) + ( s ) i w = N ( r m) + ( s ) i N( w) ( 4) + ( 4) N( w) < N( w) Esto se cooce como divisió euclidea de poliomios e el aillo Z [ i]. Aplicado a uestro caso, teemos ( + i) ( i) = ( ) + (5 ) i Si c = i, resulta para de dode [ ] z = ( i) w + ( ) + ( ) i w = ( i) w + N() = < = N( w)

14 Como z = ( i)( i) + = + i y N() < N( i) = <, la solució se ajusta la divisió euclidea de poliomios. Observe que la descomposició o es úica: [ ] z = ( i) w + ( ) ( ) i w = ( i) w i dode z = ( i)( i) + ( i) = + i y N( i) < N( i) = <..4 Sea z = 7 5 i, w = + 4i dos úmeros algebraicos. Calcular la divisió euclidea tal que z w = r + si. Empecemos por dividir los poliomios: z (7 5 i)( 4 i) 4i = = = ( 5) + ( + 7 5) i w (+ 4 i)( 4 i) 5 Tomemos para c = i, etoces de dode por lo que (7-5 i) - ( + 4 i)(- i) = -+ i z = ( + 4 i)(- i) + (- + i) = 7 5i N( + i) < N( + 4 i) = < 5. No es la úica factorizació de esta divisió euclidea, por ejemplo: z = ( + 4 i)(- i) + ( + i) = 7 5i y N( i) < N( + 4 i) = < 5..5 Sea z = i, w = 4 + 5i dos úmeros algebraicos. Calcular la divisió euclidea tal que z w = r + si. Empecemos por dividir los poliomios: z 0 + 7i = == (65 4) + ( 4) i w 4 + 5i Tomemos para c = 4 i, etoces de dode (0 + 7 i) - (4 + 5 i)(4 i) = -+ i z = (4 + 5 i)(4 i) + (- + i) = 0 + 7i 4

15 por lo que N( + i) < N(4 + 5 i) = < 4. Observe que las factorizacioes de z y w so z = i = ( + i)( + 7 i)( i) = (0 + 7 i)(7 + 0 i)( i) = 689 w = (4 + 5 i)(5 + 4 i)( i) = 4 El primer poliomio admite más de ua factorizació, luego es reducible. El segudo poliomio sólo admite la factorizació de la orma, luego es u primo irreducible. Efectivamete, el Máximo Comú Divisor y la forma lieal de estos poliomios so El mcd(0 + 7 i,4 + 5 i) = = (0 + 7 i)(4) + (4 + 5 i)( 6 + i) que os demuestra la presecia de u úmero primo e su estructura..6 Sea z = i, w = i dos úmeros algebraicos. Calcular la divisió euclidea tal que z w = r + si. Excepto asociados, empecemos por factorizar los dos úmeros algebraicos: z = ( + 6 i)(7 + i)( i) = i y w = ( + i)(4 + i)(6 + i)( i) = i No existe igú factor comú, por tato el Máximo Comú Divisor resulta: mcd( i, i) = E cuato a la forma lieal, a partir de la fució Idetidad de Euler, teemos d = z( ± s) + w( ± t) = ( i)(4 i) + ( i)( + i) = Si comparamos estos resultados co úmeros eteros: z = N + i = = = + + (44 5 ) (6 )(7 ) w = N( i = = = ( + )( + + ) )(6 ) de dode mcd (96,58) = 7 y d = 7 = 96(9) + 58(-4) Observemos que, mietras 96 y 58 o so coprimos, pues ambos so divisibles por 7, z = i y w = i sí so coprimos. El culpable de este desecuetro lo tiee el úmero 7 = 6 + = (6 + i)(6 i). Efectivamete, si ( i) (6 i) = 7 + i z = (6 i)(7 + i) = i ( i) (6 + i) = 5 i w = (6 + i)(5 i) = i 5

16 el primero admite como factor gaussiao a (6 i) y el segudo como (6 + i), úmeros distitos pero que ambos geera el cojugado 7. La divisió gaussiaa viee determiada como z i ( + 6 )(7 ) (87 58) (77 58) i + = == + i = i w i ( + i)(4 + i)(6 + i) c = + i, teemos Como ( i) ( i)( + i) = 5i N( 5 i) < N( i) = 9 < 58 resulta ua descomposició euclidea de z = ( i)( + i) + ( 5 i) = ( + 6 i)(7 + i)( i) = i.7 Sea z = 86 4 i, w = 5+ i dos úmeros algebraicos. Calcular la divisió euclidea tal que z w = r + si. La factorizació de z = 86 4i es es u etero de Gauss, ya que w = + i + i i = = + E cuato a la forma lieal z = ( + i ) ( + 4 i)( ) = 86 4i. E cuato a w = 5 + i, (5 )( 5 )( ) 9 5. mcd(86 4 i,5 + i) = = (86 4 i)() + (5 + i)( + 0 i) so dos úmeros gaussiaos primos etre sí. La divisió euclidea resulta z = i == (8 9) + (9 9) i = i i w 5 + i 5 + i 86 4 ( + ) ( + 4 ) c = 0 i, teemos Como z = (86 4 i) (5 + i)( 0 i) = N() < N(5 + i) = < 9 resulta ua descomposició euclidea de z = (5 + i)( 0 i) + = ( + i) ( + 4 i)( ) = 86 4i c = i, teemos 6

17 Como N( + 5 i) < N(5 + i) = 6 < 9 resulta ua factorizació euclidea de z = (5 + i)( i) + ( + 5 i) = ( + i ( + i = ) 4 )( ) 86 4i co lo que se demuestra que los úmeros algebraicos propuestos o tiee u factorizació úica..8 Sea z = 50 + i, w = 4 + i dos úmeros algebraicos. Calcular la divisió euclidea tal que z w = r + si. Teemos que z 50 + i ( + 4 )( 6 ) (9 5) (98 5) i + = == + i = i w 4 + i ( + i) Si c = 9 4 i, r = + i co z = (4 + i)(0 4 i) + ( + i) = ( + 4 i)( + 6 i)( i) = 50 + i N( + i) < N(4 + i) = 8 < 5 Si c = 0 4 i, r = i co z = (4 + i)(0 4 i) + ( i) = ( + 4 i)( + 6 i)( i) = 50 + i N( i) < N(4 + i) = 5 < 5 Si c = 0 4 i, r = + i co z = (4 + i)(0 4 i) + ( + i) = ( + 4 i)( + 6 i)( i) = 50 + i N( + i) < N(4 + i) = 8 < 5 7

18 .4 Factorizació euclidea co elemetos del aillo Q D. 4. Sea z = N( + 9 i) y w = + i dos elemetos de D. tales que z = cw + r co r = 0 ó N( r) < N( w). Sea D u úmero egativo libre de cuadrados. El aillo de los eteros de euclídeo si y sólo si D < 0 y toma los valores de D =,,, 7,, 9, 4, 67, 6 que so cuerpos cuadráticos imagiarios co factorizació úica. Si D > 0, será u domiio euclídeo para valores de D =,,5, 6, 7,,,4,7,9,,,, 9,,,7,8, 4, 4, 46, 47,5,57,59, 6, 6, 67, 69, 7, 7, 77,8,86,89,9,94,97 E estos casos, la orma euclidea es φ ( z) = N( z). Q Ecotrar c r Z [ i],. Q D es u domiio Los eteros algebraicos z = a + b D co a, b Z del cuerpo Q D so de la forma a + b D si D,( mód.4) ( + D) a + b si D ( mód.4) co a, b Z. El etero algebraico es raíz del poliomio x + bx + c Z [ x] El valor de la orma es z = N( + 9 i) = ( + 9 i)( 9 i) =. Ahora procedemos a la divisió euclidea. c = 9 4i z = = ( i) (9, 4,6 i) w + i ( + i)(9 4 i) = i Como N( i) < N( + i) = < 5, etoces. c = 9 6i z = ( + i)(9 4 i) + ( i) = = N( + 9 i) z = ( + i)(9 6 i) + ( + i) = = N( + 9 i) Pero N( + i) > N( + i) = 0 > 5, luego r = + i o es u elemeto del aillo euclídeo. 8

19 c = 9 5i ( + i)(9 5 i) = i Como N( i) < N( + i) = < 5, etoces z = ( + i)(9 5 i) + ( i) = = N( + 9 i) Lo que demuestra la factorizació o úica e el aillo euclídeo. 4. Sea z = N( 6 7i) y w = i dos elemetos de D. tales que z = cw + r co r = 0 ó N( r) < N( w). Q Ecotrar c r Z [ i],. La orma tiee como valor N(6 7 i) = (6 7)(6 + 7) = 4 y el poliomio que la geera es x -x + 4 = 0. La factorizació de este poliomio resulta x -x + 4 = x( ) x + 4 = ( x 6) + 7 por lo que la solució es x = 6 ± 7i la divisió euclidea, teemos z 4 = = ( i) (6, 6+ 9,9 i) w i Si damos a c = i, obteemos para r r = 4 ( i)(6 + 0 i) = i por lo que el valor de w queda desglosado e w = ( i)(6 + 0 i) + ( i) = 4 = N(6 7 i) ya que N( i) < N( i) = 5 <. Pero, sabemos que w = N i = x + (6 7 ) 4 o lo que es lo mismo w = i + i + i = x x + = ( )(6 0 ) ( ) 4 4 9

20 Si hacemos operacioes 4 = x x + 4 = ( x ) x + 4 de dode x x = 0 = 6 ( x 6) por lo que x = 0, so las solucioes eteras de w = N i = x + (6 7 ) Sea z = N(9 ) y w = 4 i dos elemetos de D. tales que z = cw + r co r = 0 ó N( r) < N( w). Q Ecotrar c r Z [ i],. El valor de la orma es z = N(9 + ) = 7 que es geerada por el poliomio x -8x + 7 = 0. La factorizació de este poliomio es x 8x + 7 = ( x 8) x + 7 = ( x 9) 44 de dode, sus raíces resulta x = 9 ±. la divisió euclidea z 7 (6 + i)( + 6 i)( i) = = = ( i) (7,4 +,7 i) w 4 i ( + i) ( + i)( ) Si tomamos para c = i, obteemos para r de dode r = 7 (4 i)(7 + 4 i) = i z = i + i + i = = N = x x + (4 )(7 4 ) ( ) 7 (9 ) 8 7 ya que N( i) < N(4 i) = 5 < 0. Como (4 i)(7 + 4 i) + ( i) = x 8x + 7 haciedo operacioes, teemos x x x x 7 = = ( 8) ( x 9) = 0 = 8x x 0

21 por lo que x = 0,8. Observar que e esta comparació etre el poliomio y su descomposició e divisió euclidea, las raíces so 0 y b. 4.4 Sea z = N (5 9) y w = 7 + i dos elemetos de D. tales que z = cw + r co r = 0 ó N( r) < N( w). Q Ecotrar c r Z [ i],. La orma geera 09 como úmero etero y u poliomio de como raíces x = 5 ± 9, u cojugado real. la divisió euclidea, teemos x 0x + 09 = 0 que tiee z 09 (0 + i)( + 0 i)( i) = = = ( i) (,6 5,64 i) w 7 + i ( + i)( + 5 i)( i) c = 5 i ó 6i geera para r = 4 i ó i. z = + i i + i = = x x + (7 )( 5 ) ( 4 ) z = + i i + i = = x x + (7 )( 6 ) ( ) ya que N( 4 i) < N(7 + i) = 5 < 58 N( i) < N(7 + i) = < 58 Se puede ecotrar otras represetacioes, dado el marge existete de las ormas. 7 95i 4.5 Sea z N + = y w = 5 4i dos elemetos de Q D. Ecotrar c, r Z i. tales que z = cw + r co r = 0 ó N( r) < N( w). [ ] 7 95i 7 95i 7 95i El valor de la orma es z = N + + = = 6 y la ecuació que la geera es x 7x + 6 = 0, que tiee como raíces La divisió euclidea resulta 7 ± 95 i x =. z 6 (6 + 5 i)(5 + 6 i)( i) = = = ( i) (7,44 + 5,95 i) w 5 4 i (4 + 5 i)( i) c = 7 + 6i y r i i = = ( + ), obteemos z = i + i + i = = x x + (5 4 )(7 6 ) ( ) Como 6 x 7x 6, = + operado

22 49 7 x = 0 = 7x x 4 de dode x = 0, i 4.6 Sea z = N y w = 8 i dos elemetos de Q D. Ecotrar c, r Z i. tales que z = cw + r co r = 0 ó N( r) < N( w). [ ] El valor de esta orma es 0 4 8i 0 4 8i 0 4 8i z = N + = = 97 y el poliomio geerado es x 0x + 97 = 0 co solució x = 5 ± 6 i. Observe que el discrimiate se ha modificado. Ha pasado de 8 a. Tambié ha cambiado el deomiador. Todo esto es debido a que 0 y 4 so divisibles por y, por tato z = N (5 + 8) = (5 + 8 i)(5 8 i) = 97 geerado el mismo poliomio co la misma solució. Pero el discrimiate se modifica por o ser libre de cuadrados, a saber D = b 4ac = = 88 = 7 = Esto ha sido debido a que 0 y 4 so úmeros asociados. Procedemos a la divisió euclidea. z 97 (9 + 4 i)(4 + 9 i)( i) = = = ( i) (,85 +, 4 i) w 8 i ( + i) (4 + i)( ) c = + i, r = + i. Co N( + i) < N( 8 i) = < 68. El valor de z resulta 0 4 8i z = i + i + i N ( 8 )( ) ( + ) = 97 = = x 0x + 97 Los ceros de este poliomio se determia para x = 0,0..5 Factorizació úica e los cuerpos cuadráticos K =Q ( D). 5. Defiició de los cuerpos cuadráticos. Sea K = Q( α) u cuerpo cuadrático dode α es u etero algebraico y raíz de u poliomio [ ] x bx c Z x + +. Sea b ac m d b b 4ac α = ± y K Q b c = 4. Podemos establecer que 4 =, dode d es libre de cuadrados, y así K = Q( m d ) = Q( d ). Teemos pues que todo cuerpo cuadrático es de la forma K Q( d ) { a b d : a, b } = = + Q dode d es u

23 etero libre de cuadrados,. [ ω] O k =Z es el aillo de K =Q D, etoces d Si = { x = a + b d x } sx + p = s p Z D + D ω = D si DT ( mód.4) y ω = si D ( mód.4) O : - 0,,. Si x O y Como D + D D( D ) O k es raíz del poliomio x Dx + Z [ x], se satisface que 4 D + D O k = Z Como e el poliomio míimo ( d, Q) x ( )( ) d x d x d = = + resulta que los elemetos de K so de la forma a + b d, dode a, b Q, la extesió K Q es ua extesió de Galois y sus automorfismos so la idetidad y el determiado por ( d ) d. σ = A este automorfismo le llamaremos simplemete cojugado de K, y lo represetaremos como ua orma, dode N ( a + b D ) = a + Db, si es u cuerpo cuadrático imagiario ó N ( a + b D ) = a Db, si es u cuerpo cuadrático real Así, la diferecia etre u cuerpo cuadrático imagiario o complejo y u cuerpo cuadrático real es que, el discrimiate del primero es egativo y el del segudo positivo. Cuado D < 0 hay ua catidad fiita de valores de a y b, si D > 0, los valores de a y b so ifiitos. La suma y diferecia de los dos úmeros algebraicos se obtiee como ( a + b ± D ) + ( a b ± D ) = a, como suma de los dos úmeros algebraicos. (( a b D) ( a b D) ) ( D) + ± ± ± como diferecia de los dos úmeros algebraicos. 5. Demostrar la relació existete etre x 6x + 9 y N( a + b 5 i) = 9. La factorizació del poliomio es x 6x + 9 = ( x 6) x + 9 = ( x ) + 0 co ua solució cojugada de x = ± 5 i. Sea N( a + b 5) = ( a + b 5)( a b 5) = x + 5y = 9. Sea ( a + b 5) + ( a b 5) = a. Por la factorizació del poliomio sabemos que b = y 6 = a =, por tato N ( + 5) = ( + 5)( 5) = + 5 = 9 La demostració de que esto es cierto es que

24 D = b 4ac = = 80 = 5 4 = 5 y, por tato b ± b 4ac 6 ± ± 80 6 ± 4 5 x = = = = = ± 5i a 5. Factorizar z = N( a + b ± 5) = 6 y geerar el poliomio míimo. Los factores y so irreducibles e z a bi = + co z [ i] 5T ( mód.4), el aillo de eteros de Q 5 es Z 5. Z y a, b Q ya que, como Supogamos que + 5 = ( a + b 5)( c d 5), para a, b, c, d Z, etoces 6 = ( a + 5 b ) = ( c + 5 d ) Si a + 5b es u úmero o egativo, a + b = ó 5,, 6. N ( + 5) = + 5. Como ( + 5)( 5) = 6 y ( + 5) + ( 5) =, la ecuació geerada es x x + 6 = 0, co solució x = ± 5 i. Podemos probarlo mediate D = b 4ac = 4 6 = 0 = 5 = 5 dode D es libre de cuadrados. N ( + ) = +. Como ( + )( ) = 6 y ( + ) + ( ) = 4, la ecuació geerada es x 4x + 6 = 0, co solució x = ± i. Podemos probarlo mediate D = b 4ac = = 8 = = dode D es libre de cuadrados. N ( + ) =. Como ( + )( ) = 6 y ( + ) + ( ) = 6, la ecuació geerada es x 6x + 6 = 0, co solució x = ±. Podemos probarlo mediate D = b 4ac = = = = dode D es libre de cuadrados. N (5 + 9) = 5 9. Como (5 + 9)(5 9) = 6 y (5 + 9) + (5 9) = 0, la ecuació geerada es x 0x + 6 = 0, co solució x = 5 ± 9. Podemos probarlo mediate D = b 4ac = = 76 = 9 = 9 dode D es libre de cuadrados. Hemos demostrado las represetacioes cuadráticas limitadas de 6 e el campo complejo e ilimitadas e el campo real. 4

25 Ahora, supogamos que Si etoces N ( + 6) = ( + 6)( 6) = N ( + 6) = ( + 6)( 6) = N( 6) = ( 6)( + 6) = 6 ( + 6) ( 6) = (5 + 6) = p ( + 6) ( 6) = ( 5 6) = p = ( 6) p = ( 6) (5 + 6) = ( 6) p = ( 6) ( 5 6) 6 = ( 6)( 6) p = ( 6)( 6)( 5 6 de dode 6 = ( + 6)( 6)( + 6)( 6)( ) Otra factorizació la ecotramos e ( 6) ( + i) ( i) = + + = 6 = 5.4 Factorizar N( a + b ) =, N( a + b ) =, N( a + b ) = y N( a + b ) =, teiedo e cueta que Q. Si p, q so dos úmeros primos, etoces para Q ( pq ), pq = pq pq = ( p)( q) que represeta la factorizació irreducible de dos úmeros algebraicos. E el mismo caso se ecuetra para Q ( pq ), dode pq = pq pq = ( p)( q). N( a + b ) =, admite como solució = ( + )( )( ). Teiedo e cueta que =, resulta que = ( + )( )( ) =. N( a + b ) =, admite como solució = (4 + )(4 )( ). Si teemos e cueta que =, teemos que = (4 + )(4 )( ) =. N( a + b ) =, admite como solució = (7 + )(7 ). Si teemos e cueta que =, obteemos = (7 + )(7 ) =. N( a + b ) =, admite como solució = (6 + )(6 ). Si teemos e cueta que =, obteemos = (6 + )(6 ) =. 5

26 5.5 Sea z = + 5 y w = + 5 dos úmeros algebraicos. Demostrar que o tiee factorizació úica. Los valores de las ormas de los dos algebraicos so Sea z = N( + 5) = y w = N( + 5) = 9 z ( 5) ( 5) 5 w = + + = + y 9 9 ( 5) 5 w = + = Los úmeros algebraicos geerados perteece al aillo Q 5, mietras que z Z. Como w = + 5 ( ) ( ) 5 ( 5) 5 + w = + = ( + 5 ) Similarmete para 7, obteemos k dode k = + 5. Co simples operacioes ecotramos Como N ( + 5) = 49 y N ( + 5) = 9, obteemos = w w' = = k k ' = de dode = w w' k k ' = = 7 Ya sabemos que ( 5)( 5). = + Cosideremos ahora el campo [ ω] Q( ω ) : Q =. El determi- ω = + es ua raíz del poliomio P x x x ate de la siguiete matriz os revela que = + + etoces [ ] ( ), Q dode ω = ( + ) ( ) = = (, ) ( i ) lo que os lleva a que si ( + 6)( 6) = 7, obteemos otra factorizació de = ( i ) ( + 6)( 6) = 7 6

27 5.6 Factorizar z = N( a + b D) = y geerar los poliomios míimos correspodietes. Los cuerpos cuadráticos correspodietes a Q D =,,5,6,7,,7,,9,... so domiios euclídeos co el valor absoluto de la orma, esto es φ ( a) = N( a). Como se trata de cuerpos cuadráticos imagiarios, los valores de D debe ser D, esto es = 0 = 5; = 7; = = ; 4 = 5 N ( + 5) = + 5 =. Si p = ( + 5)( 5) = y s = ( + 5) + ( 5) =, el poliomio míimo f ( x) x sx p = + resulta N ( + 5) = + 5 =. x x + = 0, co x = ± 5 i. Si p = ( + 7)( 7) = y s = ( + 7) + ( 7) = 4, el poliomio míimo f ( x) x sx p = + resulta x 4x + = 0, co x = ± 7 i. Si p = ( + )( ) = y s = ( + ) + ( ) = 6, el poliomio míimo f ( x) x sx p = + resulta x 6x + = 0, co x = ± i. Si p = (4 + 5)(4 5) = y s = (4 + 5) + (4 5) = 8, el poliomio míimo f ( x) x sx p = + resulta x 8x + = 0, co x = 4 ± 5 i. 5.7 Factorizar z = N( a + b D) = a Db = y geerar los poliomios míimos correspodietes. Sea N (5 + 7) = 5 7 = 8, dode a + b = (5 + 7) + (5 7) = 0 y ab = 8. La ecuació geerada es x 0x + 8 = 0, co x = 5 ± 7. Podemos comprobar que = 4 = = 68 = 7, co = 7, D b ac libre de cuadrados. Sea N ( + 7) = + 7 = 8, dode a + b = ( + 7) + ( 7) = y ab = 8. La ecuació geerada es x x + 8 = 0, co x = ± 7 i. Podemos comprobar que = 4 = 4 8 = 8 = 7, co = 7, D b ac libre de cuadrados. Sea N (4 + ) = 4 = 8, dode a + b = (4 + ) + (4 ) = 8 y ab = 8. Ahora bie, el mcd (4, ) =, etoces ( + )( ) =, y por tato 7

28 ( )( ) + = 8 esto os lleva a u poliomio míimo de 7 N + = x x + = 0, co ± 7i x = y ua orma de Sea N (0 + ) = 0 = 8, dode a + b = (0 + + ) + (0 ) = 0 y ab = 8. Pero, el mcd (0, ) =, etoces (5 + )(5 ) = y el poliomio míimo geerado es x 0x + = 0, co x = 5 ±. Como (5 + )(5 ) = y (5 )(5 ) + = 8, teemos como factorizació de 8 8 = ( )( ) (5 )(5 ) + = + = E la obra de los profesores Alaca y Willias, Itroductory Algebraic Number Theory, ecotramos la siguiete solució: Sea / / α = (5 + 7) + (5 7) R, etoces / / / / α = (5 + 7) + (5 + 7) (5 7) + (5 + 7) (5 7) + (5 7) / / / / = 0 + (5 + 7) (5 7) ((5 7) ) + (5 7) / = 0 + ((5 + 7)(5 7)) α = + = 0 + 6α / 0 8 α por lo que α es ua raíz del poliomio móico x x [ x] úmero etero algebraico. La solució algebraica de la ecuació es i i x = + ( ), x ( 7 + 5) ( ) i ( ) 6 0 Z. Por lo tato α es u ( ) i = , x = ( ) Como / (5 7)(5 7) + =, la factorizació de 8 es (5 + 7)(5 7) = 8 8

29 Solució que es coicidete co la forma cuadrática..6 Factorizació poliomio ciclotómico. 6. Poliomio ciclotómico: defiició Se llama poliomio ciclotómico de ídice a Φ ( z) = ( z p )( z p )... ( z pk ), dode p, p,..., p k so las k raíces primitivas -ésimas de la uidad e el cuerpo de los úmeros complejos, siedo k= ϕ( ) la fució de Euler. Los poliomios Φ tiee sus coeficietes e Z, so irreductibles sobre Q y verifica que z = Φ ( z). Estos poliomios debe su ombre al problema de la divisió del círculo e partes iguales que equivale a la resolució de la ecuació Φ ( z ) = 0. Las fórmulas siguietes represeta la factorizació del poliomio z e sus factores irreducibles d / z = z z = ( z )( z + ) z z z z = ( )( + + ) 4 z = ( z )( z + )( z + ) 5 4 z z z z z = ( )( ) 6 z z z z z z z = ( )( + )( + + )( + ) z z z z z z z z = ( )( ) 8 4 z = ( z )( z + z + z + z )( )( ) = ( z )( z + z + ) ( z + z + ) z = ( z )( z )( z z z z ( z z z z ) ) Mediate la iversió de la fució de Mӧbius podemos obteer los poliomios ciclotómicos mediate la fórmula d Φ ( z) = ( z ) d µ ( d ) dode µ es la fució de Mӧbius defiida como r µ ( d) = ( ) si d es producto de r primos distitos si d = 0 si d es divisible por p para algu primo p Así, los primeros poliomios ciclotómicos so 9

30 Φ ( z) = z ( z ) ( z )( z Φ = ) = z + ( z) ( z )( z ) = z z + 4 4( z) ( z z)( z ) z 5 4 5( z) ( z )( z ) = z + z z + z z z z Φ = + Φ = = + Φ = + Φ ( z ) = ( z )( z ) ( z ) ( z = z z + Φ ( ) = ( )(( ) = z + z + z + z + z + z + ( z) ( z )( z ) Φ z 8 = = Φ ( z) = ( z )( z ) = z + z ( z) z )( z ) ( z + ) = z z z z + Φ = + E las siguietes tablas se recoge valores para las fucioes de Euler y Mӧbius: ϕ ( ) µ ( ) El cuerpo ciclotómico de ídice es u cuerpo de dislocació del poliomio ciclotómico Φ. Se le deota Q ó Qω ( ) co ω raíz primitiva -ésima de e C, siedo [ Q : Q] =ϕ( ). Si z =, co ( =,,,...), so las raíces -ésimas de la uidad, la solució compleja viee determiada por ik e π, co ( k 0,,,..., ), = dóde k y so coprimos. El úmero de raíces primitivas diferetes viee determiado por la fució de Euler ϕ ( ). Si es primo, etoces todas las raíces -ésimas de la uidad so, excepto, so primitivas, y teemos z Φ ( z) = = z k = 0 z k De hecho, por el teorema de Moivre, para la ecuació z = 0, las raíces -ésimas de la uidad so, e, e, e,..., e πi/ 4 πi/ 6 πi/ ( ) πi/ cuya suma resulta i/ 4 i/ 6 i/ ( ) i/ e π + e π e π e π = 0 6. Factorizar los poliomios z co y z co A partir de la fórmula propuestos. d z µ ( d ) vamos a factorizar alguo de los poliomios d Φ ( z) = ( ) 0

31 Φ = teemos 6 d µ ( d ) 6( z) ( z ), d Φ ( z) = ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) 6 6 µ () µ () µ () µ (6) = = + 6 ( z ) ( z ) ( z ) z z o bie z z z ( z )( z ) ( z )( z + ) ( z + z + ) ( )( ) ( ) = = = z z + z Φ = teemos d µ ( d ) ( z) ( z ), d z z z + Φ = = = = ( z) z z 6 ( ϕϕ ϕϕ 6 ) ϕ4 ( z )( z + ) z + o bie 6 ( z ) z + 4 = = = z z + 6 z ( z )( z + ) z + Φ = teemos 4 d µ ( d ) 4 ( z) ( z ), d 4 7 z z z + Φ ( z) = = = = 4 7 ( ϕϕ 7 ) ϕ ( z )( z + ) z z z z z z z o bie z z z + = = = z z + z z + z z ( z + ) z ( z ) Φ = teemos 5 d µ ( d ) 5( z) ( z ), d z z z + z + Φ ( z) = = = = z z ) z + z ( ϕϕ 5) ϕ ( z )( z + + z + z z + z z o bie ( z ) z + z z = = = z z + z z + z z + 5 ( z )( z + z + ) z + z +

32 Φ = teemos 6 d µ ( d ) 6 ( z) ( z ), d z Φ = = ( z) z ϕϕ ϕ4ϕ8 o bie ( z ) ( z ) 8 = = = z z ( z ) ( z )( z + )( z + )( z + ) El resto de poliomios los dejamos como ejercicios de prácticas. 6. Calcular alguas de las raíces de la uidad de los poliomios ciclotómicos idicados. / La ecuació z =, dode las solucioes ω = e πik so las raíces de la uidad, a veces llamadas úmeros de Moivre e hoor a Abraham de Moivre ( ). Gauss demostró que la ecuació ciclotómica se puede reducir a la solució de ua serie de ecuacioes de segudo grado cada vez que es u primo de Fermat. E 86 el matemático fracés Pierre Watzel (84-848) demostró que esta codició o es sólo suficiete, sio tambié ecesaria. Ua "irreductible" ecuació ciclotómica es ua expresió de la forma z z p = p p z + z + + =... 0 dode p es primo. Sus raíces z i satisface a z i =. A cotiuació calculamos las raíces de la uidad de alguo de los poliomios ciclotómicos siguietes: Φ = + + las raíces de la uidad so ( z) z z, {{ z = },{ z = ( ) }} / Como = i, probamos que las raíces de la uidad se verifica ( ) / ( ) = y (( ) ) ( ( i) ) = = Φ = + las raíces de la uidad so ( z) z, 4 {{ z = i},{ z = i}} Φ = las raíces de la uidad so 4 5( z) z + z + z + z +, 5 {{ z = },{ z = ( ) } { } { }} /5, z = ( ) /5, z = ( ) 4/5 Probamos que las raíces de la uidad se verifica como

33 ( ) 5 i ) = ( i ) 5 = i, ( i 5 ) 4 ( ) 5 5 i ) =. = 5 ( ) = 5 ( ), ( ) 5 = 5 5 ( i) =( i) i, Φ = + las raíces de la uidad so ( z) z z, 6 / {{ z = },{ z = ( ) }} Las raíces complejas de esta ecuació so i i = + = πi4 6 πi4 6 ( e ) ó ( e ) dode comprobamos que + i i z z = z z + y + i i = Φ ( z) = z + z + z + z + z + z +, las raíces de la uidad so 7 7 {{ z = },{ z = ( ) } { } { } { } { }} /7, z = ( ) /7, z = ( ) 4/7, z = ( ) 5/7, z = ( ) 6/7 Φ = + las raíces de la uidad so ( z) z 4, {{ z = },{ z = },{ z = ( ) } { }} /4, z = ( ) /4 Φ = + + las raíces de la uidad so 6 9( z) z z, 9 {{ z = },{ z = ( ) } { } { } { } { }} /9, z = ( ) 4/9, z = ( ) 5/9, z = ( ) 7/9, z = ( ) 8/9 Φ = las raíces de la uidad so 4 0 ( z) z z + z z +, 5 {{ z = },{ z = ( ) } { } { }} /5, z = ( ) /5, z = ( ) 4/5 Φ = + las raíces de la uidad so 4 ( z) z z, 6 6 {{ z = },{ z = },{ z = ( ) } { }} 5/6, z = ( ) 5/6 Las solucioes a la ecuació + i i z = ±, z = ± que comproba- mos z z +, so 4

34 i i + + i z z = z i i i z z = z + i i 4 z z + = z z + ( + ) i( i ) i i = Φ = + las raíces de la uidad so 6 8( z) z z, 9 {{ z = },{ z = ( ) } { } { } { } { }} /9, z = ( ) 4/9, z = ( ) 5/9, z = ( ) 7/9, z = ( ) 8/9.7 Factorizació úica e los aillos Z p. 7. Demostrar la equivalecia de solucioes si las hubiera Z. 7x x x x 4)( mód.) + 7( + )( + y calcular sus El iverso de 7 respecto a es 8, por lo que 8(7x x + ) 8(7( x + )( x + 4)( mód.) = x + 6x + 8 ambas ecuacioes so equivaletes respecto al aillo Z, ya que el desarrollo de la seguda equivalecia es ( x + )( x + 4) = x + 6x + 8. E cuato a las solucioes modulares, teemos 7x x x 6x 8 0( mód.) x 7,9( mód.) Z 7. Demostrar la equivalecia de 8x 8x + 8( x + 7)( x + )( mód.4) y calcular sus solucioes si las hubiera Z. Empecemos por elimiar el coeficiete idepediete 8. ello calculamos la forma lieal etre 8 y 4, a saber mcd (8, 4) = = 8( 5) + 4(). Si ahora multiplicamos la equivalecia plateada, teemos 5(8x 8x ) x x ))( mód.4) x 40x 6 + 5(8( + 7)( + = + + dode ambas ecuacioes so equivaletes respecto al aillo Z, 4 ya que el desarrollo de la seguda equivalecia es x + 40x + 6. ( x 7)( x ) x 40x E cuato a las solucioes modulares, teemos + + = + + y respecto al módulo 4, 4

35 8x 8x x 40x 6 0( mód.4) x 8,4( mód.4) Z 7. Demostrar la equivalecia de x 4x 7x + 5 ( x + 4)( x + x + 6)( mód.9) y calcular sus solucioes si las hubiera Z. La factorizació de la primera equivalecia respecto al módulo 9, es x x x + x + x + x + mód (.9) El desarrollo de la seguda equivalecia respecto al módulo 9, es ( x + 4)( x + x + 6) x + 5x + x + 5( mód.9) por lo que ambas equivalecias so iguales. las solucioes modulares, obteemos x x x x x x mód x mód (.9) 5(.9) Z Demostrar la equivalecia de x x 4 ( x + )( x + 7)( x + 5x + 5)( mód.) y calcular sus solucioes si las hubiera Z. 4 4 Comprobamos que x x 4 x + 0x + 9 ( x + )( x + 7)( x + 5x + 5). La solució a la ecuació comú, es 4 4 x x x x mód x mód (.) 6,(.) Z Vamos a comprobar a partir de la primera ecuació si este resultado es cierto. ello utilizaremos la Regla de Ruffii x + 6x + 0x + 5 0( mód.) Ecuació geerada x + x + x + x + x + x + mód (.) x + 5x + 5T 0( mód.) Ecuació geerada x + x + x + x + mód 8 6T 5 5(.). Efectivamete, la ecuació o tiee 5 ± 5 solucioes e Z, ya que x = Q. Queda demostrado que las úicas solucioes que admite la ecuació so 6 y. 5

36 6 7.5 Demostrar la equivalecia de z ( z )( z + )( z z + )( z + z + ) ( mód.) y calcular la solució ciclotómica si las hubiera Z. Empecemos por simplificar el segudo miembro de la ecuació. 4 + = y ( z + z + )( z z + ) = z + z + ( z )( z -) z ( z )( z + z + ) = z luego, ambos miembros so equivaletes. 6 z respecto a, como el mcd (6,) = = 6() + ( ), obteemos 6 6 z z + mód 0(.) que tiee como solucioes z,0( mód.). Las raíces primitivas de so aquellas raíces eésimas, y sólo aquellas cuyos expoetes so primos relativos co, siedo ρ ρ, ρ, ρ,..., ρ de ρ = cos( π ) + se ( π ) i 6 z =, teemos i i ρ = cos( π ) + se(π ) i = i +, ρ = cos(π ) + se (π ) i = i + 4 i ρ = cos( π ) + se( π ) i =, ρ = cos(4π ) + se (4π ) i = 5 i 6 ρ = cos(5π ) + se (5π ) i =, ρ = cos( π ) + se( π ) i = 6 De éstas, ρ = y ρ = so raíces cuadradas de y so raíces cúbicas de. i 4 i ρ = + 6, ρ = y ρ = Demostrar la equivalecia de z ( z )( z + z + z + z + )( mód.4) y calcular la solució ciclotómica si la hubiera Z. 0 0 El mcd (0, 4) = = 0() + 4(-), por lo que z z + 4 0( mód.4) y tiee como solucioes z, 4( mód.4). Las raíces eésimas de la uidad viee determiadas por Cos( tπ / 0) + Se( tπ / 0) i z = ( + 5 ) + i, z = ( 5 ) + i +, z ( 5) ( ) 5 5 z4 = 5 + i, 5, z = ( 5 ) i +, z8 ( ) z = z6 ( ) i +, = + i = 5 i, = z9 ( ) 5 5 = + 5 i, z 0 =

37 o por e kiπ 5 iπ iπ iπ 4iπ z = e, z = e, z = e, z = e, z =, 4iπ iπ iπ iπ z = e, z = e, z = e, z = e, z = E ambos casos las raíces de la uidad so la 5ª y la 0ª Demostrar la equivalecia de calcular la solució ciclotómica si la hubiera Z. z ( z )( z + z + z + z + z + z + )( mód.) y El mcd (4,) = = 4(-) + (5), de dode la ecuació que determiada como z z + 0 0( mód.) 4 4 que tiee como solucioes z,0 ( mód.). Aplicado métodos ateriores, las raíces primitivas y de uidad so iπ iπ iπ 4iπ 5iπ 6iπ z = e, z = e, z = e, z = e, z = e, z = e, z =, 6iπ 5iπ 4iπ iπ iπ iπ z = e, z = e, z = e, z = e, z = e, z = e, z = 7.8 Demostrar que ( z + ) ( z )( z + z ) ( z )( z + ) ( z + z )( mód.9) o es ua equivalecia ciclotómica. Los desarrollos de ambos miembros de la ecuació so ( z + ) ( z )( z + z ) = z + z + z 4z z + z ( z )( z + ) ( z + z ) = z + z + z 4z z + z + E ambos casos obteemos ua ecuació idética, por tato, queda demostrada la equivalecia algebraica, cuya solució es ± 5 z =, z = ± y o es ua ecuació ciclotómica, ya que o es de la forma z =, o de la forma z z = z + z + + =,..., 0 E cuato a la solució modular, respecto al módulo 9, es equivalete a z + z + z + z + z + z + mód 5 6 0(.9) que tiee como solucioes z,4,4,8 ( mód.9). 7